2022-2023学年广州市高二下期中考试数学模拟试卷及答案解析.pdf

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1、2022-2023学年广州市高二下期中考试数学模拟试卷一.选 择 题（共8小题）51 .（2 0 2 0 春 运 城 期 末）已 知 函 数/（x）=工 一 （21+1），则3hm-二（）45A.1 B.0 C.D.3 32.（2021春萨尔图区校级期末）已 知（l+i）z=2,其中i 为虚数单位，则复数z 在复平面内对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.（2021唐山二模）在/8 C 中，。为 BC的中点，为/。边上的点，且公元=2嬴，则方+（）1 1-3 A B AC1 1B-AB-A-C-2 62 61 3 2、A B-A C1 2D.A B +-AC2

2、 32 34.（2021春普宁市期中）有一个游戏，将标有数字1,2,3,4 的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁 4 个人，每人一张，并请这4 个人在看自己的卡片之前进行预测：甲说：乙或丙拿到标有3 的卡片：乙说：甲或丙拿到标有2 的卡片；丙说：标 有 1 的卡片在甲手中；丁说：甲拿到标有3 的卡片.结果显示：甲、乙、丙、丁 4 个人的预测都不正确，那么丁拿到卡片上的数字为（）A.1 B.2 C.3 D.45.（2021春顺德区校级期中）（-x）6的展开式中，常数项为（）2A.-20 B.-15 C.15 D.20第1页 共2 8页6.（2 0 2 1 河南模拟）已 知 各 项 均 为 正 数

3、 的 等 比 数 列。6,3 a 5,。7 成等差数列,若 即中 存 在 两 项勤,使得4m为其等比中项，则-+士 的 最 小 值 为（）m n2 3A.4 B.9 C.D.3 27.（2 0 2 1 陈仓区模拟）已知函数/（x）的定义域为（0,+8）,且满足/（X）+xf（x）0 （/（x）是/（x）的导函数），则不等式（x-1）/（/-1）的解集为（）A.（-8,2）B.（1,+o o）C.（-1,2）D.（1,2）8.（2 0 1 7 五华区校级模拟）设函数/（x）=x （lnx-ax）（G R）在 区 间（0,2）上有两个极值点，则。的取值范围是（）A.,0）B.12 41 一/n 2

4、 +l 1、C.（,1）D.（-，2 4 2二.多 选 题（共4小题）z i（多选）9.（2 0 2 1 濠江区校级模拟）若复数z 满足-=i，则（）z +1A.z=1 +iB-z=2C.z 在复平面内对应的点位于第四象限D.z2为纯虚数（多选）1 0.（2 0 2 0 秋三明期末）下列四个命题中为假命题的是（）H 1A.3 x G （0,1）.2=-XB.命题“Vx R,x2+x-1 0;,的否定是*3 x G R,/+x-1 0”C.设p：1 Vx 1,则p是 4的必要不充分条件D.设 a,b&R,则“a W O”是“abW O”的必要不充分条件（多选）1 1.（2 0 2 1 春普宁市期

5、中）已知函数（x）=e-kx（e Z+）在（0,+）单调递增，则%的 取 值 为（）第2页 共2 8页A.1 B.2 C.3 D.4宏 +2 2（多选）1 2.（2 0 2 1 春番禺区校级期中）已知函数/（1）=-则下列结论正Xe确 的 是（）A.函数/（x）有极小值也有最小值B.函数/（x）存在两个不同的零点C.当 V kV OB寸，/（X）=上恰有三个实根eD.若 x 0,4 时，f（x）=，则 f的最小值为2m o x e三.填 空 题（共 4小题）1 3.（2 0 2 1 春天河区校级期中）已知数列 仇 的通项公式为bn =3 n +2 n-，则其前项 和Tn=.1 4.（2 0 2

6、 0 春越秀区校级期中）某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，三人间是否当选相互4 3 7独立，甲当选的概率为，乙当选的概率为，丙当选的概率为一，则至多有两人当5 5 1 0选的概率为.1 5.（2 0 2 1 春金坛区校级期末）当x 0时，函数/（x）=2-/+m x 2 有两个极值点，则实数机的取值范围_ _ _ _ _ _.1 6.（2 0 2 1 辽宁模拟）已知抛物线丁=2/（p 0）上 一 点（5,加）到焦点的距离为6,准2 21 V线为/,若/与双曲线C：-1 （a 0,b 0）的两条渐近线所围成的三角形2 ,2a b面积为2 V 历，双曲线C的离心率为.四.解 答 题（共 6 小题）1

7、 7.（2 0 2 1 春天河区校级期中）从 a i+1,b3-1,幻+1 成等比数列，4=为，S 4=力-3 这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并作答.已知等差数列 斯,其前项和为S”数列 仇 满足bi =l,d+1 -3 5=0,a i=3,，求数列 一 的前项和Tn.Sn第3页 共2 8页1 8.(2 0 2 0 春越秀区校级期中)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研究新产品成功的概率分别为2 和3,现安排甲组研发新产品4乙组研发新产品8,设甲、乙两组的研发4 5相互独立.(1)求恰好有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品/研发成功，预计企业可获得利润1 2 0 万元，不成功则会

8、亏损5 0 万元；若新产品8研发成功，企业可获得利润1 0 0 万元，不成功则会亏损4 0 万元，求该企业获利S 万元的分布列和期望.1 9.(2 0 2 0 秋连云港期中)如图，在四棱锥E-488 中，底 面 为 菱 形，B E,平面AB CD,G为 NC与 8。的交点.(1)证明：平面/E C _ L 平面8 E。；(2)若/8/。=6 0 ,A E L E C,求直线EG与平面E D C 所成角的正弦值.2 0.(2 0 2 0 秋朝阳区校级期末)已知椭圆C：上 +上=1(6 0)经过点尸(1,8 二)，a b 2且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一正方形.(1)求椭圆c的方程；(2)过

9、椭圆C的右焦点尸的直线/(与x轴不重合)与椭圆C交于M,N两 点.是否存在一定点E (t,0),使得x轴上的任意 一 点(异于点E,F)到直线E M,N的距离相等？若存在，求出f 的值；若不存在，说明理由.2 1.(2 02 0春越秀区校级期中)已知函数/(x)=-x3-a2x-1 (a G R).3(I )曲线/(x)在 点(1,/(1)处的切线/与直线2 x-尹 1=0 平行，求/的方程；(II)若函数f(x)的图象与直线夕=2只有一个公共点，求实数。的取值范围.2 2.(2 019荆门模拟)已知函数/(x)=2+(a-2)x-lnx.(I)若函数/(X)在 X=1 时取得极值，求实数。的

10、值；第4页 共2 8页(II)当0。1时，求/(x)零点的个数.第5页 共2 8页2022-2023学年广州市高二下期中考试数学模拟试卷参考答案与试题解析一.选 择 题（共8小题）51 .(2020春 运 城 期 末)已 知 函 数/(X)=+1)，则3hm-=()x-o 宓4 5A.1 B.0 C.D.3 3【考点】极限及其运算.【专题】函数思想；定义法；导数的概念及应用.【分析】根据函数在某一点处的导数定义，求出/（X）,计算即可.5【解答】解：函数八）=+35 2 1：.f（x）=-，其中 x 一 一;3 2 宓+1 2A l i m川+寸-2 20 工 3 2 X 1+1故选：A.【点

11、评】本题考查了函数在某一点处的导数定义应用问题，是基础题.2.（2021春萨尔图区校级期末）已 知（l+f）z=2,其中i 为虚数单位，则复数z 在复平面内对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义.【专题】计算题；方程思想；综合法；数系的扩充和复数；直观想象；数学运算.【分析】由（1+i）z=2,可求得z,然后可得复数z 在复平面内对应的点所在象限.【解答】由（1+1）2=2,可得z=2(l-i)1+i d+i)(l-i)第6页 共2 8页其对应点为（1,-1）,在第四象限.故选：D.【点评】本题考查复数除法运算，考查数学运算能力

12、及直观想象能力，属于基础题.3.（2 02 1唐山二模）在/8 C 中，。为 8c的中点，E为 4C边上的点，且 衣=2前，则 灰=（）A.A B-A C2 6B.1 1 J-A B+A C2-6C.-A B-A C D.2 3_ AB+-AC2 3【考点】平面向量的基本定理.【专题】转化思想；数形结合法；平面向量及应用；数学运算.【分析】把X 百，/看作平面中的一组基底，分别表示工方、Mg,再由向量的减法运算得答案.【解答】解：如图，-1 -.。为8 C的中点，A D =(A B +A C)，2又 标=2前，,溷=1就 f 2 f 1 1 1 )则 D E =A E A D =A C(ABA

13、C ：=AB+A C.3 2 2 6【点评】本题考查向量的数乘及加减法运算，考查平面向量基本定理的应用，是基础题.4.（20 21春普宁市期中）有一个游戏，将标有数字1,2,3,4的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁 4个人，每人一张，并请这4个人在看自己的卡片之前进行预测：甲说：乙或丙拿到标有3 的卡片：乙说：甲或丙拿到标有2 的卡片；第7页 共2 8页丙说：标 有1的卡片在甲手中；丁说：甲拿到标有3的卡片.结果显示：甲、乙、丙、丁 4个人的预测都不正确，那么丁拿到卡片上的数字为（）A.1 B.2 C.3 D.4【考点】进行简单的合情推理.【专题】对应思想：分析法：推理和证明；逻辑推理.【分

14、析】由命题的否定可得乙丙都没有拿到3的卡片，甲没有拿到1和3的卡片，可得丁拿到的卡片的数字.【解答】解：由于甲、乙、丙、丁 4个人的预测都不正确，可知乙丙都没有拿到3的卡片，甲没有拿到1和3的卡片，所以丁拿到的卡片上的数字为3,故选：C.【点评】本题考查简单的合情推理，注意命题的否定，考查推理能力，是一道基础题.5.（2021春顺德区校级期中）6的展开式中，常数项为（）2XA.-20 B.-15 C.15 D.20【考点】二项式定理.【专题】方程思想；综合法；二项式定理；数学运算.【分析】根据二项式定理的通项公式，即可得解.1 卡 _【解答】解：通项公式为4 1=Cr-（-）（7）=（-1）6

15、 2 6X令-12+3尸=0,贝！r=4,所以常数项为（-1），C；=（一 1）4C：=15.故选：C.【点评】本题考查二项式定理，牢记二项式定理的通项公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.6.（2021 河南模拟）已知各项均为正数的等比数列 斯,熊，3a5,成等差数列，若 斯1 4中存在两项即“an,使得4曲为其等比中项，则-h 的最小值为（）m n第8页 共2 8页A.4 B.9 C.D.3 2【考点】等差数列与等比数列的综合；等比数列的通项公式.【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用；数学运算.【分析】设等比数列S 的公比为g,q 0,运用等差数列的中

16、项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比g,再由等比数列的中项性质，可得加+=6,再由乘“1”法和基本不等式可得所求最小值.【解答】解：设各项均为正数的等比数列 检 的公比为g,q0,由。6，3。5，。7成等差数列，可得6a5=。6+。7，即 6aqA=aq5+aq(,解得0,n0,ril则-1-1-4-1 (/+)、(-1-1-4-)-1 (z 5+-n-+-4-m-)三1(5+2m n 6 m n 6 m n 63=-，2当且仅当=2 m=4时，上式取得等号.故选：D.【点评】本题考查等差数列和等比数列的中项性质和通项公式的运用，以及基本不等式的运用：求最值，考查转化思想和运算能力、推理

17、能力，属于中档题.7.(2021陈仓区模拟)已知函数/(x)的定义域为(0,+8),且满足/(x)+xf(x)0(/(x)是/(x)的导函数)，则不等式(x-1)/(，-1)V/G+1)的解集为()A.(-8,2)B.(1,+8)C.(-1,2)D.(1,2)【考点】利用导数研究函数的单调性.【专题】转化思想；构造法；导数的综合应用.【分析】根据条件构造函数g(x)=x f(X),求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行转化求解即可.第9页 共2 8页【解答】解：设g (x)=xf(x),则 g (x)=f(x)+x-f(x),V/(x)+x*f(x)0,：.g(x)0,即g (x)在

18、(0,+8)为增函数，则不等式(X-1)/(X2-1)/(x+l)等价为(X -1)(x+l)/(x2-1)(x+l)/(x+l),即(x2-1)/(x2-1)(x+1)/(x+1),即 g (x2-1)0 口1 或 1V 1，即(6一1，即 1 V X V 2,1-1 5 1 I-1 4 V 2故不等式的解集为(1,2),故选：D.【点评】本题主要考查不等式的求解，根据条件构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键.8.(2 0 1 7五华区校级模拟)设函数/(x)=x (历x-a x)(a R)在 区 间(0,2)上有两个极值点，则。的取值范围是()A.,0)B,(0,/n 2+1

19、)2 4c.(,1)2Jn2+1 1、D.(-，一)4 2【考点】利用导数研究函数的极值.【专题】数形结合；数形结合法；导数的综合应用.【分析】方法一：求导/(x)=lnx-2 ax,由关于x的方程=一 二 在 区 间(0,2 x+8)由两个不相等的实根，构造辅助函数，根据函数单调性即可求得。取值范围；方法二：由题意，关于x的方程2 or=/nx+l在 区 间(0,2)由两个不相等的实根，则y=2与y=/x+l有两个交点，根据导数的几何意义，即可求得。的取值范围.【解答】解：方法一：f(x)=x(Inx-ax),求导/(x)=lnx-2 ax+l,1 1 1 JP+1由题意，关于x的方程a=-

20、二 在 区 间(0,+8)由两个不相等的实根，2 x第1 0页 共2 8页24/当x e (1,+8)单调递减,令占(x)=加+1,h,(x)=2 x当x (0,1)时，/?(x)单调递增，当f+8时，h(x)-*0,由图象可知：函数/(x)=x (Inx-ax),在(0,2)上由两个极值,“52+1 1只需-a 0”的否定是 f+x-1 0”C.设p：l x 1,则p是g的必要不充分条件D.设a,beR,则“。#0”是“ab于0”的必要不充分条件【考点】命题的真假判断与应用；充分条件、必要条件、充要条件；存在量词和特称命题；命题的否定.【专题】转化思想：综合法；不等式的解法及应用；简易逻辑；

21、逻辑推理；数学运算.【分析】直接利用存在性问题，四种命题和四个条件的应用，命题的否定判定4、B、C、D的结论.【解答】解：对于3 x o G（0,1）,设 y2x 和 y =,X设存在x o e（o,1）,故1 20OV 的否定是“l r R,/+x-1W 0”，故 8 错误；对于C：设p：l V x ,即x J,则p是q的充分不必要条件，故C错误；2对于。：设a,bER,当=0时，“川=0”成立，故该命题的逆否命题为当“H W0”时，则#0，则a#0”是“MW0”的必要不充分条件，故。正确.故选：B C.【点评】本题考查的知识要点：存在性问题，四种命题和四个条件的应用，命题的否定，主要考查学

22、生对基础知识的理解和应用，属于基础题.（多选）11.（2 02 1春普宁市期中）已知函数/（x）=e-kx（AGZ）在（0,+）单调递增，则人的取值为（）A.1 B.2 C.3 D.4第1 3页 共2 8页【考点】利用导数研究函数的单调性.【专题】计算题：转化思想；导数的概念及应用.【分析】问题转化为，（X）=2 a对（0,+8）均成立，进一步转化为AW ZeV求出2 eZ 的极小值就行了.【解答】解：由函数f（x）=&-kx*ez+）在（0,+8）单调递增，：.f（x）=2 eZt-无 0 对（0,+8）均成立，.人 2岸 对（0,+8）均成立，:.kW（2）min，:.kW 2,又 keZ

23、 k,或=2.故选：AB.【点评】本题考查了函数恒成立问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题.1+2 1 2（多选）12.（2 02 1春番禺区校级期中）已知函数义工）=一：-,则下列结论正Xe确 的 是（）A.函数/（x）有极小值也有最小值B.函数/（x）存在两个不同的零点c.当 一-tvkvon寸，/（X）=左恰有三个实根e6D.若x e 0,4时，f（x）=，则f的最小值为2m c H e【考点】利用导数研究函数的极值.【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用；数学运算.【分析】求出函数的导数，从而判断各个选项即可.【解答】解：.函数/（X）e解关于导函数的不等式，求出函数的单调

24、区间，极值，最值,_+2工-2-,Xe令/(x)0,解得：-2 x V 2,第 1 4 页 共 2 8 页令/(x)2 或 x 2 时，f(x)0,e-当 x-8时，y (x)+oo,当 x+8 时，f(x)-*0.6当-%0时，函数/(x)=2-+机/有两个极值点，则实数m的 取 值 范 围(自，+8).2【考点】利用导数研究函数的极值.【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用；数学运算.【分析】求导得/(x),根据题意可得/(X)=0在(0,+8)上有两个根，从而得X X到加_ 在(0,+8)上有两个根，设g(X)(x 0),求导数判断g (x)的2 x2x单调性，求出g(X)的最小值，进

25、而得出答案.【解答】解：f(x)=-e+lmx(x 0),根据题意，可得/(x)=0在(0,+8)上两个根，H P -ef+2 mx=0$(0,+)上有两个根，X即机_ 在(0,+8)上有两个根，2x工(_ n x设 g (x)=(x 0),则 g (x)=-，2x oZ.xv v2在(0,1)上g (x)0,g(x)单调递增，所以 g(X)ming(1 )=-,所以加-,2 2故答案为：(,+0 ).2【点评】本题考查导数的综合应用，极值点，解题中注意转化思想的应用，属于中档题.1 6.(2 0 2 1 辽宁模拟)已知抛物线炉=2*(p 0)上 一 点(5,w)到焦点的距离为6,准2 2 V

26、线为/,若/与双曲线C：-=1 (0,b Q)的两条渐近线所围成的三角形2,2a b面积为2万，双曲线C的离心率为 3 .第1 7页 共2 8页【考点】抛物线的性质；双曲线的性质.【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程：逻辑推理；数学运【算分.析】由已知求得抛物线的准线方程，可得抛物线的准线与双曲线的渐近线围成三角形的顶点坐标，代入三角形面积公式，整理后即可求得双曲线的离心率.【解答】解：由题意，5+3=6,得 已=1,即p=2,则抛物线产=4*的准线方程为x2 2双曲线的渐近线方程为夕=与和y=a a当 尸-1 时，尸-和尸上，即交点坐标为（-1,）,（-1,-）,a

27、a a a1 b b 1 b b则围成三角形的面积S=X 1 X -(-)=一X2X=一,2 a a 2 a a由上=2 2,得 6=2b2=8a2=c2-a2,得 0 2=9 2,得 c=3 a,即离心率e=3,a即双曲线的离心率为3,故答案为：3.【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据抛物线的定义求出抛物线的方程，求出交点坐标，结合三角形的面积公式建立方程进行求解是解决本题的关键，是中档题.四.解 答 题（共 6小题）1 7.（2 0 2 1 春天河区校级期中）从 a i+1,bi-1,田+1 成等比数列，0 4=6 3,$4 =仇-3 这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并作答

28、.已 知 等 差 数 列 其 前n项和为S”数列 与 满足6 i =l,bn+-3bn=O,a i=3,求数列 一 一 的前项和Tn.Sn第 1 8 页 共 2 8 页【考点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合.【专题】方程思想：综合法；等差数列与等比数列；数学运算.【分析】根据递推关系可知数列仍 为等比数列，由等比数列的通项公式求解乐；若选，由等比数列的性质构造方程求公差，由等差数列的通项公式求得S，进而得到，再由裂项相消法求数列 一 的前项和T；S Sn n若选，根据。4=为构造方程求公差，由等差数列的通项公式求得S”，进而得到一一,Sn再由裂项相消法求数列 一 的前项和r；Sn若 选

29、，由$4=64-3,结合等差数列的求和公式构造方程求公差，由等差数列的通项公式求得S”进而得到 一，再由裂项相消法求数列 一 的前项和S Sn n【解答解：i=l,bn+-3bn=0,数列 为 是 以 1 为首项，以 3 为公比的等比数列，则b =b on-1=3n-1.n 1 r若选，历-1，劭+1 成等比数列，,(匕-l)2=(a.+l)(a-+l 3 1 1即(9-1)2=(3+1)X(3+63+1),解得 d=2,则(n-1)d=2n+,n(a.+a )1 1 1 1 1S =-=n2+2n,则-=-=(-:,n 2 Sn n(n +2)2 n n+2-(1-)=2 3 2 4 3 5

30、 n n +2(1 H)2 2 n+1 n +2=_ 3 _ _ _ _ _1 _ _ _ _ _ _ _ _ 1 _ _ _4 2 n+2 2 n+4,若选，；。4=用，ai+3d=3+3 d=9,解得 d=2,则 a“=ai+(-1)d=2+l,n(a，+an)1 1 1 1 1S=-:-=2+2，则-=-=(-n 2 S n(n +2)2 n n +2n Tn1 1第1 9页 共2 8页Tn +=J_ _ _ _ _ _ 1 _ _ _ _ _ _ _ _1 _ _ _4 2 n+2 2 n+4,4 X 3若 选 ，V S 4=/?4 -3,4 a .+-d=2 7 3，解得 d=2,则

31、 a=a i+(-l)1 2-=n2+2n,则-=-2 Sn n(n +2)Tn=1 1 ,1 1 .1 1一(1-1|2 3 2 4 3 5-)n n-j-2一(1 H-12 2+1_ 3 _ _ _ _ _ _ 1 _ _ _ _ _ _ _ _1 _ _ _4 2 n+2 2 n+4【点评】本题考查等差数列、等比数列的通项公式与前 项和，训练了裂项相消法求数列的前项和，考查运算求解能力，是中档题.1 8.（2 0 2 0 春越秀区校级期中）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研究新产品成功的概率分别为上和3,现安排甲组研发新产品/,乙组研发新产品8,设甲、乙两组的研发4 5相互独立.（1）求

32、恰好有一种新产品研发成功的概率；（2）若新产品4研发成功，预计企业可获得利润1 2 0 万元，不成功则会亏损5 0 万元；若新产品B研发成功，企业可获得利润1 0 0 万元，不成功则会亏损4 0 万元，求该企业获利W 万元的分布列和期望.【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差.【专题】转化思想；概率与统计.第2 0页 共2 8页【分析】(1)设恰好有一种新产品研发成功为事件/,利用相互独立与互斥事件的概率3 3 3 3计算公式可得产(/)=(1-)x +x(1 -).4 5 4 5(2)由题可得设企业可获得利润为W，则 X 的取值有-90,50,80,2 2 0.由独立试

33、验的3 3 3 3概率计算公式可得，P(X=0)=(1-)(1-),P(X=50)=(1-X,P4 5 4 533(X=8 0)=X(1-4 5/、3 3P(X=220)=X-.4 5【解答】解：(1)设恰好有一种新产品研发成功为事件4则3 3 3 3 9P(A)-(1-)X +X(1-)=.4 5 4 5 20(2)由题可得设企业可获得利润为0 则W 的取值有-90,50,80,220.3 3 1由独立试验的概率计算公式可得，P(s=o)=(-)(1 -)=，4 5 103 3 3P(：=50)=(1-X=，4 5 203 3 3P(0)=X(l)=，4 5 103 3 9P q=2 2 0

34、)=X=.4 5 20.曾的分布列如下:-905080220P11032031092013 3 9则数学期望 E(C =-9 0 X +50X一+8 0 X +220X一=121.5 万元.10 20 10 20【点评】本题考查了相互独立与互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列与数学期第2 1页 共2 8页望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.1 9.(2 0 2 0秋连云港期中)如图，在四棱锥E-N 8 C O中，底面/8 C。为菱形，平面AB CD,G为Z C与8。的交点.(1)证明：平面4 E C J _平面8 E D；(2)若NB 4D=60,A E V E C,求直线E

35、 G与平面E D C所成角的正弦值.【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直.【专题】转化思想；向量法；空间角；逻辑推理；数学运算.【分析】(1)易知/C-L B D,由8 E J _平面4 88,知从而推出/C _L平面B E D,再由面面垂直的判定定理即可得证；(2)设/8=1,以G为原点，G B、G C分别为x、y轴，过点G作直线Gz8 E,建立空间直角坐标系，根据法向量的性质求得平面E 0 C的法向量7，设直线E G与平面E D C所成角为。，由si n0 =|c osb即可得解.【解答】(1)证明：/台。为菱形，AB CD,4 C u平面 Z 8 C O,：.B EAC,又 B D

36、CB E=B,B D、8 E u平面 B E。，平面 B E。，*Cu平面 AEC,平面平面B E D./3(2)解：设/8=1,在菱形4 8 c。中，由 N B/O=6 0 ,可得 Z G=GC=,B G=21G D=,27 3：AELEC,：.EG=AG=,2第2 2页 共2 8页,JB E m A B C D,BELBG BE=JE G2_B G以 G 为原点，GB、GC分别为x、夕轴，过 点 G 作直线Gz8 E,建立如图所示的空间直角坐标系,3,0),2则 G(0,0,0),C(0,1 1D(-0,0),E(,0,2 22 GE=o,o,设 平 面EDC的 法 向 量 为 7=Fn

37、DE=0一一，即n CE=02,DE=22 历 十(x,y,z),则x +-z=Q21 愿、平1 n x-y+-z=02 2 2一令 4=1,则 y=-,z=_ /2，/.n=(1,33设直线EG与平面EDC所成角为0,则 sin0=|cos I =IE G-n|G|-In|1210/Tn故直线EG与平面EDC所成角的正弦值为X .10【点评】本题考查空间中线与面的垂直关系、线面角的求法，熟练掌握线面、面面垂直第2 3页 共2 8页的判定定理与性质定理，以及利用空间向量处理线面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.2 0.（2 0 2 0 秋朝阳区校级

38、期末）已知椭圆C：上 +上=1（”6 0）经过点尸（1,二 三），a b 2且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一正方形.（1）求椭圆c的方程；（2）过椭圆C的右焦点厂的直线/（与 x 轴不重合）与椭圆C交于M,N 两 点.是否存在一定点E（/,0）,使得x 轴上的任意一点（异于点E,F）到直线E M,EN的距离相等？若存在，求出/的值；若不存在，说明理由.【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的标准方程；椭圆的性质.【专题】整体思想；设而不求法；圆锥曲线中的最值与范围问题；数学运算.【分析】（1）由题意可得“，b的值，再由a,h,c 之间的关系，求出a,6的值，进而求出椭圆的方程；（2）设直线/的方程

39、，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，由直线M E,NE的斜率之和为0,可得直线参数的关系，进而可得直线过定点.【解答】解：（1）两焦点与短轴的两个端点的连线构成一正方形，所以a=/b，2 2则椭圆的方程：+2=1,过点尸a,2b2 b2 2所 以-+-=1,解得 b2=1,a2=2,2b2 2b22所以椭圆的方程：2=：2（2）设直线/的方程为x=my+l,与椭圆C联 立 得（2+/）产+2 叩-1=0,贝-yy2 -2+m 2+nT由题意X轴平分/MEN,则直线E M,EN的倾斜角互补，即 kME+kNE=0,八 y2贝-+-=0 得 yi (X 2 -/)+y2(xi -t)=0 即 y(

40、,myi+-t)+yi my+x2-t7)=0,第2 4页 共2 8页整理可得 2 少i y2+(1 -/)(J i+y2)=0,从而-2-m-h (1 -/)-2-m-=0,即H-2-m-(-2-t)-=02+m2 2+m：2+m2不论m为何值时f=2,所以，存在定点E (2,0)使得x轴上的任意一点(异于点E,F)到直线E M,E N的距离相等.【点评】本题考查求椭圆的方程，直线与椭圆的综合，属于中档题.42 1.(2 0 2 0春越秀区校级期中)已知函数/(x)=,r3-a2x-1 (a e R).3(I )曲线/(x)在 点(1,/(I)处的切线/与直线2 x-y+l=o平行，求/的方

41、程；(II)若函数f(x)的图象与直线夕=2只有一个公共点，求实数。的取值范围.【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程.【专题】分类讨论；综合法；导数的综合应用；逻辑推理.【分析】(I )求导，由导数的几何意义及平行直线的关系可求得“，进而求得切点，利用点斜式求得切线方程；(II)求导，分类讨论，只需函数/(x)的极大值大于2即可.【解答】解：(1)，(x)=4 x 2-/,则，(1)=4-/,依题意，4-=2,解得&=/2或a =/(x)=则f(l)=一3 35.切线/的方程为 yH-=2(宓-1)，即 6 x-3 y-1 1=0；C C Q(I I )由(I )知，

42、(x)=4 x2-a2,令，(x)=0,解得 x=，2当。=0时，(X)2 0恒成立，函数宓)1在R上递增，显然与直线y=32只有一个公共点，满足题意；当a 0时，令，(x)0,解得力 一 上或力_；令/(x)0,解 得 _ _ a：;2 2 2 2第2 5页 共2 8页故此时函数/)在(_8,匕.+8比递增，在让递减，2 2 2 2要使函数/(x)的图象与直线了一2只有一个公共点，则 只 需/(-)即23 2 24 Q 。Q X(-)-a X()-1 2)解得 a V3 3,故此时 O V aV?；3 8 2当a 0,解得1V巴 或 一 巴;令/(x)0,解 得 巴 比_,2 2 2 2故此

43、时函数/(X)在(_8,2),(且.+8比递增，在 己，一_1 1上递减，2 2 2 2要 使 函 数/(x)的 图 象 与 直 线y =2只 有 一 个 公 共 点，则 只 需gd-)V 2,即23 2 24 a 2 Q X-a X-1 解得 a _ 3 3，故此时 一3 3 (1 0，3 8 22 2综上，实数的取值范围为(_ 3了，3T【点评】本题考查导数的几何意义，及利用导数研究函数的单调性，极值，考查数形结合思想及分类讨论思想，属于中档题.2 2.(2 0 1 9荆门模拟)已知函数/(x)=a x2+(a -2)x-Inx.(I )若函数/(x)在x=l时取得极值，求实数。的值：(I

44、 I )当0 4 1.求出函x a数的单调区间以及函数的极值，利用函数零点判断定理转化推出结果即可.【解答】(共1 4分)解：(定义域为(0,+第2 6页 共2 8页oo)。1 2Q宓+(。-2)1 1(2 x +D(a x-l)f(比)=2 a i+(a 2)-=-=-x x x由已知，得/(1)=0,解得Q=l.当”=1 时，ff(X)=-X所以/(x)00 x0 1.所以/G)减区间为(0,1),增区间为(1,+8).所以函数/(x)在 x=l时取得极小值，其极小值为/(I)=0,符合题意所以4=1.(5 分)（1 1）令r（i）=（2-+1 0 2二1）=o,由得力=_ i.x a所以

45、r（w）V O 0 O V#V-,f （x）o x .a a所以/c o 减区间为（o,_ L）,增 区 间 为-|-oo）.a a所以函数/（X）在 1-时取得极小值，其极小值为f d-）=/n a +l-a a a因为所以 In a V O ,1.a所以 1 一_ 1 -F l=-e e e e e又因为O V q V l,所以a-2+e0.所以e根据零点存在定理，函数/（X）在（0,工立有且仅有一个零点.a第2 7页 共2 8页因为f(x)=ax2+(a -2)x-lnx ax2+Ca-2)x -x=x(a r+a -3).3 Q令 ax+a-3 0,得 x-.a3-Q、1又因为OVaVl,所以-.a a3 a所以当-时，/(x)0.a根据零点存在定理，函数/(X)在d-,+8让有且仅有一个零点.a所以，当0 1时，/(X)有两个零点.(1 4分)【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，函数的零点的判断定理的应用，考查计算能力.第2 8页 共2 8页