2022-2023学年人教A版高二数学上学期同步讲义拓展三：空间向量中动点的设法(解析版).pdf

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1、拓展三：空间向量中动点的设法三目标导航立体几何是高考必考的核心问题之一，每年都会考查一道大题，主要考查点线面位置关系的判定、体积问题、空间角、动点问题.其中最复杂的是将动点加入到要考查的问题中，立体几何中的动点问题因其能够较好地考查学生的逻辑推理能力，运算求解能力而受到命题者青睐.求解此类动点问题采用向量法（坐标法）来求解可以避开复杂的中间分析过程，将待求目标表示成变量的函数模型，借助函数求值域的方法求出最值.含 高频考点-（三）双动点 三 知 识梳理知识点1空间向量可解决的立体几何问题用 表 示 直 线。力的方向向量，用m,n表示平面。的法向量1、判 定（证明）类(1)线面平行：a/b a/

2、b线面垂直：a b a b（3）面面平行：而 日(4)面面垂直：=2、计算类:利用空间向量求立体几何常考查的夹角：设直线/,机的方向向量分别为。涉，平面4 尸的法向量分别为m,n,则两直线/,?所成的角为cos,，弓=直线/与平面a 所成的角为。（Owesin。=co s（a,mamI ni-M I二面角a-/力的大小为。（OW ew）,|c o s O|=M?I m il n|cos6=cos=g p r 或cos6=cos（而,耳=一露j（视平面角与法向量夹角关系而定）点到平面距离：设 A 为平面a外一点，p为平面a上任意一点，则 A 到平面的距离为dA_a即AP在法向量上投影的绝对值.知

3、识点2空间向量动点的设法在立体几何解答题中常常涉及点的存在性问题，即是否在某条线上存在一点，使之满足某个条件，本讲主要介绍使用空间向量解决该问题时的方法与技巧：1、理念：先设再求先设出所求点的坐标（x,y,z）,再想办法利用条件求出坐标2、解题关键：减少变量数量（x,y,z）可表示空间中的任一点，但题目中所求点往往是确定在某条线或者某个平面上的，所以使用三个变量比较“浪费”（变量多，条件少，无法求解），要考虑减少变量的个数，最终所使用变量的个数可根据如下条件判断：（1）直 线（一维）上的点：用一个变量就可以表示出所求点的坐标（2）平 面（二维）上的点：用两个变量可以表示所求点坐标规律：维度=所

4、用变量个数3、如何减少变量：（1）直线上的点（重点）：平面向量共线定理若 Bom4eR使得 =（2设 问 法）例：已知A。,3,4）,网0,2,1）,那么直线4P上的某点/（x,y,z）坐标可用一个变量表示，方法如下：W =（x-l,y-3,z-4）,A P =（-l,-l,-3）三点中取两点构成两个向量因为M在AP上，A M/A P =AM=A A P 共线定理的应用（关键）x 1 =-A x=-2,y_3 =-A =,y=3-A ,即 A f （1 4344 3兄）-仅用一个变量X 表示z 4 =3 2 z 4 3 A注：若点在x轴上可设点为（7,o,o）,若点在y轴上可设点为（0/0）,

5、若点在z轴上可设点为（o,o,t）,注意根据具体题目给出t的范围。（点落在与 y,z轴平行的直线处理方式大致相同）若点在直线/上，且直线/在k。，平面上，则点的竖坐标为o,若已知直线/上的两点坐标，除了使用力 设 问 法，还可以在X。）,平面上表示出直线/的方程，得到，y的关系，则引入一个参数x （注意给出参数的范围）即可表示点的坐标。（同理若直线在M z,y o z平面上也适用，不适用于在空间中的斜线）若点在面上，有时也可利用向量共线定理解决。（2）平面上的点：平面向量基本定理若aB不共线，则平面上任意一个向量Z，均存在2,0GR,使得：c=M i+8b例：已知A（l,3,4）,P（0,2,

6、l）,Q（2,4,0）,则平面APQ上的某点M（x,y,z）坐标可用两个变量表示，方法如下：A M=(x-l,y-3,Z-4),A P=(-l,-l,-3),P e =(2,2,-l),故 AM=AAP+PQ即X =1-/1 4-2/?y =3 A +2,z =4 3 4 ，考点精析考点一动点的设法（-）动点在x,y,z轴上若点在X轴 上 可 设 点 为0,0）,若点在）轴上可设点为（0/0）,若点在Z轴上可设点为（0,0 ）,注意根据具体题目给出t的范围。(点落在与x,y,z轴平行的直线处理方式大致相同)【例1-1】在边长为2正方体AG中:(1)求证A C|_ L平面4c3；(2)求直线CC

7、与平面6C4所成角的正弦值;(3)线段A B上是否存在一点M(不与端点重合，使得二面角4 -M C-G所成平面角的余弦值为5V 2 6若存在，求I A M I的值，若不存在，请说明理由.【解析】(D以点A为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系4 0,0,0),0(2,2,2),4(2,0,2),C(2,2,0),),(0,2,2)AC i =(2,2,2),B C=(0,2,-2),的=(-2,2,0)设平面 B.C D,的法向量为万=(x,y,z)2 y-2 z=0-2 x+2 y=0，则无=(1,1,1)又 超=2万，A C J/n则A G _ L平面与C 2(2)C C i =(0,

8、0,2)C C i-n 肥 西二|品昌 则直线c c,与平面B.C D,所成角的正弦值为辛(3)设 痂=4砾0”L-I)2=，=即1 2；1 2+/1一1 =0,解得4=一:（舍），九=!V 2 63-4即存在A M|=|使得二面角A-C-C,所成平面角的余弦值为变式 1：如图，A D/B C 且 A D=2B C,A D VC D，EG/A D 且 EG=A D,CD/FG 且 CD=2FG O G J_ 平f f i A B CD,DA=DC=DG=2.I）若M为C尸的中点，N为EG的中点，求证：M N平面C D E；（II）求二面角E-B C-F的正弦值；（III）若点P在线段OG上，且

9、直线B P与平面AZJG E所成的角为60。，求线段。尸的长.【解析】（I）证明：依题意以O为坐标原点，分别以力A、成、反;的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图）.G(0,0,2),M l,0,2).可得。(0,0,0),4(2,0,0),B(L 2,0),C(0,2,0),E(2,0,2),F(0,1,2),依题意，成=(0,2,0),力 宓=(2,0,2).设o=(x,j,z)为平面CDE的法向量，0反=2=0 则”.不妨令z=-1,可得o=(L 0,1),nDE=2x+2z=0 3又向V=(L 2,1),可 得 办 “.不妨令z=l,可得=(0,1,1).nBE=x2

10、y+2z=0 设 zn=(x,y,z)为平面3 c 尸的法向量，m就=-x=0 则1.不妨令z=L 可得?=(0,2,1).,nfCF=y+2z=0 因此有 co s，n)=|W|.|H|=1 0，V10于是 sin =io.Vio所以二面角E-BC-F的正弦值为io.(W)设线段O P的长为MGW/0,2/)，则点尸的坐标为(0,0,ft),可得协=(-1,-2,人)，而 虎=(0,2,0)为平面AOGE的一个法向量，卧 反 2故 际 前,血 仁|前.或 赤 本2_ 近 近由题意，可 得 帜 4=sin 6 0=2，解得=3 0,2.近所以线段。尸的长为3.变式 2：(2019天津卷)如图，

11、AE_L平面 ABCD，C F/A E，AD/BC A D LA B，A B=A D=1，AE=BC=2.(II)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值;1(IH)若二面角E-BD-F的余弦值为 求线段CF的长.【解析】依题意，建立以A 为原点，分 别 以 油，Ab，4为的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向的空间直角坐标系（如图），则 4（0，（），0），5（1 0，（），C（1，2，0），0（0，1，0），E（0 0 2）.设 C F=h 也 0），则（I）证明：依题意，瓦&=（1，0 0）是平面AD E 的法向量，又 彷=（0，2，力），可 得 泳/方=0 又因为直线3H t平面AD E，所

12、以8尸平面AOE.（II）依题意，Bb=（-1 1 0）曲=（1 0 2）Cfe=（-1，-2 2）.励=0，丽=0，x+y=0，即 x+2 z=0，不妨令z=l，可得=（2，2 T）.论“4因此有COS 注，=鬲了34所以直线C E与平面BD E所成角的正弦值为（IR）设m=（x，y，力为平面BD F的法向量，m*B b=x+y=则 1 h）2|ww|14 f 1由题意|cos，“|=|W I|-|M|=I 4=3 3x、l 2+必8解得=，.经检验，符合题意.8所以线段c 尸的长为不（二）动点在X。）平面的直线上若点在直线/上，且直线/在X。）平面上，则点的竖坐标为0,若已知直线/上的两点

13、坐标，除了使用力设问法，还可以在北少平面上表示出直线/的方程，得到X，y 的关系，则引入一个参数X（注意给出参数的范围）即可表示点的坐标。（同理若直线在w z,y o z 平面上也适用，不适用于在空间中的斜线）【例 1-2 如 图，在三棱锥P-A5C中A B=B C=2y2 P A=P B=P C=A C=4 。为 AC的中点.（II）若点M在棱BC上，且二面角M-PA-C为 30。,求P C与平面P AM所成角的正弦值.【解析】（I）证明：因为PA =P C=A C=4 。为 4 c 的中点，所 以 P0_L4C，且 PO=2巾.连接0 8，因为S1AB=BC=2 A C 所以A ABC 为

14、等腰直角三角形，JL O B A.A C O B=iA C=2.所以 P O2+OB2=P B2 所以 P O O B.又因为O B C A C=O，所以尸。_ 1_平面ABC.(II)方法一：以。为坐标原点，成，流，舁的方向分别为X轴、y 轴、Z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.由已知得0(0,0,0),3(2,0,0),4(0,-2,0),C(0 2，0),P(0,0,2 a 介=(0,2,23).取平面F4C的一个法向量加=(2,0,0).设 M(a,2 a,0)(0VaW2)，则4a,0).设平面PAM的法向量为n=(x9 y,z)9A n=0，J2y+2于 z=()，

15、由 加=()，研+(4-)产。，令得 z=a,x=y3(a 4),所以平面 R4M 的一个法向量为=5(。-4),y3 a,a 2小(a-4)_所以 co s 彷“=2中(”-4)2+3/+於一 亚由已知可得|cos(0 B 9 n)|=2 52小 HI A/3所以2寸3(。-4)2+302+”2=2，4解得=3或 a=-4(舍去).8巾 43 4所以 n=(3*3 3)-8/8小3+3 小又无=(0 2，-2 y3)，所以cos =；64 16 16=4 所以尸C 与平面PAM所成角1 4+1 2,3+3+9亚的正弦值为4.方法二：建立以。为坐标原点，。8,。,。尸分别为犬*轴的空间直角坐标

16、系如图所示，则 A(),-2,0),P(0,0,2币),C(0,2,0),3(2,0,0),设 丽=2 前=(-22,2/1,0)(0 V 2 4 1),则AM=B M-B A =(-2 A,2A,0)-(-2,-2,0)=(2-2A,22+2,0),则平面P A C的法向量为m=(1,0,0),设平面M P A的法向量为=(匚 z),则P A =(0,-2,-2/3),n-P A =-2 y-2-j3 z=0,n-A M=(2 24)x+(24+2)y=0,令 z=1,贝!J y=一x=(4+1)61-2J3面角 M PA C 为 30 9 cos30=i_.-9rrH 2即 _ _ _ _

17、 _一=B,解得八！或 2=3(舍),J(丁 卜 石 产+1+3 xl 2设平面 MR4的法向量万=(2/3,-V3,l),PC=(0,2,-2 ),.访 _|-2 石-2 百|4/3 石设尸C 与平面小 例所成的角为0，贝!pn =|cos=-=所以尸C与平面出所成角的正弦值为3.平面向量共线定理若a/b=弘e R,使得 =篇 设 问 法)【例1-3】在四棱锥P ABCZ)中，平 面 力 山，平面ABC。，APAD为等边三角形,AB=A=:C。，2A B r A D,A B/C D,点 M是 PC的中点.BC(1)求证：MB平面相O；(2)求二面角尸BC。的余弦值；P N(3)在线段尸8上是

18、否存在点N,使得。N_L平面尸8C?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理P B由.【解析】(1)取尸。中点，连结M ,AH.因 为M为PC中点，所 以H M/C D,H M =-C D.2因为所以且所以四边形A 8 M H为平行四边形，2所以 B M/A H.因 为B M C平面PA D,A H u平 面P A D,所以3 M平面PA D.(2)取AO中点0,连结尸O.因为4=尸。，所以P 0 L 4。.因为平面%平面A 8 C D,平面R I O n平面4 B C D=A。，P O u平 面R 1 O,所 以P O _ L平面A B C D.取B C中点K,连 结O K,贝！0 K A 3

19、.以。为原点，如图建立空间直角坐标系，设A 5=2,则 4(1,0,0),8(1,2,0),。(一1,4,0),力(一1,0,0)/倒,0,右)，B C=(-2,2,(),而=(1,2,石),，则平面 B C D 的法向量9=(),(),有)，设平面P 5 c的法向量3=(x,y,z),由,BC n=Q ,一 ,得 PBn=Q-2 x+2 y =0厂 令1 =1,则x+2 y-J 3z =0.n=(1,1,5/3).cos =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 叵 OP n y/3xy/5 5,OPn 3由图可知，二面角尸-B C-。是锐二面角,所以二面角P -8 C -O的余弦值 为 史

20、5(3)在线段尸8上是不存在点M使得。平面P B C.设点 N(x,y,z),且=,则 丽=彳 而，所以(x,y,z-G)=九(1,2,-出).则PB7x=A y=2 A,z=y/3 V 32.所以N(/l,2/l,G )，面=(九+1,2九,出一 6 乃.若O N,平 面P B C,则D N U n，即4 +1 =2 4 =且 三 且，此方程无解,V 3所以在线段P B上不存在点N,使得ON，平面PBC.C变 式1：如图，四棱锥P-ABCD的底面ABC。是菱形,(1)证明：平面平面A5QD；(2)若Q4_LAC,棱PC上一点M满足求直线8D与平面43例所成角的正弦.【解析】(1)因为P B=

21、P D，。为 B D 中 点,所以PO_LBO,又因为底面ABC。是菱形，所以AC 1 8。.P O 1 B D所以=AC,P A L A C,所以平面A B C D.又因为底面ABCO是菱形，所以AOLBO.AB=2,30=6，所以 40=,2 2-(省=1，即 AC=2.所以AAHC为等边三角形.取8 c的中点E，以A为原点，AE,A D,AP分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系，如图所示：z4(0,0,0),B(V 3,-l,0),0(0,2,0),P(0,0,2 ,C(,l,0),设 函=/1而=4(G,1,2 6)=(后,一42 x/3A),(0 2 /3A,1 -A,2 V 32

22、)-(0,2,0)=(/3-1-2,2 7 32),因为_ L M D,所以 _ 百2（百 一 百/l）+（2 /l）（_ l_/l）+（2 岳=0,即8 2 2 2 4 1=0,解得或/l=1（舍去）.2 4所以磁=惇:6 ,丽=（一1,0）,设平面ABM的法向量n=(x,y,z)，心击鸟+，y +y/3z-0 r则 J 2 2 ,令 尤=1,解得 y =J i,z =1ii-AB=y/3x-y=0所以=丽=(-6,3,0),设直线3。与平面ABM所成角为氏nI卜 百+3向 亚则 s in 0=/-V l+3+b+9 5变 式2：如图，三棱柱ABC-A 4 c l中，侧棱A4,_L平面ABC

23、,ABC为等腰直角三角形，ZBAC 90,且A8=A4=2,E,尸分别是CG，8C的中点.、，(I)若。是A 4的中点，求证：8 D/平面AEP；(II)线段AE(包括端点)上是否存在点M,使 直 线 与 平 面AE尸所成的角为60。？若有，确定点M的位置；若没有，说明理由.【解析】(I)连接。G，BG，因为。，E分别是AA，CG的中点,故AE/OG，AEZ平面B)G，。1(=平面3。1，所以A E/平面80G.因为,尸分别是CG，8C的中点，所以EF/BC一 砂 仁 证 平 面6。6，B g u平面8DG，所以跖/平面8OC,又 A EcEF =E,AEu 平面 A Fu 平面 AE/，所以

24、平面AEF/平面8DG,又B D u平面B D Q,所以3。/平面AE-(H)题意得A3,AC,A 4两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则 A(0,0,0),因 为 通=(0,2,1),赤=(1,1,0).4(2,0,2),E(0,2,l),F(l,l,0).设平面AEF的法向量为n=(x,y,z),n-AE=0 _ 2 y+z=0由：，得 n-AF=0 1x+y=0令z=2,得x=l,y=-1 所以平面AEf的一个法向量为3=(1,-1,2).设 与7=2而=(0,2/l,/l)(0W/l41),又 丽=(2,0,2),所 以 刎=4M 印 瓦=(一2,24,/1 2).若直

25、线B.M与平面AE尸所成角为60,I/_A|贝|J sin 60=cos=4：-,/I|川.忸叫=Hx(-2)+(?x 2/l+2x(/l-2)1 _ 6 _ a _J，+(T)2+2?-7(2)2+(-2)2+(2-2)2 底x 九+8 A/5/12-4A+8 24解得：/l=0或，=m，即当点M与点A重合，4 或时，直线与M与平面AE尸所成的角为60.变式3：如图，三棱柱ABC-ABC中，A 3,侧面2gG C,已知4780=90,BC=,AB=CC=2,点E是棱CC的中点.求异面直线AE与BtC所成的角的余弦值;在棱C 4上是否存在一点“，使得EM与平面4瓦E所成角的正弦值为名叵，若存在

26、，求 出 罂 的值;1 1CA若不存在，请说明理由.【解析】(D；N C B G=9 0 ,B C =1,AB=CtC=2,得g=)比：_叱=瓜由题意，因为NC8G=90,所以，BCLBQ,又A3,侧面B8CC，以B为原点，分别以 起、瓯、胡 的 方向为x、y、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则有 A(0,0,2),(-1,7 3,0),E；，与,0,从一1，后2),C(1,0,0),荏=；，孚-2 ,鸵=倒,一 后0),设异面直线AE与8。所成的角为0,则cos 0=辰，0 =叵|A E|.|B=1,AD=2,SA=SB(1)证明：平面”L平面A8CD；TT DM若点M 在 棱 叼

27、 上，且二面角M-M-D 的大小为“求诉的值【解析】（1）设 AD的中点为。，连接SO,B。,在等边ASAZ）中，可得SO_LAD,在等腰梯形ABC。中，有OA=OB=OC=OD,TT又因为 SA=S 8,所以 SOA 二 ziSO B,所以 NSQ4=NSO8=5，即 SO_LO8,又因为SO，AO,ADcBO=。，所以S O,平面A8CQ又因为5 0 在平面SA。内，所以平面SA_L平面A8C。,因为A B=事 3,0 ,-*/(A.R,7 2.=0AM、0,2-k,4 3 k),由%=(1,73,1),kL1I易知平面A8C3的法向量为%=（。，0，1），71由 cos丁,解得攵=：2或

28、 k=-2（舍）._ 2 .DM所以。*3 此故 前=2.（四）动点在面内【例 1-4】四棱锥S-A58中，S A J _平面ABCO,底面四边形A B C Q 为直角梯形，AB/CD,AD1DC,SAAD=DC2,AB=1.（0）求证：平面&4。_ 1 平面5 仪）；（0）求二面角S-3C-O的余弦值；（E）M为SC中点，在四边形A 8 C D 所在的平面内是否存在一点N ,使 得 平 面 S 8 E,若存在，求三角形AD N的面积；若不存在，请说明理由.【解析】（I）由于SAL平面A B C。，所以SALCD,由于C O J _ A O,S A c 4）=A ,所以8 1 平面S 4 D,

29、由于COu平面SCO,所以平面S A。_L 平面S C O.（I I）由已知条件可知A RA B,A S 两两垂直，以A为原点建立空间直角坐标系，则4（0,0,0）,3（0,1,0）,。（2,2,0）,。（2,0,0）,5（0,0,2）,加（一 1,1,1）.依 条 件 知 旃=（0,0,2）是平面钻8 的一个法向量.设7 =（x,y,z）是平面S B C 的法向量，丽=（0,-1,2）,阮=（一 2,1,0）,由；蔡二二；：；：，令=1,得 3 =（1,2,1）.设二面角S 8 C D 的平面角为。，则co s g co s（福，石|=|裔（嘉=1.（i n）假设存在点 N满足条件，设 N（

30、x,y,O）,则 就=（x+l,y-l,-l）,丽=（-2,-2,0）,函=（0,-1,2）,所以W V-B D =-2(x+l)-(-l)=0W V-B 5 =0+(y-l)-2 =0解得x =0,y =1,所以存在N（0,-1,0）满足条件，此时W=X|A TV|X|A D|=I.变 式 1：已知四棱锥P-A BCD 的底面ABC。是直角梯形，AZV/8C,A B 1 B C,AB=6,8C =2/W=2,E 为 CD 的中点，PB 1.A E(1)证明:平面P8O 1平面A8C；T T(2)若 PB=PD,PC与平面A8CD所成的角为:，试问在侧面PC。内是否存在一点M 使得8 N,平面

31、4PC。？”若存在，求出点N 到平面A8C。的距离；若不存在，请说明理由.【解析】(1)证明油四边形A8CC是直角梯形,B C=2A D=2,A B S B C,T T可得OC=2,MCC=,从而 BCD是等边三角形,80=2,8。平分财0c.0 为 8 的中点,!3O；=AO=l,0B)a4E,又EIPBa4E,PBc8=8,ia4I3平面 P8D 又0AEu平面 ABC。团平面尸平面 A8CD 存在.在平面P B D内作PO3B D于 0,连接OC,又团平面尸 BD0平面A8CQ平面尸皿力平面A B CD=B D,J T团 PO0平面ABC。，豳PC 0为 PC 与平面A8CO所成的角，则

32、 团 PC0=一4团易得0P=0C=,P8=P,PQ38。所以。为 B力的中点，OC08D以 08,。0 尸所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则 8(l,0,0),C(0,6，0)(-1,0,0)/(0,0,6)假设在侧面PC。内存在点N,使得3NJ_平面PC。成立，U U IU U U U L IL IU L L B N -PC=0 1 2设 川=/1尸 +。(；1,20,/1+4 4 1)，易得+由 方 亦 得；1 满B N PD=。5 5足题意，所以N 点到平面A B C D的距离为-6(/1 +1)=当考点二与动点有关的最值问题x y（一）单个动点，动点坐标含一个变量对于

33、单个动点的动态问题，一般是设出该动点的坐标，如果该动点的坐标只含有一个变量，则将目标函数表示成该变量的一元函数模型，借助函数求最值的方法求解.要特别注意变量的取值范围.【例2-1】如图：正方体ABCD-ASGA的棱长为2,M,N分别为棱A B,8c的中点，若点P为线段上的动点（不包括端点），设异面直线G?与 所 成 角 为 凡 贝U co s。的 取 值 范 围 是.连接AtP,：MN/AC/AtCt,二.9 =41c p或其补角，设 B,P=ABN=4,2 6(0,1),在 A G尸中，A G=2 0,“=/5无+4,q p =5乃-奴+4,由余弦定理知,A c；+G p2-4p224cl,

34、CP2-2V2.V5/12-4/1+4cos 9=令f=2T,则fw(l,2),cos f)=_=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 一夜，5/一+16叵L _ 1 6 1 6,在，(1,2)上单调递增,产 co s 0 u 平面尸A。，r.AE_L 平面 PAO,.M u 平面 4E F,平面AE/，平面PAO.(2)解：由(1)知，AE、AD.AP两两垂直，故以AE、AD.AP所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0,0,0),5(73,-1,0),C(有,1,0),。(0,2,0),P(0,0,2),M(0,1,1),f(A 0,0),P

35、C=(A 1,-2),PD=(0,2,-2),AP=(0,(),2).PF=2PC=(A/32,2,-2 2),AF=AP+PF=(2,2,2-22).设平面PC。的法向量为用=(%,%,z,),m-PC=百X I+x-2Z|=0m-PD=2 y1-2z,=0令 Z=,则 X1=1 ,丫=垂）,/n =（l,V 3,V 3）.设直线A F与平面P C。所成的角为，贝j sin 0=cos AF,=|=：|AF-m 潞:僚广6 2（：权+7当 人 轲 加。最 大,此 时F为PC的中点.变 式1：如图，在四棱锥P-A BCD中，P A Y A B C D,2A D/B C.A B L A D,点在

36、棱 P 8 上，P M =2 M B 点 N 在棱 PC 上,PA=AB=A D =-B C =2.Q）若C N =2 N P,。为P。的中点，求证：A,M,N ,。四点共面;（2）求直线P A与平面A M N所成角的正弦的最大值.【解析】（1）以A为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，如图所示,则 A（0,0,0）,2（0,1,1）,例 与0，,），喑，,则 前=（*0,|）,而=（2（0,1,1）,=设 病=不而彳+丁 而，则vl=y,解得x=；,y=l,4 2 =x+y13 3.1-则AN=AM+A。，即A,M,N,。四点共面.(2)由(1)中的空间直角坐标系，可得P(0,0,2),C(

37、2,3,0),丽=(0,0,2),设撅L a用，(其中0W2W1),且 N(x,y,z),则(x,y,z-2)=2(2,3,-2),解得 22,3/1,2-22),可 得 而 =,(),$丽=(24,3/1,2-24)4 2,、设平面AWN的法向量为=(a,6,c),由J _ 3 3,n-AN=2 Aa+3Ab+(2-2 A)c0变量的几何意义，或者借助减元的思想减少变量.取 =1,可得b=7 T-2,c=-2,所以=1,7 T-2,-23ZI ）丽同.设直线 叱与平面9所 成 角 为 凡 则S k阿 一.当且仅当几=；时等号成立.直 线 总 与平面AMN所成角的正弦的最大值为 乎.（二）/单

38、个动点,对于单个动点的动态问题，一般是设出该动点的坐标,2 1也-S-动点坐标含两个变量如果该动点的坐标含有两个变量，则考虑两个【例 2 3 如图，在正四棱柱ABC。-A 5 C Q 中，AB=39 4 =4,P 是侧面BCQ片内的动点，且 AP，叫,记 AP与平面8CGM所成的角为凡贝Utan。的最大值为（53C.2259【解 析 拟 M,OC,所在直线分别为X,y,z轴,建立空间直角坐标系，则 A（3Q0）,8（3,3,0）,2（0 0 4）,设 P(x,3,z),贝！J 而=(x一3,3,z),西=(一3,-3,4),VAPLBD9 APBD=0,3/.-3(x-3)-3x3+4z=0,

39、z=x,4:.BP=yl(x-3)2+z26x+9=酉 48、2 81 9V16 25 25 5连接B P,在正四棱柱A B C O-A B C A 中，A 3,面 B C C g,所以N A P 8就是AP与平面BCC百所成的角,即 NAPB=6,；lan6=f ,，.tan(9 的最大值为。.I|3 j变 式 1：已知直四棱柱4B C O-A A G 9的高为4,底面边长均为2,且 N4P=60。，P是侧面8CC6内的一点，若力P 1 R P,则 AP的最小值为.【解析】直四棱柱4B C O-A 8 C Q 的高为4,底面边长均为2,且 Z&M=60。故 明，平面A 8 8,四边形ABCD

40、 为菱形,NC8A=120。，故如图建立空间直角坐标系，则 A（6，-1,0）,D（73,1,O）,（A/3,1,4）,设点P（）,%Z）,则 加=(G,y-l,z),用 =bG,y 1,Z 4),由于。尸，。尸，所 以 而 麻=3+(y-i y +z(z _ 4)=0,即：(y-i y+(z 2/=1,故令y =l +c o s。，z =2+s i n。，所以 M2=3+(y+l)2 +z 2=3+(c o s e+2)2+(2+s i n e)2=12+4c o s e+4s i n e=12+4 收 s i n(6 +?1 1 2-4 0,所以|AP n=2 h&故答案为：2痒 正对于双

41、动点问题，一般是设出其中一个较为简单的动点的坐标（此时含一个变量），对于另外一个较为复杂点的坐标，则不必设出，可以借助向量的线性运算进行转化，从而得到所需的向量（用坐标表示，此时还有一个变量）.最后将待求目标表示成为含两个变量的函数模型，借助完全平方式的性质求出最值.【例 2-4】如图，在菱形A 8 C D 中，A8 =2石，4 4 0 =60。，沿 对 角 线 将 A 4 B D 折起，使点4,C之间的距离为3 应，若P,Q分别为线段如，C 4 上的动点，则线段尸。的 最 小 值 为 一.,4C =3 近，AO2+CO1=AC2,.AAO C 为直角三角形，即 AO J_ C O,AO _

42、L 平面 B C Z）,以OB,OC,分别为x,y,Z 轴，建立如图空间直角坐标系,则 B(G，o,0),C(0,3,0),A(0,o,3),设 P(a,0,0),C Q =A C A =(0,-3 4,3 2),则 而=无 +咬=(-a,3,0)+(0,-3 2,3 2)=(-a,3-3 2,3 2),|P Q|=加 +(3-3/1)2+9把 二a2+18(A-)2+-.2 2当。=0,2 时，P Q长度最小值为 吧.2故答案为：述2分层提分题组A基础过关练1、如图所示，在三棱柱 A B C A A G 中，A4,，平面 AB C,A 4=A C=8 C =4,N A C B =9 0,E

43、是CG的中点.(1)求直线A B与平面A BE所成角的正弦值;(2)在棱CG上是否存在一点P，使得平面2钻 与 平 面A BE所成二面角为45。？若存在，求出p点的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】（1）如图所示建立空间直角坐标系C 一孙Z,则A（4,0,0）,3（0,4,0）,E（0,0,2）,A（4,0,4）.通=（T,4,0）,可=（4,0,2）,B=（0,4,-2）.即设平面4 5后的法向量为“=（乂乂2）,则n=0而=02x+z=0 一 /、，c c 令龙=1，贝 1 =（1,一1,一2）.4y-2 z=0所以 cos（A8,AB n _-4-4 _ 73网|丁4万 卡3，所以直线

44、A3与平面A8E所成角的正弦值为 半;（2）解：假设在棱c q上存在一点尸，使得平面以3与平面A8E所成二面角为4 5,设P（0,0,c）,0 c 0),M(0,2,1)2 V P =(2 2-1,-1,2),W=(-1,1,1)设平面P M N的一个法向量为n=(x,y,z),7一/P n=0,即f (2A-l)x-y-+2z=6,令A x=3,，得一=,(3,2X+l,2-2/l、)NM-n=0(-x+y+z=0 v 7U li又平面ABC的一个法向量为=(0,0,1)I ,n-n?|2-22|2-22 4g s V 同同=两诉5=许不=丁.力+26*35=。，又/E,因为A C u平面A

45、CE所以平面AECJ_平面6OE；(2)建系如图：8(1,1,0),设平面 3所 的 法向量 E =(x,y,z),E(0,0,2),尸(1,0,1),EFn=0BFn=0,则3=(1,1,1),设H(a,a,0),E H =(a,a-2),2 a-2KJ 2 a2+49解1 7得。=一或a=-(舍)，2 4所以 0 7/V 224、如图，在三棱柱ABC-A4 G中，四边形A4 cC是边长为4的正方形，平面ABC _ L平面44,G。,A B =3,B C =5(1)求证：朋J平面A B C；(2)求二面角A-5 C.-B,的余弦值;(3)B D证明：在线段BG上存在点。，使得并求的值.【解析

46、】(D 平面A B C_ L平面A 4 C。，A A,LAC,平面A B CCI平面44,GC=A C,:.A 41 J平面 ABC；(2)由(1)A/l,1 AC,又 A C =4,4B =3,B C=5,A C2+A B2=B C2,.AC,分别以AC,AB,AA为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图，则 C(4,0,0),8(0,3,0),A(。，0,4),C,(4,0,4),B,(0,3,4),B q =(4,-3,4),殖=(4,0,0),函=(0,0,4),设平面4 5 a的一个法向量为正=(%,x，z j,则 匕=4 5-3)+4Z 1 =0,取 凶=4,则而=(0,4,3),设

47、 平 面 的 一 个 法 向 量 为谕 AG =4%=0n=(x2,y2,z2)f则 n-BC.=4X-9-3-y29+4z7=0 .,一2,取y,=4,则机=(3,4,0),n BB、-4Z2=0-m-n 4x 4 1 6c o s =.=-=琲 5x 5 2 5-.二面角4 B G -B的余弦值为 ；而=通 +丽=(0,3,0)+4(4,-3,4)=(42,3-3,42),邛=(0,3,T),.,“9A D L A.B,则 A .4 8=3(3 32)4x 4/1 =0,解得尤=石.BD 9二在线段BG上存在点。，使得4。，A3,且苍丁=去.C.Z.J题组B能力提升练5、如图，在四棱锥。一

48、 ABC。中，PA_L 平面 ABC。，ZABC ZBAD=90,AD=AP=4,AB=BC=2,M为P C的中点.(1)求异面直线PD与8M所成角的余弦值;/?(2)点N在 线 段 上，当AN为何值时，直线MN与平面PCD所成角的正弦值为也？3解：（1）；_ 1 _平面 ABCZ）,且AB，ADczY ABCD,A PAA.AB,PAA.AD,又/84。=90,24,A B，A两两互相垂直.以AB,A D，A尸分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图:则由 AD=AP=4，AB=BC=2,可得 A（0,0,0）,5（2,0,0）,C（2,2,0）,(0,4,0),P(0,0,4),又”为P

49、 C的中点，.M(L1,2).丽=(O,4,T),=(-1,1,2),所以cos(两两”缪吗=以#孚仝=_ 3所以、/|p 4 k M 4V2xV6 6所以异面直线P。，所成角的余弦值为 史.6（2）设 A7V=X（OW/LW4）,则 N（0,/l,0）,A W =(-1,2-1,-2),C D =(-2,2,0),正=(2 2-4),设平面产。的一个法向量为京=(羽0,fh-C D =Q 1一2 x+2 y =0则(一 n 7即 c c .八，m -P C=0 2 x+2 y-4 z=0令 x =l,解得 y =l,z=l 二?=(1,1,1)是平面P C。的一个法向量.:直 线MN与平面P

50、 C D所成角的正弦值为旦,3|c o s =斯.沅1-1 +2-1-2|_ 7 3M N m 5+(2-3解得义=0,4,所以当AN为时，直线MN与平面P C D所成角的正弦值为 且.3 326、如图所示，在三棱锥A-B CZ)中，侧棱A B _ L平面8 CZ),尸为线段5。中点，ZB C D -7r,A B=3,B C =C D =2.(1)证明：C T,平面45。;(2)设。是线段A O上一点，二面角A -8Q-C的 正 弦 值 为 巫，求22的值.4 D A【解析】(D因为B C =CD,尸为线段8。中点，所以因为A B _ L平面5c O,C Ru平面8 C。，所以C V L A