2021年高考文数真题试卷（全国甲卷）.pdf

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1、2021年高考文数真题试卷（全国甲卷）阅卷人得分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共6 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（共12题；共4 5分）1.(5 分)设集合 M=l,3,5,7,9,N=x I 2x 7 ,则 M n N=()A.7,9B.5,7,9)C.3,5,7,9 D.（1,3,5,7,9【答案】B【解析】【解答】解：由2x 7,得x彳 故 =x|x ：,则根据交集的定义易得MAN=5,7,9.故答案为：B【分析】根据交集的定义求解即可.2.（2分）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率

2、分布直方图：A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至&5万元之间【答案】C【解析】【解答】解：对于A,由频率分布直方图得该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为0.02+0.04=6%,故A正确；对于B,由频率分布直方图得该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为0.02x3+0.04=10%,故 B 正确；对于D,由频率分布直方图得该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间比率估计为0

3、.10+0.14+0.20 x2=0,640.5,故 D 正确故不正确的是C故答案为：c【分析】根据频率分布直方图直接求解即可.3.(2 分)已 知(1 一 D?z=3+2 i，则 z=()A.-1-|i B.-1+|i C.-|+i D.-|-i【答案】B【解析】【解答】解:3+2i _ 3+2i _(3+2i)i _-2+3i(1-i)2-2 i(-2i)i 2故答案为：B【分析】根据复数的运算法则直接求解即可.4.(5分)下列函数中是增函数的为()A./(x)=-%B./(X)=(|)xC./(%)=x2D./(x)=V x【答案】D【解析】【解答】解：对于A,考察函数f(x)=kx,易

4、知当x0时，y=kx单调递减，故A错误；对于B,考察函数f(x)=a,易知当0al时，f(x)=ax单调递减，故B错误；对于C,考察函数f(x)=x2,易知当x0时，f(x)=x2单调递增，故C错误；对于D,考察函数/(为:工 丸 易知f(x)=ax单调递增，故D正确.故答案为：D【分析】根据正比例函数，指数函数，二次函数，塞函数的单调性之间求解即可.5.(5分)点(3,0)到双曲线g_4=l的一条渐近线的距离为()16 yA.|B.|C.|D.1【答案】A【解析】【解答】解：不妨取双曲线的一条渐近线为：y=lx，即3x-4y=0,13x3-4x01 9则所求距离为d=7（二#=5故答案为：A

5、【分析】根据双曲线的几何性质，结合点到直线的距离公式求解即可.6.（2分）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记数法的数据V满足L=5+lgV。已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记数法的数据约为（）（1VIUR.259）A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6【答案】C【解析】【解答】解：由题意得，将L=4.9代入l=5+lgV,得lgV=-0.1=东故答案为：C【分析】根据对数的运算法则，结合对数式与指数式的互化求解即可.7.（2分）在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为

6、E,F,G.该正方体截去三棱锥A-EFG后，所得多面体的三视图中，正试图如右图所示，则相应的侧视图是（）【答案】D【解析】【解答】解：由题意得正方体如图所示,则侧视图是故答案为：D【分析】根据三视图的画法求解即可.8.（5 分）在 AABC 中，已知 B=120。，AC=V19 AB=2,贝 U B C=（）A.1 B.V2 C.V5 D.3【答案】D【解析】【解答】解：由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2-ABBCCOS120。，B P 19=4+BC2+2BC即 BC2+2BC-15=0解得BC=3或 BC=-5（舍去）故 BC=3故答案为：D【分析】由余弦定理直接求解即可.9.（5 分

7、）记Sn为等比数列 时的 前n项 和.若 S2=4,S4=6，则 56=（）A.7B.8C.9D.10【答案】A【解析】【解答】由题意知S2,S4S,S6s成等比数列，即4,2,S6-6成等比数列,则 4x(S6-6)=22解得S6=7故答案为：A【分析】根据等比数列的性质直接求解即可.10.(5 分)将 3 个 1和 2 个0 随机排成一行，则 2 个。不 相 邻 的 概 率 为()A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.0.8【答案】C【解析】【解答】解：3 个 1和 2 个 0 随机排成一行一共有以下10种排法：11100,11010,11001,10110,10101,10011,01

8、110,01101,01011,00111其 中 2 个0 不相邻共有6 种，所以所求概率为=余=0.6【分析】根据古典概型，结合列举法求解即可.1L（2 分）若 a e 6 6 3 5所以，有 9 9%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异。【解析】【分析】(1)根据频率=频数/总体直接求解即可;(2)根据独立性检验的方法直接求解即可.18.(12 分)记 S”为 an的前n项和，已 知an 0,a2=3，且数列 疝 是等差数列.证明：an是等差数列.【答案】：数 列 店 是等差数列，设公差为d=叵-店=弧 +%-屈=国=V0T +(n l)Va?n V i (n N*)：.Sn

9、=a1n2,(n eN*)，当 n 2 时，an=Sn Sn-i =ain 2 l)2=2a1n ax当 n =1 时，2 al x 1 c i i =%,满足 an=2axn-%,的通项公式为 an=2axn ,(n N*)C Ln CL n-1=(20 九Q i)-2a 1(九1)Q =2d J 册是等差数列.【解析】【分析】由 数 列 店 是等差数列，及 斯 0,a2=3av即可得到等差数列 d 的公 差 d =何,从而得到S”=的 小，(n 6 N*),进一步根据a 0 与 s ”的关系，以及等差数列的定义，证明%是等差数列.19.（12分）已知直三棱柱4BC 4避 中，侧 面 44避

10、 道 为 正 方 形.AB=BC=2,E,F分别为A C和3 1的中点，B F lA iA .（1）（6 分）求三棱锥F-E B C 的体积；（2）（6 分）已知D为 棱 公 当 上的点，证明：BF DE.【答案】（1）如图所示，连结AF,由题意可得：BF=VBC2+CF2=V4TT=V 5，由于 AB_LBBi,BCAB,BBCBC=B,故 AB _ L 平面 BCG%,而 BF u 平面 BCCB、,故 AB 1 BF,从而有 AF =7AB2+BF?=V4+5=3，从而 AC=y/AF2-CF2=V 9 I=2V2,则 4炉+BC2=A C2,AB I B C ,a/B C 为等腰直角三

11、角形,S&BCE-2sA4BC=2 X（X 2X2）=11 1 1F-EBC=3 X SBCE X CF=1 X 1=-（2）由（1）的结论可将几何体补形为一个棱长为2 的正方体ABCM-,如图所示，取棱AM,B C的中点H,G,连结 公”，HG,GB1,又 BF 力n B G=B i ，故 B F 1 平面 AiBiGH，而 DE u 平面 AXBXGH,从 而BF 1 DE.【解析】【分析】(1)连结A F ,通过计算得出AC线段的长度，得 至 U 4 B 2+B C 2=A C 2,AB 1 BC,进一步可以计算出F-E B C 的体积；(2)由(1)的结论可将几何体补形为一个棱长为2

12、的正方体，取 棱AM,B C的中点H,G，连 结 A i 4,HG,GBi,通过证明BF 1平 面 人止停“，而得到BF 1 D E.20.(1 2 分)设函数/(%)=a2x2+ax 3lnx+1,其中 a 0.(1)(6分)讨 论 f(x)的单调性；(2)(6分)若 y=f(x)的图像与x 轴没有公共点，求 a 的取值范围.【答案】(1)函数的定义域为(0,+o o),又=(2a x+3)(a x-l),因为 a 0,%0,故 2a 久 +3 0,当 0%：0 寸，/(%)：时，/(X)0 ;所 以/(x)的减区间为(0,，增区间为，+o o).(2)因为/(I)=a2+a 4-1 0且丫

13、=/(x)的图与x轴没有公共点，所 以y=/(x)的图象在%轴的上方,由(1)中函数的单调性可得/(x)m i n=/G)=3-31 n，=3+31 n a ，故 3+31 n a 0 即 a 【解析】【分析】(1)先明确函数的定义域，先对函数求导，然后根据a 的取值，讨论导数年的正负，来确定函数的单调区间；(2)首先注意到/(l)=a2+a +l0且 y =f(x)的图与x轴没有公共点这一特点，表明y =/(%)的图象在x轴的上方，求函数f(x)的最小值，只要最小值大于0即可，解不等式，即可得到结果。21.(2分)抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x 轴上，直线L：x=l 交 C于 P,Q两

14、点，且O P_ L O Q.已知点M(2,0),且 0 M与 L相切，(1)(1 分)求 O M 的方程；(2)(1 分)设 A i,A 2,A 3,是 C上的三个点，直线A 1 A 2,A 1 A 3均 与。M相切，判断A 2A 3与 O M 的位置关系，并说明理由.【答案】(1)依题意设抛物线 C：y2=2px(p 0),P(l,y 0),Q(l,-y0)，OP 1 OQ,A O P-O Q =1 y o =l -2p =0,二 2p =1 ,所以抛物线C的方程为y2=x ,M(0,2),O M 与 x=l相切，所以半径为1 ,所 以 0 M 的方程为(%2)2+y2=1;(2)设 4 1

15、。凶)，A2(X2,y2)A 3O 3,y3)若AiA2斜率不存在，则AiA2方程为x =1或 =3,若AiA2方程为久=1 ,根据对称性不妨设%(1,1),则 过 公 与 圆M相切的另一条直线方程为y=l ,此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在心，不合题意；若 公4 2方程为%=3 ,根据对称性不妨设公(3,V 3),百 2(3，-V 3),则 过 人 与 圆M相切的直线4遇3为 y _H=(x 3)，p.一 当一乃 _ 1 _ 1 _ /3 _ 乂心遇3=五 二 石 二 万 顼 一 直 以 二%=x3=0,4(0,0),此时直线4 4，%人3关 于x轴对称,所 以 直 线 与 圆 M

16、相切;若直线4遇2,4遇3,A2A3斜率均存在,则以遇2 =正 妹，然遇3 =%聂，kA2A3=寻 方，1所以直线A2方程为y-yi=-(x -xt),1 十 力整理得 -(yi +y2)y+为为=，同理直线/遇3的方程为%-(yi +y3)y+为、3 =0，直线 4 公 的方程为x (、2 +、3)y+y2 y3 =o，|2+打刈 一v ATA2 与圆 M 相切，,j+(y；+y/=i整理得(yf-l)yf+2 yly2 +3 -yf=0,AA3 与圆 M 相切，同 理(yf-l)yj+2yTy3+3 -yf=0所 以 y2,丫 3为方程(y -D y?+2 yi y+3-尤=0 的两根,2

17、 yl 3-y?%+当=_/，巧.当=而，M到直线A2A3的距离为:12+3-y f|2+y2y3I 比-1J14-(y2+y3)2 j.2ylJ(一行=|比+1|=yl+l=1j(yl-i)2+4 yl 71+1，所以直线A2A3与 圆M相切；综上若直线A,A2r XM3与 圆 M 相切，则直线A2A3与 圆 M 相切.【解析】【分析】(1)先设抛物线的方程C：y2=2px(p 0),由对称性，可 知 P(Ly0),(2(1,-y0)，进而由0 P 1 0 Q，可以很容易求出抛物线的P值，进而写出抛物线的方程;由于圆M 的圆心已知，且与x=l相切，立刻知道半径，故很容易求得M 的方程；(2)

18、先设出乙(所为)，A2(X2,y2),生。3,丫 3)三点的坐标，分“送2斜率不存在及直线力出，力遇3,A2A3斜率均存在讨论，分别写出相应的直线方程，根据相关直线与圆相切的条件，分别代入抛物线方程，利用达定理，点到直线距离公式等知识，推导结论。阅卷入四、选修4一4：坐 标 系 与 参 数 方 程(共1题；共10分)得分22.(10分)在直角坐标系xO y中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p=2在cos0.(1)(5分)将C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)(5分)设 点A的直角坐标为(1,0),M为C上的动点，点P满 足 存=V2AM，写 出P的轨迹C

19、,的参数方程，并判断C与C i是否有公共点.【答案】(1)由llll线C的极坐标方程p=2V2cos0可 得p2=2V2pcos0，将=pcosO,y=psin。代入可得 x2+y2=22x,即(V2)2+y2=2，即曲线C的直角坐标方程为(X _在)2+y2=2；(2)设 P(x,y),设 M(y/2+y/2cos0,V2sin0)v AP=y2AM,(x 1,y)=V2(V2+y/2cosd 1,V2sin0)=(2+2cos0 V2,2sin。)，则(x 1=2+2cos0 V2 gp(x=3 V2+2cos0I y=2sin。I y=2sin0故P的轨迹C i的参数方程为仔=3-吏+?

20、cos。(0为参数)I y=2sin0 曲线C的圆心为(鱼，0),半径为V 2，曲 线 的 的圆心为(3-V 2,0),半径为2,则圆心距为3-2及，v 3-2V2 g(x),求a 的取值范围.2 x x V 2，画出图像如下:x 2,x 2g(x)=|2%+3|2%1|=4%+2,-|%g(x),需将y=向左平移，即a 0,当 y=f(x +a)过 4(a,4)时，|+a-2|=4,解得 a=号或 一 趣(舍去)，则数形结合可得需至少将y=/(x)向左平移号 个单位，&?.【解析】【分析】(1)先去绝对值将二函数解析式写成分段函数物形式，然后分段作图；(2)将上面两个函数图象画在同一个直角坐

21、标系内，(注意f(x+a)与f(x)图象的关系)，由f(x+a)g(x),确定a的取值范围。试题分析部分1、试卷总体分布分析总分：114分分值分布客观题（占比）47.0(41.2%)主观题（占比）67.0(58.8%)题量分布客观题（占比）13(56.5%)主观题（占比）10(43.5%)2、试卷题量分布分析大题题型题目量（占比）分 值（占比）选修45：不等式选讲1(4.3%)2.0(1.8%)填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20分。4(17.4%)17.0(14.9%)选修4-4：坐标系与参数方程。1(4.3%)10.0(8.8%)选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分。在

22、每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。12(52.2%)45.0(39.5%)解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21题为必考题，每个试题5(21.7%)40.0(35.1%)考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。3、试卷难度结构分析序号难易度占比1普通(56.5%)2容易(39.1%)3困难(4.3%)4、试卷知识点分析序号知识点（认知水平）分 值（占比）对应题号1频率分布直方图2.0(1.8%)22复数代数形式的混合运算2.0(1.8%)33奇函数5.0(4.4%)124古典概型及其概率计算公式5.0(4.4%)105频率分

23、布表2.0(1.8%)176等差数列的通项公式12.0(10.5%)187独立性检验2.0(1.8%)178排列、组合及简单计数问题5.0(4.4%)109双曲线的简单性质5.0(4.4%)510同角三角函数间的基本关系2.0(1.8%)1111点的极坐标和直角坐标的互化12.0(10.5%)21,2212圆的参数方程12.0(10.5%)21,2213向量的线性运算性质及几何意义5.0(4.4%)1314点到直线的距离公式5.0(44%)515向量的模5.0(4.4%)1316数列的概念及简单表示法12.0(10.5%)1817旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）5.0(4.4%)1418指数式与

24、对数式的互化2.0(1.8%)619分段函数的解析式求法及其图象的作;法2.0(1.8%)2320余弦定理5.0(44%)821同角三角函数基本关系的运用2.0(1.8%)1122函数的单调性及单调区间5.0(4.4%)423等差数列的前n 项和12.0(10.5%)1824函数单调性的性质12.0(10.5%)2025对数的运算性质2.0(1.8%)626二倍角的正弦公式2.0(1.8%)1127函数奇偶性的性质5.0(4.4%)1228等比数列的性质5.0(4.4%)929二倍角的余弦公式2.0(1.8%)1130棱柱、棱锥、棱台的体积12.0(10.5%)1931由三视图还原实物图2.0

25、(1.8%)732直线与平面垂直的判定12.0(10.5%)1933独立性检验的应用2.0(1.8%)1734排列与组合的综合5.0(4.4%)1035椭圆的定义2.0(1.8%)1636三角形中的几何计算2.0(1.8%)1637圆的标准方程12.0(10.5%)21,2238交集及其运算5.0(44%)139余弦定理的应用59(4.4%)840圆与圆的位置关系及其判定10.0(8.8%)2241余弦函数的图象5.0(4.4%)1542函数的图象与图象变化2.0(1.8%)2343函数的单调性与导数的关系12.0(10.5%)2044函数单调性的判断与证明5.0(4.4%)445平面向量的综合题2.0(1.8%)2146不等式的综合2.0(1.8%)2347简单空间图形的三视图2.0(1.8%)7