2022-2023学年上海高二上学期数学同步练第01讲空间直线与平面(核心考点讲与练)(含详解).pdf

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1、第 01讲 空间直线与平面（核心考点讲与练）Q考点考向一、空间间位置关系的集合语言集合的语言来描述点、直线和平面之间的关系：点A 在直线/上，记作：A /；点A 不在直线/上，记作A e/;点A 在平面a 内，记作：A w e；点 A 不在平面a 内，记作A*a；直线/在平面a 内（即直线上每一个点都在平面a 内），记作/u a；直线/不在平面a 内（即直线上存在不在平面a 内的点），记作/a/b四、空间中的垂直关系1.直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义如果一条直线和一个平面相交于点0,并且和这个平面内过交点(。的任何直线都垂直，就说这条直线和这个平面互相垂直.(2)直线与平面垂直的判定

2、定理及其推论2.直线和平面所成的角文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直,则这条直线与这个平面垂直/7a u a、be.aaQb=Ol ciJb=/_L a推 论1如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面二1,a /b=6J_ a推论2如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行ba-L Q_L a卜a b(1)定义：一条斜线和它在平面内的射影所成的角叫做斜线和平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角;一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0 的角.(2)范围:Ml3.二面角(1)定义：从一条直线出发的两个

3、半平面所组成的图形叫做二面角:(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.(3)二面角的范围：0,n .4.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直,又这两个平面与第三个平面相交所得两条交线互相垂直,就称这两个平面互相垂直.(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直Ah21性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们支线的直线垂直于另一个平面Aa上、lu BB=a/

4、-La o/_L aQ方法技巧1.异面直线的判定方法定义法o：底一兼至艾莉曲一冷函而：(近手而百二*写年商界二表而直及写平的而示定理法经过该点的直线为异面直线(此结论可作为定：:理使用)j 2.求异面直线所成的角的三步曲晚很汲两案直技不是异盲直线;即一两直暖平行】反证法 小：或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，：;导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面：（3）5即依据定义作平行线，作出异面直线所成的角：任即证明而出的角是异面直线所成的角 ：-：:：3.线面平行的证明方法/、:屏三甯戒茶由拜亩石标石集泰值前底是“始Q三 求 或 直 角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝；角，则它的补角才

5、是要求的角;（1）定义法：一般用反证法；（2）判定定理法：关键是在平面内找（或作）一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言叙述证明过程；（3）性质判定法：即两平面平行时，其中一个平面内的任何直线都平行于另一个平面.4 .构造平行直线的常用方法（1）构建三角形或梯形的中位线：可直接利用线段的中点、等腰三角形三线合一或利用平行四边形对角线的交点找中点，从而构建中位线；（2）构建平行四边形：可以利用已知的平行关系（如梯形的上下底边平行）或构建平行关系（如构造两条直线同时平行于已知直线），从而构建平行四边形.应用线面平行的性质定理时，关键是过已知直线作辅助平面与已知平面相交，所得交线与已知直线平行

6、，还可以利用交线判断己知平面内的直线与已知直线的位置关系，即在已知平面内所有和交线平行的直线都与已知直线平行，所有和交线相交的直线都与已知直线异面.5 .判定平面与平面平行的4种方法（1）面面平行的定义，即证两个平面没有公共点（不常用）：（2）面面平行的判定定理（主要方法）；（3）利用垂直于同一条直线的两个平面平行（客观题可用）；（4）利用平面平行的传递性，两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行（客观题可用）.利用线面平行或面面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置.对于线段长或线段比例问题，常用平行线对应线段成比例或相似三角形来解决.6.证

7、明直线和平面垂直的常用方法：判定定理；垂直于平面的传递性（a6,a a）；面面平行的性质（a_ L a,a归a邛）；面面垂直的性质.7 .利用判定定理证明平面与平面垂直的一般方法先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线存在，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若这样的垂线不存在，则需通过作辅助线来证明面及其基本性质1.（2 0 2 2.上海民办南模中学高二开学考试）“平面内有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面内”用符号表述是（）A.a A a B.:A u a J A e a ja e a a e c C.=A e a D,卜=4uaA u a JA&a 2.（2 0 2 2.上海华师大

8、二附中高二期末）设 小 生0代为空间中的四个不同点，则“小 生 生 中有三点在同一条直线上 是 牛 牛 号、巴在同一个平面上”的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件3.（2 0 2 1上海复旦附中高二期中）若 Aw面a,面。，C史面a,则平面A B C 与平面a 的位置关系4.（2 0 2 1 上海市大同中学高二阶段练习）已知N B A C =N B|A G，A 8/A 4,则 AC与 AG的位置关系是直线与直线间的位置关系1.（2 0 2 2 上海市建平中学高二阶段练习）不同在任何一个平面上的两条直线的位置关系是直线与平面间的位置关系1.（2 0

9、2 1.上海奉贤区致远高级中学高二阶段练习）设 办 w是两条不同的直线，a 表示平面，下列说法正确的 是（）A.若 m/a,“ua,则?/”B.若，/a,机 _ 1 _ 小 则_ L aC.若 m X.a,m A,n,则 n l l a D.若，w _ L a,n i l a,则，_ L 2.（2 0 2 1.上海.高二专题练习）若。、匕是异面直线，则下列命题中的假命题为（）A.过直线。可以作一个平面并且只可以作一个平面a 与直线 平行B.过直线”至多可以作一个平面a 与直线人 垂直C.唯一存在一个平面a 与直线“、6 等距D.可能存在平面a 与直线a、匕都垂直3.（2 0 2 1上海奉贤区致

10、远高级中学高二阶段练习）的直角边A 8在平面a 内，顶点C在平面a外,则直角边3C、斜边AC在平面a上的射影与直角边A 3 组成的图形是（）A.线段或锐角三角形B.线段或直角三角形C.线段或钝角三角形D.线段、锐角三角形、直角三角形或钝角三角形二、填空题4.（2020上海市七宝中学高二期末）平面a外的直线“与平面a所成的角是。，则。的 取 值 范 围 是.5.（2021.上海市七宝中学高二期中）在三棱锥中，已知PA_L平面A B C,B C L A C,则以尸，A,B,C为 顶 点 的 直 角 三 角 形 的 个 数 为.6.（2021 上海奉贤区致远高级中学高二阶段练习）若 钻=2,线段A

11、8所在直线和平面a成30。角，且A e a,则点B 到平面a的距离=7.（2021.上海.位育中学高二阶段练习）如图，在直角AABC中，C=y ,8 c =20,AB=4 0,现将其放置在平面a的上面，其中点A,B在平面a的同一侧，点C e平面a,B C与平面a所成的角为?，则点A到平面a的最大距离是.A5.（2021.上海华师大二附中高二阶段练习）在120。的二面角a-的两个面内分别有点A,B,A G a,B G p,A,B到棱1的距离A C,B D分别是2,4,平面与平面间的位置关系1.（2022.上海.复旦附中高二期中）已知”，人是两条不重合的直线，口,4是两个不重合的平面，给出下列命题

12、：a/。，h!Iaal lb；a/b,b!la a l!a；a/?,a u a,b u B=al/b.其 中 假 期 理 的 序 号 是.（写出所有假如尊的序号）2.（2 0 2 1.上海南汇中学高二阶段练习）异面直线a,b 成 6 0。角，P是“，匕外一定点，若过P点有且只有两条直线与a,h 所成的角相等且等于。，则。的范围为.3.（2 0 2 1上海市金山中学高二期中）已知斜坡平面与水平面成3 0。的二面角，一条公路与坡脚成4 5。的角，沿公路前进10 0 米，则路基升高了 米.4.（2 0 2 0.上海师范大学第二附属中学高二期中）将边长为1 的正方形A 8 C D 沿对角线AC折叠，使

13、得点8和。的距离为1,则二面角8-AC-。的大小为.异面直线间的距离1.（2 0 2 1上海复旦附中高二期中）已知菱形A B C Q 的边长为a,Z A =1.将菱形A B C。沿对角线折成二面yr 2 7 r角。，若,则异面直线AC与8。距离的最大值为（）A.-a B.a C.-a D.a2 4 4 22.（2 0 2 2.上海.复旦附中高二期中）棱长为I 的正方体中，异面直线4。与4G之 间 的 距 离 为.3.（2 0 16.上海位育中学高二期末）若心Z U 8 C 的斜边A 8=5,B C=3,B C 在平面。内，A在平面“内的射影为 O,A O=2,则异面直线A。与 B C 之间的距

14、离为.Q能力拓展题型一：点、直线、平面之间的位置关系一、单选题1.（2 0 2 1上海师范大学第二附属中学高二期中）已知异面直线a、匕所成角为8 0。，P为空间一定点，则过P点且与“、6 所成角都是5 0。的直线有且仅有（）条.A.2 B.3 C.4 D.62.（2 0 2 2上海市控江中学高二期末）如图，已知正方体A8CO-ABC2，点尸是棱CG的中点，设直线A 8为 a,直线AA为江对于下列两个命题：过点尸有且只有一条直线/与。、人都相交；过点P有且只有两条直线/与“、6都成7 5。角.以下判断正确的是（）C.为假命题，为真命题为真命题，为真命题 B.为真命题，为假命题D.为假命题，为假命

15、题3.（2021上海位育中学高二阶段练习）已知菱形ABC。，ZDAB=60,E 为边A 8上的点（不包括4 B）,将 回/）沿 对 角 线 翻 折，在翻折过程中，记直线8。与CE所成角的最小值为a,最 大 值 为?（）A.a，4 均与E 位置有关 B.a 与 E 位置有关，夕与E 位置无关C.a 与 E 位置无关，4 与E 位置有关 D.a，均与E 位置无关4.（2021上海高二专题练习）三条直线两两异面，有几条直线同时与这三条直线相交（）A.一条 B.两条 C.无数条 D.没有5.（2021上海高二专题练习）如图两正方形43cO,CZ）用所在的平面垂直，将 AEFC沿着直线FC旋转一周，则直

16、线EC与AC所成角的取值范围是（）6.（2021上海高二专题练习）设4、4、4 为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4、5、6 的直线，给出下列三个结论:存在4 /,（/=123），使得 A4 4 是直角三角形；存在耳e/,.（/=1,2,3）,使得A A a%是等边三角形；三条直线上存在四点4 J（i=l，2,3,4）,使 得 四 面 体 为 在-个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体，其中，所有正确结论的个数是A.0 B.1 C.2 D.37.（2021上海格致中学高二期中）从正方体八个顶点的两两连线中任取两条直线a,b,且 a,。是异面直线，则“，人所成角的余弦值的所有可能取值构成的集

17、合是（）J 1 6 夜A-PT TTc.02立 匈.2 2 3 D.。，界,2 3二、填空题8.（2 0 2 1 上海市复兴高级中学高二期中）已知两条异面直线。与匕所成角为3 0。，P是空间一点，若过点户与。和b 所成角都是e 的直线有4条，则e 的范围是9.（2 0 2 1 上海市甘泉外国语中学高二期中）若直线。、匕 是平面a上的两条直线，且“、均在平面夕外,则“R/夕，/夕，是“a/”的 一条件.（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既非充分又非必要”）1 0.（2 0 2 1上海格致中学高二阶段练习）直线机和平面a所 成 角 为 则 直 线 机 和 平 面 a内任意直线所成O角

18、的取值范围是1 1.（2 0 2 2上海长宁高二期末）如图是一个边长为2的正方体的平面展开图，在这个正方体中，则下列说法中正确的序号是.直 线 与 直 线 CN 垂直;直线8M与直线CN相交;直线ME与直线CN 平行；直 线 与 直 线 CN 异面;1 2.（2 0 2 2上海长宁高二期末）已知平面a和两条不同的直线力，则下列判断中正确的序号是 若。a,6 a ,则“b；若 a _ L e,J _ a,则a。；若 a Lb,ba ,则a _ L a；若。b,_ L a,则4 _|_ 0；1 3.（2 0 2 1.上海奉贤区致远高级中学高二阶段练习）若两异面直线“、。所成的角为6 0、过空间内一

19、点P 作与直线。、匕所成角均是60的直线/，则所作直线/的条数为1 4.（2 0 2 1 上海市大同中学高二阶段练习）空间四边形S A 8 C 中，A B =A C=B C =2y/3,S A =S B =S C =2亚，E、F分别为AC、S 3 的中点，平面a过点A ,a/平面S B C,平面A 3 C =/,则异面直线/和EF所成 角 的 余 弦 值 为.1 5.（2 0 2 1.上海.华东师范大学第三附属中学高二阶段练习）刍薨，中国古代算数中的一种几何形体，九章算术中记载：“刍费者，下有袤有广，而上有袤无广刍，草也，就，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形,顶部只有长没有宽为一条棱.刍薨

20、字面意思为茅草屋顶.”如图为一个刍瓷的五面体，其中四边形A 8 C。为矩形，和 8 C F 都是等腰三角形，A E =E D =BF =CF =A D，EF/AB,若 AB=3 E F,且 A D =2EF ,则异面直线AE与CF所 成 角 的 大 小 为.E F 1 6.（2 0 2 1.上海市奉贤区奉城高级中学高二阶段练习）如 图：已/铲-“CA B知 A是 88所在平面外一点，A D =BC,E、尸分别是4 8、C）的中点，若异面直线AO 与 B C 所成角的AA大小为6,AD与 E F 所成角的大小为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _./、C1 7.（2 0 2

21、 1 上海市进才中学高二阶段练习）空间给定不共面的A,B,C,。四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考 虑 具 有 如 下 性 质 的 平 面 4,B,C,。中有三个点到的距离相同，另一个点到。的距离是前三个点到a的距离的2倍，这样的平面a的个数是 个1 8.（2 0 2 1上海高二专题练习）已知两个不同平面a,和三条不重合的直线a,b,c,则下列命题：（1）若 alia,。|月=匕，则 a/力（2）若 a,b 在平面 a 内，且,_ 1“，c L b,贝！J c _ L a（3）若 a,尸分别经过两异面直线“，b,且cc6=c,则 c 必与a 或 b 相交（4）若 a,b,c 是两两互相异

22、面的直线，则存在无数条直线与a,b,c 都相交其 中 正 确 的 命 题 是.（请写上正确命题的序号）三、解答题19.（2 0 2 1.上海市洋泾中学高二期中）如左图所示，在直角梯形A B C O 中，BC/AD,ADCD,B C =2,A D =3,C D =6边 A D上一点E 满足=1.现将A HBE 沿 B E 折起到AABE的位置，使平面A 8E 1 平面 B C D E,如右图所示.（1）求证:A C V B E.（2）求异面直线C与B E的距离;（3）求平面ABE与平面A,C D所成锐二面角的余弦值.20.（2022上海市控江中学高二期末）如图，在长方体A 8 8-A 4 G R

23、 中，DD,=DA =l,A B =2,点 E 在棱AB上运动.证明:（2）当 E 为棱A 3的中点时，求直线A 3与平面。E Q 所成角的正弦值;（3）AE等于何值时，二面角A-O E-G 的大小为150。？题型二：直线、平面平行的判定与性质一、单选题1.（2021上海市洋泾中学高二期中）已知?、是两条不同的直线，a、夕是两个不同的平面，则以下命题正确的是（）A.若 加、平行于同一平面，则 与 平 行B.若a、4 垂直于同一平面，则a 与4 平行C.若相、不平行，则，与 不可能垂直于同一平面D.若a、?不 平行，则在a 内不存在与夕平行的直线2.（2021上海市吴淞中学高二阶段练习）已知空间

24、直线/不在平面a 内，则“/a”是 直线/上有两个点到平面a 的距离相等 的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.非充分非必要条件3.（2021上海市洋泾中学高二阶段练习）如图，在矩形ABCD中，A B =2,B C=,E、N 分别为边A 3、8C的中点，沿 DE 将折起，点A 折至A 处（与A不重合），若M、K 分别为线段A。、A C的中点，则在A 4 Q E 折起过程中（）B.不能同时做到M N H平面&BE且 B K 平面 D EC.当 MN，4 时，MN,平面 A D ED.直线A E、B K 与平面88E 所成角分别为4、2,4、%能够同时取得最大值二、填空题4

25、.（2 0 2 1上海市吴淞中学高三期中）与不共面的四点等距离的平面有 个.5.（2 0 2 1上海华师大二附中高二阶段练习）给出下列4 个命题：过平面外一点，与该平面成，角的直线一定有无穷多条；一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行；过空间任意一点有且只有一个平面与两条异面直线都平行；与确定的两条异面直线所成的角相等的平面有无数个.其 中 正 确 命 题 的 序 号 有 （请把所有正确的序号都填上）.6.（2 0 2 1.上海位育中学高二期中）已知四边形AB C。为矩形，A B =24）=4,为 4 8的中点，将 A A 0W沿D M折起，得到四棱锥A -Q M B C,

26、设A C的中点为N，在翻折过程中，得到如下有三个命题：8N平面A OM，且 8N的长度为定值逐；三棱锥N-0MC的 最 大 体 积 为 建；3在翻折过程中，存在某个位置，使得其 中 正 确 命 题 的 序 号 为.（写出所有正确结论的序号）三、解答题7.（2 0 2 1上海市徐汇中学高二期中）如图，几何体AB C D E中，是正三角形，A E 和 CO都垂直于平面A BC,且 E4=A5 =2,O C =1,尸,G分别为E B 和 A 3的中点.求证：尸。平面A B C；（2）求二面角B-FC-G的正切值.8.（2 0 2 2.上海.高三专题练习）如图，将边长为2的正方形A 5 C D 沿对角

27、线8。折叠，使得平面说与平面C 8。所成二面角为直角，.平面43 ,且 AE=VL（1）求证:直线E C 与平面 曲没有公共点;（2）求点C到平面3a的距离.题型三：直线、平面垂直的判定与性质一、单选题1.（2 0 2 1上海市市西中学高二期中）在下列命题中，假命题是（）A.若平面a内的一条直线垂直于平面/?内的任一直线，则 a _ L B.若平面a内任一直线平行于平面八 则 a 夕C.若平面a _ L 平面夕，任取直线/u a,则必有/J 尸D.若平面a 平面夕，任取直线/u a,则必有/二、填空题2.（2 0 2 1.上海市南洋模范中学高二期中）在正方体A 8CO-A BGR中，M 是棱A

28、 B的中点，过 A，M,C三点 的 平 面 交 棱 于 点N ,则A.与平面A MCN所 成 角 的 正 弦 值 是.3.（2 0 2 1.上海师大附中高二期中）如图，已知4 2，8 匕4 _ 1 2。,48=4。尸=/8 4 7 =6 0。,2 1 =1,D是BC中点，则点B到平面A P D 的距离是.p.4.（2021上海师范大学第二附属中学高二期中）在长方体A 3 8-A 4 G R中,A8=4,BC=3,B B、=2,那么8 c到平面的距离为.5.（2021.上海.华东师大附属枫泾中学高二期中）如图，在正方体A B 8-A B C Q中，他=2,则直线叫 到平面阴DQ的距离为.（202

29、2上海复旦附中高二期中）在矩形ABCD中，A8=2,BC=2若，沿对角线AC将矩形折成直二面角D-AC-B,则线段BD的长为.7.（2021上海市进才中学高二期中）在必中，已知3 c =12,A C =5,）是斜边4 3上任意一点，如图沿直线CD将AM C 折成直二面角8-C D-A.若折叠后4,B两点间的距离为4,则4的最小值为三、解答题8.（2022上海金山高二期末）如图，在正方体A B 8-A B C R中，E是棱。4的中点.（1）试判断直线8。与平面AEC的位置关系，并说明理由；（2）求 证:直 线BD,_L面 做C.9.（2021上海市大同中学高二阶段练习）如图，正方体ABC。-A

30、B C R中，（1）求证：平面A81。/平面GS。；（2）求两平面4片。与C、BD之间的距离.10.（2021上海市南洋模范中学高二期中）己知，如图P是平面a外一点，必 是平面a的斜线，交a于点A,过点P作平面a的垂线尸0,垂足是0,直线。4是R4在平面a上的投影.求证：对平面a上任一直线。，a J_ Q4是a J.PA的充要条件.一、单选题1.（2021.上海奉贤区致远高级中学高二期中）如图，在下列四个正方体中，A,B为正方体的两个顶点，M,N,。为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是2.（2022.上海.复旦附中高二期中）已知b是平面a的两条斜线，则“a、b与平

31、面a所成角相等“是 外”的（）条件A.充分非必要B.必要非充分C.充分必要D.既非充分又非必要3.（2 0 2 1上海奉贤区致远高级中学高二阶段练习）正方体A8CO-44GA的八个顶点中，平面a 经过其中的四个顶点，其余四个顶点到平面a 的距离都相等，则这样的平面a 的个数为（）A.6 B.8 C.1 2 D.1 64.（2 0 2 1 上海奉贤区致远高级中学高二阶段练习）在正方形S&G 2 G j 中，E、F分别是G G?及G 2 G?的中点,。是 放 的中点.现在沿S E、S 尸及 尸把这个正方形折成一个空间四边形，使 G、&、G 3 三点重合，重合后的点记为G,那么，在空间四边形S-E

32、F G 中 必 有（）A.S G，Z E F G 所在平面B.所在平面C.GF_LASE/所在平面D.GZ)_LASE/所 在平面二、填空题5.（2 0 2 2 上海市建平中学高二阶段练习）正方体ABCO-A8C2的棱长为1，异面直线A 4 与 8G的距离是_ _ _ _ _ _ _ _ _6.（2 0 2 1 上海西外高二期中）空 间 中 两 条 直 线 的 位 置 关 系 有.7.（2 0 2 1 上海市宝山中学高二期中）如图，正三角形A B C 的边长为2,尸是三角形A B C 所在平面外一点,2 4 _ L 平面A B C,且 2 4 =1,则 P到 8c的距离为.8.（2 0 2 1

33、上海位育中学高二期中）在 3 0。二面角的一个面内有一个点，它到另一个面的距离是1 0 c m,则这个 点 到 二 面 角 的 棱 的 距 离 为.9.（2 0 2 1 上海市控江中学高二期中）两个平面最多可以将空间分为 部分.1 0.（2 0 2 1.上海市洋泾中学高二期中）在棱长为。的正方体中，与 AD成异面直线且距离等于。的棱共有_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _条.11.（2021.上海市吴淞中学高二阶段练习）一个山坡面与水平面成120。的二面角，坡脚的水平线（即二面角的睨）为 A B,甲沿山坡自P 朝垂直于AB的方向走3 0 m,同时乙沿水平面自。朝垂直于AB的方向走

34、30m,P、Q 都是AB上的点，若 PQ=1 0 m,这时甲、乙 两 个 人 之 间 的 距 离 为.12.（2021上海奉贤区致远高级中学高二阶段练习）如图，已知P4_L平面ABC,A C L 3C,AB=2,BC=6,PB=，贝 I 二面角P-B C-A 的大小为（1）求 异 面 直 线 和 CC,所成的角的余弦值;求证：直线A 8/平面。CCQ.14.（2021上海南汇中学高二阶段练习）已知正方体A B C O-A 4C Q 中，P、Q 分别为对角线8 0、C。上的CQ BP 2占,且-=-=一“QD PD 3（1）作出平面PQC和平面 。的 交 线（保留作AR图痕迹），并求证：也 平

35、面“若 R是 钻 上 的 点，当耘的值为多少时，能使平面P S 平面A A D 4?请给出证明.1 5.（2 0 2 1上海奉贤区致远高级中学高二阶段练习）如图，已 知 是 底 面 为 正 方 形 的 长 方 体,是 否 都 有 平 面 垂 直 于 平 面并证明你的结论（2）当尸为AR的中点时，求异面直线4A与 所 成 角 的 余 弦 值;（3）求 P4与平面A4Q所成角的正切值的最大值第 01讲 空间直线与平面（核心考点讲与练）Q考点考向一、空间间位置关系的集合语言集合的语言来描述点、直线和平面之间的关系：点A 在直线/上，记作：A /；点A 不在直线/上，记作A e/;点A 在平面a 内，

36、记作：A w e；点 A 不在平面a 内，记作A*a；直线/在平面a 内（即直线上每一个点都在平面a 内），记作/u a；直线/不在平面a 内（即直线上存在不在平面a 内的点），记作/a/b五、空间中的垂直关系1.直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义如果一条直线和一个平面相交于点0,并且和这个平面内过交点(。的任何直线都垂直，就说这条直线和这个平面互相垂直.(2)直线与平面垂直的判定定理及其推论2.直线和平面所成的角文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直,则这条直线与这个平面垂直/7a u a、be.aaQb=Ol ciJb=/_L a推 论1如果在两条平行

37、直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面二1,a /b=6J_ a推论2如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行ba-L Q_L a卜a b(1)定义：一条斜线和它在平面内的射影所成的角叫做斜线和平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角;一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0 的角.(2)范围:Ml3.二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角:(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.(3)二面角的范围：0,n .4.平面与

38、平面垂直(1)平面与平面垂直的定义如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直,又这两个平面与第三个平面相交所得两条交线互相垂直,就称这两个平面互相垂直.(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直Ah21性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们支线的直线垂直于另一个平面Aa上、lu BB=a/-La o/_L aQ方法技巧1.异面直线的判定方法定义法o：底一兼至艾莉曲一冷函而：(近手而百二*写年商界二表而直及写平的而示定理法经过该点的直线为异面直线(此结论可作为定：:理使用)j 2.求异面直线所成的

39、角的三步曲晚很汲两案直技不是异盲直线;即一两直暖平行】反证法 小：或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，：;导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面：（3）5即依据定义作平行线，作出异面直线所成的角：任即证明而出的角是异面直线所成的角 ：-：:：3.线面平行的证明方法/、:屏三甯戒茶由拜亩石标石集泰值前底是“始Q三 求 或 直 角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝；角，则它的补角才是要求的角;（1）定义法：一般用反证法；（2）判定定理法：关键是在平面内找（或作）一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言叙述证明过程；（3）性质判定法：即两平面平行时，其中一个平面内的任何直线都平行于另一

40、个平面.4 .构造平行直线的常用方法（1）构建三角形或梯形的中位线：可直接利用线段的中点、等腰三角形三线合一或利用平行四边形对角线的交点找中点，从而构建中位线；（2）构建平行四边形：可以利用已知的平行关系（如梯形的上下底边平行）或构建平行关系（如构造两条直线同时平行于已知直线），从而构建平行四边形.应用线面平行的性质定理时，关键是过已知直线作辅助平面与已知平面相交，所得交线与已知直线平行，还可以利用交线判断己知平面内的直线与已知直线的位置关系，即在已知平面内所有和交线平行的直线都与已知直线平行，所有和交线相交的直线都与已知直线异面.5 .判定平面与平面平行的4种方法（1）面面平行的定义，即证两

41、个平面没有公共点（不常用）：（2）面面平行的判定定理（主要方法）；（3）利用垂直于同一条直线的两个平面平行（客观题可用）；（4）利用平面平行的传递性，两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行（客观题可用）.利用线面平行或面面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置.对于线段长或线段比例问题，常用平行线对应线段成比例或相似三角形来解决.6.证明直线和平面垂直的常用方法：判定定理；垂直于平面的传递性（a 6,a a）；面面平行的性质（a _ L a,a归a邛）；面面垂直的性质.7 .利用判定定理证明平面与平面垂直的一般方法先从现有的直线中寻找平面的垂

42、线，若这样的垂线存在，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若这样的垂线不存在，则需通过作辅助线来证明面及其基本性质1 .（2 0 2 2.上海民办南模中学高二开学考试）“平面内有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面内”用符号表述是（）A.a A a B.:A u a J A e a ja e a a e c C.=A e a D,卜=4uaA u a JA&a【答案】B【分析】根据点与线、点与面、线与面关系的集合表示方法，结合排除法，可得正确选项.【详解】由点线、点面关系用邑朽表示，线面关系用UU表示，排除A、C、D；故选：B2.（2 0 2 2 上海华师大二附中高二期末）设 小 生今为空间中

43、的四个不同点，则“小 生%中有三点在同一条直线上”是“小 牛 舄、与在同一个平面上 的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件【答案】A【分析】由公理2 的推论（1）（2）即可得到答案.【详解】由公理2 的推论：过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面，可 得 小 生 鸟、已在同一平面，故充分条件成立；由公理2 的推论：过两条平行直线,有且只有一个平面，可得,当 u、P】w l 、P 皿 2、时,口、生 鸟、E在同一个平面上，但片、库舄、巴中无三点共线，故必要条件不成立；故选:A【点睛】本题考查点线面的位置关系和充分必要条件的判断,重点考查公理2 及其推

44、论;属于中档题；公理2 的三个推论：经过一条宜线和直线外一点，有且只有一个平面;（2）经过两条平行直线,有且只有一个平面；（3）经过两条相交直线,有且只有一个平面；3.（20 21.上海.复旦附中高二期中）若 Aw面a ,Be面a,面a ,则平面A B C 与平面口的位置关系【答案】相交【分析】根据给定条件利用平面的基本事实直接判断即可.【详解】因Ae面a,8e 面a,C 面a ,则面ABC 与面a有公共点A,且不重合，所以面A B C 与面a的位置关系是相交.故答案为：相交4.（20 21 上海市大同中学高二阶段练习）己知N 8 A C=N BHG，A B/AtBt,则AC 与AG的位置关系

45、是【答案】平行或异面或相交或重合【分析】利用长方体，结合题设条件在不同的顶点标上8,A,C,B 1，A，G，即可判断AC 与A&的位置关系.【详解】由题设可得如下四种情况:是平行、异面、相交、重合都有可能.A AC 与AG的位置关系故答案为：平行或异面或相交或重合直线与直线间的位置关系1.（20 22.上海市建平中学高二阶段练习）不同在任何一个平面上的两条直线的位置关系是【答案】异面【分析】根据异面直线的定义，直接判断.【详解】不同在任何一个平面上的两条直线的位置关系是异面.故答案为：异面直线与平面间的位置关系1.（2021上海奉贤区致远高级中学高二阶段练习）设孙是两条不同的直线，a 表示平面

46、，下列说法正确的 是（）A.若 zn/a,nua,则 zn/B.若 m a,m l.n,则 _ LaC.若 a,则”/a D.若相J_a,n i l a,则，【答案】D【解析】根据线面关系的性质依次判断即可.【详解】对于A,若?/a,“u a,则就/或“7，异面，故 A 错误；对于B,若 i a,m n,则与a 相交、平行或 在 a 内，故 B 错误；对于C,若，J_a,则 a 或”在a 内，故 C 错误；对于D,若?_La,“a,则故D 正确.故选：D.2.（2021上海高二专题练习）若。、匕是异面直线，则下列命题中的假命题为（）A.过直线。可以作一个平面并且只可以作一个平面a 与直线6 平

47、行B.过直线。至多可以作一个平面a 与直线b 垂直C.唯一存在一个平面a 与直线。、匕等距D.可能存在平面a 与直线。、4 都垂直【答案】D【分析】在 A 中，把直线b 平移与直线。相交，确定一个平面内平行于b；在 B 中，反设过直线a 能作平面。、?使 得 b_La、推出矛盾；在 C 中，过异面直线。、b 的公垂线段的中点作与该公垂线垂直的平面可满足条件；在 D 中，若存在平面a 与直线a、匕都垂直，则【详解】在 A 中，由于。、方是异面直线，把直线b 平移与直线。相交，可确定一个平面，这个平面与直线b 平行，A 选项正确；在 B 中，若过直线。能作平面a、4 使得。J_ a、b l。,则c

48、/,这与c c/y =a 矛盾，所以，过直线。最多只能作一个平面a 与直线。垂直，由a u a,可得当直线。与6 不垂直时，过直线。不能作平面与直线。垂直，B 选项正确；在 C 中，由于。、b 是异面直线，则两直线的公垂线段只有一条，过该公垂线段的中点作平面。与该公垂线垂直，这样的平面a 有且只有一个，且这个平面a 与 直 线 6 等距，C 选项正确；在 D 中，若存在平面a 与直线。、b 都垂直，由直线与平面垂直的性质定理可得a/，D 错误.故选：D.【点睛】本题考查命题真假的判断，着重考查与异面直线相关的性质，考查推理能力，属于中等题.3.（2021上海奉贤区致远高级中学高二阶段练习）Rt

49、AABC的 直 角 边 在 平 面 a 内，顶点C在平面a 外,则直角边8C、斜边AC在平面a 上的射影与直角边A 3组成的图形是（）A.线段或锐角三角形B.线段或直角三角形C.线段或钝角三角形D.线段、锐角三角形、直角三角形或钝角三角形【答案】B【分析】分两种情况，平面ABC与面a 垂直，平面ABC与面a 不垂直时，由三垂线定理即可求解.【详解】若平面ABC与面a 垂直，则直角边BC、斜边AC在平面a 上的射影即为线段.，若平面ABC与面a 不垂直，设点C 在平面a 内射影为C,则直角边8C、斜边AC在平面a 上的射影分别为8C,A C,因为比 ，面。，A B 面a,所 以C C A B,因

50、为A3_LBC,B C c C C =C,所以 ABLlffiBCC,因为B C u面B C C,所以可得A 8 C 为直角三角形，故直角边8C、斜边AC在平面口 上的射影与直角边A 8组成的图形是直角三角形，综上所述：直角边3C、斜边AC在平面a 上的射影与直角边A 3组成的图形是线段或直角三角形，二、填空题4.（2020.上海市七宝中学高二期末）平面a 外的直线。与平面a 所成的角是凡则。的 取 值 范 围 是.【答案】【分析】根据直线在平面外包含：直线与平面相交、直线与平面平行，即可求解.【详解】直线。在平面a 外包含两种情况：直线。与平面a 相交、直线。与平面a 平行.当直线。与平面a