2022-2023学年高一上学期数学人教A版必修第一册【高一数学】基本不等式自学基础检测卷.pdf

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1、2.2基本不等式一、单选题1.若X 1,则x+1的最小值等于（）X-1A.0 B.1 C.2D.32.如图，计划在一块空地上种植面积为2400m2的草坪，草坪的四周留有人行通道，设计要求草坪外侧南北的人行通道宽2 m,东西的人行通道宽3 m,如何设计草坪的边长才能使人行通道占地面积最小，最小面积是（）A.550m2B.538m2C.528m2D.504m23.已知x 0,y 0,且x+y=2,则下列结论中正确的是（)2 2A.一+一有最小值4x yc.2+2 有最大值4B.亨有最小值1D.4+7 7 有最小值494.不 等 式 三+（右2巨6（其中尤2）中等号成立的条件是（）A.x=3B.x=

2、6C.x=5D.x=1095.已 知 当 时，代数式工一4+,（工 一1）取得最小值4 则 a+b=（）A.-3B.2C.3D.86.已知a+2b=2（a0,Z?0）,则 ab 的最大值为（）A.1 B.2 C.3 D.234 37.已知正数，满足3+4）=1,则=+；的最小值为（）a bA.48 B.36 C.24 D.128.若正数 4，满足2m+w=l,则的最小值为（）2m 2n3 3A.1 +V B.+/2 C.2+V2 D.9.下图称为弦图，是我国古代三国时期赵爽为 周髀算经作注时为证明勾股定理所绘制，我们新教材中利用该图作为“（）”的几何解释.A.如果b c,那么B.如果那么/从C

3、.对任意实数。和。，有 +之 2 ,当 且 仅 当 a=b 时等号成立D.如果a 力，c 0 那么1 0.下列不等式恒成立的是（）A.a2+b2 2abC.a+b-2yjab D.a+b0,b0 f则下面结论正确的有（）A.2(/+)-a b 2D.若a+b =l,则必有最大值;1 9.已知两个正实数x,y满足x+y =2,则：+衣 的 最 小 值 是(B.C.8 D.2二、填空题1 3 .已知AB两地的距离是a(a O)k m.按交通法规规定，AB两地之间的公路车速应限制在5 0至i J l O O k n V h.假设汽油的价格是6元/升，以*k m/h速度行驶，汽车的油耗率为(3+工)升

4、/h,其他运营成本每小时3 0元，则最经济的车速是 k m/h.3 6 091 4 .若x l,则丁=工+；的最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ _.x-11 5 .若工 0,y 0,外=1 0,则+*的最小值为_ _ _.x y1 41 6 .已知(，,)为直线x +y-1 2 =0上一点，且加0,则+2的最小值为一.m n1 7 .已知2 +2,=8，则2 ，的最大值是.三、解答题41 8 .(1)若x l,求旷=工+；的最小值及对应x的值；x-14 1(2)若0 x 0,y 0,xy=x+y+a.(1)当。=1 2 时，求孙的最小值；4 1(2)当。=0 时，求x+y+的最小值.%y

5、1.D【详解】因为 X 1,所以 X 1 0,因此 X H-=X 1 4-F 1 2./(X 1)-bl=3,当且仅当x-1 x-l V x-1x-=f即x=2时，等号成立，所以x 的最小值等于3.x-lx-l故选：D.2.D【详解】设草坪的长(东西方向)为皿，则 宽 为 些 m,x(7400、14400/14400-则道路占用面积为S=6 x(+4j+4x=+4元+2 4 N 2 j x 4 x +24=5 0 4,当且仅当上140400=4 x,即x=60时，等号成立.x所以道路占地最小面积为504m2.故选：D.3.A【详解】解：x 0,y 0,且x+y=2,对于 A,-+-=-(x+y

6、)f-+-l =2+-+-2 +2 E =4,当且仅当x=y=1 时取等号，x y 2 y)y x y x所以A 正确,对 于B,因为2=x+yN 2而，所以孙4 1,当且仅当x=y=1时取等号，即W 有最大值I,所以B 错误，对于C,因为2,+2,2 2,2,2=2=4，当且仅当x=V=1时取等号，即2*+2,有最小值 4,所以C 错误，对于D,因为(6+J 7)2=x+y+2 j 4 2(x+y)=4,当且仅当x=y=l 时取等号，即石+力 有 最 大 值 4,所以D 错误，故选：A4.C【详 解】o r-g当x 2时，-+(x-2)2 J-(x-2)=6 ,9等 号 成 立 的 条 件

7、是 三=1-2 ,x-2(X-2)2=9,解 得：x =5故选：C.5.C【详 解】9 9,9令y =x 4H-=1 H-5,由x 1,得x+l 0,-0,x+1 x+1 x+1所以由基本不等式得y =x +l+9-5 2“I Q -5 =l,9当且仅当 x+1 =-，即(X+1)2=9,即 X+1=3,即 x=2 时取等号，所以=2,b=l,a+b=3.,x+1故选：C6.A【详 解】因 为。0/0则4 +2人=2 2 2展 石，当且仅当。=1时取等号，所以2所 以 油 的 最 大 值 为故选：A7.A【详 解】正数，人满足3 a+4 b=1,则 +3 =(+)(3 4 +4/7)=2 4

8、+世 +也2 2 4 +2、/=4 8当且仅当=工,。=工时等号成a b a b a b a b 6 8立.故选：A.易错点睛：利用基本不等式求最值时，满足的三个条件：(1)“一正二定三相等“一正就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方8.B【详 解】正 数 也，满 足2用+=1,则:;1 F1 =(2 m+n)、(，1 +1)、=3 +n+机、3 +一2.n 一m

9、=3 +，r2-，当、“且口 仅当s l z2 m In 2 m 2n 2 2 m n 2 y 2 m n 2n-6 m=0-1时取等号.+1的最小值为：-+A/2.2 m 2n 2故 选：B.关于基本不等式a+万之2/万 的 计算需要注意“一正二定三相等的步骤：(1)一 正：都必须是正实数，如果不满足，需要提负号变为正数才能运用公式;(2)二 定：需要注意是乘积确定还是和确定，然后套用公式求解；(3)三 相等：当且仅当。力相等 时，才能取到最值.9.C【详 解】设图中全等的直角三角形的边长分别为a,b,则斜边为，T T P ，如图所示：则四个直角三角形的面积为4 x；x ax 6 =2岫，正

10、方 形 的 面 积 为(而/尸=/+/，由图象可得，四个直角三角形面积之和小于等于正方形的面积，所 以2成4/+层，当且 仅 当 时 等 号 成 立，所以对任意实数。和 匕，有当且仅当时等号成立.故选：C1 0.B【详解】由基本不等式可知+尸2 2而，故A不正确;由/+从2-2 ,可得+从+2彷2 0，即（4 +6）2 2 0恒成立，故8正确:当。=_1力=T时，不等式不成立，故C不正确：当。=0力=1时，不等式不成立，故。不正确.故选：B.【详解】对于选项A：若a0,b 0,由基本不等式得/+从 w 2ab,即2什+从（4+6）2,当且仅当a=b时取等号；所以选项A不正确；对于选项B：若。0

11、,b 0,1 4+a bb 4a +/?=x2b 4aab当且仅当+=2且2 =，a b a b3即。=,=3时取等号，所以选项B正确;对于选项C：由0,Z?0,ab+b2=b（a+b）=2,2即。+b 二 一，2如=2时，a+=-=l 4,所以选项C不正确；2对于选项D：a b 2 x 1 3 6 0)J x 6 0 V x 6 0 5当 且 仅 当 趣=崂/=2 4石时等号成立.x 6 0故答案为：2 4 61 4.7【详 解】因 为x l,所 以x-l 0,9 9 I a-所以 y =x +-=x-+-+1 2 J(x-l)x-1-1 =7,x 1.x 1 V x 19当且仅当X-1=即

12、x=4时等号成立，x-19所 以y =x+一 的 最 小 值 为7,故答案为：7.1 5.2【详 解】,A A m m ii 2 5 2 10 2 xy 2/2_ x _由 x0,y 0,冲=10,则_+_=_ +一 =+=+2J x-=2,x y x 2y x 2y x 2 V x 22 5当且仅当x=2时取“=即一+一的最小值为2%y故答案为：2.16.4【详解】,(/%,)为直线x+y-12=O上一点，.?+=1 2,又7 0,.,.”(),0,1 4 1 (1 4、/、1 (e n 4tny 1 (_ 3 Iz _.n 4m 一+=77+(m+)=77 5+5+2/-=-(当且仅当=,

13、m n 2m nJ tn n)12 n J 4 m n即 =8,机=4 时取等号)，.1 工+4上 的最小值为3。m n 43故答案为：.417.16【详解】8=2*+2,2 2-.2y=2-V?7 7，.-.2 ,即x=y=2 时等号成立,故2巾 的最大值是16.故答案为：16.9 418.(1)最小值为5,x=3；(2)最小值为,x=-.【详解】4(1)因为x l,所以x-l 0,0,x-l4 I 4-y=x-u -+1 2J(x-1)(-)+1=5x-l V x-l4当且仅当X-1=；(x l)即x=3 时等号成立，函数取最小值5；,八 1 4 1 1 4 1(2)y=(+)x2=(+2

14、 x 2 一 1 2 x 2-5+2、悭上)2 V x 2-x 2、r，一 1 l 4(2-X)X)xx+(2 x)=5+x2 x 2-x当 且 仅 当 唱 =白(0%,b,(1)因为“、b 是正数，所以a+b=(“+)f+，=2+3 +2N 2+2 j Z =4,当且仅当a=6=2 时等号成立,a b)b a b a故a+b 的最小值为2.(2)因为。1,b 所以 a 10,b 0,当且仅当a=F 八三时等号成立,3 2故+3；的最小值为25a-1 b-1(3)因为。一 10,/?-10,(-1)(/?-1)=1,所以2a2+2-4。-2h=2a2-4a+2-h2-2Z?+1-32=V2(a

15、-1)+(b-I)2-3 2/2(a-l)(b 1)-3=2及一 3,当且仅当a=1+击、6=1+啦 时等号成立，故2a2+从-4 a-幼的最小值为2 0-3.20.(1)36(2)10【详解】(1)当a=12时，xy=x+4y+2,(x-4)y=x+1 2,显然x#4,所以 y=x+2由 y 0,得 x 4,x-4r c r Ix+12(x-4+4)(九 4+16)(X-4)2+20(X-4)+64x-4 x-4 x-464 I 64=x-4 +20 2J(JC-4)-+20=36,x-4 V x-4当且仅当x=12,y=3时等号成立,所以冷的最小值为36.(2)当。=0 时，由 xy=x+4y+a 得 移=x+4y14,得一+一 =1y x4 1 4 1 4 v-X 1 4 v x所以 x+yn-1 =(x+y)(一 I )+1 =4+1 H H-1-1 6+2 J-=6+4=10,x y x y x y当且仅当 =6,y=3时，等号成立.4 1所以x+y+-+-的最小值为io.