2022-2023学年上海九年级数学上学期同步精讲第2讲比例线段(含详解).pdf

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1、第2讲比例线段 比和比例r”比例的性质知识梳理一-比 例 线 段I黄金分割p求比例问题题 型 探 究 一比例线段、比例中项I根据黄金分割求长度课后作业知识梳理1、比和比例一般来说，两个数或两个同类的量。与相除，叫做。与b的比，记作a/（或表示为q）,其中6工0；b。除以方 所得的商叫做比值，如果a:b=G,那么。=妨.a c（1）如果a：=c：d（或一），那么就说。、葭c、4成比例.其中d是“、b、c的第四比例项.（2）如果a：6=）：c,则6是。、。的比例中项.Q“要点：（1）比例表达是有顺序的；（2）比例中项：b=4ac.2、比例的性质（1）基本性质:如果凹=,那么ad=0c；（外项积等于

2、内向积）b dma c 皿/b d a b如果一二一，那么一=一，-=-,b d a c c d（2）合比性质：如 果 =,那 么 空 =出；b d b dd_a b如果g =,那么巴士=3.b d b d（3）等比性质：a _ c _ 卜 a+c a c 卜如果一2一 ,那么6 +1一%2一 （如果是实数运算，要注意强调人 +d w O）.a c a+b c+d/,、=-.=-（a w。）（4）合分比性质：如果。d,那么a-b c-d3、比例线段的概念对于四条线段a、b、c、d,如果a:b =c:d（或表示为0=）,那么a、b、c、4叫做成比例线b d段，简称比例线段.=cd,ac=A d,

3、PB）两 段（如下图），其 中 钎 是4 5和尸8的比例中项,那么称这种分割为黄金分割，点尸称为线段A 5的黄金分割点.其中，=避 二1 =0.6 1 8,称为黄金分割AB 2数，简称黄金数.A P B黄金分割相关图形:要点：（1）一般来说，一条线段的黄金分割点有两个，可能有两解;n 十 注 长短V 5-1 短3-V5 间 记 方 法：至=便=可,至 二 亍题型探究题型一、比例求值*例 1/、_,G 2 rM a+2b(1)已知一二一，则-b 3 b,a h c 若一,则2 3 4(2)a-bb+c“、_ a c e 1 r,，.人a+c-e(3)设一=二，且Z 7 +d-/w O,则-b d

4、 f 4 j b+d-f(4)若孙Z HO且 立 2 =2=三 =%，贝Lz x y,c x .a+b-c a-h +c-a+b+c m il(a+b)(a+c)(b+c)I 3 1 右-=-=-,则-c b a abc B C）的4/7边 AB 上取一点E,使 得 BE=BC,连接DE 则 一 等 于（AD)V5+1D.-2(3)点 P是线段AB 的黄金分割点（A P BP）,则 变AP（4）已知点P是线段AB 的黄金分割点，且 A P=6-1,则 AB 的长为 r（5）如图，A B=l,P i、P 2 是线段AB 的 2个黄金分割点.求A P i、A P?的长度；A P求，点 P l 是不

5、是线段AP2的黄金分割点？在图中你还能找到其他的黄金分割点吗？AP2APlB巴“举后一举一反二L（2021春武威月考）下列各组中的四条线段成比例的是（）A.3cm、6cm 8cm、9cm B.3cm 5cm、6cm 9cmB.3cm 6cm、7cm 9cm D.3cm、9cm、10cm 30cm2.（2020秋全国期末练习）若 加=（1）且 公Ac、d 均为正数，则下列结论不成立的是（）人 a c a a-c -+l c+1-a+b c+dA.=B.=-C.-=-D.-=-b d b b d b+1 d+1 b d3.（2020 秋丹东期末）已知 =2,且 6+4+/W 0,若 a+c+e=1

6、 2,则 6+d+/=_:b d/4.（2020秋浦东新区期末）写出所有能与4,5,6组成比例的数;5.（2020秋西林县期末）如果线段a=9cm,b=16cm,那么a 和 b 的比例中项 cm.6.（2021海陵区一模）科学家们通过研究发现，当外界环境温度与人体正常体温（37。0之比等干黄金分割比0.618时，人体感觉最舒适，这个气温约为（精确到0.1）7.（2021江干区模拟）线段AB=2cm,点 P 为线段A B 的黄金分割点（APBP）,则 A P的长为 cm.8.a=8 cm,b=6 cm,c=4 cm,则 a、c 的第四比例项 d=cm；a、c 的比例中项 x=cm.）课后练习1.

7、（2020年湖南长沙雨花区期中）下列各组线段中,不成比例的是（）A.4 cm,10 cm,6 cm,8 cm B.12 cm,4 cm,6 cm,8 cmC.33 cm,l 1 cm,22 cm,66 cmD.2 cm,4 cm,4 cm,8 cm2.（2 0 2 0 年嘉定区期中）如果2 x =3 y（x,y 均不为0）,那么下列各式正确的是（）y 3B.-=3x-yx 2D.-=-x+y 5C,且Sy 33.（2 0 2 0 秋包河区期末）若ad=b c,则下列不成立的是（）A.4 =(0/#0)b da+bbB.=巴出手b,b丰d)b-d bc a+l c+1 i 八D.-=-l,d w

8、-1)b+l d+14.（2 0 2 0 年闵行区一模）已知尸是线段48的黄金分割点，且”B P,那么下列比例式能成立的是（）（AB AP A 8 BP（、BP AB AB 石 一 1kA）=;kD 7 =;kCJ =;kD）=-.AP BP AP AB AP BP AP 25.（2 0 2 0 年甘肃定西）生活中到处可见黄金分割的美.如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下。与全身。的高度比值接近0.618,可以增加视觉美感.若图中为2 米，则a 约 为（）A.1.24 米 B.1.38 米 C.L 42 米 D.1.62 米6.（2020秋高邮市期末）若三条线段a、b、c的长满足 =3=存

9、1,则将这三条线段首尾顺次相连（）A.能围成锐角三角形 B.能围成直角三角形C.能围成钝角三角形 D.不能围成三角形7.（2020年闵行一模）已知线段 =4 厘米，c =9厘米，那么线段”和 c的比例中项b为_ _ _ _ _ 厘米.8.（2020年杨浦区一模）在比例尺是1 ：15 000 000的地图上，测得甲、乙两地的距离是2 厘米，那么甲、乙两地的实际距离是 千米.9.（2021泰州模拟）2021年3月2 0日起，我国陆续公布了三星堆遗址考古最新发掘成果.地球表面纬度范围是090。，对其进行黄金分割，黄金分割点间地区特别适宜人类生活，产生了包括三星堆在内的世界古文明，也 囊 括 了 大

10、多 发 达 国 家.那 么 黄 金 地 带 纬 度 的 范 围 是.（黄金比为0.618）10.已知线段4 B长是2厘米，P是线段A 8上的一点，且满足”2 那么A P长为_ _ _ _ _ _厘米._b d 1 （n,-f-c）、_b_-_ _d_ 11.（2020 年 喽 底）若 a c 2，则 a c12.（2020秋静安区期末）已知线段x,y满 足 生B =求土的值.x-y y y13.（2020 秋奉贤区期末）已知 a:=2:3,b:c=3:4,且 2a+b c=6,求a、b、c 的值.ab c=-=m14 若 b+c C+Q a+b求tn的值.。+4 _ b+3 _ c+815.（

11、2019甘肃兰州期末）已知a,b,c 是三角形ABC的三边，且 满 足 3 2 4：+八0 n 2,则三角形ABC的形状为 三角形.Q-b _ b-c _ c-a16.已知a,6,c 是三角形ABC的三边，且b c a 判断三角形ABC为何种三角形，并说明理由.第3讲比例线段 比和比例r”比例的性质知识梳理一-比 例 线 段I黄金分割p求比例问题题 型 探 究 一比例线段、比例中项I根据黄金分割求长度课后作业知识梳理1、比和比例一般来说，两个数或两个同类的量。与相除，叫做。与b的比，记作a/（或表示为q）,其中6工0；b。除以方 所得的商叫做比值，如果a:b=G,那么。=妨.a c（1）如果a

12、：=c：d（或一），那么就说。、葭c、4成比例.其中d是“、b、c的第四比例项.（2）如果a：6=）：c,则6是。、。的比例中项.Q“要点：（1）比例表达是有顺序的；（2）比例中项：b=4ac.2、比例的性质（1）基本性质:如果凹=,那么ad=0c；（外项积等于内向积）b dma c 皿/b d a b如果一二一，那么一=一，-=-,b d a c c d（2）合比性质：如 果 =,那 么 空 =出；b d b dd_a b如果g=,那么巴士=3.b d b d（3）等比性质：a _ c _ 卜 a+c a c 卜如果一2一 ,那么6+1一%2一 （如果是实数运算，要注意强调人 +d w O）

13、.a c a+b c+d/,、=-.=-（a w。）（4）合分比性质：如果。d,那么a-b c-d3、比例线段的概念对于四条线段a、b、c、d,如果a:b=c:d （或表示为0=）,那么a、b、c、4叫做成比例线b d段，简称比例线段.=cd,ac=A d,PB）两 段（如下图），其 中 钎 是4 5和尸8的比例中项,那么称这种分割为黄金分割，点尸称为线段A 5的黄金分割点.其中，=避 二1 =0.61 8,称为黄金分割AB 2数，简称黄金数.A P B黄金分割相关图形:要点：（1）一般来说，一条线段的黄金分割点有两个，可能有两解;n十 注 长短V5-1短3-V5 间 记 方 法：至=便=可,

14、至 二 亍题型探究题型一、比例求值*例1/八。2 ni,a+2b(2)已知一二一，则-b 3 b,a h c 若一,则2 3 4(2)a-bb+c“、_ a c e 1 r ,，.人a+c-e(3)设一=二，且Z 7 +d-/w O,则-b d f 4 j b+d-f(4)若孙Z HO且 立 2=2 =三 =%，贝Lz x y公、a +b-c _ a-h +c _-a +h+c(-+b)(a+c)S +c右-=-=-,则-c b a abc8 1 【答案】(1)-；(2)；(3)-；(4)2 或-1；(5)8 或-1；3 7 4【解析】(1)设.a=2k,b=3k,则u-a-+-2-b=-2-

15、k-+-6-k-=8A 8b 3k 3k 3(3)设a=2k,b=3k,n则.-u-b-=-2-k-3-k-=k=1h+c 3k+4k 7k 7a-c e a I(3)根据等比的性质，b+d-f b 4x-v y=kz(4)设,y +z=fc r,三式相加可得，2(x+y+z)=Z(x+y +zz-x=ky因为孙z w O,当x+y+zwO时，两边同除以x+y+z,则=2；当x+y+z=O,有x+y=-z,则、二句=1.综 上,k 的值为2 或-1.zZa-b-c=kc(1)设-=-=-=，则。一。+C=，将上面二式相加得,c b a,7 a+b+c=kaQ+c =k(a+c,)，当a+Z?+

16、cw O 时，两边同除以4+/?+c,则Z=l；所以,c 7 c 门-(4+b)(a+c)S +c)2 cx2 bx2 a oa+b=2 c,b+c=2 a,c+a=2 b,所以-=-=8.abc abc、i，c 十,(a+6)(a+c)S +c)(-c)x(-Z?)x(-a),_当a+b+c=O,有 +/?=c,a+c=b,Z?+c=-a 所以-=-=-1 综ahc abc上，式子的值为8 或1.=4,c=5,c/=12 B.a=15,6=3,c=5,=lD.a=13,6=2,c=8,4=12 D.a=5,6=0.02,c=0.7,d=0.3【答案】B【解析】A.12x45xl2,所以不成比

17、例，A 不符合题意；B.lx 15=5x3,所以成比例,B 符合题意：C.132邦xl2,所以不成比例，C 不符合题意；D.0.02x5#).3x0.7,所以不成比例，D 不符合题意；故答案为：B.方法总结：判断四条线段是否是成比例线段的方法：先将线段长度统一单位并按长度的大小排序，然后，方 法 1：判断前两条线段的比是否与后两条线段的比相等；方 法 2：判断最长的线段与最短的线段的乘积是否与另外两条线段的乘积相等.若相等，则这四条线段为成比例线段；若不相等，则这四条线段不是成比例线段.(5)已知线段。、葭c、d 成比例.若 a=5 cm,c=3 cm,d =9 c m,贝|J 匕=.若。=x

18、 +l,b=x,c=%+4 的第四比例项是4,则x的值为.已知a=1 6,。=3 6,则a h的比例中项c=L【答案】1 5 cm；2；24.【解析】:5:b=3:9,所以b=1 5；4(x +l)=x(x +4),所以尤2=4,所以工=2,因为，x 0,所以=2；因为所以 2=1 6x 3 6,所以c=24,又因为c 0,所以c=24.(6)已知=，求证：“。+是/+2 和+解的比例中项.b d证明：设0=3所以a =姑,c =,所以三工=-+：=k,b d ah+cd 1 c i 2 十,一1 c2k k且 您 里=士 竺=%,所 以 =空”，所以必+c d 是/+0 2 和 从+/的比例

19、中项.从+屋 b2+d2 ab+cd b2+d2裹1题型三、黄金分割B 例 3(6)“黄金分割”是一条举世公认的美学定律，例如在摄影中，人们常依据黄金分割进行构图，使画面整体和谐.目前，照相机和手机自带的九宫格就是黄金分割的简化版，要拍摄草坪上的小狗，按照黄金分割的原则，应该是小狗置于画面中的位置()B.B.C.D.【答案】B【解析】如图：D E=O.6 1 8 D C,G F=O.6 1 8 E G,所以按照黄金分割的原则，应该使小狗置于画面中的位置,故选：B.J5-1(7)我们把宽与长的比值等于黄金比例X 的矩形成为黄金矩形.如图，在黄金矩形ABCD(ABBC)的2边 AB上取一点E,使

20、得 BE=BC,连接DE,则 一 等 于(AD)【答案】Bx/5+l2J 5-1 J5-1 3-V5【解析】设 AB=m,因为矩形ABCD是黄金矩形，所 以 BC=-m,所以AE=M-m=-m，2 2 23-V5所 以 四=L星AD V5-1 2-m2BP(8)点 P 是线段A B的黄金分割点(APBP)，则AP【答案】正12【解析】根据黄金分割的原则,8P=短 _#-1(9)已知点P 是线段A B的黄金分割点，且 A P=J-1,则 A B的长为;【答案】2 或 逐+期短_ 3-右【解析】如图，线段的黄金分割点有两个，AB 全 2，所以AB=6+LA Pi P29=，=叵，所以AB=2.综上

21、，A B的长为2 或 6+1.A8 全 2（10）如 图,AB=l,Pi、P2是线段A B 的 2 个黄金分割点.求APi、AP2的长度；求 必，点 P i是不是线段AP2的黄金分割点？在图中你还能找到其他的黄金分割点吗？AP2A b P2 B【答案】AP产域，AP?-叵1；丝=昌.点Pi是线段AP2的黄金分割点消其他的黄金2 2 AP2 2分割点，P2是线段BP1的黄金分割点.邑【解析】：坐AB=1,.-.AP2=2.AB 2AP.V Sl 口又：一-=-，且 APi+BPi=AB,BF 2APt _V 54A B-A F -2-3#.*.APi=23-V5AP J5-1 =，二点P1是线段

22、AP2的黄金分割点.A g y/5-1 2T另外，还有黄金分割点，P2是线段BP1的黄金分割点.举一反三1.（2021春武威月考）下列各组中的四条线段成比例的是（）A.3cm 6cm 8cm、9cmB.3cm 5cm 6cm、9cmD.3cm 6cm、7cm 9cmD.3cm 9cm、10cm 30cm【答案】D【解析】A-；3 x 9,6 x 8,.四条线段不成比例，A 不符合题意:B.：3 x 9 用,5,.四条线段不成比例，B不符合题意；C.：3 x 9,6 x 7,.四条线段不成比例，C不符合题意；D.3 x 3 0=9 x 1 0,.四条线段成比例，D不符合题意；故选：D.2.（2

23、02 0秋全国期末练习）若 =从 他*）且“、b、c、4 均为正数，则下列结论不成立的是（）.a c o a a-c 厂 a+c+1 6 a+b c+dA.=D.=-C.-=-D.-=-b d b b d b+d+l b d【答案】C【解析】由 =且4、汰 C、d均为正数，可得：-=故 A 正确；b d,故 B正确；,故 D 正确，不能得到竺1 =四，故 C错误；故选：Cb b-d b d b+1 d+13.（2 02 0秋丹东期末）已知q =里=2,且匕+/*0,若 a +c +e =1 2,则6+d +/=_ _ _ _ _ _ _;b d f【答案】6V-=-=-=2,：.a=2 b,c

24、2 d,e2 f,a+c+e=1 2,2 b+2 cl+2 f=2 ,得，+d +f=6.b d f4.（2 0 2 0 秋浦东新区期末）写出所有能与4,5,6组成比例的数【答案】多碧【解析】设能与4,5,6组成比例的数为，则 有 41x6 5.4x6 6 1x5 解得x 号 等 与5.（2 0 2 0 秋,西林县期末）如果线段a=9 c m,b=1 6c m,那么a 和 b的比例中项 c m.【答案】1 2【解析】根据比例中项的概念结与比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积.设 a 和 b的比例中项为x c m ,依题意有x2=9 x 1 6,解得x=1 2 （线段是正数，负值

25、舍去），故答案为：1 2.6.（2 0 2 1 海陵区一模）科学家们通过研究发现，当外界环境温度与人体正常体温（3 7。0之比等干黄金分割比0.61 8 时，人体感觉最舒适，这个气温约为。（2 （精确到0.1 ）【答案】2 2.9【解析】根据黄金比的值得:3 7 x 0.61 8-2 2.9 （）.故本题答案为：2 2.97.（2 0 2 1江干区模拟）线段AB=2 c m,点P为线段A B的黄金分割点（AP BP）,则A P的长为 c m.【答案】V 5-1【解析】；线段AB=2 c m,点P是线段A B的黄金分割点（AP BP）,.A P_X/5-1 X/5-1/T.,AP AB=x2=，

26、5-l.8.若 =8 c m,b=6 cm,c=4 3 x-y y 3【答案】BY 3【解析】A.t 2 x =3 y（x,y均不为0）,二士二2,故A不正确;y 2XB.V-=y32-x-=3x-y 3-2故B正确;.x 3 .x+y 3 +2 5 L/一丁一公 一=一，-=一，故 C 不正确;y 2 y 2 2x 3 x 3 3D.V-=-,故 D 不正确；故选：B.y 2 x+y 3 +2 53.（2 0 2 0 秋包河区期末）若ad=b c,则下列不成立的是（）A.0 =叱0)B.七2 =4(b*0,b*d)h d h-d bC.-=-g w O,d w O)D.-=-(Z 7 w-l

27、,d w-l)b d b+l d+【答案】D【解析】解：A.:.ad=b c,故选项成立一；b dB、,/,/.b(a-c)=a(b-d),:.ab-bc=ab-ad,/.ad=be 故选项成立；b-d bC .+=0+”,a+b)d=(c +d)b,.ad+bd=bc+bd /.acl=be,故选项成立;b dD、,/+1 =+,/.(6 Z +1)(J +1)=(/?+l)(c +1),.ad+a+d+l=bc+b+c-l fh+d+1；.ad+a+d=be+b+c,故选项不成立.故选：D.4.（2 0 2 0 年闵行区一模）已 知 产 是 线 段 的 黄 金 分 割 点，且 4 P 6

28、P,那么下列比例式能成立的是（）（A）丝=（B）组=（C）”=/（D）=垦1.AP BP AP AB AP BP AP 2【答案】A“c，n c ,AP /5-1 nn AB APAP=BPxAB,=-，即=【解析】.点 P是线段A B 的黄金分割点，且 AP BP,AB 2 AP B P,故 A 正确，B 和 C 错误，同时D 错误，故选:A.5.（2 0 2 0 年甘肃定西）生活中到处可见黄金分割的美.如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下。与全身人的高度比值接近0.6 1 8,可以增加视觉美感.若图中方为2 米，则。约 为（）A.1.24 米 B.1.38 米 C.1.42 米 D.1

29、.62 米【答案】A-0.618,.【解析】雕像的腰部以下。与全身b 的高度比值接近0.618,.b,=故选人6.（2020秋高邮市期末）若三条线段a、b、c 的长满足色=2=避 上 1,则将这三条线段首尾顺次相连（h c 2）A.能围成锐角三角形 B.能围成直角三角形C.能围成钝角三角形 D.不能围成三角形【答案】D【解析】解：.三条线段。、b、c 的长满足色=2=叵*，b c 2设。=（6+1）Z,b=2 k，则 c=（石-1）%,6+1=逐-1 +2,.不能围成三角形，故选：D.7.（2020年闵行一模）已知线段 =4 厘米，c=9 厘米，那么线段a 和 c 的比例中项6 为_ _ _

30、_ _ 厘米.【答案】6【解析】因为b是线段a和c的比例中项，所以/2=ac=4x9,所以b=6（线段是正数，负值舍去）.故答案为：6.8.（2020年杨浦区一模）在比例尺是1 ：15 000 000的地图上，测得甲、乙两地的距离是2 厘米，那么甲、乙两地的实际距离是 千米.【答案】3002 1【解析】设甲、乙两地的实际距离是x 厘米，根据题意，得一=-，解得x=30 000 000,30 000 000厘米x 15000000=300千米，所以甲、乙两地的实际距离是300千米.9.（2021泰州模拟）2021年 3 月 2 0 日起，我国陆续公布了三星堆遗址考古最新发掘成果.地球表面纬度范围

31、是0 90。，对其进行黄金分割，黄金分割点间地区特别适宜人类生活，产生了包括三星堆在内的世界古文明，也 囊 括 了 大 多 发 达 国 家.那 么 黄 金 地 带 纬 度 的 范 围 是.（黄金比为0.618）【答案】34.38 55.62【解答】解：90 x 0.618=55.62,90-55.62=34.38,黄金地带纬度的范围是：34.38-55.62.故答案为：34.38。55.62。10.已知线段A 8长是2厘米，尸是 线 段 上 的 一 点，且满足4P2 =4 B-B P,那么AP长为厘米.【答案】V5-1【解析】.,点P是线段AB上的一点，且满足4P2=48 8P,.P为线段AB

32、的黄金分割点，且4 P是较长线段，AP=AB=2x 2/Iz l=75-1.2 2b d 1 .、b-d 二 二 一 (w c)-=11.(2020 年娄底)若。c 2,则。一。j_【答案】2【解析】由一=一 二(w c)可得。=2Z?,c=2d,a c 2b-d h-d b-d 1 1、Q c 2b 2d 2(b d)2.,)代入 I 7,故答案为：2.12.(2020秋静安区期末)已知线段x,y满 足 出 之=2,求三的值.x-y y y【答案】【解析】解：.生 吆=2,x-y y：.y(2x+y)=x(x-y),则 x2-3xy-y2=0,解 得%=21普y,&=汨 叵)，(负值舍去).

33、故土的值为火巫.y21 3.(2020秋奉贤区期末)己知a:=2:3,:c=3:4,且2a+力 一 c=6,求a、b、c的值.【答案】a=49b=6,c=8【解析】解：,.:)=2:3,b:c=3:4,.设 a=2攵，b=3k,c=4k(k 0),*2a-b c=6，4k+3k 4k=6,.k=2,.=24=2x2=4，b=3k=3x2=6,c=4%=4x2=8.a b c-=-=-=m15.若人+c c+a a+b,求 加 的值.【答案】-1或万a+h+c 1m=-=【解析】当a+b+存0,由比例的性质，得 b+c+c+a+a+b 2.C 1m=-=-1当 a+加,=()时，a+b=-c,所

34、以 a+b综上，的值为-1或5.。+4。+3 c+815.(2019甘肃兰州期末)已知a,b,c是三角形ABC的三边，且满足 3 2 4 a+b+c=2,则三角形ABC的形状为 三角形.【答案】直角。+4 b+3 c+8.-=-=-=k(k w 0)【解析】设 3 2 4,则。=34-4力=2左-3,1=44-8,因为。+6+。=1 2,所以 9k-15=12,解得A=3,所以a=5,6=3,c=4,又因为32+42=52,所以三角形ABC为直角三角形.a-b _b-c _ c-a16.已知a,b,c 是三角形ABC的三边，且b c a 判断三角形ABC为何种三角形，并说明理由.【答案】等边三角形【解析】三角形ABC为等边三角形，理由如下：a-b _ b-c _ c-a _ a-bb-cc-a)因为+6+存0,所以由比例的性质可得，b c a a+b+c=0,所以。-6=0,6-c=0,c-a=0,所以a=b=c,故三角形ABC为等边三角形.