2022-2023学年人教A版高二数学上学期同步讲义拓展四:直线的方程大题专项训练(34道)(解析版).pdf
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1、拓展四:直线的方程大题专项训练(3 4道)含 高频考点考点精析类型一求直线的方程(10道)1.(2022青海海南藏族自治州高级中学高二期末(文)已知三角形的三个顶点A(-5,0),3(3,-3),C(0,2),求BC边所在直线的方程,以及该边上中线所在直线的方程.【答案】5x+3y-6=0;x+13y+5=0.【解题思路】根据两点式方程和中点坐标公式求解,并化为一般式方程即可.【解题过程】解:过8(3,-3),C(0,2)的两点式方程为与W =工,整理得5x+3y-6=0.即BC边所在直线的方程为5x+3y-6=0,BC边上的中线是顶点A与BC边中点M所连线段,(.y-0 x+5 n 过A(-
2、5,0),M亍的直线的方程为-V;-五;,即x+M y +1=0.2)2 V 2+:)2 2 2整理得 x+13y+5=0.所以BC边上中线所在直线的方程为x+13y+5=0.2.(2022湖北监利市教学研究室高二期末)在平面直角坐标系中,已知菱形ABCD的顶点A(0,2)和C(4,6),A 3所在直线的方程为3x-y+2=0.求对角线B。所在直线的一般方程;(2)求 AO所在直线的一般方程.【答案】(l)x+y-6 =0(2)x-3y+6=0【解题思路】(D首先求AC的中点,再利用垂直关系求直线3。的斜率,即可求解;(2)首先求点8 的坐标,再 求 直 线 的 斜 率,求得直线AO的斜率,利
3、用点斜式直线方程,即可求解.【解题过程】由 4(0,2)和 C(4,6)得:AC中点“(2,4)6-2V 四边形 A8CZ)为菱形kAC=-=I,;.BD1AC,4 0 =-1,且 M(2,4)为 中 点,对角线8。所在直线方程为:y-4 =-(x-2)r即:x+y 6=0.由x+y-6=03x-y+2=09解得:5(1,5),6-5 1l=,AD/BC,%=二直线AD的方程为:y-2 =;x,即:x-3y+6=0.3.(2022北京房山高二期末)在平面直角坐标系中,AABC三个顶点坐标分别为4(2,-2),B(6,6),C(0,6),设线段AB的中点为,求中线CM所在直线的方程.(2)求边A
4、B上的高所在直线的方程.【答案】x+y-6=o(2)x+2y-12=0【解题思路】(1)先 求 出 线 段 的 中 点 为 M 的坐标,再利用两点式求出中线CM所在直线的方程;(2)先求出A 8的斜率,可得A 8边上的高所在直线的斜率,再利用点斜式求出边A 8上的高所在直线的方程.【解题过程】解:入 钻。三个顶点坐标分别为A(2,-2),B(6,6),C(0,6),二线段A 3的中点加(4,2),则中线C M所 在 直 线 的 方 程 为 9=,即x+y _ 6=0;(2)解:由于直线A 8的斜率 为 泮=2,故边A8上的高所在直线的斜率为故边AB上的高所在直线的方程为y-6=-g(x-0),
5、即x+2y-12=0.4.(2022江苏南师大二附中高二期末)已知AABC的顶点4(1,5),边 AB上的中线CM所在的直线方程为2x-y-5=0,边 AC上 的 高 所 在 直 线 方 程 为 x-2 y-5 =0,求 顶 点 C 的坐标;(2)直线8C 的方程;【答案】(1)(3,1);(2)y=l.【解题思路】(1)设出点C 的坐标,进而根据点C在中线上及AC,8”求得答案;(2)设出点6 的坐标,进而求出点M 的坐标,然后根据中线的方程及A C,3 求出点8 的坐标,进而求出直线BC的方程.2x-y-5=0 r【解题过程】设 C 点的坐标为(x,y),则 由 题 知 y-5 1 =v_
6、 f,即C(3,l).x-i 2=a 设B点的坐标为(八),则 中 点/坐 标(第,等)代入中线CM方程加 一 2-5=前=7 I则由题知 c m +n+5 -1 =。或x-2 y=0【解题过程】解方程组x+y-3=02 x-3 -l=0.点P 的坐标为(2,1),(2)直线/的斜率显然存在且不为0,设/:y-l=%(x-2)令 x=0,得 y=l-2 k,令 y=0,得 x=2-1,k所以l-2A+2=0k,2二 3&+1 =0,二 Z=1 或 4=I,得/为:x-y-l=0或 x-2 y =06.(2022广西宾阳中学高二期末(文)已知“BC的三个顶点是A(4,0),B(6,7),C(0,
7、3).(1)求 AC边所在的直线方程;求经过A8边的中点,且与AC边平行的直线/的方程.【答案】(l)3x+4y-12=0(2)3x+4y-l=0【解题思路】(D利用直线方程的两点式求解;(2)先求得A 8 的中点,再根据直线与4 C 平行,利用点斜式求解.【解题过程】(1)因为4(4,0),C(0,3),所以AC边所在的直线方程 为 二=2 二,x-0 x-4即 3x+4y 12=0;(2)因为 A(4,0),3(6,7),所以4 8 的中点为:(5;),又晨=总7 a所以直线方程为:y-j =-(x-5),即 3 x+4 y-1 =0.7.(2022河北沧州高二期末)已知直线/过点P(3,
8、4).若直线/与直线4x-3y+5=0 垂直,求直线/的方程;若直线/在两坐标轴的截距相等,求直线/的方程.【答案】(l)3x+4y-25=0(2)4x-3y=(x+y-7 =0【解题思路】(1)由两条直线垂直可设直线/的方程为3x+4y+帆=0,将点P(3,4)的坐标代入计算即可;(2)当直线/过原点时,根据直线的点斜式方程即可得出结果;当直线/不过原点时可设直线/的方程为x+y=。,将点P(3,4)的坐标代入计算即可.【解题过程】(1)解:因为直线/与直线4x-3y+5=0 垂直所以,设直线/的方程为3x+4,,+/=0,因为直线/过点尸(3,4),所以3x3+4x4+m =0,解得,”=
9、一25,所以直线/的方程为3x+4y-25=0.(2)解:当直线/过原点时,斜率为:4,由点斜式求得直线/的方程是y=4即4x-3y=0.当直线/不过原点时,设直线/的方程为x+y=%把点尸(3,4)代入方程得。=7,所以直线/的方程是x+y-7 =o.综上,所求直线/的方程为4x-3y=0或 x+y-7 =0.8.(2022四川成都七中高一期末)已知AABC的顶点8(5,1),A B边上的高所在的直线方程为x-2尸 5=0.(1)求直线A B 的方程;(2)在两个条件中任选一个,补充在下面问题中.角A 的平分线所在直线方程为x+2y-13=0B C边上的中线所在的直线方程为2x-y-5=0,
10、求直线A C 的方程.【答案】(l)2x+y-ll=0;若选:直线AC的方程为2x-lly+49=0;若选:直线4 C 的方程为6 x-5 y-9 =0.【解题思路】(1)由两直线垂直时,其斜率间的关系求得直线A 8 的斜率为火,再由直线的点斜式方程可求得答案;(2)若选:由求得点A(3,5),再求得点B 关于x+2y-13=0 的对称点即 知),由此可求得直线A C 的方程;若选:由;?二;二;,求得点A(4,3),设点C Q,%),由 8 c 的中点在直线2 x-y-5 =0上,和 点 C在直线x-2 y-5 =0上,求得点C(-l,-3),由此可求得直线AC的方程.【解题过程】(1)解:
11、因为4 8 边上的高所在的直线方程为x-2 y-5=0,所以直线4 5 的斜率为2=-2,又因为AABC的顶点8(5,1),所以直线A 8 的方程为:y-l=-2(x-5),所以直线4 8 的方程为:2x+y-ll=0;解:若选:角 4 的平分线所在直线方程为x+2 y-13=0,2x+y-ll=0 x+2y-13=0 x=3.y=5,解得所以点A(3,5),设点8 关于x+2y-13=0 的对称点B.(为%),则,解得37一529一5-七为5_29又点8 件,省在直线4 c 上,所以勉=一 言=,-5所以直线AC的方程为y-5 =1(x-3),所以直线AC的方程为2 x-1 ly+49=0;
12、若选:8 c 边上的中线所在的直线方程为2 x-y-5 =0,由22xx+ly-ll =00,解得彳r=4二 2,所以点 4(4,3),y=3设点C&,x),贝 1 1 5 c 的中点在直线2xy 5=0 上,所以2x等 一 等-5 =0,即2x y-l =0,所以点C在直线2x-y -1 =0 上,又 点 C 在直线x-0上,由x-2 y-5=0解得X=-1 /、),=_ 3,即 C(T,-3),所以矶=尧=所以直线AC的方程为y-3 =g(x-4),所以直线AC的方程为6 x-5 y-9 =0.9.(2022重庆市青木关中学校高二期末)已知直线/过定点A(2,l)若直线/与直线x+2 y-
13、5=0垂直,求直线/的方程;(2)若直线,在两坐标轴上的截距相等,求直线I的方程.【答案】2 x-y-3=0 x-2 y =0或 x+y-3=0【解题思路】(1)求出直线x+2 y-5 =0的斜率可得/的斜率,再借助直线点斜式方程即可得解.(2)按直线/是否过原点分类讨论计算作答.【解题过程】(1)直线x+2 y5=0的 斜 率 为 于 是 得 直 线/的 斜 率 =2,贝!y l=2(x 2),即2x y-3 =0,所以直线/的方程是:2 x-y-3 =0.(2)因直线/在两坐标轴上的截距相等,则当直线/过原点时,直线/的方程为:y=;x,即x-2 y =0,当直线/不过原点时,设其方程为:
14、土+上=1,则有2 +1=1,解得。=3,此时,直线/的方程为:x+y-3 =0,a a a a所以直线/的方程为:x-2y=0 x+y-3 =0.10.(2022江苏徐州高二期末)在AABC中,已知A(2,4),B(-2,l),C(8,-4),D,E分别为边4 8,A C的中点,4万,8 c于点H.(1)求直线O E的方程;(2)求直线A”的方程.【答案】x+2 y-5 =0;(2)2 x-y =0.【解题思路】(1)根据给定条件求出点。,E坐标,再求出直线OE方程作答.求出直线A H的斜率,再借助直线的点斜式方程求解作答.【解题过程】(1)在 AABC中,A(2.4),B(-2,l),C(
15、8,-4),则边 AB 中点。(0,1),边 AC 的中点 E(5,0),2_n 1 5直线O E的斜率”_ 5一、1,于是得y=_;x+g,即x+2 y-5 =0,=0 5=2 2 2所以直线OE的方程是:x+2y-5=0.依题意,B C/D E,则直线8c的 斜 率 为 又 A/L 3 C,因此,直线A的斜率为2,所 以 直 线 的 方 程 为:y-4 =2(x-2),即2 xy =0.类型二两条直线平行、垂直关系的应用(6 道)11.(2022内蒙古赤峰二中高二期末(文)已知直线4:(加 4)xy+l =0 和 小(加+4)x+(m+l)y 1 =0.(1)若 4 4,求实数,的值;(2
16、)若 4,4,求实数,的值.【答案】(1)2(2)匕 场 或 上 班2 2【解题思路】(D 易知两直线的斜率存在,根 据 由 斜 率 相 等 求 解.(2)分加=4 和加工4,根据4,3由直线的斜率之积为-1求解.【解题过程】(1)由直线4 的斜率存在 且为m-4,则直线&的斜率也存在,且为-鬻因为4 4,所以加一 4 二 一加+4 7 +1解得加=0 或 2,当加=0 时,由 7 =1 此时直线4,重合,当初=2时,此时直线4,4 平行,7+1 3综上:若 4 4,则实数,的值为2.当机=4 时,直线4 的斜率为o,此时若4 U 必有,=-1,不可能.当时,若 4必有(机-4)x(-7石)=
17、-1 ,解得/=土,由上知若4,4,则实数,”的值为或上巫.2 212.(2022江苏泰州高二期末)已知两条直线4:(3+,)x +4y =5_ 3w,4:2x +(5+,)y =8.设m 为实数,分别根据下列条件求机的值./“公(2)直 线 在 x 轴、y 轴上截距之和等于6.【答案】,=-7;帆=-1.【解题思路】(1)由两直线平行可得出关于加的等式,求出m 的值,再代入两直线方程,验证两直线是否平行,由此可得出结果;(2)分析可知5+加 0,求出直线4在 x 轴、)轴上的截距,结合已知条件可得出关于机的等式,即可解得机的值.【解题过程】(1)解:由/“A,则(3+加卜(5+利)=42,即
18、 病+8加+7=0,解得H=T或-7.当相=-7时,4:2x-2y+13=0,/2:x-y-4 =0,此时“儿;当帆=一1时,4:x+2y-4=0,4:%+2y-4=0,此时/1,6 重合,不合乎题意.综上所述,m=-7(2)解:对 于 直 线 由 已 知 可 得 5+2=0,则2,-5,Q令 y=。,得 x=4;令 x=0,y =-5+2Q因为直线4在 X轴、y 轴上截距之和等于6,即4+J-=6,解得加=T.13.(2022黑龙江哈尔滨市第三十二中学校高二期末)已知直线公火-2+4=。和/”(a-2)x+4y+l=0,设。为实数,分别根据下列条件求 的值:(l)i-L 4“2【答案】(1)
19、。=4或。=-2【解题思路】根 据 4 口,由a(a-2)-2x4=0求解;(2)根据“2,由 4a=-2(a-2)求解.【解题过程】(1)解:因 为 卬 2,所以。(a-2)-2x4=0,解得a=4或a=-2.所 以 当 时,。=4或a=-2;因为“4,所以4。=2(。2),解得。=.3检验:此时 4:x-3y+6 =O:x-3 y=0,1 1/12 成立.所 以 当 时,。=|.14.(2022全国高二期末)已知直线4:法+3y +l =0,l2:x+(a-2)y+a=Q.请从以下三个条件中选出两个求实数。,人的值.(1)/?=3cl;/j;【答案】选 和 ,a=,b=3.6 Z =1 +
20、/2 a /2选和,-0+后 产k 3(1 .可(3)选(2)和(3),a、b 无解.【解题思路】根据两直线的位置关系可知,若两直线垂直则两直线的斜率之积为-I;若两直线平行则两直线的斜率相等且不重合.【解题过程】(1)若选条件和(2),3=3a和,由匕=3a,得4:3a x+3y +l =0,即 y =_ a r _;,当a =2时,4:x =-2,(:6 x+3y +l =0,乙 与4不垂直,当a =0时,/|:3y +l =0,Z2:x-2y =0,与4不垂直;故”2且a w O,得4:y =-+,2-a 2-a又 4,4,k、=-a,&=,2-a所以,=-a x一一 二 一1,解得 =
21、1,则。=3;2-a(2)若选条件和(3),8=3a和 2,由/=3a,得 4:3a x+3y +1 =0,当 Q=0 时,4:3y +l =O,/2:x-2y=0,(与 不平行;当。=2 时,6 x+3y +l =0,/2:x=-2,(与 不 平 行;故 0且2,贝 丹=2/,解得。=1 +近 或1S1 。-2 a故 6 =3(1+0)或 3(1-伪,a=+yf2 a=i 2即b =3(l+闾 或 工=3(1-匈;若选条件和(3),4 U和“4,根据两条直线的位置关系,可得_ L 4和 2不可能同时成立,此时无解.15.(2022浙江宁波高二期末)已知三条直线ll:2x-y+=0,l2:3x
22、+y-6 =0,l);kx-y+k+=0(火是常数),.若4,%4相交于一点,求人的值;若 心*4不能围成一个三角形,求左的值:若乙,4,4能围成一个直角三角形,求k的值.【答案】)=1(2)k=l 或无=2 或=-3(3)=_ g 或;【解题思路】(1)由二条已知直线求交点,代入第三条直线即可;(2)不能围成一个三角形,4过二条已知直线的交点,或者与它们平行;(3)由直线互相垂直得,斜率之积为-1.【解题过程】(1)_ 2x-y +l =0,显然乙,4相交,由 A/3 尤+y-6 =0得交点(L 3),由点。3)代入4得=1所以当4,%相交时,k=l.(2)4 过定点(T,l),因为4,4,
23、4 不能围成三角形,所以。,3)4,或 4与4 平行,或4 与4 平行,所以=1,或=2,或=-3.(3)显然4与4 不垂直,所以(1,3)任 4,且或4 皿所以k 的值为无=-;或g16.(2022湖北武汉市第十五中学高二期末)已知直线4:3x+2y+6=0,直线4:2x-3疗+18=第 直线4:2皿-3y+12=0.若 4与3 的倾斜角互补,求机的值;(2)当m为何值时,三条直线能围成一个直角三角形.【答案 相=34(2)0,-1,.【解题思路】(1)根据题意得勺=-4,进而求解得答案;(2)根据题意,分别讨论4与4垂直,4与 垂直,4与4垂直求解,并检验即可得答案.【解题过程】(1)解:
24、因为4与4 的倾斜角互补,所以夕=一心,3 3直线4:3x+2y+6=O变形为点丫=_y3,故&=:所以勺2 解3 得*士22“2 3(2)解:由题意,若 6:3x+2y+6=0 和4:2x-3m2y+i8=0 垂直可得:3X2+2X(-3/M2)=0,解得加=1,因为当加=1 时,/,:2x-3y+18=0,/3:2x-3y+12=0,l2/l3,构不成三角形,当机=-1时,经验证符合题意;故机=-1;同理,若 4:3x+2y+6=0 和 4:2,x-3y+12=0 垂直可得:6 m-6 =0,解得m =l,舍去;4若/2:2x-3,/y +18=0 和 A:2mx-3y+12=0 垂直可得
25、:4/M+9m2=0,解得机=0或机=一,经验证符合题意;4故所的值为:0,-1,.类型三直线的恒过定点问题(2道)17.(2022江苏高二)已知直线/:(2+/n)x+(l-2 w)y+4-3w =0(m s R).求证:直线/恒过定点P,并求点P 的坐标.【答案】证明见解析,P(-l-2)【解题思路】整理原方程,利用直线系列出方程组,即可得到直线/恒过定点P 的坐标.【解题过程】证明:原方程整理为2x+y+4+m(x-2 y 3)=0,贝(j由2x+y+4=0 x-2 y-3 =0.X=-1,y=-2-所以P 点坐标为(-1,-2).18.(2022浙江玉环市玉城中学高二期中)已知点A(2
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