2022-2023学年上海九年级数学上学期同步精讲第19讲圆与圆的位置关系（解析版）.pdf

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1、第19讲圆与圆的位置关系图 5知识梳理卜题型探究:LM IBF课后作业知识一、圆与圆的位置关系1.圆与圆的位置关系图 1 1O 圆与圆的位置关系q公共弦 圆与圆位置关系的判断根揭立置关系求r的范围J 求圆心距1公共弦问题1 2图 3)图 4外离：图1中，两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做这两个圆外离.外切：图2中，两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做这两个圆外 切.这个唯一的公共点叫做切点.相交：图3中，两个圆有两个公共点，叫做这两个圆相交.内切：图4中，两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的

2、内部，叫做这两个圆内 切.这个唯一的公共点叫做切点.内含：图5中，两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做这两个圆内含.当两个圆心重合时，称它们为同心圆.综上，一般地，两圆的位置关系有五种情况：外离、外切、相交、内切、内含.两个圆外离或内含时，也可以叫做两圆相离；两个圆外切或者内切时，也可以叫做两圆相切.2.相关概念圆心距：两个圆的圆心之间的距离叫做圆心距.连心线：经过两个圆圆心的直线叫做连心线.3.两圆位置关系的数量表达如果两圆的半径长分别为凡和凡，圆心距为“，那么两圆的位置关系可用与、/?2和 之间的数量关系表达，具体表达如下：两圆外离o d+&；两圆外切。d =+&；两

3、圆相交o因 一 同d4+/；两圆内切o Od=国-&；两圆内含o O4“国-R j .(g).题型探究w题 型-、判断位置关系也【例 1】(1)若两个圆的圆心距为1.5,而两个圆的半径是方程4x 2-2 0 x+2 1=0 的两个实数根，则这两个 圆 的 位 置 关 系 是.【答案】内含【解析】解：V 4x2-2 0 x+2 1=0,二(2 x -3)(2 x-7)=0,解得：x i=1.5,X 2=3.5,两圆的半径分别是1.5,3.5,:两圆的圆心距等于1.5,.这两个圆的位置关系是：内含.故答案为内含.(2)已知点A(4,0),3(0,3),如果。A 的半径为2,OB的半径为7,那么。A

4、 与。8的位置关系()A.内切 B.外切 C.内含 D.外离【答案】A斤】解：二 点 4(4,0),8,0,3),.MB=742+32=5，(DA与。8 的半径分别为：2 与 7,半径差为：7-2=5,.这两圆的位置关系是：内切.故 选:A.(3)在 RtAABC中，/B=9 0。，BC=3,cosA=1,以点A 为圆心，石为半径作圆，再以点C 为圆心,2 为半径作圆，那 么 这 两 圆 的 位 置 关 系 是.【答案】外离【解析】解：如图，V ZB=90,cos A=.设 AB=4x,AC5x,AC 5.BC=3x,/.3 x=3,解得x=l,.*.AC=5,:也 3,2+石 5,.以点4

5、为圆心，&为 半 径作圆和以点C 为圆心，2 为半径作圆相外离.故答案为外离.题型二、根据位置关系求rW,【例 2】(1)已知两圆半径分别为3和 5,圆心距为d,若两圆没有交点，则 d的取值范围是【答案】0 V d 8.【解析】解：两圆相离有两种情况：内含时圆心距大于等于0,且小于半径之差，故0Wd 8,所以”的取值范围是0 W d 8.故答案为：0 4 d 8.(2)已知两圆半径分别为3 和 7,圆心距为4,若两圆相离，则 d的取值范围是【答案】0 4八 4或d 1 0【解析】解：两圆相离有两种情况：内含时圆心距大于等于0,且小于半径之差，故0 4 d 1 0.所以d的取值范围是0 4 d

6、l().(3)己知。和。2 的半径长分别为3 和4,若。1 和。O?内切，那 么 圆 心 距 的 长 等 于【答案】1【解析】0 1 和。2 内切,，圆心距。2为：4-3=1,故答案为：1.(4)如图，已知扇形AOB的半径为12,OAYOB,C 为。4 上一点，以AC为直径的半圆。1和以0 8 为直径的半圆。2相切，求半圆。1的半径.【答案】半圆。的半径为4.【解析】解：连 接 设 两 圆 半 径 分 别 为 4、4,可知：4=6半圆。I和半圆。2外切，0。2=4+4=6+4:(90,=12-/,在 RtAO.OO,中，0,0；=0 0：+OO-,.-.(6+/;)2=(1 2-Z;)2+62

7、,解得4=4,.二半圆。的半径为4.ot3题型三、求圆心距【例3】已知两圆的半径分别为1和3.若两圆相切，则两圆的圆心距为【答案】4或2【解析】解：两圆的半径分别为1和3,若两圆内切,则两圆的圆心距为：3-1=2；若两圆外切，则两圆的圆心距为：3+1=4；两圆的圆心距为4或2.故答案为4或2.【例4】如图，已知。4、0B和0 C两两外切，A8 =5厘米，B C =6厘米，AC =7厘米，求这三个圆的半径.答案 1&=3cm,RH=2cm,Rc=4cm.解析】OA、0 8 和0 C 两两外切，A8=5 厘米，8 c=6 厘米，AC=7 厘米,此+(=5RB+RC=6,解得，&+r=7此=3(=2

8、,凡=4/.这三个圆的半彳仝分别是=3cm,RH=2cm,R(=4cm.r举一反三1.己知。A与。8 的半径分别是6 和 8,圆心距A3=2,那么OA与。3 的位置关系是（）A.相交B.内切C.外切D.内含【答案】B【解析】Qe A与0 8 的半径分别是6 和 8,圆心距48=2,X-.-AB=8-6=2 0 A 与。3 的位置关系是内切，故选:B.2.如果两个圆的圆心距为3,其中一个圆的半径长为4,另一个圆的半径长大于1,那么这两个圆的位置关系不可能是（）A.内含 B.内切 C.外切 D.相交【答案】C【解析】解：一个圆的半径R 为 4,另一个圆的半径/大于1,AR-r5即：R-r2 B.r

9、8 C.2r8 D.2r8【答案】D【解析】解：A的半径AB长是5,点C在AB上，且AC=3,点C到。A的最大距离为8,最小距离为2,与。A有公共点,.,2r8.故选D.4.如果。|和G）。？内含，圆心距0。2 =4,的半径长是6,那 么 的 半 径 厂 的取值范围是（）.A.0 r 2 B.2r10 D.0 r10【答案】D【解析】根据题意得：04 0。20.002=4.-.4 4 或6-r T0 v r 100。2的半径r 的取值范围是：0 r10故选：D.5.如图，/例。N=30。，p 是NMON的角平分线，PQ 平行。N 交。M 于点Q,以 P 为圆心半径为4 的圆ON相切，如果以。为

10、圆心半径为r 的圆与OP相交，那么r 的取值范围是（）A.4r12 B.2r12 C.4r4【答案】A【解析】过点Q 作 QALAN于 A,过点P 作 PBLON于 B,?PQON,APQIPB,ZQAB=ZQPB=ZPBA=90,四边形ABPQ是矩形,AQA=PB=4,/M O N=3 0。,/.OQ=2QA=8,O P 平分NMON,PQ/ON,:.Z QOP=Z PON=Z QPO,PQ=OQ=8,当以。为圆心半径为r的圆与尸相外切 时,r=8-4=4,当以Q为圆心半径为厂的圆与。尸相内切时，y8+4=12,，以。为圆心半径为的圆与。P 相交，4r12,故选：A.6.半径分别为1和 5

11、的两个圆相交，它们的圆心距可以是（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】半径分别为1 和 5 的两圆相交，此时两圆的圆心距为：5-lJ5+l,.4J 5 或【解析】,两圆半径分别为2cm和3 c m,两圆相离，它们的圆心距“满足：d 5或 0 3/V 1,故答案为：d 5 或 0 3/1.38 .如图，已知。是/BA C的边A C上一点，AQ=5,c o t Z B A C=-,点 P是射线A B上一点，联结P Q,4。经过点A 且 与 0P相切于点P,与边A C相交于另一点。.(1)当圆心。在射线A B上时，求。的半径；(2)当圆心。到直线A B的距离为之时，求线段A P的长；4

12、(3)试讨论以线段PQ长为半径的。P与。的位置关系，并写出相应的线段A P取值范围.备用图【答案】(1)2；(2)3或9+3炳;(3)当。与。尸内含时，0 C A P C 1 2.当。与。尸内切时，AP2 4=1 2.当。与。P相交时，1 2 V AP V I 8【解析】解：(1)如图,.点。在 办 上，P。是。的切线，：.PQLAP,AP 3cotZPAQ=PQ=-,，可以假设布=3 k,P Q=4k,则 A Q=5 A=I 5,.k=3,二%=9,P Q=1 2,9的半径为9.2(2)如图，当点0在射线A B的上方时，过 点Q作Q K _ L A 8于K,过点。作O H _ L A B于”

13、.P。是。的切线,，ZPH O=ZO PQ=NPKQ=90。,Z O P H+Z Q P K=90,Z Q P K+Z P Q K=90,.P H O HQKyK设%=2胆，则 PK=92m,3tn _ 412-9-2/n3解得，?=或-3,3经检验，是分式方程的解，口.符合题意.AP=3.如图，当点。在射线A 8的下方时，同法可得 尸=9+3 M.综上所述，满足条件的A P的值为3 或 9+3炳2(3)如图，当。P 与O O 内切时,八 OP PH 1由POSZQKP,可 得 右=左=7,?OH1AP,:,AH=PH,：.AP=2PH,QK=2PHf：.PA=QK=2f如图，当。与AC相切于

14、点A时，NOAQ=NOPQ=90。，OQ=OQ,OA=OP,：.RtA OAQgRlA OPQ(H L),：.AQ=PQ,O A =O尸,，。垂直平分线段A P,：.AP=2AH=18,观察图像可知：当。与。P内含时，0 V A P V 1 2.当。与。P内切时，AP=12.当。与。P相交时，1 2 C A P C 1 8.知识二、公共弦相关定理（1）如果两圆相交，那么它们的两个交点关于连心线对称，于是，可推出以下定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦.（2）如果两圆相切，可归纳出以下定理：相切两圆的连心线经过切点.。一 题 型探究【例 5】若三圆两两相交得到三条公共弦，则这三条弦所在直线

15、的位置关系是（）A.平行 B.相交于一点C.平行或交于一点 D.有两条弦平行，第三条与它们相交【答案】C.【解析】.三圆两两相交得到三条公共弦，三条公共弦垂直于三条连心线，如图:Q【例 6】（1）已知。&与。2 相交于A、B两点，如果。|、。2 的半径分别为1 0 厘米和1 7 厘米,公共弦A8的长为1 6厘米，那么这两圆的圆心距0 2 的长为 厘米.【答案】9或 2 1【解析】解：当点O i 在。0 2 外时，连接OQ2,交 AB于点D,与。0 2 相交于A、B两点，.,.O1O21AB,且 AD=BD；XVAB=16 M,，A D=8 厘米，.在R t A A O i D 中，根据勾股定理

16、知02=而 多=6（厘米）；在 R t A A O 2 D 中，根据勾股定理知C h D=J i 7 2-8 2 =1 5（厘米），.,.OIO 2=OID+O 2 D=2 I 厘米：当点0 1 在。0 2 内时，连接0 2 O i 并延长，交 AB于点D,同理可得：0|。2=1 5-6=9 （厘米）.故答案为：2 1 或 9.（2）已知相交两圆的半径长分别为8与 1 5,圆心距为1 7,则这两圆的公共弦长为【答案】得2 4 0.【解析】解：在以两圆的一个交点和两圆圆心为顶点的三角形中,其三边分别为8,1 5,1 7,由于 1 72=1 52+82,这个三角形是以1 7 为斜边的直角三角形,.

17、8 x 1 5斜边上的图=下 一1 2 0n4 八e”c 1 2 0 2 4 0故公共弦长=2 乂 丁 丁 =,故答案为2答4 0.4【例 7】如图，已知。的半径为5,。尸与。外切于点A,经过点A的直线与。0、0P分别交于点(1)求 AB的长;(2)当N O C 4 =N O P C 时，求。P的半径.9【答案】(1)A B =4：(2)。尸的半径为力.1 6【解析】(1)作O A 7 _ L A B 于M，如图,在 中，ta nzOAM=AM 2设 OM=M x，AM=2x,OA=!OMZ+AM2=5x，5x=5,解得 x=1,AM=2,OM=际，,:OM LAB,：.AM=BM，:.AB=

18、2AM=4(2)作尸N，AC于N,如图，则4V=C N,设。尸的半径为，e-OM/AN,PANOAM,.-P-A-AN Hn r AN=-,R J=-,OA AM 5 22解得AN=g r，4AC=2AN=r,54：.MC=AC+AM=-r+2f在 RjOMC 中,OC2=OM2+MC-=(V21)2+(1r+2)2,:NOC4=NOPC,而 NAOC=NCOP,：YOACS AOCP,:.OC:OP=OA:OC,OC2=OA OP=5（5+r）,：.）a（g r+2）2=5（5 +r）,整理得16产-9r=0,9解得4=0（舍去），5=弓,1 69即O P的半径为71 6举一反三1.已知两等

19、圆的半径为5 cm,公共弦长为6 cm,则圆心距为【答案】8cm【解析】解：连接O Q 2,设两圆的公共弦为AB,故 OiCh_LAB,两等圆的半径为5cm,公共弦长6cm,AC=BC=3cm,AOi=5cm,CO i=CO2=-A C2=52-32=4(c m),-0102=8(c m),故答案为：8cm.Q=课后作业1.已知。A、OB、G）C 的半径分别为2、3、4,且 A B=5,A C=6,8C=6,那么这三个圆的位置关系（）.A.OA 与。8、OC 外切,O B 与。C 相交B.OA 与。B、0 c 相交,0 8 与。C 外切C.。8 与。A、（DC 外切,O A 与。C 相交D.与

20、。A、。相交,O A 与。C 外切【答案】A【解析】V O A.。8、O C 的半径分别为2、3、4,：.AB=5=2+3,AC=6=2+4,BC=6lB.W5C.l r 5D.lr5【答案】D【解析】解：如图，当。8 在。内部且有唯一公共点时，。8 的半径为：3-2-1,当。在O B 内部且有唯一公共点时，O B 的半径为3+2=5,如果。8 与。有公共点，那么。8 的半径 的取值范围是1;5,故答案为：D.3.对于命题：如果一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这个圆内含；如果一个圆上所有的点都在另一个圆的外部，那么这个圆外离.下列判断正确的是（）A.是真命题，是假命题 B.是假命题，是

21、真命题C.、都是真命题 D.、都是假命题【答案】A【解析】解：如果一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这两个圆内含，是真命题；如果第一个圆上的点都在另一个圆的外部，那么这两个圆外离或内含，故原命题是假命题；故选：A.4.与。2的半径分别为1和 3,那么列四个叙述中，错误的是（).A.当2 。0 2 4 时，。|与。2 有两个公共点;B.当。,与。2 有两个公共点时，2 O,f t 4；C.当OWOR 2时，与。2 没有公共点；D.当。与。2 没有公共点时，O O R 2.【答案】D【解析】当2 。0 2 4 时，与。2 相交，有两个公共点，故选项A描述正确；当。1 与。2 有两个公共点时，

22、2 0 0 2 4,故选项B描述正确；当O W O Q 2 时，。1 与。2 没有公共点，故选项C描述正确；当。1 与。2 没有公共点时，0WQQ 4,故选项D描述错误；故选：D.5.已知。1 的半径长为2,若。2 （。2与。I 不重合）上的点P 满足pq=2,则下列位置关系中，（3。1 与。2不可能存在的位置关系是（）A.相交 B.内切 C.外切 D.外离【答案】D【解析】解：由。的半径长为2,且？。=2,与。2的位置关系可能是相交、内切、外切；不可能是相离;故选D.6.下列命题中，正确的是（）A.三点确定一个圆B.平分弦的直径必垂直于这条弦C.已知两圆的半径分别为4和 4,圆心距为d,如果

23、两圆外离，贝+4D.圆心角相等，它们所对的弧也相等【答案】C【解析】A、不在同一条直线上的三点确定一个圆，此项错误B、平 分 弦（非直径）的直径必垂直于这条弦，此项错误C、由圆与圆的位置关系可知，已知两圆的半径分别为 和 4,圆心距为d，如果两圆外离，则d4+4,此项正确D、在同圆或等圆中，圆心角相等，它们所对的弧也相等，此项错误故选：C.7.已知。O i与。的直径长4 厘米与8 厘米，圆心距为2 厘米，那么这两圆的位置关系是（）A.内含 B.内切 C.相交 D.外切【答案】B【解析】解：由题意可知：n=2,r2=4,圆心距d=2,d=n-n,二.两圆相内切，故选：B.8.已知两圆的半径分别为

24、2 和 5,如果这两圆内含，那么圆心距4 的取值范围是（）A.0d3 B.0d7 C.3 c d 7 D.0J3【答案】D【解析】解：由题意知，两圆内含，则 0Wd5-2（当两圆圆心重合时圆心距为0）,即如果这两圆内含，那么圆心距d 的取值范围是0 q 3 B.r2 9 C.3 乃9 D.3“49【答案】D【解析】由题意得，的圆心2在 的 内 部如果。1与0。2有交点，则有如图所示的两个临界位置因此有I2 训-0 0 2石+002即.5 2 6 3r2 6+3解得故选：D.11.如图，已知NPOQ=30。，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的。A与直线OP相切，半径长为3的

25、。B与。A相交，那么O B的取值范围是（）A.5O B 9 B.4O B 9 C.3O B 7 D.2O B 7【答案】A【解析】设。A 与直线O P相切时切点为D,连接AD,AAD1OP,V ZO=30,AD=2,.OA=4,当。B 与O A 相内切时，设切点为C,如 图 1,VBC=3,.*.OB=OA+AB=4+3-2=5；当。A 与。B 相外切时，设切点为E,如图2,OB=O A+AB=4+2+3=9,半径长为3 的。B 与。A 相交，那么O B的取值范围是：5O B 两圆半径 为3;和7:，2 23 7圆心距=5,2 2两圆外切，有三条公切线.故选C.1 4.图中的三块阴影部分由两个

26、半径为1 的圆及其外公切线分割而成，如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，则这两圆的公共弦长是（）A.更 B.也 C.25-汀2 2 1 21 兀OP二：AB=一，2 4 EP=y/OE2-O F2=Jjf=；.EF=2EP=!而彳.2故选：D.1 5.两圆的半径分别为3 和 4,圆心距为d,且这两圆没有公切线，则 d 的取值范围为()【答案】D【解析】解：AB,CD 为两等圆的公切线，四边形ABCD为矩形,BC=2,设中间-块阴影的面积为S，:中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，ABCAB-(S ra AD+S MBC-S)=S,B P 2AB-jfl2+S=S,D.4 1 6-后

27、2A.d7B.Id7C.3d4D.0d 1【答案】D【解析】解：:两个圆没有公切线，.两圆内含,.两圆的半径分别为3 和 4,圆心距为d,.,.0d4-3,B|J 0d/7=V 7.二 ABC 的面积=1 x 6 x/=3 或，2故答案为：3币.1 7.如图，正方形4 8 c o 中，E 是 BC边上一点，以E 为圆心、EC为半径的半圆与以A 为圆心，A 3为半径的圆弧外切，则 S 四 边 形 A D C E:S 正 方 形 ABCD的值为.【答案】IO【解析】如图：过点E 作 EF垂直于A D,交 AD于点F,可得 N M 4=90。，设 EC=x,AB=y,四边形ABCD为正方形，AD=A

28、B=BC=CD=y,ZADC=NDAB=ZABC=ABCD=90。,.,四边形DFEC为矩形，/.EF=DC=y,.AF=AD-D F=A D-C E=y-x f在 RtAEF中，根据勾股定理得：AE1=EF2+AF1即(x+y)2=y 2+(y-x)2,整理得：y =4 x,即x =4-S 材 柩A D C E=；(E C +A )x 8=；y(x+y),将x =；y代 入;y(x +y)得：整理得：S w A D C E=y2，oTS 正 方 形 ABCD=y2，5 2 2 5s 梯 比 ADCE:S 正 方 影 ABCD 二弓 V:丁 =Wo o1 8.如图，已知R S A B C,Z

29、C=9 0,A C=3,B C=4.分别以点A、B为圆心画 圆.如果点C在。A内，点B在。A外，且。B与。A内切，那么。B的半径长r的取值范围是.【答案】8 r 1 0【解析】试题分析：如 图1,当C在。A上，OB与(D A内切时,OA的半径为：A C=A D=4,O B 的半径为：r=A B+A D=5+3=8；如图2,当 B 在。A 上，O B 与。A 内切时,（DA的半径为：AB=AD=5,O B 的半径为：r=2AB=IO；.G）B 的半径长r 的取值范围是：8r10.故答案为8r10.1 9.如图，在正方形ABCD中，AB=1 0,点 E 在正方形内部，且 AEJ_BE,c o t/

30、B A E=2,如果以E 为圆心，r 为半径的。E 与以CD 为直径的圆相交，那么r 的取值范围为【答案】3君-5 r 3 石+5【解析】解：设 A B的中点为G,连接E G,延长BE交 CD于 H,VAE1BE,NAEB=90。,.EG=yAB=5,在正方形 ABCD 中，ZC=ZABC=90,ZBAE+ZABE=ZABE+ZCBH=90,.ZCBH=ZBAE,Becot Z B AE=cot ZCBH=2,CH.C H=|B C=yC D=5,点H是以CD为直径的圆的圆心，设 BE=k,AE=2k,.,.AB=75k=IO,；.k=2 石,.BE=2 忖；NC=90,BC=10,CH=5,

31、BH=7IO2+52=5 石，；.EH=BH-BE=3右，为半径的。E与以CD为直径的圆相交,；.r的取值范围为3君-5r3出+5,故答案为：3指-5 r r),两圆的圆心之间的距离为d,若 两 个 圆 外切 则d=R+r,若 两 个 圆 内 切 则d=R-r,己知两圆的半径分别为方程x2+mx+3=0的两个根,当两圆相切时，已知这两个圆的圆心之间的距离为4,则m的值为.【答案】-4 或-2 0【解析】解:当两圆外切时，d=r+R=-m=4,解得：m=-4；当两圆内切时，d=R-r=4,则 R=r+4,V R r=3,:.(r+4)r=3,解得：厂-2或厂+2(舍去)R=r+4=7 7+2,R

32、+r=-m,B P:5/7-2+7 7+2=-m,解得：m=-2 V 7，故答案为：-4 或-2 正.2 2.已知：如图，与。O?外切于点T,经过点T 的直线与。分别相交于点A 和点8.(1)求证：OXAHO2B.(2)若。A=2,O2B=3,AB =7,求 A 7的长.【答案】（1）见解析；（2）AT=y【解析】（1）证明：联结。1。2，即。为连心线,又丁。|与。2 外切于点兀 。0 2 经过点7；0仆=0 3 0 0 =0江、：.NA=L A,Z B =ZO2TB,.ZOJA=ZO2TB t ZA=ZB,O.A/O2B.(2)-O.A IIO2B,.AO.AT诚 一 行；V 01A=2,O

33、2B=3,AB=7,.2 AT.一=-.3 1-A T1 4解得：AT=.T.2 3.已知：如图，在 AB C 中，NA8 C=4 5,t a nA=-,4 8=1 4,(1)求：A B C 的面积；(2)若以C为圆心的圆C与直线A B相切，以4为圆心的圆A 与圆C相切，试求圆A 的半径.【答案】(1)4 2;4或 1 6【解析】(1)过 C 作 C D L A B 于 D,3=0 二AD 4AD4 C D3VZABC=45,BD=CD,VAB=14,ACD=6,.ABC 的面积=!仓由4 6=42；22（2）.以C 为圆心的圆C 与直线AB相切，（DC的半径=6,：AD=8,AC=JCD2+

34、AD2=10-设。A 的半径为r,当圆A 与圆C 内切时，r-6=1 0,；r=16,当圆A 与圆C 外切时，r+6=10,.r=4,综上所述：以 A 为圆心的圆A 与圆C 相切，圆 A 的半径为：4 或 16.2 4.如图，在 RtAABC 中，ZACB=90,ZABC=30,AC=10cm,P 为 BC 的中点，动点 Q 从点 P 出发，沿射线PC 方向以石cm/s的速度运动，以 P 为圆心，PQ长为半径作圆.设点Q 运动的时间为t 秒.(1)当 t=2.5s时，判断直线A B 与。P 的位置关系，并说明理由.(2)已知。0 为 RS ABC的外接圆，若。P 与。0 相切，求 t 的值.【

35、答案】(1)相切，证明见解析；(2)1 为5 G s 或士叵s3【解析】(1)直线A B 与O P相切.理由：作 PH LAB于 H 点，；NACB=90。，NABC=30。，AC=10,.,.AB=2AC=20,BC=1O5；P 为 BC的中点ABP=5.,.PH=-BP=,2 2当 t=2.5s 时，PQ=73X-=，2 2A PH=PQ=.,.直线 AB 与。P 相 切，(2)连结OP,为 A B 的中点，P为 BC的中点，.O PjAC=5,V O O 为 RtA ABC的外接圆,A B为。的直径，。0 的半径OB=IO,：O P 与。O 相 切，PQ-OB=OP 或 OB-PQ=OP

36、 B|J 百 t-10=5 或 1 ()-6 t=5,t=5 石 或 t=,故当t 为5 6 s 或 乎 s 时，O P 与。O 相切.备用图25.如 图，在zL4BC中，4B=4C=10,BC=16,M为BC的中点 4 的半径为3,动点。从点B出发沿BC方向以每秒1 个单位的速度向点C运动，设运动时间为t秒.(1)当以。8 为半径的。0 与 相 切 时，求t 的值;(2)探究：在线段BC上是否存在点0,使得。与直线AM相切，且与。4相外切？若存在，求出此时，的值及相应的。的半径；若不存在，请说明理由.【答案】当t =或t =h 0。与0 4相切；存 在，当1 =：或 =争 寸，r =；，O。

37、与直线A M相切并且与0A相外切，理由见解析.【解析】解：在ZL4 B C中，：AB=AC,M为B C中点，.AM 1 BC.在R t/MB M中，AB=1 0,BM=8,：.AM=6.当。与。4相外切，可得(t +3)2=(8 -t)2+6?解得t =g.当。与 相 内 切，可得(t -3)2=(t-8)2 +6 2解得t =*当t =|或t =寸，00与04相切.(2)存在.当点。在8 上运动时(0 t 8),可得(8 -t)2+62=(8 -t +3尸解得t =此时半径r =2当点。在M C上运动时(8 t W 1 6)可得(t -8)2 +6 2 =(t -8 +3/解得t =y.此时半径r =|.当t=g或t=g时，r=p。与直线力M相切并且与。a相外切.