2021年数学高考真题卷--北京卷（含答案解析）.pdf

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1、2021年普通高等学校招生全国统一考试 北京卷数 学第一部分(选择题 共40分)一、选择题共10小题,每小题4 分，共 40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.(1)已知集合 A=x|-lxl,8=x|0姿 2,贝 ij AUB=(A)x|0 xl(B)3-l 烂2(C)x|l 烂 2(D)x|0 xz=2,则 z=(A)l(B)i(C)l-i(D)l+i(3)设函数;(x)的定义域为 0,1,则“函数人冷在 0,1 上单调递增”是“函数y(x)在 0,1 上的最大值为火1)”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(4)某四

2、面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为(A)(B)|(C)苧(D殍2 2 双曲线力点=130/0)过点(企,再),离心率为2,则双曲线的标准方程为(A)y-/=1(B)/q=l(C 召=1(D 衿 1 己知和同是两个等差数列，且章1/5)是常值，若,“288,田=96,=192,则加的值为(A)64(B)100(C)128(D)132已知函数fix)-cos x-c o s 2x,则该函数(A)是奇函数，最大值为2(B)是偶函数，最大值为2(C)是奇函数，(D)是偶函数，(8)对 2 4 小积水厚度/mm0*1 010-225-550-15 0 00等级小雨中雨大雨暴雨最大值为O最大值为O时

3、内降落在平地上的积水厚度(m m)进行如下定义:小明用一个圆锥形容器接了 2 4 小时的雨水，则这一天的雨水属于哪个等级(A)小雨(B)中雨(C)大雨(D)暴雨(9)已知圆52+炉=4,直线/:尸 5+肛当k 的值发生变化时，直线/被圆C所截得的弦长的最小值为2 厕m的值为(A)2 (B)V 2 (C)7 3 (D)+3(1 0)数列 .是递增的整数数列，且 0冯 0+政+。3+.+斯=1 0 0,则n的最大值为(A)9 (B)1 0 (C)l l (D)1 2第二部分(非选择题 共110分)二、填空题共5小题,每小题5 分，共 2 5 分.(1 1)(丁今4 的展开式中常数项是(1 2)已知

4、抛物线C：V=4 x,C 的焦点为F点M在 C上，且|F M|=6,则点M的横坐标是.(1 3)已知。=(2/)力=(2,-1)1=(0/),则(。+)七=;a-h=.(1 4)若 尸(c o s 0,s i n。)与 Q(c o s(0+J),s i n(0+J)关于 y 轴对称，写出一个 0 的值_ _ _ _ _ _ _ _.OO(1 5)已知於)=|l g 可依-2,给出下列四个结论:侬1 2=0,则以)有两个零点；9 0,使得加)有一个零点；侬 火 0,使得小)有三个零点.以 上 正 确 结 论 的 序 号 是.三、解答题共6小题，共 8 5 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过

5、程.(1 6)(本小题1 3 分)已知在 A B C 中,c=2 b c os 8,C=当(/)求 B 的大小；()在三个条件中选择一个作为已知，使AA8C存在且唯一确定，并求B C 边上的中线的长度.周长为4+2 遍;积SA ABC=-4(1 7)体 小 题 1 3 分)已知正方体A 8 C -4 8 iC 0 i,点 E为 45的中点，直线B i G 交平面C D E 于点F.(/)求证:点F为 8 1。的中点；()若点M为棱45上一点，且二面角M-CF-E的余弦值为照求普.(1 8)(本小题1 4 分)为加快新冠病毒检测效率，某检测机构采取Z合1检测法”,即将女个人的拭子样本合并检测，若

6、为阴性,则可以确定所有样本都是阴性的，若为阳性,则还需要对本组的每个人再做检测.现有100人，已知其中两人感染病毒.(/)e喏采用“io合1检测法”,且两名感染患者在同一组，求总检测次数；已知10人分成一组,两名感染患者在同一组的概率为萤，求检测次数X的分布列和数学期望(X).()若采用“5合1检测法”，检测次数y的期望为E(y),试比较反阳和E(y)的大小(直接写出结果).(19)(本小题15分)已知函数应(/)若。=0,求曲线)，=)在点(1川)处的切线方程；()若函数_/在x=-l处取得极值，求;(x)的单调区间，以及最大值和最小值.(20)(本小题15分)已 知 椭 圆 塔+，=130

7、)过点A(0,-2),其四个顶点的连线围成的四边形面积为4V5.(/)求椭圆E的标准方程；()过点P(0,-3)的直线1的斜率为大,交椭圆E于不同的两点B,C,直线A B/C分别交直线y=-3于点M M若PM+PN15,求Z的取值范围.(2 1)(本小题1 5分)定义用数列仅“:对pG R,满足:2 i+pK),4 2+p=0;/G N”,a 4 -i a 4 ；8 V m,W N*,a,+”G am+an+p,am+a+p+.(/)对前4项是2,-2,0,1的数列，可以是&数列吗?说明理由.()若%是R)数列，求出的值.(如是否存在pd R,使得存在时数列 如,/6 2,满足S a$o 为数

8、列 如 的前项和)?若存在，求出所有这样的p的值；若不存在，说明理由.123456789101112131415BDAABCDBCc-450 3-居(答案不唯一)1.B【考查目标】本题主要考查集合的并运算，考查的学科素养是理性思维.【解析】集合4=3-1 1 ,8=*0呆2,所以4 1 =3-1 1+争(英)2=等.故 选 A.【解题关键】求解本题的关键在于正确还原出四面体的直观图.5.B【考查目标】本题主要考查双曲线的方程和几何性质,考查的学科素养是理性思=七则双曲线的标准方程为=3 322Qb得?12=3-乒C-a-2-2aea2+b22=维.【解析】设双曲线的半焦距为C,由题意可知故选B

9、.6.C【考查目标】本题主要考查等差数列的性质，考查的学科素养是理性思维.【解析】因为 斯 和 儿 是两个等差数列，所以2a3=0+侬=288+96=384,所以侬=192,又 当1W仁5时,詈是常值,所以詈=詈=畏=詈，从而加=128.故选C.1927.D【考查目标】必备知识:本题以余弦函数为出题背景,考查函数的奇偶性、最值等.关键能力:运算求解能力.学科素养:理性思维、数学应用.【解析】因为/(-x)=c os(-x)-c os(-2x)=c os x-c os 2 r m ,所以函数於)=c os x-c os 2x 为偶函数.又y(x)=c os x-c os 2r=-2c os 2x

10、+c os x+l=-2(c os x T)2+3,当且仅当 8$犬=：时；/0)取得最大值,所以y(x)的最大值为:.故选D.O8.B【考查目标】必备知识:本题以雨水的等级为出题背景，考查圆锥、圆柱的体积.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力、空间想象能力.学科素养:理性思维、数学应用.【解析】作出截面图如图所示，设圆锥形容器中水面的半径为r m m,则 Vj7喘=黑，所以r=5 0(m m),所以2 4小时所接雨水的体积V=&t x(5 0)2 x l 5 O (m m 3).设底面半径 r/为1 00 mm的圆柱的高为h m m,由题意可知 兀 乂(5 0)2乂1 5 0=兀 乂(1 0

11、0)2乂 九 得 =1 2.5 (m m),即这一天的积水厚度为1 2.5 m m,属于中雨.故选B.9.C【考查目标】必备知识:本题主要考查直线与圆的位置关系.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力.学科素养:理性思维、数学探索.【解析】设直线/与)，轴交于点4(0,由题意知，圆心C(0,0),当 A 的值发生变化时，要使直线/被圆C所截得的弦长最小，则圆心C到直线/的距离最大，为|A C|,即 时=&中=旧,所 以 尸 7 11 0.C【考查目标】必备知识:本题主要考查数列的概念、数列的单调性.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力.学科素养:理性思维、数学探索.【解析】因为数列”“满足三个特

12、征，整数数列，递增，前项和为1 00,所以欲求n的最大值，需要保证ak+i-诙(右 1)的值取最小的正整数，又*3,故可取ay=3,aM-ak=1，数列 斯 的 前 1 0项为3,4,5,6,7,8,9,1 0,1 1,1 2,贝!J第 1 1 项 01 =1 00-(3+4+5+6+7+8+9+1 0+1 1 +1 2)=2 5,满 足 题 意,取 数 歹 的 前 1 1 项为3,4,5,6,7,8,9,1 0,1 1,1 2,1 3,则第 1 2 项 02=1 00-(3+4+5+6+7+8+9+1 0+1 1+1 2+1 3)=1 2,不满足题意，故的最大值 为 1 1.1 1.-4【考

13、查目标】必备知识:本题主要考查二项式定理的应用.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力.学科素养:理性思维.【核心问答】师:二项展开式的通项是什么?生:7；+产师:如何确定常数项?生:对r 合理赋值.【解析】解法一 7;+|=(：沁 3)4-W 尸=20,所以点 M 的横坐标。=5,故填 5.4【思维价值】解法一，从抛物线的定义入手，将到“焦点”的距离转化为到“准线”的距离，运算简洁;解法二，从距离定义入手，通过构造方程求得点M的横坐标，思维量不大，运算量增大.更能印证”多考想的少考算的 基本命题思想.13.0 3【考查目标】必备知识:本题主要考查向量的坐标表示以及数量积运算.关键能力:逻辑思维

14、能力、运算求解能力.学科素养:理性思维、数学应用.【核心问答】师:向量是怎样用坐标表示的?生:将向量的起点与坐标原点重合，终点坐标即向量的坐标表示.师:向量的线性运算和数量积运算是什么?生:若a=(x,y)力=(?,),则a+b-(xm,yn),a-b-mx+ny.【解析】由题意得,(a+b c=(4,0(0,l)=4 x 0+0 x l=0,a 0=(2,l)(2,-l)=2x 2+l x(-l)=3.14.-工(答案不唯一)【考查目标】必备知识:本题主要考查三角恒等变换.关键能力:逻辑思维能力和运算求解能力.学科素养:理性思维、数学探索.【核心问答】师:两点关于y轴对称的基本特征是什么?生

15、:两点的横坐标互为相反数，纵坐标相同.师:两个角的同名三角函数值相等，这两个角相等吗?生:不一定相等,因为三角函数具有周期性.【解析】由题意可得 co s 6 =-co s(?+-),s in 0=s in(0+2),所以 co s 0=-co s f t:o s-+s in 0s in-,s in 9=s in 0co s-+co s6 6 6 6 6O s in，两式相加得 co s 0+s in 0=(s in 0-co s 0)co s-+(s in 0+co s e)s i得竺萼即-小联松所以6 6 6 sin0-cos0 l-tan8 3三吧|二t a n(：+。)二t a n(T

16、),所以：+8=E-0 Z,可令女=0,则0=片,故0的一个值为1-tantr 4 3 4 3 12 12【思维价值】以开放式答案设计试题,对学生的理性思维和创新能力进行了很好考查.15 .【考查目标】必备知识:本题主要考查函数的零点关键能力:通过参数人取值的不同，探求函数零点的个数,考查逻辑思维能力和运算求解能力.学科素养:理性思维、数学探索.【核心问答】师:函数零点问题的一般求解策略有哪些?生:函数y=/(x)-g(x)的零点个数域程式x)=g(x)的根的个数u函数y三*x)与y=g(x)的图象的交点个数.师:产|l g x|的图象是怎么得到的?产&+2的图象特征是什么?生:可以先作出函数

17、y=l g x的图象，保持x轴上方的图象不变,将位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，即可得到函数y=|l g月的图象;丫=区+2表示过定点(0,2)的直线系方程.【解析】作出函数y=1 1 g x|和)，=依+2的大致图象如图所示，对于，当 Z=0 时，显然直线y=2 与 产|l g x|的图象有两个交点，即函数y(x)=|l g x/丘-2 有两个零点,所以。J E 确;对于由图可知,三饱 0,使得直线=加+2 与 y=|l g x|的图象相切，即当我=心时，函数y(x)=|l g x 卜 依-2 有一个零点,所以正确；对于由图可知，当 0,使得直线丫=皿+2 与 y=|l g x|的图

18、象相切,所以当0 k =依+2 与 y=|l g x|的图象有三个交点,即函数_/(x)=|l g x 卜 米-2 有三个零点,所以正确.【思维价值】试题以函数的零点为背景，将函数的零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题，对学生的数形结合思想以及分类讨论思想进行了较好考查.1 6.【考查目标】必备知识:本题主要考查正、余弦定理，三角形的面积公式及三角公式.关键能力:本题通过利用正、余弦定理解三角形考查逻辑思维能力和运算求解能力.学科素养:理性思维和数学探索.解:(/)因为在 A B C中,c=2 b c os 8,所以由正弦定理，得 s i n C=2 s i n B oos B,又 C

19、=拳 所 以 s i n 2 2=当因为B W(0 9,所以2 86(0,4),所以2 8岑 则 8 邛3 3 6()由(/)知,。=空,8=,所以 4=兀-8-。二二即4 ABC 是等腰三角形，且 a=b,c2=a2+b2-2abcos C=3尻即 c=Wb.3 6 6条件与c=V3b矛盾，故条件纺成立,所以不能选择条件若选条件周长为4+2 旧,则a+b+c=2 6+W b=4+2 百，解得6=2,此时 A 8 C 存在且唯一确定,所以条件甫足题意.如图，设。为B C的中点，连接4),在4 A C。中d C=2,C =l,C=y,由余弦定理，得 A D2=AC1+CD2-lAC C D co

20、s C=4+l-2 x 2 x l x(3)=7,即 4)=夕，所以8 C 边上的中线的长度为夕.ACDB若选条件 积SAABC=，则以戾i n C=f拄=，解得人=百,此时 ABC存在且唯一确定，所以条件前足题4 2 4 4忌.如图，设D为3 C的中点，连接A。,在A A C D中=B,C Z)喙C哼由余弦定理，得 A D A C +C D A C C D c o s C=3+-2 x V 34 2 2 4即A Z)=亨，所以3c边上的中线的长度为尊1 7.【考查目标】必备知识:本题主要考查线面平行的判定和性质、利用空间向量解决二面角相关问题.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力和空间想象能

21、力.学科素养:理性思维和数学探索.【解题思路】(/)先证明CQ平面4囱G。,再利用线面平行的性质可得E F C ,即可证点F为5G的中点;()建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2,写出相关点的坐标，设A i M=f,然后分别求出平面C E F和平面MCF的法向量，根据二面角和“毋 的余弦值为鼻求出f=l,进而求出曾.3 4遇1解:(/)因为ABCZ4BICQI是正方体，所以又 CDC平面 4 B i G)i,C Q i U平面 A i B i C i D i,所以CO平面A图C Q 1,又 C Q u 平面C Q E,平面C C E C平面A山C i。产E F,所以 C E F,所以 EFC

22、Qi,又点E为4 A的中点，所以点F 为 BC的中点.()以点。为坐标原点，以DA,DC,DDt所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系.设正方体的棱长为 2,则 C(0,2,0),E(l,0,2),F(l,2,2).设 A i M=f，则 旧0,2 ,则 M(2,f,2).设平面C E尸的法向量=(x i,y i,z i).因为而=(1,0,2),繇=(0,2,0),所 以 收 生=。，即m*EF=0(2 y+=C?-2得 令 z i =l,则为=-2,所以“=(-2,0,1).设平面MC尸的法向量机=(X 2,”,Z 2),又 而=(-1,2山0),所以,深、，即算葭=0,令Z

23、 2 =l，则及=-2)2=3,则 =(-2,因为二面角M-C F-E 的余弦值为4,所以|cos (%).1 9.【考查 目标】必备知识:本题主要考查导数的几何意义，函数的单调性、极值及最值.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力.学科素养:理性思维、数学探索.解:因为於)=云石所以r+4知/心尸(x2+a)2(x2+a)2.(/)若 a=0,则八 1)=4铝)=1,代入 WU)寸(x-1),得 4x+y-5=0,所以曲线)，=/(x)在点(1次1)处的切线方程为4x+y-5 =0.()由函数於)在x=-l处取得极值可知八-1)=0,即占第=0,得a=4.此时4X)=羔，所以/=2(蓝黑”当工

24、6(-8,一1)1；(4,+8)时,(力0,所以_/(外的单调递增区间为(,-1),(4,+8);当x e (-1,4)时尸(x)0,所以 kl 或/+2二 4,令y=-3,则所以M 急 以“I斗 念=1日，同理得|P N|=|9|.因为用检0,即制正负相同，且印+20,竺+20,所以|加|+1以|=|。|+|。目5,即广 呼+2誉 式 会 旧5,从而Ix1(kx2-l)+x2(kx1-l)(kX 1-l)(kx2-l)|15.由可得,-3必-1或1 k0可得Mi=0,所以 0=。2=0.若6=1,=2,则金0,1,若 m=2,=2,则 工 0,1,由 知,V e N；fl4rt-I 0,若。

25、2=2。1+1=-,则尸不满足 i+pK),故舍去，所以 a=ci2=-p.若帆=1,=2,则。3仁-p,-p+l，若加=2,=2,则 如 -p,-p+l,由 知 V 。4,所以。3=-,4=-+1.若加=2,=3,则出金-p,-p+l，若，=1,=4厕-+l,-p+2,所以。5=+1.若?=3,=3,则 6-,-+1，若加=2,枕=4,则恁g-p+1,-p+2,所以。6=-+1.若机=3,=4,则。7仁-+1+2,若尸2,=5,则 a7G-p+1,-p+2,若加=4,=4,则 痣 p+2,-p+3,若加=3,=5,则-+1+2,所以。8二-p+2.又72,i=l综上,p=2.下面证明p=2满足条件：当p=2时，41=42=43=2。4=。5=。6=。7=-1,48=49=410=01=0,2=13=414=415=1,由此可知，当 19S 7且“eN*时，数列 斯 的前项和5“递减，当“=8,9,10,11 时S=S8=S9=Sio=Sii,当 它 12且 wC N*时，数列 的 的前 项和5递增，满足VnS N*,S仑So.所以p=2成立.