2021年数学高考真题卷--新高考I卷（含答案解析）.pdf

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1、2021年普通高等学校招生全国统一考试新高考I 卷数 学一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共4 0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合人=卜卜2 V x4,B=2,3,4,5,则 A CB=A.2 B.2,3 C.3,4 D.2,3,4)2.己知 z=2-i,则 z(N+i)=A.6-2 i B.4-2 ZC.6+2/D.4+2 z3.已知圆锥的底面半径为近，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为A.2 B.2 V 2C.4 D.4V 24.下列区间中，函数f(x)=7 si n(xf)单调递增的区间是6A.(0,柒 B.q,%)C.3手)D.(拳2%)5

2、.已知F|,F2是椭圆C：14=1的两个焦点，点M在C上，则I MF1 H MF2 I的最大值为9 4A.1 3B.1 2C.9D.66.若ta n叙 一2,则 理 普 兽=su n O+c o s。A-lB-lclDl7.若过点(a,b)可以作曲线y=P的两条切线，则A.ebaB.bC.0 a bD.0 b+(y-5)2=1 6 上，点 A(4,0),B(0,2),则A.点P到直线A B的距离小于1 0B.点P到直线A B的距离大于2C.当ZP B A最小时,|PB|=3近D.当/P B A最大时,|PB|=3鱼1 2.在正三棱柱A B C-A B G中,A B=A Ai=l,点P满足祚 入

3、 证 瓯，其中入G 0,1 中引0,1 ,则A.当X=1时,A B i P的周长为定值B.当g=l时,三棱锥P-A i B C的体积为定值C.当 月 时，有且仅有一个点P,使得Ai P BPD.当卜苫时，有且仅有一个点P,使得A iB,平面ABi P三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共2 0分.13.已知函数f(x)=x 3(a 0-2-)是偶函数，则a=.14.已知O为坐标原点,抛物线C:y 2=2p x(p 0)的焦点为F,P为C上一点,P F与x轴垂直,Q为x轴上一点，且P Q J _ OP.若|F Q|=6,则C的 准 线 方 程 为.15.函数f(x)=|2x-l|-21n x的

4、最小值为.16 .某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20 d m x l 2 d m 的长方形纸，对 折 1次共可以得到10 =l+tan20=l+4=?|仅选 C，优解二（正弦化余弦法）因为t a n 6=-2,所 以s i n 6=-2co s 9.则喘黑詈=典鬻翳蛆=s i n仇sin 9+co s八、siMe+sinOcosS 4cos2。-2 c o s 4-2 2 4.4.一-二-=-二一故选 Csin2+cos2 4COS20+COS20 1+4 5*【得分秘籍】破解此类问题的关键:一是化简，利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系等，化

5、简已知三角式;二是求值，利用弦化切或切化弦，求出三角函数值.7 .D【考查目标】必备知识:本题主要考查导数的几何意义、直线的点斜式方程、利用导数判断函数的单调性.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力.学科素养:理性思维、数学探索.【解题思路】设切点（以涧）,刈0,利用导数的几何意义求出切线方程，再利用切点在切线上且在已知函数的图象上，可得关于刈的方程，且该方程有两个不同的解，最后通过构造函数，转化为两个函数的图象有两个不同的交点，利用导数判断新函数的单调性,从而作出新函数的大致图象，即可得出正确的结论.解析】通解（数形结合法）设切点（如泗）,外0,则切线方程为y-b=ex o（x-a）,由%J

6、：。）得 。（1-的+。）二方,则由题意知关于XQ的方程e%o（1 -x o+）=b有两个不同的解.设 x）=e（1 -x+a）,则八x）=er（l-x+t z）-ev=-e（x-a）,由八x）=0得x=,所以当x0 m）单调递增，当xa时/。）0段）单调递减，所以7（x）ma x =ja）=ew（1 -a+a）=e,x 0,所以 段）0,当 x-o o时 小）-0,当 x+8时 段）-Q,偎示:判断函数极值点左右两侧的图象特征很重要，需掌握用极限思想判断函数图象的趋势，从而能准确作出草图,以达到草图不草的目的）函数式外二呢1 -x+a）的大致图象如图所示，因为人幻的图象与直线），=b有两个交

7、点，所以0be.故选D.光速解（用图估算法）过点（“力）可以作曲线y=e，的两条切线，则点（a,力在曲线丫=d的下方且在x轴的上方，得0 4,所以直线AB与圆M相离,所以点P到直线A B的距离的最大值为V5 V54+d=4 焉 4+*5+疗=1 0,故 A正确易知点P到直线A8 的距离的最小值为4 4 巧|-4 强 4 V 疗-4=1,故 B不正确.过点B作圆历的两条切线，切点分别为N,Q,如图所示，连接则当/P 8 A 最小时，点 P与 N重合,|P 阴=J|M B|2-|M N|2=J 5 2 +(5 -2)2-4 2=3 4,当N P B A 最大时，点 P 与 Q 重合,|P B|=3

8、 V I,故 C,D 都正确.综上，选 A C D.【解题关键】破解此类题的关键:一是会转化，即把动点到定直线的距离的范围问题进行转化，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，从而判断出直线与圆的位置关系，即可得出动点到定直线的距离的范围;二是会利用圆的切线，轻松判断何时角取得最值.12.BD【考查目标】必备知识:本题主要考查空间几何体的特征、空间线面位置关系的判定、定值问题.关键能力:逻辑思维能力、空间想象能力、运算求解能力.学科素养:理性思维、数学探索.【思维导图】4=1 1点 P的轨迹一 ASP周长的表达式-判断选项A=1 一 点 尸 的 轨 迹 处”判断选项B4 三一=0 或 M=

9、1 一点P的位置判断选项C三一欲使线面垂直，需线线垂直一点P的位置一判断选项D【解析】BP=kBC 1,0fi 5 4.4,即 乐与 改为,所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题.1 9.【考查目标】必备知识:本题主要考查利用正、余弦定理解三角形.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力.学科素养:理性思维、数学探索.【解题思路】（1）对已知条件BDsinZABC=asin C利用正弦定理得3D。=a c,再结合炉二4,即可得证;（2）过点D作DE/BC.AB于E,分别在 A B C中利用余弦定理求得cosZ B E D和c o s NA 8 C,利用c o s N B E ）=-c

10、 o s N A 8 C及2=“c确定出与c的关系，进而求出cosZ ABC.解:(1)因为BDsinZABC=asin C,所以由正弦定理得,BD.b=ac,又按=砒,所以BDb=b2,又 b0,所以BD=h.(2)如图所示，过点D作交A 3于E,因为AQ=2QC,所 以 祟 炒 2案=|,入所以 8=：QE=|a.在 BOE 中,cosN BED二BE2+DE2-BD22BEDEc2+4a2-9b2 _c2+4a2-9ac4ac 4ac在 ABC 中,cosNABC二心+叱 一 心2ABBCc2+a2-b2 _c2+a2-ac2ac 2ac 因为NBEOF-ZABC,所以cos/BE=-c

11、os乙钻C,所 以 立 生 也=-立吐竺，化简得3c1牝=0,方程两边4ac 2ac同时除以便,得3铲1吗+6=0,解得渭或=3.当 落 即。喙 时，dg*g萼4当=3,即 c=3a ift.cos ZABC=+-a-=-+a2a2-=-1 ().a 2ac 6 6综上,cos/A8C=套20.【考查目标】必备知识:本题主要考查面面垂直的性质定理、二面角的定义、线线垂直的证明及三棱锥体积的求解.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力、空间想象能力.学科素养:理性思维、数学探索.【解题思路】(1)由AB=AD,0为 B D中点得OA，B,然后根据面面垂直的性质定理，可得OAL平面BCD,进而得OA

12、，CD(2)先根据A O C D是边长为1的正三角形及O 为 8。的中点得OC=O=O8=1,推出 BCD是直角三角形，即三棱锥4B C O 的底面积可求，然后作出二面角E-BC-D的平面角,根据平面角为45。,可以求出 OA的长度，即三棱锥A-BCO的高可求，最后根据锥体的体积公式求出体积;或者建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解.解:因为A8=,。为 即 的 中 点，所以OALBD,又平面A8OJ_平面BCD,且平面A8n平面BC=BO/Ou平面4B。,所以AOJ_平面BCD,又 C)u 平面B C 2所以AO_LCD(2)解法一 因为 OCD是边长为1的正三角形，且。为 即 的 中 点

13、，所以OC=OB=OD=1,所以 8 8 是直角三角形，且/BC=90。,8 c=百,所以SABcD=y.如图，过点E 作 E尸4 0,交B D于 尸，过点尸作尸 GJ_BC,垂足为G,连接EG.因为A0_L平面BCQ,所以EF_L平面BCD,又 BCu平面B C 2所以EF1BC,又 FGLBC,且 EFD FG=F,EF,FGC L T ffi EFG,所以8C L 平面EFG,则NEGF为二面角E-BC-D的平面角，所以 NEGF=45。,则 GF=EF.因为OE=2E4,所以EF=20A,。尸=20F,所以叱=2.3FD因为 FG_L8C,COJ_BC,所以 GF/CD,则方|,所以G

14、尸=|.所以 EF=GF=|,所以 04=1,所以 VA B C D=|SA B C D,A 0=|XX 1 =.解法二 如图所示，以。为坐标原点,02,0A 所在直线分别为x,z轴,在平面2 8 内,以过点0 且与8。垂直的直线为)，轴建立空间直角坐标系.因为A 0C D 是边长为1的正三角形，且。为 8。的中点,所以 OC=OB=OD=,所以 8(1,0,0),0(-1,0,0),C(-iy,0).设 40,0,办”0,因为 OE=2E4,所以 E(-1,0，Y).由题意可知平面B C D的一个法向量为”=(0,0,1).设平面B C E的法向量为/n=(x,y,z),因为玩=(-泮,0)

15、,屁=(扣 争，所以 匣=0,J 宁+件=。，m-BE=0,%+2 z =0,k 3 3令 x=l,则 y=V5,z=；,所以 T W=(1,V 3,).因为二面角E-BC-D的大小为45,所以c s 4 5=l就Ia _V2QN得。=1,即 OA=.因为 SA BCDBD CDsin 6 0=1 x 2x l 当,所以 VA-HCD=S HCD,OA=：X今x 13 3 Z o21.【考查目标】必备知识:本题主要考查双曲线的定义、双曲线的标准方程、弦长公式及直线与双曲线的位置关系.关键能力:本题通过将题目中的几何条件代数化考查运算求解能力.学科素养:理性思维、数学探索.解:(1)因为|M F

16、 i|-|M F2|=2/i 7,所以点M的轨迹C是以R,F 2分别为左、右焦点的双曲线的右支.设双曲线的方程为5 A=l(a 0,b 0),半焦距为c,贝ij 2a=2,c=V F,得a=l,b2=c2-a2=1 6,az bz所以点M的轨迹C的方程为X2-4=1(XN1).(易错警示:注意点M的轨迹是双曲线的一支，其轨迹方程要标上x16的范围)(2)设T(),由题意可知直线A B,P Q的斜率均存在且不为0,设直线A B的方程为y-t=k i(x$(k i，0),直线PQ的方程为 y-t=k2(x-|)(k2#0),由y t =k (x)，.V2 2 得(1 6-k；)x 2-2k i(t

17、-)x-(t-，)2-1 6=0.X2-S，设 A(XA,yA),B(XB,yB),易知 1 6-k O,-(t旦)2-1 62kl 吟)则 XAXB=1；二 后 一，XA+XB=16-kl，所以|T A|=J1 +吊除4=4 +承 XA$,|T B|=J1 +M|XBT=J 1+k 汽 XB，),贝|T A|-|T B|=(l+k?)(xA-i)(X B-|)=(l +k?)x AX B-|(xA+xB)+i=(l+k?)甯+*(空 篇 .同理得|T P|Q|=(i+鬻 J).因为|T AHT B|=|T P|T Q|,所以 簿 皿=史 粤 浮2所 以 哈1 6+k溺-1 6k：=k%1 6

18、+k海-1 6%即好=彩,K j-l o K 21O又 k#k 2,所以 k i=-k 2,即 k i+k 2=0.故直线A B的斜率与直线PQ的斜率之和为0.【方法总结】若A(x i,y 1),B(X 2,y 2)是直线y=k x+b(k/)上的两点，则|AB|=V 1 +是|x i-X 2|=Jl +如广丫2 ,称此公式为直线上两点间的距离公式，若A,B是直线与圆锥曲线的交点，则此公式即我们通常所说的弦长公式.注意此公式不仅求弦长时可以使用,只要是求直线上两点间的距离都可以用.22.【考查 目标】必备知识:本题主要考查利用导数研究函数的单调性及构造函数证明不等式等.关键能力:逻辑思维能力、

19、运算求解能力和创新能力.学科素养:理性思维、数学探索.【思维导图】(1)/()的单调性.1 1令 X1=a ,X2=-b(2)/?l n t z-t z l n b小：X不 妨 设 0 x i l X 2原问题转化为证 2 x i+x 2 e红 卫 乜 转 化 为 证y(x i)对F(x)求导，确定其在(0,1)上的单调性一再证 x.+x?C e当0 x l时次x)；/(2-x)v 0-令人用寸二机一为?一*转化为证人1 2)+X 2 0-构造函数力(x)=/(x)+x-对函数(x)求导，确定其在(l,e)上的单调性一当l x e时,(x)0;当 x (l,+8)时/(%)0.所以函数T U)

20、在(0,1)上单调递增，在(I,+8)上单调递减.(2)由题意M,6是两个不相等的正数，且b l n a-aln 6=a也两边同时除以心得四塔:上，即3 1=堂1,即a b ba a b巧呜All令 所 产B，由知於)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减,(一般地，解决此类问题悌问需利用第问所得函数的性质，本题中对bin a-an h=a-h的变形就是想方设法利用上(1)中函数的性质)且当 0 x e 时0,当 xe 时 x)0,不妨设汨%2,则 0 x il X2 e.要证 2V即证 2 +x 2 2：要证 X +X2 2,即证 X22-X,因为 0 为 1 2-Xi 1,又危)

21、在(1,+8)上单调递减，所以即证於2)勺(2.汨)，又/UD力(X2),所以即证八1)勺(2-即),即证当x (0)时次)次2-x)0.构造函数尸(无)守5)次2-x),则 Fx)=f(x)+f(2-x)=-ln x-ln(2-x)=-lnx(2-x),当 0 xl 时x(2x)0,即当0 x0,所以 在(0,1)上单调递增，所以当 0 xl 时,F(x)F(l)=0,所以当0Xl时力跄篦2成立.再证 Xi+X2e:由(1)知x,直线y=x与直线y-m的交点坐标为(九加),则xm.欲证 即 +、2e,即 证 x+X2m+X2 fixi)+X2 e,即证当lxe时力x)+x e.构造函数/G)=y(x)+x,则 a)=l-lnx,当 lx0,所以函数(x)在(l,e)上单调递增，所以当 lxe 时,(x)v(e)=y(e)+e=e，即y(x)+xe 成立，所以汨+X2e成立.综上可知,23+：成立.a b