2021-2022学年广东省广州市三校联考高一（下）期末数学试卷（附答案详解）.pdf

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1、2021-2022学年广东省广州市三校联考高一(下)期末数学试卷1.若集合2 =卜 6 2|-2%1,8 =0,1,2 ,贝以1)8=()A.(-2,1)B.-1,0 C.(-2,1 U 2 D.-1,0,1,2)2 .设 i 为虚数单位，若复数(l i)(l +ai)是实数，则实数。的 值 为()A.-1 B.0 C.1 D.23 .已知tan(g-a)=%则tan(+2 a)的值为()4-3A.3-4B3-4-4-3-D4 .在4 A B C 中，若4 =4 5 ,B=6 0 ,BC=3 V 2,则4 C =()A.3 V 3 B.4 V 3 C.V 3 D.2 遮5 .设机，是两条不同的

2、直线，a,夕 是两个不同的平面，则下列说法错误的是()A.若m 1 n,m 1 a,n A.8,则a 1/?B.若mn,m 1 a.n/3,则a 1/?C.若m 1 z i,m/a,n/3,则a/?D.若m/n,m 1 a,n 1 0,则a/夕6 .锐角 A BC 中，内角A、B、C的对边分别为a,b,c,S 为4 B C 的面积，且a=2,A B-A C=2 V 3 S,则 6的取值范围为()A.(2 V 3,4)B.(2,4)C.(0,4)D.(2,+o o)7 .已知实数 a,b e (l,+o o),且l o g?。+l o g E=l o g z b+l o g a2,则()A.a

3、yb b B.V b a b C.b y/a,a D.a b a8.如图(1)所示，已知球的体积为3 6 兀，底座由边长为12 的正三角形铜片A B C 沿各边中点的连线垂直向上折叠成直二面角所得，如图(2)所示.则在图(1)所示的几何体中，下列结论中正确的是()A.CD与 8 E 是异面直线B.异面直线4 B 与 CD所成角的大小为4 5。C.由A、B、C 三点确定的平面截球所得的截面面积为3兀D.球面上的点到底座底面DEF的最大距离为3+V3+V69.某高中有学生500人，其中男生300人，女生200人，希望获得全体学生的身高信息，按照分层抽样的原则抽取了容量为50的样本，经计算得到男生身

4、高样本均值为 170cM?,方差为c m?；女生身高样本均值为1 60 cm,方差为30cm?.下列说法中正确的是（）A.男生样本容量为30 B.每个女生被抽入到样本的概率均为:C.所有样本的均值为1 66cm D.所有样本的方差为46.2crn210.2020年前8 个月各月社会消费品的零售总额增速如图所示，则下列说法中正确的有名义增速实际增速A.受疫情影响，12月份社会消费品的零售总额明显下降B.社会消费品的零售总额前期增长较快，后期增长放缓C.与 6 月份相比，7 月份社会消费品的零售总额名义增速回升幅度有所扩大D.与 4 月份相比，5 月份社会消费品的零售总额实际增速回升幅度有所扩大1

5、1.如图，在菱形 A8CZ）中，A B=2,/.A BC=60,M 为 BC的中点，将A/IBM沿直线AM翻折成4B 1M,连接81c和8山，N 为 的 中 点,则（）B、A.平面BiMC 平面A M C DB.线 段 CN的长为定值C.当三棱锥a-AMD的体积最大时，三 棱 锥 的 外 接 球 的 表 面 积 为 127rD.二面角反一 AD-M的最大值为3012.如图，正方体ABC。A B iG A 棱长为1,尸是&D 上的一个动点，下列结论中正确的是（）第2页，共19页A.8 尸的最小值为苧B.P A+P C的最小值为J 2 +夜C.当 P在 直 线 上 运 动 时，三棱锥&-A C P

6、 的体积不变D.以点8为球心，乎为半径的球面与面AB】。的交线长为等1 3 .欧拉公式6 沃=co s x+i s i n x(i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，则复数华的共较复数为_.e4,1 4.如图所示是利用斜二测画法画出的水平放置的 A8 C的直观图，己知4C7/y 轴，B C x 轴且2 4 C =BC=2,则4 4 B C 的周长为.1 6 .如图，四棱台48 co -4 当6。1 上下底面都为正方形且侧棱长都相等，且 誓=/设E、F、G分别是棱A B、B C、GDI的中点，过 E、F、G的平面与力公交 于 点 则,值为;若四棱台4BC

7、D的高2,体积为1 4,则该四棱台外接球 的 表 面 积 为.1 7 .在复平面x O y内，向量而对应的复数Z i，向量能对应的复数Z 2,2 z；+3 i =2-i,3+1z2 2=2-ir.(1)求向量正对应的复数；(2)若点P(X i，y D，Q(x2,y2),则三角形P O Q 的面积为，-计算三角形A B C 的面积.1 8 .“2 0 2 1 年全国城市节约用水宣传周”已于5 月 9日至1 5日举行、成都市围绕“贯彻新发展理念，建设节水型城市”这一主题，开展了形式多样，内容丰富的活动,进一步增强全民保护水资源，防治水污染,节约用水的意识.为了解活动开展成效，某街道办事处工作人员赴

8、一小区调查住户的节约用水情况，随机抽取了300.名业主进行节约用水调查评分，将得到的分数分成6 组：70,75),75,80),80,85),85,90),90,95),95,100,得到如图所示的频率分布直方图.(1)求 的值，并估计这300名业主评分的众数和中位数；(2)若先用分层抽样的方法从评分在90,95)和95,100的业主中抽取5 人，然后再从抽出的这5 位业主中任意选取2 人作进一步访谈：写出这个试验的样本空间；求这2 人中至少有1人的评分在95,100概率.19.如图，在四棱锥P-H B CD 中，平面PAD JL平面ABC。，BC/平面PAD,BC=(4 ,/.A BC=90

9、,E 是 PO 的中点.(1)求证：BC/A D；(2)求证：平面PA8 _L 平面尸4D；(3)若 M 是线段CE上任意一点，试判断线段AZ)上是否存在点M使得MN平面P A B?请说明理由.20.在AaBC中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且siMB+sin2c=(sinA+6sinBsinC)sin4第4页，共19页(1)求 ta n/；(2)若。=遍，b=V T o,求 A B C 的面积.2 1 .如图，在三棱台4 B C -4 B 1 C 1 中，4 避1 与4C、8 传1 都垂直，已知A B =3,ArA =A C=5.(1)求证：平面4BC，平面A B C；(2)直

10、 线 与 底 面 A 8 C 所成的角的大小。为多少时，二面角4 一力C 一 B 的余弦值为 经？14(3)在(2)的条件下，求点C到平面4AB&的距离.2 2 .若函数/满足 x)=f(x+当 且&+x)=-x)(x e R),则称函数/(x)为“M函数”.(1)试判断f(x)=s i n g x是否为“M函数”，并说明理由；(2)函数/1(%)为函数，且当x，利时，/(x)=s i n x,求y=f(x)的解析式，并写出在 0,争 上的单调递增区间；(3)在(2)的条件下，当X 6 -手+兀 (k W N)时，关于x 的方程f (x)=a(a 为常数)有解，记该方程所有解的和为S(k),求

11、S(3).答案和解析1.【答案】D【解析】解：A=x e Z|-2 c x 1=-1,0 ,又B=0,1,2,AlJB=-l,0U0,l,2=-1,0,1,2),故选：D.根据集合并集的运算直接求解.本题考查了并集的运算，是基础题.2.【答案】C【解析】解：因为(1-i)(l +ai)=l+a i-i-a i2=l+a+(a-l)i是实数,所以a 1=0,所以a-1.故选：C.先对复数结合的四则运算进行化简，然后结合复数的概念可求.本题主要考查了复数的四则运算及复数的概念，属于基础题.3.【答案】C【解析】解：因为tan a)=,所以ta n/+a)=tan一 a)=关昌=靛不=3,所以 ta

12、nC+2a)=tan2 吟+a)=:二 建=S=i故选：C.由已知结合诱导公式进行化简，然后结合二倍角的正切公式进行化简即可求解.本题主要考查了诱导公式及二倍角的正切公式在三角化简求值中的应用，属于基础题.4.【答案】A【解析】解：在AABC中，4=45。,8=60。,8。=3&,由正弦定理得，孚；=与，即车=得，sinA snB sin45 sin60解得：AC=3V3.故选：A.由已知结合正弦定理即可直接求解.本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题.5.【答案】C第6页，共19页【解析】解：对于A,因7 nl n,m 1 a,当n ua时，因为n _ L 0,所以a _ L

13、0；当r i C a 时，如图所示，在直线机上取点尸，过户作直线n n，则m 1 n,过直线m,n 的平面y f la =I,由m l a,得 m J./,所以/n n,又n _ L 0,所以I 1 ,而l ua,所以a _ L ,即 A正确；又M B，则存在过直线的平面1 5,使得6nB =c,对 于 C,如图，在长方体A B C。一 4 B i GA中，取平面A B C Q 为平面a,直线4 B i 为直线m,平面A D D 1 a 为平面0,直线B i G 为直线,满足m 1 n,ma,n/?,而a f lS =A D,即 C错误；对于 ),若mn,m 1 a,贝!n _ L a,又九1

14、氏 所以a/?,即。正确.故选：C.利用线面垂直的判定定理与性质定理、面面垂直的判定定理可判断A,B；举例说明判断 C；利用线面垂直的判定定理与性质定理可判断D.本题考查空间中直线与平面的位置关系，熟练掌握线与面平行或垂直的判定定理，性质定理是解题的关键，考查空间立体感，属于中档题.6.【答案】A【解析】解：因 为 荏 而=2g S,所以b c c o s A =2 6x/c s i nA,整理可得ta nA =陋=立，所以A =,cos?l 3 6若 A B C 为锐角三角形，则0 8 g,2 6 2所以囚 B 巴，s i nB 1,3 2 2由正弦定理可得b故选：A.asinB4sinB

15、G （2百,4）,sin/l根 据 南 AC=2 b s即可得出bccos/=V3bcsinA,从而求出tan/=*然后即可得出A=根据 ABC为锐角即可得出J V B V?然后根据正弦定理可得出力=4sinB,从6 3 2而可求出b的范围.本题主要考查三角形面积公式，余弦定理及其应用等知识，属于中等题.7.【答案】B【解析】解：log(;2 logb3,log2a+logb2 log2b+loga2,即log2a-loga2 og2b-logb2,函数/(x)=x 一：在(0,+8)上单调递增，二 log2a，即a log3b,log2a+logb3 log3b+loga2,即log2a-l

16、oga2 log3b,又 log3b=logVF log2VF,二 log2a log2VF,即 a y/b,故 历 a b,故选：B.利用10gb2 logE得到log2a+logft2 log2b+loga2,从而同构log2a-loga2 log2b-logb2,结合函数/(x)=x-:在(0,+8)上单调递增可判断出a log3b可得log2a log3/),结合对数性质判断即可.本题考查了对数函数的性质的应用，同时考查了转化思想与同构方法的应用，属于中档题.8.【答案】C第8页，共19页【解析】解：取。F,E F 中点N,M,连接A 8,BC,A C,BM,M N,C N,如图,因4

17、 BE尸 为正三角形，则BM 1 EF,而平面BEF _L 平面OFE,平面BEFfl平面DFE=E F,B M u 平面 BEF,于是得8M _L平面 D F E,同理CN JL平面 D F E,即BM/CN,B M =CN =373,因此，四边形8CMW是平行四边形，有BC“N M D E,则直线CD与 BE在同一平面内，故 A不正确；由选项A,同理可得4B D F,则异面直线AB与 CD所成角等于直线 尸与CO所成角6 0,故 8 不正确；由选项A知，BC=MN=3,同理可得ZB=A C=3,正AA BC外接圆半径r=V3,由A、B、C三点确定的平面截球所得的截面圆是A A BC的外接圆

18、，此截面面积为3兀，故 C 正确；体积为36兀的球半径R,由g/?3=36兀得R=3,由选项C知，球心到平面A 8C的距离d yjR2 r2 V6,由选项4,同理可得点4 到平面拉PE的距离为3百，即平面A BC与平面OFE的距离为3V3,所以球面上的点到底座底面OEF的最大距离为R+d+BM=3+3次+逐，故。不正确.故选：C.取DF,EF中点N,M,利用给定条件证明BCDE,4B。尸，推理判断A,8；求出 A BC外接圆半径，结合球面截面圆性质计算判断C,。作答.本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.9.【答案】A C D【解

19、析】解：A：由5 0*黑=30人，正确；B：由50义 黑=20人，故每个女生被抽入到样本的概率为黑=卷，错误;C：所有样本的均值为3X 17X 16=166cm,正确；D：男生方差4 邻 式看一 170)2=1 7,女生方差点厚式%160)2=30,所有样本的方差黑濯】(阳一 166产+高 躁 (%166)2=50Z(X i-WOT-8-170)+480+(30 20-170+4)2+)：(%160+6)2t=i t=i30 30 20 20Xi-160)2+1 2 1%-160)i=i i=i i=i i=i+720=(510+480+600+720)=4 6.2,正确.故选：A CD.分层

20、抽样等比例性质求男女生样本容量，再由古典概型的概率求每个女生被抽入到样本的概率判断4、8；利用均值、方差公式，结合男、女的样本的均值和方差求样本总体均值方差判断C、D.本题主要考查平均值和方差的求解，以及分层抽样的应用，属于中档题.1 0.【答案】A B【解析】解：对于选项4由图可知，12月份社会消费品的零售总额名义增速和实际增速都小于0，所以12月份社会消费品的零售总额明显下降，故选项4 正确，对于选项8由图可知，社会消费品的零售总额前期增长较快，后期增长放缓，所以选项B正确，对于选项C：由图可知，6 月份社会消费品的零售总额名义增速回升幅度为(-2.8)=1,7 月份社会消费品的零售总额名

21、义增速回升幅度为(-2.8)-(-1.8)=0.7,所以选项C错误，对于选项。：由图可知，4 月份社会消费品的零售总额名义增速回升幅度为(-7.5)-(-15.8)=8.3,5 月 份 社 会 消 费 品 的 零 售 总 额 名 义 增 速 回 升 幅 度 为-(-7.5)=6.4,所以选项。错误，故选：A B.根据统计图，逐个分析选项，即可判断出正误.本题主要考查了统计图的实际应用，同时考查了学生的逻辑推理能力，是基础题.1 I.【答案】A BD【解析】解：对于A,如图所示，在菱形ABCD中，A B=2,/.A BC=6 0,所以A A BC为等边三角形，又 M 是 BC的中点，所以AM 1

22、 C M,由翻折性质知，又因为BM,CM u平面=M,所以4M _L 平面&MC,因为AM u 平面AMC),所以平面&MC _L 平面A M C Q,故4 正确；第10页，共19页M c对于B,如图所示，取 A。中点E,则EN/AB1，EN=ABX=1,在菱形 4BCD 中，CE/AM,CE=AM=V3,因为/NEC和NBiAM的两边方向相同，则由等角定理得/NEC=481aM=30,在 NEC中，由余弦定理可得：CN2=EN2+CE2-2EN-CEcos 乙 NEC=l+3-2 x lx V 3 x =1,所以 CN=1,2即 CN长为定值，故 B 正确；对 于 C,由题意可知当平面4 B

23、M 1平面AMO时，三棱锥当-4 M 0 的体积最大，由A项已证知此时B】M_L平面A M D,则ND4M=90。，所以故可将三棱锥&-AM D的顶点放置在长宽高分别为2,遮，1的长方体的顶点处，此时三棱锥的外接球即为长方体的外接球，则长方体的外接球半径r=J 22+(V3)2+I2=V 2,表面积为钮 川=8兀，故 C 错误;对于。，如图所示，由选项A 可知，平面为MC 1平面AMCQ,在平面BMC中，过当作B 1F J.M C,垂 足 为 凡 在 平 面 4MCZ)中，过 F 作FG 1 A D,垂足为G,因为平面&MC _L 平面AM CD,为F 1 MC,平面B】MCn平面4MCD=M

24、C,BrF u 平面&M C,所以B】F 1平面AMCD,ZB】GF即为二面角当-AD-M 的平面角.tan/a GF=警，FG在菱形ABCD中，已知FG 为定值V 5,由，平面BiMC,%M=1知，点昆的在以M 为圆心的圆弧上，所以当当M 1M C时，当尸取得最大值1,此时tan4BiGF=誓=3=当，因为GF为锐角，所以4BIGF=30。，故。正确，故选：ABD.对于A,由已知可得力BC为等边三角形，则AM 1 CM,由翻折性质知，力 M J_平面&MC,再由面面垂直的判定可得结论，对于8,取A 中点E,由三角形中位线定理可得E N 4 BE N =q A B i =l,由等角定理得/N

25、E C =3 0。，然后在 N E C中由余弦定理可求出C N长，对于C,由题意可知将三棱锥当-4 M D的顶点放置在长宽高分别为2,1的长方体的顶点处，从而可求出其外接球的半径，进而可求出球的表面积，对于D,过作8/1 M C,垂足为凡过尸作尸G J.4 D,垂足为。，可和N B i G F即为二面角/一4。-M的平面角，当&M _ L M C时，8/取得最大值1,从而可求出其角度.本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.1 2.【答案】BCD【解析】解：对于A,当B PJ.&O时，B P最小，因为A、B=BD=A D=a,所以B

26、到直线&O的距离为d=，x&=芈，选项4错误；2 2对于B,将平面。C B 1 4翻折到平面4 D 4上，如 图1所示：连接A C,与&。的交点即为点尸，止 匕 时PA +PC取最小值为A C,在三角形 A O C 中，乙4 O C =1 3 5 ,A C=J A D*2+CD2-2 A D-C D c o s l 3 5 0 =&+鱼,选项8正确；J弓 丁一弓）2 =?,所以G在以。为圆心，华为半径的圆上，V 2 x x i =2 3 6所以此圆恰好为A A B i C的内切圆，完 全 落 在 面 内，如图3所示:所以交线长为2 7 r.萼=*兀，选项。正确.6 3对 于C,由正方体的性面4

27、 8停,所以平的距离为定值，则为定值，即三项C正确；设B D 1与平面4 B 1 C交于质可得4 1。8住,ArD C平面A B i C,所以P到平面如图2所示：又为定值，棱 锥 当-A C P的体积不变，选对于D,由于8。1，平面A B i C,。点，图2所以BQ*BD1=M 设以B为球心，号为半径的球与面4 B 1 C交线上任一点为G,所以BG=W，Q G=图3因 为 为 正 三 角 形，边长为鱼，其内切圆半径为第12页，共19页故选：BCD.4中，当B P J.4。时，B P最小，结合正三角形性质，求出B到直线&D的距离；B中，将平面。C B 1 4翻折到平面ADA上，求得P4 +P C

28、的最小值；C中，由题可得4 0平面4 B 1 C,判断三棱锥B 1-4 C P的体积不变；。中，根据球的截面的性质知点B为球心，弓为半径的球面与面A B i C的交线是 A B i C的内切圆.本题考查了空间中的平行与垂直关系应用问题，也考查了分析与判断能力，是难题.1 3.【答案】1-i【解析 1解：由已知可得e =c o s m +i s i n 9=W+i,4 4 2 2所以春 一 岑 _ i+i _ (i+i)(i F _ (1因此，复数华的共见复数为1 LeV故答案为：1 一 L利用复数三角形式以及复数的除法化简所求复数，利用共规复数的定义可得结果.本题以新定义为载体，主要考查了复数

29、的四则运算及共规复数的概念，属于基础题.1 4.【答案】2痘+4【解析】解：先由斜二测画法得AC 1 BC,A C=BC =2,即可求解.由题意得，A C 1 B C,且4 C =BC =2,贝i j 4 B=V 4 +4 =2 V 2,则小 A B C的周长为2 +2 +2 V 2 =4 +2 V 2.故答案为：4 +2 V 2.可利用斜二测画法将图形还原，A C=2 A C=2,A B长度不变，A C 1 BC.本题考查了斜二测画法的逆运用，属于基础题.1 5.【答案】-1【解析】解：由题意，设 前=4睨，A G 0,1 ，所 以 丙=丽+雨=-丽+雨=4而+耐，P C =(1 -A)FC

30、.又BC=3,BA BC=3,所以 可-P C=(-A BC+BA)-(1-A)BC=-4(1 -2)赤+(1-A)BA-BC=9(A2-A)+3(1 -A)=9A2-1 2 1 +3,由二次函数的性质可得当4 =争寸，P A 正取得最小值-1.故答案为：1.设 前=2 就，A e 0,1,用 於、雨 表 示 演、PC,再计算腐定 的最小值.本题主要考查平面向量的数量积运算，数量积最值的求解等知识，属于中等题.16.【答案】|40兀【解析】解：如图连接F E,并延长交ZM延长线于M,设4 2 的中点为P,连接GP,A C,则PG&C,而由题意可知&C J/AC,又EF/A C,故P G/EF,

31、故P 平面E F G,而M 平面E F G,故连接PM,交A&于 H,点即为过E、F、G 的平面与441的交点，设 Q为 AQ中点，连接FQ,则FQA B,FQ=AB,因为E 为 4B 中点，故力E=g AB=：F Q,故4M=AQ=AD,因为4 P 4C,.&P/AM,则智=笠=舞/，所 以 署=|；A n A D -A D 乙 AA-y 3设四棱台上底面棱长为。，则下底面棱长为2”，由四棱台A BC。-AjB iC 也 的 高 2,体积为14,可得“a2+4a2+也 2.4a2)x 2=14,解得a=V3,对于四棱台，AG =A C=2 V 6,所以CCi=J g）2 +22=苧,则A C

32、】=J（2遍 一 务+2?=亨,故 得 4成+。番-2=+3-2 4 90。，由棱台的性质可知外接球球心位于对角面A&CiC所在平面上，故由此可知外接球球心在棱台的外部，即底面A B C D的外部，设球心到面A BC。的距离为心，则到面必当加以的距离为b+2,是外接球半径为R,则R2=6+hl，R2=（当 +（九 1 +2已 解得R2=io,故外接球的表面积为4兀/?2=钝兀，故答案为：|;407r.作出过E、F、G 的平面与4Al的交点，利用平行线性质即可求得答案；求得棱台的上下底面的棱长，以及侧棱长，判断外接球的球心的位置，列出等式，求得外接球半径，即可求得其表面积.本题考查棱台性质的应用

33、，棱台的体积公式的应用，外接球的表面积求法,属于中档题.17.【答案】解：（1）依题意，2兀=2-4 3 即公=l-2 i,则 Zi=1+23第14页，共19页y (3+i)(2+i)_ S+5i _乂Z2 一(2-i)(2+i)-5-1 +t，因为前；=同+就，所以向量旅对应的复数为：Z 1 +Z 2 =(1 +2 i)+(1 +i)=2 +3 L(2)依题意，0P=丽=。2，7 2)，则 A P O Q 的面积s =T|x/2 -初为1，由(1)知，旅 对应的复数为2 +3 i,即 有 前=(2,3),荏 对应的复数为l +2 i,即 有 荏=(L 2),所以 A B C 的面积为:x|l

34、 x 3-2 x 2|=1【解析】(1)利用共轨复数的意义及复数除法运算分别求出Z i，Z 2,再借助复数与向量的关系求解作答.(2)由(1)求出尼，元的坐标，再利用已知公式计算作答.本题主要考查了复数的四则运算及复数几何意义的应用，属于基础题.1 8.【答案】解：第三组的频率为 1 -(0.0 2 0 +0.0 2 5 +0.0 3 0 +0.0 3 5 +0.0 5 0)x 5 =0.2 0 0.又第一组的频率为0.0 2 5 x 5 =0.1 2 5,第二组的频率为0.0 3 5 x 5 =0.1 7 5,第三组的频率为0.2 0 0.前三组的频率之和为0.1 2 5 +0.1 7 5

35、+0.2 0 0 =0.5 0 0.这 3 0 0 名业主评分的中位数为8 5,众数为 巴 罗=8 7.5.(2)由频率分布直方图，知评分在 9 0,9 5)的人数与评分在 9 5,10 0 的人数的比值为3：2.采用分层抽样法抽取5人，评分在 9 0,9 5)的有3 人，评分在 9 5,10 0 有 2 人.不妨设评分在 9 0,9 5)的 3 人分别为4,A2,4 3；评分在 9 5,10 0 的 2 人分别为,B2.这个试验的样本空间为：A1,A2 AI，/，(A1,B2 A2，A3,A2，B1),A2,B2 A3,B2 从5 人中任选2人的所有可能情况有共10 种.其中选取的2人中至少

36、有1人的评分在 9 5,10 0 的情况有：A1,B2,A2IB1,A2,B2,(A3IB2,J%共 7 种.故这2人中至少有1人的评分在 9 5,10 0 的概率为P=看.【解析】(1)由频率分布直方图的性质，所有小矩形的面积之和为1,可解得的值，由中位数的定义，找到频率之和为0.5 的点，众数估计值为最高小矩形的中点.(2)首先根据两个分组的人数之比，采用分层抽样的方法，得到每个分组抽取的人数，根据古典概型的概率计算公式求解即可.本题主要考查频率分布直方图，属于基础题.19 .【答案】解：(1)证明:面 A B C D,平面P A D n 平面A B C D =A D,所以BCA D.B

37、C 平面 P A D,BC u 平(2)证明：因为平面PA D 1平面4 B C D,平面P A D n 平SA BCD=A D,BA A.AD,所以B 4 _ L平面 P A D,又因为B A u 平面P A B,所以平面P4 B 平面P4 D.(3)当 N为 A。中点时，M N平面PA B.证明：取 AO的中点M 连 接 C N,EN,E,N分别为P D,A Z)的中点，所以E N/M,EN 5 t T f f i P A B,P A c 5 F f f i P A B,所以E N 平面 PA B,又因为B C =14 D,B C/A D,所以四边形4 B C N 为平行四边形，所以C N

38、 4 B,CN P A B,A B u 平面 所以C N 平面 PA B,C N C N E,所以平面C N E 平面P A B,又因为M N u 平面C N E,所以M N平面P4 B.线段AD上存在点N,使得MN平面P A B.【解析】(1)由线面平行的性质定理即可证明.(2)由面面垂直的性质定理证得B4，平面P A D,又因为B 4 u 平面P A B,所以平面P4 B 1平面PA D.(3)取 AO的中点N,连接C N,E N,由线面平行的判定定理证明E N 平面PA B,C N 平面 P A B,所以平面C N E 平面P A 8,再由面面平行的性质定理可证得M N平面P4 B.本题

39、考查直线与平面的位置关系，涉及直线与平面平行的判断和性质的应用，属于基础题.2 0 .【答案】解：(1)在 A B C 中，角 A,B,C的对边分别为a,b,c,因为 s i MB +s i n 2 c =(s i n A +6 s i n B s i n C)s i n A,所以炉+c2=a2+6bcsnA,所以2 b c c o s A =6 b c s i n A,所以 t a n A =I；(2)因为a /5 /1 0 x 5 x =|.第16页，共19页【解析】(1)利用正弦定理和余弦定理得到2bccos4=6 b csin 4,即可求出tan 4=1；(2)先由tan4=求出sin

40、4=噂，cos4=利用余弦定理解得c=1或c=5.代入力 BC的面积求面积即可.本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题.21.【答案】解：证明：与&C、B Q 都垂直，又由棱台的性质4B4 见,AB IB C,48 1 A lC,又 BCCMiC=C,A B，平面&B C,又AB u 平面ABC.故平面4B C _L 平面4BC.(2)由(1)知，平面&BC _L 平面4BC.如图所示，过4 作4。1 BC于 D,则4 D 1平面ABC,二乙4亚)是&B 与平面A8C所成的角，即=6.作DE J.AC于 E,则“传。为二面角4 -AC-B的平面角.在RtAABC中，由题意得BC=4.在

41、Rt/iA iD B中，AXB 4,ArD=4sin0,BD=4cos0,CD=4 4cos0.R t iiABC-Rt U D E C,得DE=,也；竺”.cosZ-AjED=卫，tanZ-AED=1 即一1 14 1 DE V3 3(l-cos6)V3于是，sin0+V3cos0=V3,2sin(0+g)=g,注意到0 又由I-ABC=%-A148可知，点 C 到平面4 遇B的距离即点占到平面ABC的距离，由(2)知，&OJL平面 A B C,且=4sin。=4 x?=2四，于是，C 到平面&4B 的距离为2百.【解析】(1)4B&Bi，AB LBC,AB L ArC,从而AB 1 平面&

42、B C,由此能证明平面AiBC _L 平面4BC.(2)过久作Ai。1 BC于D,则4。1 平面A B C,乙 4 如。是 与 平 面 ABC所成的角，即4&8。=。.作。后_ 1 4。于昌 则N 4ED 为二面角为 一4 C-B 的平面角，由此能求出结果.(3)点 C到平面448当的距离即为点C到 平 面 的 距 离，由匕钻。=%-A A B可知，点 C到平面44B的距离即点儿到平面A B C 的距离，由此能求出C到平面44B的距离.本题考查线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定与性质、二面角、线面角、点到平面的距离、等体积法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.22.【答案】解：/Q)=s

43、 in。不 是 函 数”./(J +无)=s i 吗弓+x)=s in +枭)，/(：-x)=s in|(-x)=s in(g 枭)，6 +%)(%)(%6 R)，./(X)=s ingx不是 函数”.(2).函数f(x)满足f(x)=/(久+争，.函数f(x)的周期T=y,/(J +无)=/(;一 x)(x E R),二 f(x)=&-x)(x e R),当x e R kir+生，上 兀 +兀(上 e Z)时，f(x)=/(x kn)=s in(x-kn),(fc G Z),12 4 2 2 2当*e|/C 7 T-p|/C 7 T+(/c e Z)时,/(x)=/-(X-|/C 7 T)=

44、C O S(X -|/C 7 T),c os(x-kn),(j-kn-x -k n +-)/(X)=3 3 n 3 4-keZ.s in(x-kit),(-kn+-x -k n +n)函数f(x)在0,号上的单调增区间为白3 m y.(3)由(2)得函数/(x)在一(兀】上的图象为：当O S a 曰或a=1 时，/(x)=a(a为常数)有2 个解，其和为全当a=当时，/(%)=a(a为常数)有3 个解，其和为 当 当 ”1 时，/(x)=a(a为常数)有4个解，其和为TT,.当X _,手+兀),(ke N)时，记关于x 的方程f(x)=a(a为常数)所有解的和为S(k),r2 0 n,(0 a

45、 ,a=1)则 S(3)=,1 5 兀,a=、4 0兀,(y a 1)第 1 8 页，共 1 9 页【解析】(1)由 不 满 足+#，C-x)(x 6 R),得/(x)=sinx不 是“M 函数”；(2)求出函数/(%)的周期为7=羊，/(x)=/(-x)(x e/?),当兀+,兀+22 2 4 2T T(/C6Z)时，/(%)=/(X|/C T T)=sin(x|kn),(k 6 Z)；当x 6|/ot-1,|/兀 +g(k e Z)时,f(x)=/-(X|/C7T)=C O S(X-|fc/r),由此能求出函数在(0,争 上的单调递增区间；(3)作出函数在-？网上的图象，数形结合能求出结果.本题考查三角函数的图象、性质，考查三角函数恒等变换、三角函数型方程等问题，考查运算求解能力，是中档题.