2021-2022学年江西省抚州市高二下学期学生学业发展水平测试（期末考试）数学（理）试卷（含详解）.pdf

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1、抚州市2021-2022学年度下学期学生学业发展水平测试高二年级数学试题卷(理科)说明：1.本卷共有3 大题，22个小题，全卷满分150分，考试时间120分钟.2.本卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，不得在试题卷上作答，否则不给分.，一、选择题：本大题共12小题，每小题5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某校高二年级选择“史政地”“史政生 和 史地生 组合的同学人数分别为3 0 0,1 5 0和5 0.现采用分层样的方法选出1 0位同学进行一项调查研究，贝 史政生 组合中选出的人数为()A.7 B.6 C.4 D.32.下列集合与集合 2 0

2、2 1,2 0 2 2 相等的是()A.(2 0 2 1,2 0 2 2)B.M(x-2 0 2 2)(x-2 0 2 1)=0 C.2 0 2 1,2 0 2 2 D.(x,y)|x =2 0 2 1,y =2 0 2 2 3 .复 数 拉=()1 +iA.2+i B.2-i C.-l+2 i D.l-2 i4 .某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()主视图左视图A.8 V 3 B.6 V 3 C.4 V 35 .“I x l 2 0 2 1 ”是“国 2 0 2 2 ”()A.充要条件D.2 V 3B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件6 .已知等差数列

3、4的前项和为S“，若4+%+3/+%=3 0,则S“=（）A.4 4 B.3 3 C.6 6 D.5 57 .已知（2%-1）+）=%+q（x -1）+%（x-1）+,+%（%.）,则。2 +。4 +。6 =（）A.6 0 5 B.6 0 7 C.1 2 1 0 D.1 2 1 48 .围棋起源于中国，据先秦典籍 世本记载“尧造围棋，丹朱善之“，围棋至今已有四千多年历史，蕴含着中华文化的丰富内涵.在某次国际比赛中，中国派出包含甲、乙在内的5位棋手参加比赛，他们分成两个小组，其中一个小组有3位，另外一个小组有2位，则甲和乙在同一个小组的概率为（）9 .如图是计算，+工+-L的值的一个程序框图，其

4、中在判断框内应填入的条件是（2 4 6 2 0)/输 出S /,（、A z l lC.z 2 0D.z l l10.已知函数/(x)=x e、，a=l o%e,b =3 5,c _ 20-5,则 有()2A./(a)/(c)B./(c)/(Z?)/(a)C./(o)/(c)/(Z?)D./(c)/(z)o）的焦点为尸，圆尸：x2+y2-2 x =0,M（x,y）为抛物线上一点，且 x e l,3 ,过 M 作圆尸的两条切线，切点分别为A ,B,则|A3|的 取 值 范 围 为.16.在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植 物.现 有 3 种

5、不同的植物可供选择，则有 种栽种方案.三、解答题：（本大题共6 小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.17.如图在边长是2的正方体ABC。-A B C A 中，E，产分别为A 6，4。的中点.（1）证明：平面平面。4。；（2）求面。所与面。B E所成二面角的大小.18.如图，直线/：=+加与抛物线C：f=8 y相切于点P.（2）求以点P为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程.19.某单位为丰富员工的业余生活，利用周末开展趣味野外拉练，此次拉练共分A ,B,C三大类，其中A类有3 个项目，每项需花费1小时，8类有2个项目，每项需花费2小时;C类 有 1个项目，每项需花费

6、 3 小时.要求每位员工从中选择3 个项目，每个项目的选择机会均等.（1）求小张在三类中各选1个项目的概率；（2）设小张所选3个项目花费的总时间为X 小时，求 X 的分布列及期望.20.为了弘扬奥林匹克精神，普及冰雪运动知识，大力营造校园冰雪运动文化氛围，某校组织全校学生参与冰雪运动知识竞赛.为了 了解学生竞赛成绩，从参加竞赛的学生中，随机抽取若干名学生，将其成绩绘制成如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组区间为50,60）,60,70）,70,80）,80,90）,9 0,1 0 0,已知成绩在70,90）内的有120人.（1）求样本容量，并估计该校本次竞赛成绩 众数、中位数、平均数.（

7、2）将成绩在8 0/0 0 内的学生定义为“冰雪达人”，成绩在50,80）内的学生定义为“非冰雪达人”，请将下面的列联表补充完整，并根据列联表，判断是否有99.9%的把握认为是否为“冰雪达人”与性别有关?附参考公式及表如下：K2男生女生合计冰雪达人80非冰雪达人60120合计120,其中=Q+/?+C+d.nad-bc(+/)(c+d)(a +c)(b+d)P(K 2 *J0.050.010.0050.001kq3.8416.6357.87910.8282 22 221.设 4、入 为椭圆C：+2=1（4 方0）的左、右焦点，焦距为2c.双曲线C：土 匕=1 与椭a b 10 3圆。有相同的焦

8、点，与椭圆在第一、三象限的交点分别记为M、N 两点，若有|加凶=|耳6.（1）求椭圆。的方程;（2）设椭圆C 上顶点为8,过点，-G）的直线与。交于、。两 点（均异于点B）,试证明：直线BP和8Q的斜率之和为定值.2 2.已知函数/（无）=a e T In x +l n a .（1）当 =e时，求曲线y =/（x）在 点 处 的 切 线 与 两 坐 标 轴 围 成 的 三 角 形 的 面 积；（2）若 不 等 式 恒 成 立，求 的取值范围.抚州市2021-2022学年度下学期学生学业发展水平测试高二年级数学试题卷(理科)说明：1.本卷共有3 大题，22个小题，全卷满分150分，考试时间120

9、分钟.2.本卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，不得在试题卷上作答，否则不给分.一、选择题：本大题共12小题，每小题5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某校高二年级选择“史政地”“史政生 和 史地生 组合的同学人数分别为3 0 0,1 5 0和5 0.现采用分层样的方法选出1 0位同学进行一项调查研究，贝广史政生”组合中选出的人数为()A.7 B.6 C.4 D.3【答案】D【解析】【分析】根据分层抽样抽取成比例求解即可【详解】根据题意，分层抽样的抽样比为-=二，故从“史政生”组 合1 5 0中，抽取的人数时3 0 0 +1 5 0 +5 0 5

10、 01 5 0 x-!-=3 人5 0故选：D.2.下列集合与集合2 0 2 1,2 0 2 2 相等的是()A.(2 0 2 1,2 0 2 2)B.x|(x-2 0 2 2)(x-2 0 2 1)=0 C.2 0 2 1,2 0 2 2 D.(x,y)|x =2 0 2 l,y =2 0 2 2【答案】B【解析】【分析】根据集合表示的意义逐个判断即可【详解】(2 0 2 1,2 0 2 2)、(x,y)|x =2 0 2 1,y =2 0 2 2 都表示一个元素的集合，给出的集合有两个元素，A、D不符；2 0 2 1,2 0 2 2 表示有无数个元素的集合，D也不符合；x|(x-2 0 2

11、 2)(x-2 0 2 1)=o=2 0 2 1,2 0 2 2,故 B 符合题意；故选：B.3.复 数 拉=()1 +iA.2+iB.2-iC.-l +2iD.l-2 i【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法求解即可【详解】下3+i=(3局+i)(高l-i)4-2i2=2-i.故选：B.4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）主视图左视图俯视图一4TA.873 B.6 G C.46 D.2V3【答案】C【解析】【分析】由题可知该几何体为棱长为2 的正四面体，再根据表面积的公式求解即可【详解】由题可知该几何体为棱长为2 的正四面体，表面积S=4x x2xV 3=4/3.2故选：

12、c.5 .“W 2 0 2 1”是“凶 2 0 2 2”的()A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据绝对值不等式求解，再结合充分与必要条件的定义判定即可【详解】若42 0 2 2,因为2 0 2 2 2 0 2 1,故 国2 0 2 1,故“凶2 0 2 2”可以推出“凶2 0 2 1 ”；取 国=2 0 2 1.5,则满足国2 0 2 1,但 凶2 0 2 2不成立，所以“国2 0 2 1”不能推出“凶2 0 2 2”；所以“W 2 0 2 1 ”是“国 2 0 2 2 ”的必要不充分条件故选：C.6 .已知等差数列%的前“

13、项和为S“，若“2+/+3%+%=3。，则S“=()A.4 4 B.3 3 C.6 6 D.5 5【答案】D【解析】【分析】根据等差数列的通项公式和条件求出=5,然后利用等差数列的求和可得答案.【详解】设等差数列%的公差为d,因为%为等差数列，所以%+%+3%+%=4 +d+a1+3 d +3(q +6 J)+q +Sd=6 1 4 +5d)=6c%3 0,得4 =5,所以S u=1 1%=5 5.故选：D.7 .已知(2 x l，(x-+l)=a o+q(x l)+a,(x-1)H-FC L Q 1)，则 4+4+4=()A.6 0 5 B.6 0 7 C.1 2 1 0 D.1 2 1 4

14、【答案】A【解析】【分析】令尤l =f,则(/+2 f+2)(1+2。5 =%+q f+a 2 f 2 +-,然后分别令f =0,f =l和C=-1求解出/,4+4+/+外,-%,三个等式运算从而可求出结果【详解】令比一1 =/,贝!|(广 +2/+2)(1 +2，)=%+/+2 f 2 H-h%,令1 =0,则4=2.令f =1,则a。+q +a,+%=1 2 1 5 ,令 t 1 则%q +%T-7=-1,1 2 1 5-1 所以 4+“2 +%+。6 =-=6 0 7 ,所以 a,+%+%=6 0 7 4 6 0 7 2 6 0 5 .故选：A.8.围棋起源于中国，据先秦典籍 世本记载“

15、尧造围棋，丹朱善之“，围棋至今已有四千多年历史，蕴含着中华文化的丰富内涵.在某次国际比赛中，中国派出包含甲、乙在内的5位棋手参加比赛，他们分成两个小组，其中一个小组有3位，另外一个小组有2位，则甲和乙在同一个小组的概率为（）7 3 八 2 1A.B.-C.-D.1 0 5 5 1 0【答案】C【解析】【分析】这5名棋手分别记为：甲，乙，A,B,C,利用列举法写出基本事件，最后利用古典概型的概率公式即可求解.【详解】这5名棋手分别记为：甲，乙，A,B,C,分组情况有：（甲乙 A,B C）,（甲乙 8,A C）,（甲乙 C,A B）,（甲 A8，乙 C）,（甲 AC,乙 8）（甲 8C,乙 A）,

16、（乙 AB，甲 C）,（乙 AC,甲 8）,（乙 B C,甲 A）,（A B C,甲乙）共 1 0 种，其中甲和乙在同一人组的有4种，分别为：（甲乙A,B C）,（甲乙8,A C）,（甲乙C,A B）,（A B C,甲乙），4 2所以甲和乙在同一个小组的概率为P=.1 0 5故选：C.9.如图是计算的值的一个程序框图，其中在判断框内应填入的条件是（）2 4 6 2 0A.z 1 1 C.z 2 0 D.z Z =1 1.2 4 6 2 0此时满足条件，故判断框中的条件应是i 4 1 0或i 1 1 .故选：D.1 0.已知函数x)=x e ,a =l o g 1狡，b =3 4 5,c=20

17、5,则 有()2A./()/(/?)/(c)B./(c)/(/7)f()C./()./(c)/()D./(c)/()/(h)【答案】A【解析】【分析】利用导数判断函数/(X)在(-1,+8)上单调递增，根据自变量的大小比较，即可求解.【详解】因为 X)=x e*得r(x)=(x+l)-e ,当 1,+8）时，r（x）o,所以在（一1,物）上单调递增,又因为a =l o g i&=一4，0力=3 5 15 2所以c b a -l,从而f(a)/e)故选：Ay1 2.将函数x)=5 cos 和直线g(x)=x-l的所有交点从左到右依次记为4,4,A,，若p点坐I 2 J标为(0,1),则|%+%+

18、.-+西|=()A.5A/5 B.5 72 C.V 2 D.0【答案】B【解析】【分析】画出函数图像，根据图像知共有5个交点，交点关于(1,0)对称，则|图+区+万可=卜,计算得到答案.【详解】x)=5 cos(m x)，函数周期为T=4,函数图像关于0,0)中心对称，画出函数图像：根据图像知，共有5个交点，交点关于(1,0)对称，A3(l,0),则河+寓+西5卜|2砥+2砥+砥 卜 卜 网 =5万故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.1 3.J：(2022X+J 1 _X2,=.7 T【答案】-2【解析】【分析】由微积分基本定理及定积分的几何意义求解即可.【详解】J：(2

19、0 2 2 x+71-%2收=J：2022xdx+J：J 1 -心,1_1 2 0 2 2 xd x=1 0 1 1 x2 L,=1 0 1 1 x 12-(-1)2=0,-1J：JT T dx表示曲线y=J匚M(I KXW I)、直线 =-1、直线x=l围成图形的面积，y=V l-%2(-l X l)X2+/=l(-l%表示半圆，半径为 1，所以I*J l-X 2 d x=7T-12=,J-1 2 2所以 J：(2 0 2 2 x+J 1 -x?jd r =J：2 0 2 2 xd x+J：J l-x2 d x=.7 T故答案为：.21 4.对称性是数学美的重要特征，是数学家追求的目标，也是

20、数学发现与创造中的重要的美学因素，著名德国数学家和物理学家魏尔说：“美和对称紧密相连现用随机模拟的方法来估算对称蝴蝶(如图中阴影区域所示)的面积，做一个边长为4 d m的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1 0 0 0个点，已知恰有3 9 5个点落在阴影区域内，据此可估计图中对称蝴蝶的面积是d m2.【答案】6.32#25【解析】【分析】根据面积型几何概型及随机模拟的思想计算可得;【详解】解：由题意可知，正方形面积为4x4=16,设图中对称蝴蝶的面积为S,则3951000S16即5=395x161000=6.32,所以可估计图中对称蝴蝶的面积是6.32dm?.故答案为：6.3215.如

21、图，抛物线：y2=2px(0)的焦点为八 圆?：X2+/-2X=0,M(x,y)为抛物线上一点，且x e l,3,过M作圆尸的两条切线，切点分别为A,B,则|A 8|的 取 值 范 围 为.【分析】首先求得抛物线方程，结合四边形MAF8的图形特点，列出四边形的面积公式，并表示|明J图 T=2卜 焉 根 据 焦 半 径 公 式，求得焦半径的范围，即 可 求 得 的 取 值 范 围.【详解】解：由题意知，圆厂的圆心为尸(1,0),半径r=l,抛物线方程：/=4 x,四 边 形 的 面 积S=g|M 4H A可=一,又 5=3|4 却.阿盟，所以2ylMF-1MF由 抛 物 线 定 义,得 网=x+

22、l,又x e l,3 ,所以|M F f 4,1 6 ,1所 以 所故答案为：e1 1 ,而 7 所以PM1 6 .在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植 物.现 有 3 种不同的植物可供选择，则有 种栽种方案.【解析】【分析】根据题意，分 3 种情况讨论：当A、C、E种同一种植物，当 A、C、E种二种植物，当 A、C、E种三种植物，再由分类计数原理，即可求得，得到答案.【详解】根据题意，分 3 种情况讨论：当A、C、E种同一种植物，此时共有3 x 2 x 2 x 2=2 4 种方法；当 A、C、E种二种植物，此时共有C 3 2 x A 3

23、 2 x 2 x l x l=3 6 种方法；当A、C、E种三种植物，此时共有A 3 3 x l x l x l=6 种方法;则一共有2 4+3 6+6=6 6 种不同的栽种方案；故答案为6 6.【点睛】本题主要考查分类计数原理，及有关排列组合的综合问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件，解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合“，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，同时在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式.三、解答题：（本大题共6 小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.1 7 .如图在边长是

24、2的正方体A BCC-A4G。中，E,尸分别为AB，4。的中点.(1)证明：平面E4C1平面D4C；(2)求面。所 与 面D3E所成二面角的大小.【答案】(1)证明见解析-6【解析】分析】(1)(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得;【小 问1详解】解：据题意，建立如图空间直角坐标系.于是：0（0,0,0）,A（2,0,2）,C（0,2,0）,E（2,l,0）,.-.EF=（-1,0,1）,取=（2,0,2）,加=（0,2,。），因 为 甫 丽=-1X2+0X0+1X2=0,：.EF1D A,即X E F D C=-l x 0 +0 x 2 +l x 0 =0-E F 1 D C 即

25、 E V L O C，又O C u 平面0cAi 且 D41c o e =O,F，平面 4。，又；E F u 平面 4。，.平面 E41c _L 平面 D AtC.【小问2 详解】解：由题知。(0,0,0),*1,1,1),(2,1,0),B =(2,2,0),：.D F =(1,1,1)F=(-1,0,1),丽=(2,2,0),设面D E F的法向量为成=(%,y,zJ,则D F nt=0EF 1=0 X,+Z =0 _c，不妨取 4 =(1,-2,1),g+X+Z|=设面。8尸的法向量为他,=(%,%,22)，则，D F 4=0D B-n,=0即,2%,+2%=0 ._,不妨取巧二(1,1

26、,0),%2+2+=U则COS(勺,乙百T,分析可知面OE五与面DBE所成二面角是锐角，所以所求二面角为618.如图，直线/：、=+机与抛物线。：-=8 y 相切于点P.即3(1)求实数机的值;(2)求以点P 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程.【答案】（1）m =-2（2）（x-4）2+（y-2）2=16【解析】【分析】（1）联立方程，利用判别式为零可求结果；（2）先求点尸 坐标，再求圆的半径，根据圆心和半径写出圆的方程.【小 问1详解】直线/：y =x +加与抛物线C：f=8 y相切于点P.y=x+m则 2 o ，得d-8 x-8机=0，（*）I x =8y因为直线/与抛物线C相切

27、，所以 =（8）2 4 x（8，）=。，解得加=2.【小问2详解】由（1）可知加=2,故 方 程（*）即 为/一8犬+16=0,解得x=4,代入光2=8 y,得y =2.故点 P（4,2）,因为圆尸与抛物线。的准线相切，所以P的半径 等于圆心P到抛物线的准线y =-2的距离，即 r=|2-（-2）|=4,所以圆P的方程为（x 4 Y+（y 2）2=16.19.某单位为丰富员工的业余生活，利用周末开展趣味野外拉练，此次拉练共分A ,B,。三大类，其中A类有3个项目，每项需花费1小时，B类有2个项目，每项需花费2小时，C类 有1个项目，每项需花费3小时.要求每位员工从中选择3个项目，每个项目的选择

28、机会均等.（1）求小张在三类中各选1个项目的概率；（2）设小张所选3个项目花费的总时间为X小时，求X的分布列及期望.3【答案】（1）才（2）分布列见解析，5【解析】【分析】（1）利用超几何分布求概率公式进行求解；（2）计算出X的可能取值及对应的概率，写出分布列，计算出期望.【小 问1详解】d d c i 3记事件M为在三类中各选1个项目，则P(M)=.3,=行,3所以小张在三类中各选1个项目的概率为，.10【小问2详解】r3X的可能取值为3,4,5,6,7,则p(x=3)=泊120/P 0 =4)=C牛2cl=上3；1 7 cl 1020.为了弘扬奥林匹克精神，普及冰雪运动知识，大力营造校园冰

29、雪运动文化氛围，某校组织全校学生参与冰雪运动知识竞赛.为了了解学生竞赛成绩，从参加竞赛的学生中，随机抽取若干名学生，将其成绩绘制成如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组区间为50,60),60,70),70,80),80,90),90,100,已知成绩在70,90)内的有120人.P(X=5)=空产7；C：10P(X=6)=C=CC#1 =士3；cl 10加7)个力所以分布列如下表所示：X34567P120310310310120所以 E(X)=3x-+4x二+5x，+6x二+7x-=5.V 20 10 10 10 20(1)求样本容量，并估计该校本次竞赛成绩 众数、中位数、平均数.(2)

30、将成绩在 8 0/(X)内的学生定义为“冰雪达人”，成绩在 50,80)内的学生定义为“非冰雪达人”，请将下面的列联表补充完整，并根据列联表，判断是否有99.9%的把握认为是否为“冰雪达人”与性别有关?附参考公式及表如下：K2男生女生合计冰雪达人80非冰雪达人60120合计120n(ad-bc)“一,-1 -,其中=a+/?+c+d.a+b)c+d)a+c)b+d)P(K2k0)0.050.010.0050.001扁3.8416.6357.87910.828【答案】(1)容量为2 0 0,众数为7 5,中位数为76.875,平均值为76.6(2)列联表答案见解析，有 99.9%的把握认为是否为

31、“冰雪达人”与性别有关【解析】120【分析】(1)设样本容量为“，则由题意可得则=(0.032+0.0 2 8)x 1 0,从而可求出，由频率分布n直方图求出各组的频率，从而可求出众数，判断出中位数在第三组，设中位数为X,则0.08+0.2+(%-70)x 0.032=0.5,从而可求出中位数，然后利用平均数的定义求平均数即可，(2)根据表中的数据完成列联表，再利用长2=7(丝y)计算长2,然后根据临界值(a+-)(c+d)(a +c)(b+d)表进行判断即可【小 问 1 详解】120设样本容量为“，则=(0.032+0.0 2 8)x 1 0,解得=2 0 0,所以样本容量为200n由频率分

32、布直方图可知 50,60),60,70),70,80),80,90),90,100 对应的频率分别为0.08,0.20,0.32,0.28,0.1 2,众数是第三组的中间值，所以众数是75因为前两组的频率和为0.28 0.5，所以中位数在 7 0,8 0）中.设中位数为 x,则 0.0 8+0.2+(x-7 0)x 0.0 3 2 =0.5,解得x =7 6.8 7 5,所以估计该校本次竞赛成绩的中位数为7 6.8 7 5设平均值为x，x =0.0 8 x 5 5 +0.2 x 6 5 +0.3 2 x 7 5 +0.2 8 x 8 5 +0.1 2 x 9 5 =7 6.6-【小问2详解】完

33、成列联表如下:男生女生合计冰雪达人6 02 08 0非冰雪达人6 06 01 2 0合计1 2 08 02 0 0吐回空3*510.828,1 2 0 x 8 0 x 8 0 x 1 2 0故有9 9.9%的把握认为是否为“冰雪达人”与性别有关2 22 22 1.设 、鸟 为椭圆C：+芯=l（a 0）的左、右焦点，焦距为2 c.双曲线器（=1 与椭圆。有相同的焦点，与椭圆在第一、三象限的交点分别记为M、N 两点，若有=E 用.（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的 上 顶 点 为 过 点 卜，-百）的直线与。交于尸、。两 点（均异于点8）,试证明：直线和 BQ的斜率之和为定值.【答案】（1）X

34、2+V-2=11 6 3（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得“KN6 为矩形，再结合椭圆和双曲线的定义根据勾股定理列式求解即可；（2）分析可得若直线尸。的斜率不存在时，不合乎题意，再设直线尸。的方程为y+g =A（x-4）,联立椭圆的方程，再 将 韦 达 定 理 代 入 直 线 和8Q的斜率之和的表达式化简即可【小 问1详解】由双曲线。的焦点与椭圆C的焦点重合，得,=屈，由双曲线与椭圆的对称性知四边形用后”为矩形，则MFS+MFA=2a|MF|=a+V T o由椭圆和双曲线的定义可得2 2因此，椭圆C的方程为工+匕=11 6 3【小问2详解】(i)若直线P Q的斜率不

35、存在时，则该直线的方程为x =4,直线尸。与椭圆C相切，不合乎题意（i i）直线尸。的斜率存在，设直线P Q的方程为 +百=女（4）,即丁=依 一（4 4+百），设点/、/=依 一（4 k +G）P（x”y J、Q（/,y,）,联立 ,3X2+16/=48可得（16/+3）X2 32Z（4Z+&）X+128A（2Z+G）=0,=1 0 2 4公（4攵 +V 3）2-4（1 6 Z r2+3）1 2 8左（2左 +G）0 ,可得&0 ,由韦达定理可得用3 2 M 4 2 +16k2+31 2 8 M 2 k+G）1 6/+3 y,y/3%-b kx4k-2 乖）区,-4%-2 6 2（2 +G）

36、（|+2）B P+%=-+=-=-+-=2k-2（2 Z +G）x 3 2 jt（4 左+6）=2k-17V+-=2k 2k+1 2 8 M 2%+码 I1 6+32 2.已知函数/O =a e i-I nx+l na .(1)当”=e时，求曲线y=.f(x)在点(1,/(1)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若不等式/(x)2 1恒成立，求a的取值范围.2【答案】（1）-（2）1,4-0 0）e-1【解析】【分析】（1）利 用 导 数 的 几 何 意 义 求 出 在 点 切 线 方 程，即可得到坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果；（2）方法一：利用导数研究函数/（力 的单

37、调性，当 折 1 时，由r（1）=0 得/（力加“=符合题意；当时，可证/d）r o,从而/（）存在零点/。，使 得/（/）=屐 一,=0 得至ua/（X）,nin,利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式可以证得/（X）2 1 恒成立；当0 （）.x设 g（x）=r（x）厕 g（%）=aex+4 0,x g（x）在（o,+8）上单调递增，即r（x）在（o,+o）上单调递增，当a=1 时，/=。,.丽=/（I）=1,.（%）N 1 成立.1I11当。1 时，,1，./（,）;=a（e 1）0,使得了（%）=%-=0,且当尤w（O,Xo）时/（幻 0,=,In a+%。-1 =一

38、 In/，因此/(x)m i n=/(x0)=ae -nx0+na=-F I n 6?+XQ-1 +l na 2 2 I n a 1 +2 /,尤0 =2 1 ntz+l l,.：/(x)l,恒成立;当 0 a 1 时，/(I)=a+naal,：./(I)1 不是恒成立.综上所述，实数。的取值范围是口,+oo).方法二【最优解】：同构由/(x)N l得a e*T-I n x +l n a N l，即e”1ct+l n a +x-l N l n x +x，而l n x +x =e m*+l n x，所以e,a+v-+l n +x-l el n v+l n j t.令(m)=e +2,则(?)=e

39、 +l0,所以(机)在R上单调递增.由 y+z+l n a +x l i Kn*+l n x，可知/(l n a+x-1)N (l n x),所以 l n a +x-1 2 1 n x,所以l n t z (l n x-x +l)n w x.1 1 -r令/(%)=l n x九+1,则尸(x)=-1 =X X所 以 当(0,1)时，尸(幻0,产(刈单调递增；当x e(l,-K)时，F(x)0,x 0,令ae*T=t,所以l n a +x-l =l n f,所以l n a =l n f 尤+1.于是/(x)=ae-l n x +l n a =Z-l n x +l n/-x +l.由于/(x)i

40、l J-l n x +l n r-x +1 之 1 =，+I n f N x +l n x,而y =x +l n x在x e(0,+o o)时 增 函 数,x故f Nx,即a/Tix，分离参数后有a2彳1令g(x)=F，所以g(无)=由 一ex-(l-x)_2A-2当0 x O,g(x)单调递增;当xl时,g(x)0,所以S(a)在区间(0,+8)内单调递增.a因为S(l)=l,所 以 时,有 为 a)D S(l),即a+l n a N L下 面 证 明 当 时，/(x)N l 恒成立.令 7(。)=四 1 一如 +如 4,只需证当a2 1 时,7(a)2 1 恒成立.因为T(a)=ex-+-

41、0,所以T(a)在区间U,x o)内单调递增，则 7 京=T=e-lnx.a因 此 要 证 明 时，7 3)21恒成立，只需证明=7-I n x N 1 即可.由 e x +l,l n J C x,-l n x 1-x.上面两个不等式两边相加可得 Tl n x i l，故时，f(x)2 1 恒成立.当0 。1 时，因为/(l)=a +l n a l,显然不满足/(x)21 恒成立.所以a的取值范围为a 2 1.【整体点评】(2)方法一：利用导数判断函数/(X)的单调性，求出其最小值，由/.之 0即可求出，解法虽稍麻烦，但是此类题，也是本题的通性通法；方法二：利 用 同 构 思 想 将 原 不 等 式 化 成*+I n a+x-12*、+I n x，再根据函数以加)=e +m的单调性以及分离参数法即可求出，是本题的最优解；方法三：通过先换元，令 四 日=，再同构，可将原不等式化成f+I n r 2x+I n 尤，再根据函数y =x +l n x 的单调性以及分离参数法求出；方法四：由特殊到一般，利用/2 1 可得。的取值范围，再进行充分性证明即可.