2022-2023学年湖南省岳阳市岳阳县高三上学期入学考试数学试题（解析版）.pdf

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1、2023届高三年级上学期入学考试数学一、单选题（每小题5分，共4 0分.）1,已 知 集 合 人 （羽 汕=一2,8 =贝”豳=（）A.（-1,1）B.1 C.（1,1）D.-1,12.欧拉公式=cos9+isin 夕把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥“，若复数z 满足（ei+i）.z=i,则|z|=（）5A.B.1 C.J 2 D.223.已知a e R,则“a 6”是“6 36”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C 充要条件 D.既不充分也不必要条件4.第 32届奥运会男子举重73公斤级决赛中，石智勇以抓举166公斤，

2、挺 举 198公斤，总成绩364公斤的成绩，为中国举重队再添一金，创造新的世界纪录.根据组别划分的最大体重以及举重成绩来看，举重的总质量与运动员的体重有一定的关系，如图为某体育赛事举重质量与运动员体重之间关系的折线图，下面模型中，最能刻画运动员体重和举重质量之间的关系的是（）举重运动员的体重与举重质量关系折线图举重质量/公斤430410-3903703503303102902702501/50 60 70 80 90 100 110 120运动员体重/公斤A.y=mx 4-n(m0)B.y=m x+n(加 0)C.y=m x1 4-n(m0)D.y=m ax+n(m 0,且 a w l)5 .

3、已知函数/(x)的定义域为R,7(尤+2)为偶函数，/(2 x+l)为奇函数，则()A.扑。B./(-1)=0 C./=0 D./(4)=06 .过抛物线)2=4 x 的焦点作直线交抛物线于A(x i,y i),Bg y 2)两点，如 果 加+尼=6,那么|A B|=()A.6B.8C.9D.1 07 .已知数列%满足q+3 a,+（2-1）。“=2，则数列的前1 0 项 和 是（）2/2 +1A.2 1B.2 3C.2 1D.2 38.已知函数 x）=,2 x 1,x 1A.3B.5C.7D.9二、多选题（部分答对2分，全对5分，共20分.）9.下列命题中正确的是（）A.若直线与平面有两个公

4、共点，则直线在平面内B.如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交C.若直线/与平面a平行，则/与平面a内的直线平行或异面D.若平面a平面4，直线aua,直线u/?,则a b1 0.已知函数尸A s i n（3 x+0,3 o,|小一）的部分图象如图，将该函数的图象向x 轴负方向平移夕个2 6单位，再把所得曲线上点的横坐标变为原来2 倍（纵坐标不变），得到函数_/u）的图象.下列结论正确的是（）21B./(一?)=百O71C.曲线y=/(x)对称轴是=也+5(左 67)71D.若|X 1 X2|3，则l/UD 於 2)|0,且/(1)=1,则下列结论中成立的是()A.

5、e)0 B./g)0 D,玉 e(l,e),/(x)_/(：)+2 有三个条件：c o s B =-；b+c=2；颔1 =娓,现从上面三个条件中选择两个条件，使得三角形存在.（1）两个条件中能有吗？说明理由；（2）请指出这两个条件，并求AABC的面积.18 .已知数列,叫1 满 足q=1,4+2为,“奇为数偶，数（1）记 或=%,，写出4,打，并求数列 2的通项公式；（2）求 4的前2 0项和.19 .在四棱锥Q-A B C。中，底面A B C。正方形，若A O =2,Q O=Q A =6,Q C =3.（1）证明：平面平面A B C。；（2）求二面角3 Q。A的平面角的余弦值.2 0.某商场

6、举行促销活动，有两个摸奖箱，A箱内有一个“1”号球，两 个“2”号球，三 个“3”号球、四个无号球，B箱内有五个“1”号球，五 个“2”号球，每次摸奖后放回，每位顾客消费额满100元有一次A箱内摸奖机会，消费额满3（）（）元有一次8箱内摸奖机会，摸得有数字的球则中奖，“1”号球奖5 0元，“2”号球奖2（）元，“3”号球奖5元，摸得无号球则没有奖金.（1）经统计，顾客消费额X服从正态分布N（15 0,6 2 5）,某天有M XX）位顾客，请估计消费额X （单位:元）在区间（100,15 0内并中奖的人数.（结果四舍五入取整数）附：若 X N（4，c r）,则 一bX 4+b）=0.6 8 2

7、7,P（2 b X =1（。8 0）的左、右顶点，尸为右焦点，点P为C上的一点，3PF恰好垂直平分线段。8（。为坐标原点），归尸仁万.（1）求椭圆C的方程；（2）过F 直线/交C于M,N两点，若点Q满足加二喇+丽（0,M,N三点不共线），求四边形O M Q N面积的取值范围.2023届高三年级上学期入学考试数学一、单选题(每小题5分，共 40分.)1 .已 知 集 合 人 2=-2 1 ,，=阻加=巧,则初5=()A.(T,l)B.-1 C.(1,1)D.-1,1【答案】C【解析】y =-2 x-l【分析】解方程组1 2 ，求得交点坐标即可求解.y =x【详解】由y =-2%1X-11所以 A

8、n 3=(_ i/),17故选：C.2 .欧拉公式e M=c o s 8 +isin。把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥“，若复数z 满足(e +i).z =i,则|z|=()A.B.1 C.J2 D.22【答案】A【解析】【分析】由 已 知 可 得 再 把(*+i)-z =i变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，结合复数模的计算公式求解.【详解】解：由 =c o se+isin。，得 d”=c o s4+isin；T =-l，i(-l-i)(-l+i)(-l-i)得 z =I I .-12 2则由(*+i)-z =i,故选：A.3

9、 .已知aR,则6”是“4 3 6”的()A,充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解.【详解】由题意，若a 6,则/3 6,故充分性成立；若/3 6，则a6或。6,故必要性不成立；所以“a 6 ”是“/3 6 ”的充分不必要条件.故选：A.4.第3 2届奥运会男子举重7 3公斤级决赛中，石智勇以抓举1 6 6公斤，挺 举1 98公斤，总成绩3 6 4公斤的成绩，为中国举重队再添一金，创造新的世界纪录.根据组别划分的最大体重以及举重成绩来看，举重的总质量与运动员的体重有一定的关系，如图为某体育赛事举

10、重质量与运动员体重之间关系的折线图，下面模型中，最能刻画运动员体重和举重质量之间的关系的是（）举重运动员的体重与举重质量关系折线图运动员体重/公斤A.y=mJx+n(m0)B.y=m x+n(m0)C.y-mx1+n C m 0)D.y-max+n(加 0,0 且 a w l)【答案】A【解析】【分析】根据函数y=x,y=G，y=y=2 y=1 的图象特征判断.(2，【详解】在同一坐标系中作出函数y=X,y=yx,y=x2,y=2,y=(g j在第一象限的图象，如图所示：由函数图象，根据折线图可知，最能刻画运动员体重和举重质量之间的关系的是y=+(相0),故选：A5.已知函数/(x)的定义域为

11、R,/(x+2)为偶函数，2 x+l)为奇函数，则()A./卜|=B./(1)=0 C.2)=0 D.4)=0【答案】B【解析】【分析】推导出函数/(力 是以4为周期的周期函数，由已知条件得出/(1)=0,结合己知条件可得出结论.【详解】因为函数/(X+2)为偶函数，则 2 +x)=f(2-x),可得/(X+3)=1 一%),因为函数/(2 x+l)为奇函数，则l _2 x)=_ 2 x+l),所以，”1 _力=_/。+1),所以，/(x+3)=-/(x+l)=/(x-l),即x)=/(x+4),故 函 数 是 以4为周期的周期函数，因为函数E(x)=2 x+1)为奇函数，则尸(0)=1)=0

12、,故/(-1)=一/。)=0,其它三个选项未知.故选：B.6.过抛物线)2=4x的焦点作直线交抛物线于A(xi,yi),Bg,)两点，如果用+工2 =6,那么|A 8|=()A.6B.8C.9D.10【答 案】B【解 析】【分 析】由抛物线的焦点弦长公式，由此计算.【详 解】因 为 直 线4B过焦点尸(1,0),所以|4B|=M+X2+P=6+2=8.故选：B.7.已知数列%满 足6+3 4 +(2-1)%=2，则数列%2n+l的 前10项 和 是()10A.21【答 案】C11B.2320C.2122D.23【解 析】【分 析】用-1替换已知式中的，然 后 两 式 相 减 求 得 然 后 由

13、 裂 项 相 消 法 求 和.【详解】因 为q+B%-1-F (2 1)%=2，所以时，4+3。2+(2-3)6 1=2(-1),2两 式 相 减 得(2 -1)。=2,an=-,2一12又4=2,满足此式，所以-，2 n-册 _ 2=1 1(2 +1 (2n-l)(2/i+l)2-1 2 +1 故选：C.8.已知函数x)=2x 1,阿1)|，x 1X,则 方 程/(/(%)=1根的个数为A.3B.5C.7D.9【答 案】C【解 析】【分 析】令 =/(%),先 求 出 方 程/()=1的 三 个 根%=1,%=l+1，%=l+e,然后分别作出直线 =1,e =l+L =l+e与 函 数M=/

14、(X)的图象，得出交点的总数即为所求结果.【详解】令4=/(可 冼解方程/(4)=1.(1)当 1 时，则/()=|l n(-1)|=1,即I n(一 1)=1，解得u2=l +-,w3=l +e.如下图所示：直线 =l,=l+L =l+e与函数 =/(x)的交点个数为3、2、2,e所以，方程/y(x)=l的根的个数为3 +2 +2 =7.故选：C.【点睛】本题考查复合函数的零点个数，这类问题首先将函数分为内层函数与外层函数，求出外层函数的若干个根,再作出这些直线与内层函数图象的交点总数即为方程根的个数，考查数形结合思想，属于中档题.二、多选题(部分答对2 分，全对5 分，共 20分.)9.下

15、列命题中正确的是()A.若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内B.如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交C.若直线/与平面c平行，则/与平面a内的直线平行或异面D.若平面a平面,直线aua,直线b u 0,则环【答案】A C【解析】【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析即可.【详解】解：对于A：由公理1可知，若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内，故A正确；对于B：如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线与该平面平行或相交或在平面内，故B错误；对于C：若直线/与平面a平行，则/与平面a内的直线平行或异面，故C正确；对于D

16、：若平面a 平面/?,直线aua,则。平 面 又 直 线 则 直 线a 力或。与。异面，故D错误.故选：A CTT.jr1 0.已知函数丫二曲皿业+颂心。，3 0,祢彳)的部分图象如图，将该函数的图象向X轴负方向平移不个)A.当一工时，火x)的取值范围是-1,25 3B.穴一?)=百O乃C.曲线j=於)的对称轴是x=E+5(攵 7)D.若M X 2|T，则 心I)-/(X2)|/3，B错误;6对于选项C,函数/(x)=2co sx的对称轴是x=EG e Z),C错误.对于选项D,函数的最小正周期为2兀，D正确.【详解】由图可知，A=2,=2(-),6 9 =2.2x-卜 =虱，由于I例 0=一

17、口 12 12 12 2 6TT函数 =A si n 3 x +0)的解析式是 y=2si n(2x +).67T 27r根据题意，/(x)=2co sx.当一二 时，/(*)的取值范围是-1,2,A正确；”41 兀、-/41兀、c 4171 c/r 兀、c 兀 Af (-)=2 cos(-)=2 cos-2 cos(7it )=-2 cos =l 3,B 专 日 媒;6 6 6 6 6函数/(x)=2cosx的对称轴是x=kjt(k G Z),.C错误.,/(x)=2cosx的最小正周期为2兀，.D正确.故选：AD11.若定义域为(0,+8)函数/(X)的 导 函 数/(X)满足4。)+1

18、0,且=则下列结论中成立的 是()A.e)()B./9)0D.Hxe(l,e),/(x)一/6 +2 0,结合函数的导数与函数单调性的关X系分析可得g(x)在(0,+8)上为增函数，据此依次分析选项，综合即可得答案.【详解】解：根据题意，若定义在(0,+8)函数/(X)的导数/(X)满足+则有 了 (X)+1 0,则有/(%)+bvc 0,X设 g(x)=/(x)+法，则 g(x)=f(x)+1 0,则 g(x)在(0,+oo)上为增函数,X依次分析选项：对于A，e l,则g(e)g(l),即+则有/(e)0,符合题意;对于8,-1,则g)g BJ/(1)4-/1=/(-)-1 1,e e e

19、即有/d)1,则 又由 l x 0,符合题意；对于。，当x e(l,e),有 2 !0,此时有/(x)/(L),X e x即/(x)+Inx /(-)+加(3 ,变形可得/(x)-/(-)+2lnx 0,X X X又由l x 0 恒成立，不符合题意；X故选：ABC.【点睛】本题考查利用导数分析函数的单调性，注意构造新函数，并利用导数分析函数的单调性.12.“内卷”是指一类文化模式达到最终的形态以后，既没有办法稳定下来，也没有办法转变为新的形态，而只能不断地在内部变得更加复杂的现象，热爱数学的小明由此想到了数学中的螺旋线.连接嵌套的各个正方形的顶点就得到了近似于螺旋线的美丽图案，具体作法是：在边

20、长为1 的正方形ABC。中，作它的内接正方形E F G H,且使得N8EF=15。；再作正方形EFGH的内接正方形M N PQ,且使得/FMN=15。；依次进行下去，就形成了阴影部分的图案，如图所示.设第个正方形的边长为。“(其中第I 个正方形ABC。的边长为q=A 3,第 2 个正方形EFGH的边长为二后尸，)，第个直角三角形(阴影部分)的面积为S“(其中第1个直角三角形A E 的面积为5,第 2 个直角三角形EQW的面积为邑，)，则()C.数列 q 是公比为，的等比数列 D.数列 S,的前 项和【答案】BD【解析】【分析】应用勾股定理、三角函数tanl50=2-百得到此过程中前后两个正方形

21、的边长关系，即可知A、C 正误，并写出 4 的通项公式，进而求 S,通项公式，即知B、D 正误.【详解】由题设若=则 AH/r 即tanl50=t=2 -3；上工，即=AH =匕 巨，故 耳=6 6 612 12B 正确;2,S，W|，故 小5+s“q.1+图卜；1一(|)；,D正确.故选：BD三、填 空 题(每 小 题5分，共15分.)13.将3名北京冬奥会志愿者全部分配到花样滑冰、短道速滑2个项目进行培训，每名志愿者只分配到一个项目，每个项目至少分配一名志愿者，则甲、乙两名志愿者分配在一起的概率为.【答案】-3【解析】【分析】结合已知条件分别求出基本事件总数和甲乙两名志愿者分配在一起的基本

22、事件数，然后利用古典概型的概率公式即可求解.【详解】由题意可知，基本事件总数为C；C：耳=6,甲、乙两名志愿者分配在一起的基本事件数为2,(即甲乙都分配到花样滑冰或短道速滑)故由古典概型的概率公式可知，所求概率为尸=2 =1.6 3故答案为：.314.圆心在直线y=-x+l上，且与直线x+y-2 =0相切于点(1,1)的圆的方程是12【解析】【分析】假设圆心坐标，利用切点可构造方程求得圆心坐标，进而确定半径，由此得到圆的方程.【详解】设所求圆的圆心为(。，a+1),则圆心与(1,1)连线与直线x+y-2=0垂直，a+1 1 -=1,解得：=,.圆心为。一1 2故答案为：(x-；)=；i215.

23、若函数=在区间3,0 +5)上存在最小值，则实数a的取值范围是【答案】-3,0)【解析】【分析】由题意，求导/(x)=/+2x=x (x+2)确定函数的单调性，从而作出函数的简图，由图象求实数a的取值范围.【详解】由题意，/(x)x2+2 x x(x+2),故f (x)在(-8,-2),(0,+8)上是增函数，在(-2,0)上是减函数，x=0 或 X-3；则结合图象可知，3 4 a 0 ；解得，f -3 1 0)；故选C.【点睛】本题考查了导数的综合应用及学生作图识图的能力，属于中档题.16.圆 M 的方程为(X-2-5COS6)2+(v-5sin)2=l(e/?),圆 C 的方程为(x-2+

24、y2=4,过圆上 任 意 一 点P作 圆。的两条切线FE、P F，切 点 分 别 为E、F，则 屋.丽 的最小值为.【答 案】6【解 析】【分 析】设NCPE=a，可 得 出NEPE=2 a,利用三角函数的定义以及平面向量数量积的定义可得出斯.而=|定+-1 2,利用圆的几何性质求得|定的取值范围结合双勾函数的单调性可求得而 即的最小值.(详 解】设 N C P E=a ,则 N E P F =2 a,由切线长定理可得|而H司，商=耐工P ECOS(7 二：P C而 方=阿 冏cos2a=|阿.(2cos2 a _1)=冏圆心 M 的坐标为（2+5cos6,5sin3）,则 碇|=（2+5co

25、s-2）2+（5sin）2=5,由图可得|碇 卜1W附 国 羽 串1,即4 4明 4 6,则16K斥36,3?由双勾函数的单调性可知，函数y=x+-12在区间 16,36上单调递增,M2=16时，_而_ _ ._而_ 取得最小值16+3-2-12=6.16故答案为：6.【点睛】本题考查平面向量数量积的最值，同时也考查了双勾函数单调性的应用，考查计算能力，属于中等题.四、解答题217.在 AA8c 中，“，b,c 是角 A,B,。所对的边，a sin C=s/3c-cos A 有三个条件：cos8=-；b+c=2 5 颔1 =灰，现从上面三个条件中选择两个条件，使得三角形存在.（1）两个条件中能

26、有吗？说明理由；（2）请指出这两个条件，并求AABC的面积.【答案】（1）不能有，理由见解析；（2）只能选择和，也.2【解析】【分析】（1）根据正弦定理由asinC=JGc-cos A，可得sin Asin C=6 sin Ceos A，解得A=g，若条件中有，可得cosB=-/3ccos A 由正弦定理得sin Asin C=6sin Ceos A.sin C H 0,/.sin A=G cos ,:cos A H 0,二 tan A=G.,.,4 （0,兀），；.4=工.假设两个条件中有，则会推出矛盾.过程如下:2 2 1 1(2TI V cosB=一 一，：.B e 一,7i,此时 A+

27、3+C兀，3 3 2 2 I 3)(2)只能选择和.:A=,由余弦定理得/=/+。2-3 c c o sA，即6=。2+02-6而/?+c=2 0，be=2be=2Jz?=V3+1c=/3-lb=y/3-lC=5/3+1,解得或所以5 c存在,S cc s i n A J x 2 x =立 c 2 2 2 218.已知数列,叫）满 足e 九储+12,几,伪为偶奇数数，（1）记a=a2 n,写出伪，b2,并求数列 d 的通项公式;（2）求 4 的前20项和.【答案】(1)4=2,4 =5,勿=3-1；(2)300.【解析】【分析】（1）方法一：由题意结合递推关系式确定数列的特征，然后求和其通项公

28、式即可;（2）方法二：分组求和，结合等差数列前项和公式即可求得数列的前20项和.【详解】解：（1）方法一【最优解】：显然 2 为偶数，则。2+1=。2.+2,。2+2=。2+1 +1，所以。2+2=。2+3，即 2+|+3，且4=%+1=2，所以 2 是以2为首项，3为公差的等差数列，于是a=2也=5也=3-1.方法二:奇偶分类讨论由题意知 4=1,。2=2,。3=4,所以=。2=2,外=4 =4 +1 =5.由。向一4=1 （为奇数）及4向一 为=2（为偶数）可知,数列从第一项起，若为奇数，则其后一项减去该项的差为1,若为偶数，则其后一项减去该项 差为2.所以4+2 -4=3(e N*),则

29、 勿-b+(n-l)x 3=3n-l.方法三:累加法由题意知数列 凡 满足q =1,。2=4+?+甘-(e N*).3(一所以乙=%-1-=1 +1 =2,1-1 2 23(-1)3 3(-1)2b)=%=%+5 =。3 +1 =。)4 -H F 1 =%+2+1 =2 +3=5 ,则 =。2 n=(。2 一。2“一1)+(2 1 一 2 一2)+(。2-)+=1 +2 +1 +2+2 +1 +4=x 1 +2(-1)+1 =3九 -1.所以a=2也=5 ,数列圾 的通项公式b=3 n-.(2)方法一:奇偶分类讨论52 0=ax+a2+a3 H+a2 Q=(at+a3+a5 Hai9)+(a2

30、+a4+z6+6 Z2 0)=(Z?j -1 +Z?2 1+4 一 +,+b 1)+4 +z+&+b0=2X(V MXIO_I O=3OO2 方法二:分组求和由题意知数列%满足4 =1,a2 n=a2 n_t+1,a2 n+l=a2 n+2 ,所以 a2 n+l=a2 n+2 =2-1 +3 所以数列 “的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；同理，由。2.+2=%川+1 =。2“+3知数列 凡 的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数歹I.从而数列 4的前2 0项和为：5 2 0=(4 1|+%!-1 6 9)+(出+。4 +。6 +-1-。2 0)=1 0 x 1 +1 0 x 92x 3

31、+1 0 x 2+1 0 x 92x 3 =3 00.【整体点评】(1)方法一：由题意讨论 2 的性质为最一般的思路和最优的解法；方法二：利用递推关系式分类讨论奇偶两种情况，然后利用递推关系式确定数列的性质；方法三：写出数列%的通项公式，然后累加求数列 的通项公式，是一种更加灵活的思路.(2)方法一：由通项公式分奇偶的情况求解前项和是一种常规的方法；方法二：分组求和是常见的数列求和的一种方法，结合等差数列前项和公式和分组的方法进行求和是一种不错的选择.19.在四棱锥。一 ABC。中，底面ABC。是正方形，若4。=2,。=。4=石,。=3.Q(1)证明：平面QAD_L平面A8C。；(2)求二面角

32、-A 平面角的余弦值.2【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】【分析】(1)取 的 中 点 为。，连接Q O,C O,可证QOJ平面ABC。，从而得到面QA。J面ABCZX(2)在平面ABC0内，过。作0 7 7/8,交.BC于T，则OT_LA。，建如图所示的空间坐标系，求出平面QA。、平面8Q Q的法向量后可求二面角的余弦值.Q(1)取AD的中点为。，连接QQCO.因为QA=Q。，O A =O D,则QO，A，而AO=2,Q4=,故。=7 =2.在正方形A3CD中，因为4 5 =2,故。0=1，故C 0 =旧,因为QC=3,故。之=QO-+0 C2，故AQOC为直角三角形且Q。，0C,因为

33、。CC|AD=。，故Q O,平面ABCD,因为QO u平面Q A 0,故平面QAO_L平面A5CD.(2)在平面ABCO内，过。作O77/CD,交B C于T，则OT_LAO,结 合(1)中的Q O,平面ABC。，故可建如图所示的空间坐标系.则。(0,1,0),。(0,0,2),8(2,-1,0),故 诙=(-2,1,2),丽=(-2,2,0).设平面Q B D的法向量3=(x,y,z),n-B Q =Q_ 即n-B D =Q则 2x+y+2z=0 1-c ，取 x=l,则 y=l,z=一,-2x+2y=0 2故=LL；).L)而平面Q A D的法向量为m=(1,0,0),故cos(九 力=予=

34、1 x22二面角5-Q。-A的平面角为锐角，故其余弦值为;.2 0.某商场举行促销活动，有两个摸奖箱，A箱内有一个“1”号球，两 个“2”号球，三 个“3”号球、四个无号球，8箱内有五个“1”号球，五 个“2”号球，每次摸奖后放回，每位顾客消费额满1 00元有一次A箱内摸奖机会，消费额满3 00元有一次8箱内摸奖机会，摸得有数字的球则中奖，“1”号球奖5 0元，“2 ”号球奖2()元，“3 ”号球奖5元，摸得无号球则没有奖金.(1)经统计，顾客消费额X服从正态分布N(1 5 0,6 2 5),某天有1 000位顾客，请估计消费额X (单位:元)在区间(1 00,1 5 0内并中奖的人数.(结果

35、四舍五入取整数)附：若 X N(4,c r),则 P(-c r X +b)=0.6 8 2 7,P(/./-2C T X /./+2 cr)=0.9 5 4 5.(2)某三位顾客各有一次A箱内摸奖机会，求其中中奖人数的分布列.(3)某顾客消费额为30 8元，有两种摸奖方法，方法一：三次A箱内摸奖机会；方法二：一次B箱内摸奖机会.请问：这位顾客选哪一种方法所得奖金的期望值较大.【答案】(1)中奖的人数约为2 8 6人.(2)分布列见解析.(3)这位顾客选方法二所得奖金的期望值较大.【解析】【详解】分析：(1)依题意得=1 5 0,4=625,得cr =2 5,消费额X在区间(1 0 0,1 5(

36、)内的顾客有一次A箱内摸奖机会，中奖率为0.6,人数约1 0(X)x P(4 2b XW4),可得其中中奖的人数；(2)三位顾 客 每 人 一 次A箱 内 摸 奖 中 奖 率 都 为0.6,三 人 中 中 奖 人 数 服J从 二 项 分 布6(3,0.6),=%)=C；0.6*0.4 3-*,仕=0,i,2,3),从而可得分布列；利用数学期望的计算公式算出两种方法所得奖金的期望值即可得出结论.详解：(1)依题意得以 =1 5 0,4=625，得b =2 5,消费额X在区间。()0,1 5()内的顾客有一次A箱内摸奖机会，中奖率为0.6()9545人数约 1 0 0 0 x 尸(2 cr X 0

37、时，令/(x)0 n x !，所以在m上递减，上递增,所以当x =,时，取到极小值/a)=l-a +l na,无极大值,综上，当4,0时，无极值;当a（）时.，则当x =L时，有极小值/工=l -a +l na,无极大值.a a j（2）由 可知，当0时，/（X）在（0,+8）上单调递减,所以至多一个零点，不符合题意；当a（）时，/（x）在上递减，：，+8）上递增，若，,，!，即a.2,则/（x）在；,2上单调递增，至多有一个零点，也不符合题意;a 2 2若一.2 ,即0 a,2a*1 1 c右一 一 2 ,2 a即,a 2 ,2,则/（X）在g,2上单调递减，至多有一个零点，也不符合题意;1、（1-上单调递减，在 一,2上单调递增,a)则“X）在1a则/（2）-04,2 1 n2a w l,nl n2 a跖=36M 36(3m2+4)2 3加+4126n2+13m2+4_ _ c _ 121 _ 1 2(,n令 t=T I N 1，则 平 行 四 边 形0MQL 3/+_ 3j+1，(n1 qy=3Z +-=3/+在口，+oo)上单调递增,t t )t 3t+-0 S平行四边形QMQN 4 3.综上所述，四边形OMQN面积的取值范围为（0,3