概率统计历届考研试题汇编.pdf

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1、第3章数字特征1.(1987年、数学一、填空)设随机变量X的概率密度函数/(%)=二e-J+2 1,则E(X)=(),j (X)=().答 案 填：1;2.3.由X的概率密度函数可见XN(l,：),则E(X)=1,4D(X)=1万(1990年、数学一、填空)设随机变量X服从参数为2的泊松分布，且Z=3X-2,则E(X)=().答 案 填：4(1990年、数学一、计算)设二维随机变量(X,Y)在区域D:0 xl,|y|x内服从均匀分布，求:(1)关于X的边缘密度函数；(2)随机变量Z=2X+1的方差。解(1)由于D的面积为1,则(X,Y)的联合密度为f(x,y)=1,1 x 1,1 y l x0

2、,其他当 0 xl 时，fx(x)=/(X,y)dy=W y =2 x ,其他情况下/x(x)=0.(2)E(X)=x/x(%)3元=j x,2 x d x =E(X 2)=匚 x2fx(x)J x =p2-2xdx=1)(X)=E X 2-(E(X)2=1 o4.(1991年、数学一、填空)设 XN(2,CT?)且 p2x4=0.3,则 PX0=()。答 案 填：0.2口2 x 4=小 斗=E)-=E)-=0,3即0.8,则PX0=d =0)L J=l +0(X)=24 +16=1847.(1996年、数学一、填空)设两个随机变量X与丫相互独立且均服从分布N(0,4)，则E|X-Y|=().

3、2 答 案 填:-71令 U=X-Y,则 UN(0,1),从而1M2U2E|X-Y=E|U|=I“I e 2 4,=ue 2 d M人 而 后J)8.(1 9 9 6 年、数学一、计算)设两个随机变量久与相互独立且同分布，4的分布律为P(J=k)=；,k=l,2,3,又 X=m a x(J,r/),Y=m i n(J,r/).(1)写出(X,Y)的分布律；(2)求 E(X).解：(1)(X,Y)的分布律如下：Y1 2 3X0O1-92-9-92-92-912309(2)X的边缘分布为:1 2 3P_ L !3 3 5则 E(X)=三2 2.99.(1 9 9 7 年、数学一、选择)设随机变量X

4、与丫相互独立且D(X)=4,D(Y)=2,则 D(3 X-2 Y)=().A.8 B.1 6 C.2 8 D.4 4答 案 选：D D(3 x-2 Y)=9 D(x)+4 D(Y)=4 41 0.(1 9 9 7 年、数学一、计算)从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，其概率均为0.4,用 X表示途中遇到红灯的次数，求 X的分布律、分布函数和数学期望。解：显然 XB(3,0.4),其分布律为 P X =i =C；0 4 0.6 3 T,i=0,1,2,3,解：显然 X-YN（0,1）,则E（X-丫）20 x 02 7 八0 x l6分布函数为：F(x)

5、=1 2 5E（X）=8 151 x 21 2 51 2 x11.(1998年、数学一、计算)设随机变量X与丫相互独立，均服从N (0,0.5)分布，求|X-Y|的方差。1,而 E|X-丫|二-（见第102题712故|X-Y|=1-兀12.(2000年、数学一、计算)某流水生产线上每个产品不合格的概率为P(0 p E（X 2）=/q i p=p 0 i q+=p L=M 普 慧 p贝 ij：）（X）=E（X2）E（X）=口p-13.（1987年、数学三、计算）x-yr i设X/(x)=/e ，x ,求随机变量y=_的期望E(y)。0,x ,可知0,x 02+x 0 v 0设x与丫的联合密度为x

6、,y)=0 其;，求：P(X*0,可知0 具匕KO+ccP(X,Y)=J J 7(x,y)dxdy=dx e(xd y0 xy 0 x+00+00|=JV 叫:)x=卜3公=_；6-1 r=o o Z，+oo y+oo或=dye-(x+y)dx=-J(e-+/,0 0 0=-1博%,=6卜=g15.(1991年、数学三、选择)若E(XY)=E(X)E(y),则()正确。A.D(XY)=D(X)D(Y)B.D(X+Y)=D(X)+D(Y)c.x与y独立 D.x与y不独立答案选：BA.由。X=EX2 (EX)2,Z)y=/丫2 一(E Y)2得 Dxz)y=E X2 _(EX)2Ey2 一3丫EX

7、2EY2+(EX)EY)2-EX2(EY)2-EY2(EX)2又 D(XY)=E(x y y _(E(XY)2=E(X2Y2)-(EXEY)2=E(X2Y2)-(E X)2(EY)2可知 D(XY)D(X)D(Y)8.由 E(Xy)=EXEY得Cov(X,y)=E(X-EX)E(Y-EY)=-=E(XY)-EXEY=0可知 D(X+V)=(X+Y)-E(X+y)2E(X-EX)+(Y-EY)2=E(X-E X)2+E(Y-EY)2+2E(X-EX)(Y-EY)DX+DY+Cov(X,Y)DX+DYC.由 E(XY)=EX Ey,得Cov(X,y)=0,得PX Y=,v =o,可知x与y不相关，

8、但未必独立。1 6.（1992年、数学三、计算）谋设备有三大部件构成，设备运转时，各部件需调整的概率为0.1,0.2,0.3,若各部件的状态相互独立，求同时需调整的部件数X的期望与方差。解：设A=谋设备第z个需调整的部件 且A,A?，&相 互 独 立，P（AJ=0.1,2（A2）=0.2,P（4,）=0.3,同时需调整的部件数X的所有可能取值为0,1,2,3P（X=0）=P（H&Z,）=尸（4 ）（4 ）（4）=0.9x0.8x0.7=0.504P（X=1）=P（A1A2A3+4 A24+4彳2 A3）=尸（A）p区 “）+P（A）P（4 ）尸（4）+P（A）P（耳）P（A,）=0.1x0.8

9、x 0.7+0.9 X 0.2 X 0.7+0.9 x 0.8 x 0.3=0.398P（X=2）=P（A A2 A 3 +AtA2A3+A,A2A3）=P（A）P（A2）P（4）+p（A）p（4）p（A3）+p（A）p（4）p（4）=0.9 X 0.2 X0.3+0.1X 0.8 x0.3+0.1x 0.2 x 0.7=0.092尸(X=3)=尸(A/2A3)=)(A2)(/l3)=0.1 x 0.2 x 0.3=0.006由 EX=0 x0.504+1 x0.398+2x0.092+3x0.006=0.6E X2=()2 x0.504 +l2 x 0.398+22 x 0.092+32 x

10、 0.006=0.82得 DX=E X2-(E X)2=0.82-0.62=0.4 617.(1993年、数学三、计算)3 2设 X/=”a)与0,其它B=(y a)独立，P(A+6)=j,求：(1)。值(2)的期望。3 2解(1)由设X /*)=(京 ”a)与 B=(y a)独立，可知当a 0 2 Q+00 P(A)=P(X a)=J/(x)dx=J()dx+卜=x3 -1a a 0 8 28+aoP(B)=P(Y a)=jf(y)d y =1,B|JaP(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=1 +1 -1 x 1 =1 与3尸 04 +8)=)相 矛 盾，因而a 2 0,即+o

11、o 2 Q+co P(A)=P(X a)=j/(x)J x=|-x2J x+jOJ x=-x3|=-(8-a3)a a 2+O0 P=P(Y a)=J/(y)=-(8-a3),即P(A+B)=P(4)+P(B)_ P(A)P(B)=-(8-a3)+-(8-a3)-(8-a3)x l(8-a3)=-8 8 8 8 4即(8-/y-6(8 3)+48=0,即.=源，a=-退(不合题意，舍去)(2)(击)=A -co A 0n X O O H18.(1994年、数学三、计算)由自动线加工的某种零件的内径X(毫米)服从正态分布N(,l),内径小 于10或大于12的为不合格品，其余为合格品，销售每件合格

12、品获利，销售每件不合格品亏损，设销售利润L(元)与销售零件的内径X的关系为-1,X 10L=r20,10X 12间平均内径M取何值时，销售一个零件的平均利润最大？解：由XN(,l),即人二N(0,l)且夕(x)=i=J 5,可知1J2万P(X 10)=P(X-10 )=(D(10 )P(10 X 12)=P(10-/X-/12)=P(X-12)=1 一(12)-1,X 10由 乙=20,10 X 12得 EL=(10)+20(12 )20(10)5+50(12 )25(1 2)21(10 )_5(1FI=-250(12-)+21(10 )=25 9(12 )+21 夕(10 )dEL令=0,1

13、 -(12-/)2 1 -(10-IZ)2即一 2 5 x e 2 +2 1 x-e2J2 4 J 24=0即 a=如 一 f E =eTD25即 2(zz-ll)=ln,z/=ll+-ln 1-10.925 2 25.平均内径M取10.9时，销售一个零件的平均利润最大。19.(1996年、数学三、计算)设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时，全天停止工作，一周五个工作日，若无故障，可获利10万元，若发生一次故障，仍可获利5万元，若发生两次故障，获利为零。若至少发生三次故障，要亏损2万元，求一周内的利润期望。解：设乂=一周共五个工作日，机器发生故障的天数 且X8(5,02)则

14、：P(X=0)=C；x 0.2 x 0.85=0.328P(X=1)=C；x 0.21 x 0.84=0.410P(X=2)=C5 x 0.22 x 0.83=0.205P(X 3)=1-P(X 3)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)=0.057105(%)=3，EL=10 x 0.328+5x0.410+0 x0.205+(-2)x 0.057=5.216所以一周内的利润期望为5.216万元。20.(1997年、数学三、计算)游客乘电梯从底层到电视塔的顶层观光，电梯于每个整点的第5 分钟、25分钟和55分钟，从底层起行，一游客在早八点的第X 分钟到达底层候梯处，且 X 在 0,6

15、0 上服从均匀分布，求该游客等候时间Y的数学期望。解：由到达时刻X 在 0,60 上服从均匀分布，可知1X-/W=6 000 x 60其它且等候时间y=g(x)=25-X55 X60 X+50 X 55 X 2525 X 5555 X 0同分布，且(E(5),即(，0 t o时，/r(0=伍(。)分 2)力=济 津1)/)-)力|=j 5 e _ 5 5 e-F 阳=25e-5 p f,=2 5 e-57,|；=25te-5./“)=12 5 f z0 即为两台记录仪无故障工作的总时间T 的0/x 时，L=woo%+5oo(y-X)=5oo(x+r)即looor Y xL=X且1(x,y)/(

16、x,y)=(而01 0 x,y )2)甲 心10 10 L205 205 j(x2-1 0 0)J x +-J (x +2 0)2-4x2 dx102 ,A晨2 15 l O O x+|(4 0 0 x-2 0 x2-x3)|f【3 J2 0 0 0 0 r u，、，、,-+7 5 0 0 =1 4 1 6 73所以此商店经销这种商品每周获利的期望是1 4 1 6 7元。2 3.(1 9 9 9年、数学三、填空)设随机变量Xij(i,j=1,2,;2)独立同分布,则X”X,2 X,X 2 1 X2 2 X21-X,”x“2 X”的数学期望EY=()。答 窠 0)2 4.(2 0 0 0年、数学

17、三、填空)设随机变量X在区间-1,2 上服从均匀分布；随机变量1 ,X 0Y=s g n(X)=0 ,X =0-1 ,X 0则。丫)。Q 答 案 填：25.(1998年、数学四、填空)设一次试验的成功率为p，进 行100此独立重复试验，当p=()时，成功次数的标准差的值最大，最大值为(答案：p=g,jD(X)=5)解：据题意可知，J0(X)=JlO O pO p),即r)(X)=100p(l-p)=100p 100p2令()(X)y=100 200p=0,得p=g 且4D(X)1 0 0 x|x(l-l)=5。26.(1987年、数学四、计算)设随机变量X的概率分布为P(X=1)=0.2,P(

18、X=2)=0.3,P(X=3)=0.5。(1)写出其分布函数;(2)求X的期望与方差。解(1)由 P(X=l)=0.2,P(X=2)=0.3,P(X=3)=0.5,可知,当 x l 时，/(x)=P(X W x)=0当14 x 2时，F(x)=P(X x)=P(X=1)=02当2 4 x 3时，F(x)=P(X x)=P(X=1)+P(X=2)=0.2+0.3=0.5当 3 W x 时，F(x)=P(X x)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)0.2+0.3+0.5=10X 10.2lx 2F(x)=0.52 x 313 (X)=(X2)-(X)2-(-)2=1 5 9 4 0 52 8

19、.(1 9 8 9年、数学四、计算)设随机变量x与y的联合分布为(X I)P(x=x,y =y)(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)(2,0)(2,1)P sin|(X +K)=1=p(x+y =i)=o.4/P sin|(X +y)=一1 卜 P(X+y=3)=0.15可知：E sin y(X +r)J=0 x0.4 5+lx0.4 +(1)x0.15=0.2529.(1989年、数学四、填空)设随机变量X”X2，X3相互独立且X,t/0,6,X2 7V(O,22),X3 P(3),若 丫 =X1一2X2+3X?，贝UD(r)=()。答案填：4 61,解：由 X|U 0,6,可知 O(X

20、1)=卫(6-0)2=3；由 X 2N(0,22),可知。(X2)=2?=4；由 X3 P(3),可知 0(X3)=3 X rX 2，X3相互独立/.D(Y)=D(Xl-2 X2+3X3)=D(XI)+4D(X2)+9(X3)=3+4 x4+9x3=4 630.(1993年、数学四、计算)设随机变量X与 丫相互独立，均在区间1,3上服从均匀分布，引进事件4 =7 1X a 且 P(A+8)=。求：(1)。值(2)的数学期望。解（1）由x与y在 口,3 上均服从均匀分布，可知v 1,、，1 4 x 4 3 v 一，14 y 4X /(%)=2 ,Y/()=，20 ,其它 0 ,其它当a 1时+0

21、0aP(A)=P(X a)=1 -P(r a 也是相互独立的。P(A+8)=P(A)+P P(A)P(8)=0 +1 0 x 1=1 与7尸(A+B)=相矛盾，因 而a 2 1。9当时，P(A)=P(X a)=l-P(y a)=l-J7(y)d y =1-Jd y =1 (a-1)“12 2P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=(o-1)+1(o-1)-(_l)x 1-(a-1)=2 2 2 2 95 7即9a 2 3 6a+3 5 =0,即4=或“=3 31+8 1 11 1 1(2)E(一)=f(x)dx=fx rfx=I nxlj=ln3oX J x 2 2 1 20013

22、1.（1995年、数学四、填空）1 +x设X f(x)=l-x0-l x 00 x l,则。(X)=()。其它 答 案 填：一6-wo 0 1解：v E(X)=xf(x)dx=jx(l+x)dx+jx(l-x)-8-i o=0KO 0 1E(X2)=x2f(x)dx=|x2(l+x)(/x+jx2(l-x)-1 0/2 3、/2 3、1X X I l _ I(3 4 尸(3 4尸 6,1 1D(X)=E(X2)-(X)2=0=。6 632.(1997年、数学四、选择)设X是随机变量且E(X)=,O(X)=/(,00),则对任意常数c,()成立。A.(X-c)2 EX2-C2 B.E(X-c)2

23、=E(X-)2C.E(X-c)2 N E(X )2 答 案 选：D 由 E(X)=,O(X)=(T2,得EX?=O(X)+(EX)2=(T2+/2E(X-c)2=E(X2-2CX+C2)E X2-2cEX+c2=cr2+/z2-2C/J+C2-cr2+(-c)2E(X-)2 =E(X2_2X+2)=EX 2 _ 2/JEX+F=T2+/z2 _22+2-(y显然 E(X c)2 N E(X )233.(1997年、数学四、计算)0 Y k设 丫 E(l)且 X=k(1)X1与 X 2的联合概率分布；(2)(X1+X2)0解(1)由y成 1),可 知/(y)=l.e)由 =(k=1,2),得 X

24、 =k 1p(X=o,x2=o)=p(y i,y 2)=p(y w i)=尸 =1-|p(X1=o,x2=i)=p(y 2)=0p(X I =i,x 2 =o)=p(y i,y w 2)=p(i y 2)=尸(2)尸(1)=(1 e-2)_(l e-i)=eT e/求:y iy iy 1 20 Y2p(xi=i,X2 =1)=p(r i,y 2)=尸 w 2)=1 P(Y W 2)=1 F(2)=1 (1 *2)=*2(2)又 P(X|=O)=P(X1=0,X2=O)+P(X1=0,X2=l)=l-e TP(X1=1)=P(X=1,X2=0)+P(X=1,X2 =1)=e-PX2=0)=P(X

25、,=0,X2=0)+P(X,=1,X2=0)=l-e-2P(X 2=1)=P(X1=0,X2=1)+P(X=1,X2=l)=e=E(Xl)=0 x(l-e-|)+l x e-=eE(X2)=0 x(l-e-2)+lxe2=e-2E(X,+X2)E(Xl)+E(X2)=e-+e-23 4.(1998年、数学四、计算)设商店经销某种商品的每周需求量X服从区间 10,3 0 上的均匀分布，而进货量为区间 10,3 0 中的某一个整数，商店每售一单位商品可获利5 0 0元，若供大于求，则削价处理，每处理一单位商品亏损10 0元，若供不应求，则从外部调剂供应，此时每售出一单位商品仅获利3 0 0元，求此

26、商店经销这种商品每周进货量为多少，可使获利的期望不少于92 80元。解：设一商店经销某种商品的每周进货量为a 1.10 a 3 0当 10 W X a 时，L=5 0 0 X-10 0(。-X)=60 0 X-10 0。当 aX 4 3 0 时，L=5 0 0 +3 0 0(X-a)=3 0 0 X+2 0 0 60 0 X-10 0 a I O X aB|JL=3 0 0 X+2 0 0。a X 30且1x/(幻=国0,1 0 X 3 0,其它4-SC.E(L(X)=LW(xdX-0 0a-i 30 j(60 0 x-10 0 a)Jx+j(3 0 0 x +2 0 0 a)Jx10 2 0

27、 a 2 0=(15 x2-5 a x ；o+(y x2+10 ox)|=5 2 5 0+3 5 0 7.5 a 2令 E(L(X)=92 80,即 5 2 5 0+3 5 0。-7.5/2 92 80,即22 0 a 2 6 ,取a =2 1。3答：此商店经销这种商品每周进货量为2 1个单位，可使获利的期望不少于92 80 元。3 5.(1999年、数学四、填空)设随机变量X服从参数为2的 泊 松(PoissoQ分布，且已知 L(X-1)(X-2)J=1,则 2=()o答案填：1 3 6.(2 0 0 1年、数学四、计算)设随机变量X和丫的联合分布在以点(0,1),(1,0),(1,1),为

28、顶点的三角形区域D上服从均匀分布，试求随机变量U=X+Y的方差。2 (X Y)&D解：由条件可知(X,Y)的联合分布密度为：f(x,y)=I o(x,y)任。E(X)2k+2(k=1,2)2 9 1则：E(X)=-,E(X2)=-,同理，E(Y)=-,E(Y2)=-,田+8 d d 5又：E(XY)=j j xyf(x,y)dxdy=J|Ixydxdy=一，综上可知：00001 2D(X+Y)=(E(X2)-E(X)2+E(Y2)-(y)2+2E(XY)-E(X)E(Y)=1837.(1993年、数学一、计算)设 X/(x)=-8 x +oo,(1)求 E(X),D(X)；(2)求 X 与1X

29、 1的协方差且判定二者是否不相关；(3)判断X 与风是否相互独立。解(1)由于X 的密度为偶函数则E(X)=0,若设随机变量丫服从参数为1的指数分布，利用指数分布随机变量的均值及方差的有关结论不难知：+CO+00E(X2)=jx2f(x)d x=p2e-xJ x=E(y2)=D(y)+E(y)2=1+12=2-oo 0 D(X)=E(X2)-(X)2=2(2)+00 CovX,X I)=EX-1 X I-E(X)E(I X)=j-x I x I-0 =0O0：.p =0,即 X 与I XI 不相关。(3)设 0a+oo,则I X l a u X a,/.0 P I X l n P X 。1从而

30、PX i 尸 I X l a P I X l a ,但是PX a,X a P X la则 PX a,X l a P I X l aPX 12=3v V X Y(2)Cov(X,Z)=Cov(X,y +-)=Cov(X,)+Cov(X,-)；(X)+g c o v(X,y)=0所以Qxz=0(3)由于X,Z均为正态变量，故独立与不相关等价，则由0 xz=O知 X、Z 独立。39.(2000年、数学一、选择)设二维随机向量(X,Y)服从二维正态分布，则随机变量g=x +y 与 =x-丫 不相关的充要条件为()。A.E(X)=E(Y)B.E(X2)-E(X)2=E(y2)-(y)2C.(X2)=(r

31、2)D.E(X2)+E(X)2=E(Y2)+E(Y)2 答 案 选：B 40.（1 991 年、数学三、计算）设 X 与 y在圆域/+y 2 4 r 2上服从联合均匀分布，（1）求 x 与 y的相关系数0；（2）问 x 与 y是否独立？解（1）由 X 与y服从圆域/+y 2 4 r 2（X,y）x,y）=_ 0可知关于x,y 各自的边缘概率密度函数为 KC 山/一2 入2 11上的联合均匀分布，即4，x2+y2 r-00%勿|一-x 勿/；()-j/(x,y)d x-展。00=-|rp-3=义卜-y+xr r _且 E(X)=xfx(x)dx-|*x-r-I -r k积分为0)+00r o _

32、E(y)=jyfY(y)dy=J y 版 J，oo r因而 Cov(X,V)=E(X Y)-E X E Y =!x二)，2 尤 2d x=0 (奇函数对称区间上的-y2dy=0y)dxdyx2+y2r2且 一1 二0,即x与y的相关系数为o。1 2 2,2z(.2 x)由/(尤,y)、=(m-9 x+y r0 ,x2+y2 r2及/x(x)4(y)=五 一 炉 小一一/|x|-r M|y|-0 ,其它可知f(x,y)H fx(x)fY(y),即X与y不独立。41.(1 995年、数学三、选择)设x与y独立且同分布,x-y =u,x+y =v,则。与丫必()。A .不独立 B.独立C.相关系数不

33、为零。.相关系数为零 答案：选由x与y相互独立且同分布，可知E X =E Y,D X=O M.0(X y)=O(X)+D(K)由 O X=E X 2 (EX)2,Z)y =Ey 2(Ey)2且。*=oy,x=EY得：(EX尸-(K)2 0,E X2-E Y20由x y=u,x +y=v,得uv=x 2-y 2且 EU=E(X-Y)=EX-EY,EV=E(X+Y)=EX+EYDU=D(X-Y)=DX+DY,DV=D(X+Y)DX+DY而 E(UV)=E(X 2-y 2)=E x 2-E y 2 =0EUEV=(EX-EY)(EX+EY)=(EX)2-(EY)2=0Cov(U,V)=E(UV)-E

34、UEV=042.Cov（U,V）-7W）7D（V）-（1999年、数学三、计算）假设二维随机变量（X”X?）在矩形G=（x,y）IOx2,Oyl服从均匀分布，记0 X Y 0 X Y 1 X2Y（1）求U和V的联合分布;(2)求U和V的相关系数八解：由题设可得P(X 2Y)=4P(Y X 27)=-4(1)(U,V)有四个可能取值：(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)P(U=O,v=0)=P(X Y,X 2Y)=P(X Y)=-4P(U=O,v=1)=P(X 2Y)=0P(U=l,y =O)=P(X Y,X 2Y)=P(Y X Y,X 2Y)=P(X 2Y)2(2)由以上可见U V以

35、及U和V的分布为：0 11/2 1/20 1 0 1,V1/4 3/4)|_1/2 1/23 3 11 1于是，南 EU=,DU=一,EV=,E(UV)=,4 16 2 4 2 I八 八八 1 Cov(U,V)1Cov(U,V)=E(UV)EUEV=,r=：-/-=(=8 V W)V W)V343.(20 0 0年、数学三、证明)设A,5是二随机事件，随即变量：“f l 若A出现 w 1 若8出现X=/=-1若A不出现-1若8不出现试证明随机变量X和y不相关的充要条件是A与8相互独立。证明：记 P(A)=P,P(8)=P2，P(A8)=P12,由数学期望的定义，可见EX=F(A)-P(A)=2

36、/?,-1,K=2p2-1现在求E(xy)。由于x y只有两个可能取值i和-1,可见P(XY=1)=P(AB)+P(AB)=2小2-Pi 一 小+1P(X Y=-1)=1 一 P(X Y=1)=p|+，2-E(XY)=P(X Y=1)-P(X Y=1)=422 2p1 -2 P 2+1从而Cov(X,Y)=E(X Y)E Xx E Y =4 pt 2-4 ptp2因此 Ay=o Cov(X,F)=4 P I 2 -4P l p2 o 0 2=Pi Pi即随机变量X 和 y不相关当且仅当事件A与 5 相互独立。44.(20 0 1 年、数学三、选择)将一枚硬币重复掷n次，以 X 和丫分别表示正面

37、向上和反面向上的次数，则 X 和丫的相关系数等于()。A.-1 B.0 C.0.5 D.1 答 案 选：A 由X+Y=n 知：Y=n-X,显然二者负相关。45.(20 0 0 年、数学四、计算)设二维随机变量(X；)的密度函数为：/(x,y)=5 sl (x,y)+0 2(x,),)其中叼(x,y)和/(%)都是二维正态密度函数，且它们对应的二维随机变量的相关系数分别为，和-,，它们的边缘密度函数所对应的随机变量3 3的数学期望都是零，方差都是1。(1)求随机变量x 和 y的密度函数力(x)和 人()，及 x 和 的相关系数 (可以直接利用二维正态密度的性质)。(2)问 x 和 是否独立？为什

38、么？解(1)由于二维正态密度函数的两个边缘密度都是正态密度函数，因此(P(x,y)和 外(x，y)的两个边缘密度为标准正态密度函数，故+00221上同理“3 2由于 X N(0,l),y N(0,l),可见 EX=EF=0,DX=o y =1,随机变量X和 的相关系数+8+0 0P=J xyf(x,y)dxdy-o o-o c+004-00+004-002j J盯9i(x,y)dxdy+j jxy2(x,y)dxdy000000001 102 3 3(2)由题设f(x,y)916f(x,y)丰力(x)%。)所以x和 不 独 立。46.(1998年、数学四、计算)设一箱装有100件产品，其中一、

39、二、三等品分别为80、10、10件，现从中任取一 件,且X,=2）（）。答 案 填：匕24 9.（1 9 88年、数学三、计算）某保险公司经多年的资料统计表明，在索赔户中被盗索赔户占2 0%,在随意抽查的1 0 0 家索赔户中被盗的索赔户数为随机变量X。（1）写出X 的概率分布；（2）利用棣莫佛一拉普拉斯定理，求被盗的索赔户数不少于1 4 户且不多于 3 0 户的概率的近似值。附表：X00.5 11.522.53（X）0.50.692 0.8410.9330.9770.9940.999解（1）据题意，可 知 1 0 0 家索赔户中被盗的索赔户数X 服从二项分布,其参数 =1 0 0,p =0.

40、2,即X 5(1 0 0,0.2),且尸(X=A)=C%o x O.2*x 0.8ig,上=1,2,1 0 0(2)由 叩=1 0 0 x 0.2=20,p)=J 1 0 0 x 0 2x 0.8=4Y _ 20得 P(1 4 X 3 0)=P(-1.5 -(2.5)+0(1.5)-1=0.9 9 4 +0.9 3 3 1=0.9 275 0.(1 9 89年、数学三、填空)设E(X)=,D(X)=cr2,则利用切贝谢夫不等式可知P(|X-/|3 r)3(r)1。5 1.(1 9 9 9年、数学三、填空)在天平上重复称量一重为a的物品，假设各次称量结果互相独立同服从正态分布N(a,0.22)。

41、若以无，表示次称量结果的算术平均值，则为使P(|X-a|0.9 5的最小值应不小于自然数()。答 案:填1 6 5 2.(20 0 1年、数学三、填空)设随机变量X和 丫的数学期望分别为-2和2,方差分别为1和4,而相关系数为-0.5,则根据切比雪夫不等式有P I X+y2 6 4 ()答 案 填：事实上,E(X+丫)=EX+EY=-2+2=0,D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X,Y)=DX+DY+2pXY/D x4D Y=3PX+Y l 6=Pl(X+Y)-E(X +Y)l 6 D(X+Y)_ 1-6 -1 25 3.(20 0 1 年、数学三、计算)一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重

42、量是随机的，假设每箱平均重5 0千克，标准差为5千克，若用载重量为5 吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱才能保障不超载的概率大于0.97 7.(2)=0.97 7,其中(x)是标准正态分布函数)。解：设 X,(i =1,2,)是装运的第i 箱的重量(单位：千克)，可以将X ,X 2,X “视为独立同分布随机变量，而 n 箱的总重量Tn=X+X2+-+Xn是独立同分布随机变量之和。由条件知E(XJ=50,J/(X,)=5;E(T“)=50；J。%)=5占根据列维-林德伯格中心极限定理，T“近似服从N(5 0 n,2 5 n)分布，则每车的装箱数n决定于条件:PTn 5000=P50 0.977=(2)由此可见.100/0 2,从而n98.0199,即知每车最多可以装98箱。54.(2001年、数学四、填空)设随机变量X 和 丫的数学期望都是2,方差分别为1利 4,相关系数为0.5,则根据切比雪夫不等式有尸 IX-丫 2 6 4().