2022-2023学年人教A版高二数学上学期同步讲义拓展二：与圆有关的最值问题(解析版).pdf

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1、拓展二：与圆有关的最值问题含 高频考点考点一圆上动点到定点的距离的最值问题考点二圆上动点到定直线的距离的最值问/考点三圆的切线长最值问题考点四直线与圆的位置关系求距离的最值与圆有关的最值问题、考点五与圆的弦长有关的最值问题（最长弦、最短弦问题）考点六与斜率.距离.截距有关的圆的最值问题考点七利用对称性求最值知识梳理知识点1 圆的最值问题求解与圆有关的最值问题，其通法是数形结合和转化化归思想，其流程为:第一步：定型根 据 题 目 条件 确 定 最 值问题的类型第二步：作图根据几何意义，画出图形，利用数形结合思想求解第三步：求值根 据 图 形，利 用 相 关知识求解与圆有关的最值问题主要表现在求几

2、何图形的长度、面积的最值,求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面.解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化圆的最值类型：一、圆上动点到定点距离的最值问题圆外一点P 到圆C 上点的距离距离的最大值等于I PC I+r,最小值等于|PC|一八圆内一点P 到圆C 上点的距离距离的最大值等于|P C|+r,最小值等于r-PC.二、圆上动点到定直线的距离的最值问题圆 C 上的动点P 到直线1距离的最大值等于点C 到直线1距离的最大值加上半径，最小值等于点C 到直线/距离的最小值减去半径.三、圆的切线长最值问题四、由直线与圆的位置关系求距离的最值五、过圆内定点的弦长的最值问题(最长弦、最

3、短弦问题)设 点 M 是圆C 内一点，过 点 M 作圆C 的弦，则弦长的最大值为直径，最小的弦长为2尸 二)为六、与斜率、距离、截距有关的圆的最值问题处理与圆有关的最值问题时，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解.与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：(1)形 如“=三的最值问题，可转化过定点(a,加的动直线斜率的最值问题求解.(2)求形如“=a x+切的最值，可转化为求动直线截距的最值.具体方法是：数形结合法，当直线与圆相切时，直线在y 轴上的截距取得最值；把“=好+切代入圆的方程中，消去y 得到关于x 的一元二次方程，由求得“的范围，进而求得最值.(3)

4、求形如“=(%一。)2+。一加2的最值，可转化为圆上的点到定点的距离的最值，即把(丫一。)2+。一刀2看作是点(a,5)与圆上的点(x,y)连线的距离的平方，利用数形结合法求解.七、利用对称性求最值形如|四 I+IPQI形式的与圆有关的折线段问题(其中P,Q 均为动点)，要立足两点：减少动点的个数.“曲化直”，即折线段转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.N颔 考点精析考点一圆上动点到定点的距离的最值问题 J1-1 圆(x-3)2+(y-4=1上一点到原点的距离的最大值为()A.4B.5C.6D.7【解析】圆（3丫+（k4）2=1的圆心为（3,4）,半径为1,圆心到原点的距离为5

5、 3?+4?=5，所以圆上一点到原点的距离的最大值为5 +1 =6.故选：C变 式1：已知圆C:x 2 +y 2 +2 x-2 n 7 y-4-4 z =0 Q w R）,则当圆C的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为（）A.0 B.6C./5-1 D./5+1【解析】根据题意，圆 C:/+V+2X-2I），-4-4W7=0（MJ R）,变形可得（x +1 1 +（y -，）2 =m2+4，+5.其圆心为（-1,加），半径为r,贝（r=机2+4机+5 =（帆+2）2+1 ,当圆C的面积最小时，必有?=-2,此时/=1.圆C的方程为（x +l f+（y +2）2=l,圆心C到原点为距离

6、d=+4 =/5 ,则圆上的点到坐标原点的距离的最大值为d+r =石+1 .故选：D.变 式2：已知点P Q,2）,点M是圆。|：/+（-1）2=!上的动点，点N是圆。,：*-2）2 +丁=！上的动点，4 4则I P NI-I P M I的最大值是（）A.7 5-1 B.7 5+1 C.2-#D.3-7 5【解析】圆。1：/+（-1）2=；的圆心为（0,1）,半径为3，圆。2 ：（X-2）2 +丁=；的圆心为a（2,0）,半径为3,因为点P（2,2）,点M是圆。上的动点，点N是圆。2：。-2）2 +丁=；上的动点，所以的最大值是P O J+；卜|=|尸0 一归|+1=2_ 7+1=3 _逐.故

7、选：D变 式3：在平面直角坐标系x O y中，已知圆O：x2+y2=,点3（2,0）,过动点/,引圆。的切线，切点为T.若|可|=0|尸网，则I 阳 长 的 最 大 值 为()A.2 +V 7 B.-2 +近 C.4 +W D.4-而【解析】设尸(x,y),因为P T 与圆相切，7为切点，=故 附|2=2 怛8,所以忸0-1 =2 俨8/，+y2-l=2(x-2)2+2y2,整理得(x-4)2 +/=7,所以尸的轨迹是以(4,0)为圆心，以 近 为半径的圆，8(2,0)在圆内，所以归用长的最大值为2 +近.故选：A .考点二圆上动点到定直线的距离的最值问题【例2-1】已知动点尸在曲线(x-+(

8、y+l)2=4 上，则动点尸到直线-)，=0 的距离的最大值与最小值的和为.【解析】设曲线(x-l)2+(y +l)2=4 的圆心A坐标为半径r=2,|l x l +(-l)x(-l)|圆心A到直线x-y =o的距离为 =血,动点尸到直线x-y =0 的距离的最大值为 +r =2 +0动点尸到直线X丫 =0 的距离的最小值d-r =2-正，所以动点P到直线X-y =0 的距离的最大值与最小值的和为2+6 +2-近=4.故答案为：4变 式 1：P 为。C:/+y 2-2 x-2 y =0 上一点，。为直线/：2%-2)，-7 =。上一点，则线段尸2长度的最小值为()A.逑 B.空 C.逑 D,2

9、 夜4 3 3【解析】圆C 的标准方程为(x l)2+(y l)2=2,圆心为C(U),半径r=&,则圆心c到直线/的距离为d=等 二3=、=坐,6 +2 2 2&4所以圆C上的点P到直线/上的点。的最小距离|P Q|“n=-=乎-&=乎，故选：A.变 式2：圆C：（犬-4）2+（丫-5）2=4上的动点尸至!直线，：，n r +y ，-1 =0的距离的最大值是（）A.6 B.7 C.8 D.9【解析】直线g+y-帆-1=0所过的定点坐标为（1,1）,圆c：（x-4y+（y-5）2=4的圆心坐标为C（4,5）,半径为2,当圆上的动点尸到直线，n r+y-1 =0的距离最大时，即为圆上的动点尸到定

10、点（1,1）的距离最大,已知圆心C（4,5）到定点（1,1）的距离为J（4-l）2+（5-l）2 =5,所以距离的最大值为5 +2 =7.故选：B变 式3:阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德.欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点尸到两个定点的距离之比为常数2 （2 0,且4）,那么点尸的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点C到A（T,0）,8（l,0）的距离之比为由，则 点C到直线-2），+8 =0的距离的最小值为（）A.2/5-V 3B.7 5-7 3 C.2#）D.由【解析】设C（x，y）,则 螺=,即|C SI 忙U 二 百,化简得（x-2）?+y 2

11、=3,必-炉 +丁所以点C的轨迹为以。（2,0）为圆心，厂=石 的圆，则圆心。到直线x-2 y +8 =0的距离J=|2-2X0+8|=2所以点C至I J直线x-2 y +8 =0的距离的最小值为2人-g故选：A变式4：瑞士著名数学家欧拉在1 7 6 5年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作AABC,AB =AC =4,点8（-1,3）,点C（4,-2）,且其“欧拉线”与圆M:（x-a）?+（y -a+3 =/相切.则圆M上的点到直线x-y+3 =0的距离的最小值为（）A.2 7 2 B.3 V 2 C.4 7 2 D

12、.6【解析】因为在AABC中，A B =AC =4所以B C 边上的高线、垂直平分线和中线合一，则其 欧拉线”为 A B C 边 的 垂 直 平 分 线 A。，因为点B(-1,3),点 C(4,2),所以3 +2因 为 直 线 的 斜 率 为 一=-1,所以8C 的垂直平分线的斜率为1-1-41 3所以8。的垂直平分线方程为y 3 =即x -y 1 =0因为 欧拉线 与圆“：0-。)2+0-。+3)2=/相切所以可得圆心(。,。-3)到“欧拉线”的距离为|U,Q +3 -1|r.r-5/2圆心(。,a-3)到 直 线 y+3 =0的距离为3 7 2。一。+3 +3 1由圆的对称性可知，圆M上的

13、点到直线x -y+3 =0的距离的最小值为30-&=2 J 5故选:A【例 2-2】已知点A(T,0),B(0,2),点尸是圆C：(x T)2+y 2=i 上任意一点，则 面 积 的 最 大 值 与 最小值分别是()A.2,2 乎 B.2+坐,2 一坐 C点,4-y5 D 坐+1,坐一 1【解析】由题通知|4 8|=最(-1)2+(_2)2=邓,IAH：2 x y+2=0,由题意知圆C 的圆心坐标为(1,0),圆 心 到 直 线 的 距 离 z=/|=，.W+i 5:.SPAH的最大值为3 X y5 X 停$+1)=2+坐SA/M”的最小值为:义邓义3-1)=2 一 卓 故 选 B变 式 1：

14、直线x+y+2=0 分别与x轴，y轴交于A,3两点，点尸在圆(工-2)2+y=2 上，则 A BP 面积的取值范围是()A.2,6 B.4,8 C.g,32 D.22,32【解析】设圆(x-2)2+y2=2的圆心为C,半径为r,点尸到直线x+y+2=0的距离为d,则圆心C(2,0),r12+21二 小,所以圆心C 到直线x+y+2=0 的 距 离 为 工?=2限，可得 d m a x=2 S+r=W i,dmin=2 巾 一 r=巾.由已知条件可得|4阴=2、隹，所 以 面 积 的 最 大 值 为 3|ABMma、=6,A A B P面积的最小值为;3 5 卜麻山=2.综上，A 8P 面积的取

15、值范围是2,6.故选A变式2:已知点4(一2,0),3(0,2),若 点 C 是圆好一加工+产+/一i=o 上的动点，A B C面积的最小值为3 1,则a的值为.【解析】因为圆的标准方程(xa)2+y 2=i,圆心0),半径r=l,所以圆心M(a,0)到直线A8:x-y+2=0 的 距 离 罟.则圆上的点到直线A 3的最短距离为/一，=叵 普 一 1.又|4阴=隹”=2啦，故(SAC)mm=；X 2 6 X 出 土 苗&=3 解之得a=l或a=5.变式3:已知直线3 x-4 y-1 =0与圆C:(x-l)2 +(+2)2=16相交于A,5 两点,P 为圆C上的动点,则R48面积的最大值为()A

16、.8百 B.106 C.12A/3 D.16x/3【解析】由C:(r-评+(y+2)2=16可 知:圆 心。(1,_2),半径为4,圆心C到直线AB距离d=艮土|二U=2,叫 4 3 1=2 6一 =2J16-4=4址，田(SmB)max=；IA B M r+)=；x 4 x 6 =12月.故选：C【例 2-3 已知线段A 8是圆C:x2+y2=4的一条动弦，且|AB|=2 6,若点P为直线x+y-4 =0上的任意一点，贝川西+丽|的最小值为()A.2V2-1 B.2V2+1 C.4丘-2 D.4夜+2【解析】取 A 8中点为M,连接月0,OM,因为A3是圆C:/+）=4 的一条动弦，且|阴=

17、2 6,所以|0阂=卜 一（粤）=1，又|丽+丽|=2 两 ,PM+OMOP,即闫 0 1因此，|用+国 取 最 小值，即是|雨 取最小值，所以只需10Pl取最小，又点p 为直线*+y-4=o 上的任意一点，所以点。到直线*+y-4=o 的距离，即是|。凡疝,|-4|-即|0P|.=J =2 0,因此|P M L n=W x l=2 0 _ l,即 I而 +而 I=2PM=4/2-2.I min I I min故选：c.考点三圆的切线长最值问题【例 3-1】设 P 为已知直线/：x+y+4=0 上的动点，过点P 向圆C:（x-2 y+（y+l）2=4作一条切线，切点为Q,则|PQ|的最小值为.

18、【解析】圆（7:（尸 2）2+（尸 1）2=4 的 圆 心 为 2,-1）,半径为“2,由题意得当归2|最小时，CP连线与直线/：x+y+4=0 垂直，所以|C P|=余黑=乎,由勾股定理得I PQ=7lCP|2-22=J-4 =字，所以|P Q|的最小值为 当，故答案为：叵.2变 式1：若圆的半径为1,且圆心为坐标原点，过该圆上一点P作圆(x-4)2+(-3)2=4的切线，切点为Q,则|P Q|的最小值为()A.G B.2百 C.2 D.4【解析】由题意可知，点尸在圆V+y 2=l上，圆(x-4)2+(-3)2=4的圆心C(4,3),半径/*=2过点尸作圆(x-4)2+(y-3)2=4的切线

19、，切点为。，则|P Q|=J|P CT -4当|P C|最小时，|P Q|最小又由点P在圆Y+y2=l上，则|P点的最小值为|O C|-1=，9+16-1=4则 I PQ 的最小值为 J16-4=V 12=2/3;故选：B.变 式2：若圆C:f +y 2-2x +4y +3=0上总存在两点关于直线2 6+勿，+6=()对称，则过圆C外一点(。/)向圆C所作的切线长的最小值是()A.V6 B.2 C.3 D.4【解析】圆C：(x-i y+(y+2)2=2,圆心为C(l,2),半径=0.依题意知，直线2以+勿+6=0过圆心C(L-2),所以。_2+3=0,即动点A(,6)在直线/：x y+3=0上

20、移动.1 1 (2)+3|1 所以，当C 4与直线/垂直时，|。|最小，从而切线长最小，%=3,2.此时，切线长的最小值为小&丫 乂&丫 =4.变式3：直线x+y-4=0平分圆C：f+y 2-2 W-2-5+2=0的周长,过点网-1,询 作 圆(7的一条切线,切点为。，则|尸。=()A.5B.4D.2【解析】圆C:+)-Ibx-2 by 5+b=0的圆心为C(b,b),半径为厂=d/+5)因为直线x +y-4=0平分圆0一+/-2 -2勿-5+=0的周长，所以直线x+y-4=0经过C(6,0),所以。+6-4=0,故b =2,由已知尸(-1,一2),C(2,2),|P C|=j3?+42=5,

21、圆的半径为 3,所以|P Q|=JP C2-产=4,【例3-2】已知圆C的方程为(x-3/+(y-4)2=l,过直线/：3x+冲-5=()(0)上任意一点作圆C的切线，若切线长的最小值为加，则直线/的斜率为【解析】设切线长最小时直线上对应的点为P,则 PC，/e r m|3x3+4a-5|4+4a|又处g=E,因为切线长的最小值 为 历故（旧 +1 =|4+4 叫 2、必2 +9,解得 =4,故直线 的斜率为一%3故答案为：一“变 式 1：已知直线/：*-y +l=O,若 P 为/上的动点，过点尸作。C：(x-5 +y2=9的切线P4、P B,切点为 A、B,当|PC|4 8|最小时，直线的方

22、程为.【解析】0 c:(x-5 +y2=9的圆心C(5,0),半径/四边形 PAA仍面积 S=1|PC|AB|=2 5/H PA|AC|=3|PA|=3 M q 2 9 ,.要使IPCHABI最 小,则 需|PC|最小，当 PC与直线/垂直时，IPCI最小，此时直线PC的方程为y=-x+5,联立=x+l 解得p(2,3),y=-x+5则以PC为直径的圆的方程为(X-+2+(y-2 4，则两圆方程相减可得直线A B的方程为x-V-2=0.故答案为：x-y-2 =0.【例 3-3】设尸为直线3 x-4 y+U=0 上的动点，过点尸作圆C：始十产一21一2 7+1=0 的两条切线，切点分别为A,B,

23、则四边形R1C5的 面 积 的 最 小 值 为.【解析】圆的标准方程为(x-l)2+(j-l)2=l,圆心为半径r=l,根据对称性可知，四边形的面积为2sAsc=2 X%|r=|叼=y 附|2一户,要使四边形P A C B的面积最小，则只需|PC|最小，|PC|最小时为圆心到直线/：3 x-4 j+ll=0 的 距 离d=?1 4+1=2.所以四边形P A C B面积的最小值为32+(4)2 37(|PC|min)2 户=，4-1=小.答 案:事考点四直线与圆的位置关系求距离的最值【例 4-1】已知直线(：米+y=0(eR)与直线小工一6+2%2=0相交于点A,点 B是圆(x+2)2 +(y+

24、3)2=2上的动点，则|钻|的 最 大 值 为.【解析】因为直线4：米+y=0(让R)恒过定点0(0,0)，直线公X-崖+2 L2=0恒过定点C Q 2),且4皿，所以两直线的交点A在以OC为直径的圆D上，且圆的方程为。:(x-1)2+(y-1)2=2,要求|他|的最大值，转化为在。:(-1)2+(丫-1)2=2上找上一点人，在(x +2/+(y +3)2=2上找一点8,使|明 最大，根据题意可知两圆的圆心距为J(l+2)2+(l+3)2=5，所以|AB|的最大值为5+2&,故答案为：5+2 0【例4-2】已知尸是直线/：x+y-7=0上任意一点，过点尸作两条直线与圆C：(x+i y +y 2

25、=4相切，切点分别为A，a则|A B I的最小值为()A.714 B.半 C.2百 D.上【解析】圆C是以C(_ l,0)为圆心，2为半径的圆，由题可知，当Z 4CP最小时，IABI的值最小.c o s Z A C P =-A _ j,当I P C|取得最小值时，c o s N ACP最大，N 4CP最小，点C到直线/的距离II 1*1d =与空=4&,故当|P C|=4夜 时，c o s N A C P最大,且最大值为,此时s i n Z A C P=上*=上 回=72 4 2|AC|4 4故选：A变 式1：已知圆C：x2+/-4 x-2 y +l =o,点尸是直线y =4上的动点，过P作圆

26、的两条切线，切点分别为A,B,则|A用的最小值为()A 半2石D.75【解析】圆C：*2+9-4-2+1 =0化为标准方程：(X 2丫+()，-1)2=4,其圆心C(2,l),半径-2.过点P引圆C的两条切线,切点分别为点4、B,如图:在M A C 中，有S.c=g x|C 4|x|A P|=g x L x|C P|,即|AP|=呼lx|CP|,变形可得：A B =.设|C P|=x,则=逃三=4，三.4所以当ICP的值即x 最小时，三的值最大，此时|A 8|最小.x而ICP|的最小值为点c 到直线y=4 的距离，即ICP京=3,所以I AB11 nM =4,1.故选：B考点五与圆的弦长有关的

27、最值问题(最长弦、最短弦问题)解题方略:(1)经过圆内一点最长的弦直径是圆中最长的弦，我们可以将圆中的弦分为两类：一 类 是 经 过 圆 心 的 弦(即 直 径)；另一类是不经过圆心的弦，如 图 1,A B 是。O 中的任意一条不经过圆心的弦，连 结 OA,O B,根据三角形 的 三 边 关 系 都 有 O A+O BAB,即，直径的长大于非直径的弦长，所以直径是圆中最长的弦。当然，经过圆内一点的最长的弦就是经过该点的直径。(2)经过圆内一点最短的弦如 图2,点 P 是。O 内一点，经 过 点 P 的无数条弦中哪一条是最呢？我们可以将经过点P 的弦分为两类，一 类是经过点P 且与经过径 O A

28、垂直的弦，如，弦 BCLOA；另一类是经过点P 且与经过点PO A斜交的弦，如 弦 DE。弦 B C 与 弦 D E 哪一个较短呢？图1短 的 弦点 P 的半的 半 径连结 OC。因为 B C 1 O A,所以 BC=2 C P,在 RtAOCP 中，C P=O C2-O P2,所以 BC=2-Joe2-O P2.作 OGJ_DE 于 G,连结 OD。则 D E=2D G,在 RtAODG 中，DG=J 5 万二3 ,所 以 DE=2 J o r P-O G?在 RtAOPG中，斜 边 O P大于直角边O G,所 以 OP2OG2,又 因 为 OC=OD,所 以 CPDG,B C c=f=-1

29、,所以直线/的斜率A=l,即直线/的方程是x-j+l=O.答案：Xj+l=O变 式 1：已知点(1,0)是圆C (x-2)2+()-1)2=5 内一点，则 过 点 时 的 圆 的 最 短 弦 在 直 线 的 方 程 是.【解析】当点“是弦的中点时，此时弦长最短，七“=言=1，此时弦所在直线与CM垂直，所以弦所在直线的斜率=-1,所以最短弦所在直线方程是y=-(x-i),即x+y-i=o.故答案为：x+y-l=0变 式 2：已知圆C 的方程是/+了28x 2 y+8=0,直 线/：y=a(x3)被 圆 C 截得的弦长最短时，直线/方程为.【解析】圆 C 的标准方程为(1-4)2+1)2=9,所以

30、圆C 的圆心坐标为C(4,1),半径r=3.又直线/:y=(x3)过定点/(3,0),则当直线y=a(x-3)与直线CP垂直时，被圆C 截得的弦长最短.10因此aAcp=b 二=-1 所以a=-1故所求直线I的方程为y=(x3),即x+j3=0.变式3：已知直线/：曜-y-3m+1 =0恒 过 点 过 点。作直线与圆C：1尸+(y-2)2=25相交于A,B两点，则|A6|的最小值为()A.4石 B.2 C.4 D.26【解析】由皿*3)y+l=0恒过尸(3,1),X(3-l)2+(l-2)2=5 2隹所以点Q在 圆 C 外，所以|颂|,鹏=4&+2 g=6 也，附Q|m in=46-2g=2隹

31、(2)可 知 表 示 直 线M Q的斜率，设直线M Q的方程为y3=A(x+2),fi3即 Axy+2 A+3=0,则 +2=A.因为直线MQ与圆C 有交点，a J2A-7+2&+3I r-所以环W 25可得2 小W k W 2+小,所以嬴4 的最大值为2+小，最小值为2一5.(-)截距型最值问题【例 6-2】已知点P(x,y)在 圆 C：x2+j26x 6j+14=0 _ b,求 x+y的最大值与最小值.【解析】(转化为截距的最值问题求解)设x+y=/,则 6 表示动直线y=-x+8在 y轴上的截距，显然当动直线y=*+，与圆C相切时，力取得最大值或最小值，如图所示，由圆心C(3,3)到切线

32、x+y=O 的距离等于圆C的半径，可得|3+3一用=2,即|方 一 6|=2加,解 得*=6+2 2,所以x+y 的最大值为6+2、口，最4、值为62 巾.变 式 1：已知M Q,)为 圆 C：炉+产4x 14y+45=0上任意一点.求m+2n的最大值；【解析】因为3+产一4b-14.+45=0的圆心C(2,7),半径r=2，i,设，+2 =f,将,+2=f 看成直线方程，因为该直线与圆有公共点,所以圆心到直线的距离d=1 *7 12+2?解上式得：162、师 近/W 16+2加，所以m+2n的最大值为16+2标.(三)距离型最值问题【例 6-3】已知实数x,y满足方程好+)2标+1=0,求

33、产 日 2的最大值和最小值.【解析】如图所示，始十步表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为卜(20)2+(00)2=2,所以*2+y 2的最大值是(2+5)2=7 +4噌，/+y 2 的最小值是(2一巾)2=7 4小.变 式 1：已知点P(x,y)在圆()A.V 2 B.2 血=1 上，则 J(x-l)2+(y-l)2的最大值为D.7 2+1【解析】J(x-l)2+(y-l)2可看作圆上的点(x,y)到定点(U)的距离,根据圆的几何性质，其最大值为(U)到圆心(0,0)的距离与圆的半径之和，即7(1-0)2+(

34、1-0)2+1=0 +1.故选：D.变 式 2：已知圆C：(1-3)2+。-4)2=1,设点尸是圆C上的动点.记d=|P 8 F+|%F，其中4(o,i),8(0,-1),则 d 的最大值为.【解析】设 P(x,j o),d=|P 8 F+|%F=+5)+l)2+蝙+(j o l)2=2(x j+y d)+2.x 3+y d为圆上任一点到原点距离的平方，；.(蝴+W)m a x =(132+42+1)2=36,.，.r f m a x =7 4.(四)综合应用【例 6-4】已知实数X、y 满足方程丁+2 _ 4*+1 =0.求：上的取值范围为X的最小值为；f+y 2 的取值范围为【解析】圆V+

35、.F-4 x+l =0 的标准方程为（x-2 y +y 2=3,圆心为（2,0）,半径为后.设q =%,可得丘-y=0,则直线丘7=0与圆（x-2 +y 2=3 有公共点，则解得一币4 k 4 6,则?的取值范围为卜石,6 ;y-x =h,可得x y+8=0,贝！J 直线x _ y+6 =0 与圆（X_ 2）2+/=3有公共点,贝!解得一 2-迷 4 0 4-2 +布，贝!I 了 一 x 的最小值为 2 布；V 2设炉+9=/什 0）,由于（0-2）2+0 2 3,则原点在圆（x-2）?+y 2=3 外，因为圆X 2 +丁=/与圆（万 一 2）2 +/=3有公共点，圆心距为d=2,故 r +-

36、解得2-GT 2+g,故7-4 6 4%2 +),2 7 +4 5 5.即f+）的取值范围为 7-4 后,7 +4 句.变 式 1：已知实数x,故答案为：-7 3,7 3 ；（1）求工的最大值和最小值；X（2）求 y-x 的最大值和最小值;（3）求y z 的最大值和最小值.【解析】（1）方程表示以点（2,0）为圆心，石 为半径的圆,设上=k,g p y -A x =0,x当直线），=与圆相切时，斜率取得最大值和最小值,此时I：0=6,解得2=百.故上的 最 大 值 为 最 小 值 为-G.X(2)设y x=，即x-y +/?=0,当了=1+人 与圆相切时，纵截距匕取得最大值和最小值,2-0+b

37、 r-此时 JF+(一 1)2=心,b =-2+y6.故y-x的最大值为_2+痛，最小值为-2-指.(3)f +y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在过原点和圆心的直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2,故(犬+力=(2 +G y =7 +4 6,/m ax(x2+y2)=(2-扬 2=7-4技/m in考点七利用对称性求最值【例 7-1】已知4(0,2),点尸在直线x+y+2=0 上，点 Q在 圆 C：X2+J2-4X-2J=0 ,则|Rl|+|fQ|的最小值是.【解析】因为圆C:x2+y24x2y=Q,故圆C 是以C(2,l)为圆心，半径r=4 的

38、圆.设点4(0,2)关于直线x+y+2=0 的对称点为A(m,n),故3w+0,+2 v+7+2=0,解得一2J 7 L 0 2=-4,故 A(4,2).连接A C 交圆C 于 Q(图略)，由对称性可知|E4|+|PQ|=|A P|+|/JQ|A/Q|=|A,。|一/=2点.【例7-2】已知M、N分别是圆C:(x+i y+(y-6)2=1和圆。:(x-2)2+(y-6)2=1上的两个动点，点P在直线/：?=*上，则|P M|+|P N|的最小值是()A.3 7 1 7-2 B.10 C.V 6 5-2 D.12【解 析】圆C:(x+l?+(y-6)2 =1的圆心为(T,6),圆。:2)2+(、

39、6)2 =1的圆心为(2,6),(-1,6)关于直线l：y=x的对称点为C,(6,-1),q=V 1 6+4 9 =而，故仍M|+|P N|的最小值是|C倒 /;=而 一2.故选：C.变 式1：若 式,N分别为圆CI：(x +6 y +(y-5)2 =4与圆C?：(x-2)2+()，-l)2 =i上的动点，户为直线x+y+5 =0上的动点，则仍叫+仍川的最小值为()A.4方-3C.9D.12【解 析】B.6易得圆G圆心为(F 5)半径为2,圆G圆心为(2,1)半径为1,设圆G圆心(向半径为1,(/)与(2,1)关于直线x+y +5 =0对称,则曰=1露明。,解得-+-+5 =02 2a=_h _r如图所示，要使|网+|川最小,则归M+|PM=|PG|+|PC2|2 I=|PC|+|PG|3=|G G|-3=9.故选：C.