2022-2023学年人教A版高二数学上学期同步讲义拓展五：圆的方程大题专项训练(40道)(解析版).pdf

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1、拓展五：圆的方程大题专项训练(40道)善,高频考点N考点精析_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _类型一圆的切线问题(5道)1.(20 22广东汕尾高二期 末)已 知 圆 C过两点A (-2,0),3(2,4),且圆心C在直线2x-y-4=0 上.求 圆 C的方程；过点P(6,4g)作 圆 C的切线，求切线方程.【答案】/+4X-1 2 =0.(或标准形式(X-2)2 +/=1 6)(2)x =6 或 x -耳 y+6 =0【解题思路】(1)根

2、据题意，求出AB的中垂线方程，与直线2x-y-4=0 联立，可得圆心C的坐标，求出圆的半径，即可得答案：(2)分切线的斜率存在与不存在两种情况讨论，求出切线的方程，综合可得答案.【解题过程】(1)解：根据题意，因为圆C过两点4-2,0),8(2,4),设 A8的中点为M,则 M Q 2),因为,=占 冬=1,所以A8的中垂线方程为广 2=-0),即y =2-x|y 2 I 2又因为圆心在直线2 x-y-4=0 上，联立:一 )八，解得 一八，所以圆心。(2,0),半径一=忸。|=4,2x-y-4=0=故圆的方程为(x-2)2+y 2=i 6,(2)解：当过点尸的切线的斜率不存在时，此时直线x

3、=6与圆C相切当过点。的切线斜率A存在时，设切线方程为y-4 G=Z(x-6)即fc c-y +4百-6 Z =0 (*)由圆心C到切线的距离卜 一 叫=“可得k=5/F 7 T 3将上=#代 入(*),得切线方程为x-7+6 =()综上，所求切线方程为x =6或x-6)，+6 =()2.(20 22黑龙江哈尔滨市第六中学校高二期末)已知点M(l,3),圆C：(X-2)2+(+1)2=4,/：x+y+4=0.(1)若 直 线 过 点 且 被 圆C截得的弦长为2石，求该直线的方程；设尸为已知直线/上的动点，过点尸向圆C作一条切线，切点为Q,求归。|的最小值.【答案】x =l或1 5 x+8)-3

4、9 =0 典2【解题思路】(1)求出圆C的圆心到直线的距离，再利用垂径定理计算列方程计算；(2)由题意可知当|P Q I最小时，C P连线与已知直线/垂直，求出|色，再利用|尸0|=J|CP|2 -。计算即可.【解题过程】(1)由题意可知圆C的圆心到直线的距离为也 一 行=1当直线斜率不存在时，圆C的圆心到直线距离为1,满足题意；当直线斜率存在时，设过(1,3)的直线方程为：)，-3=A(x-l),即日-y +3-Z=O由点到直线距离公式列方程得:2k+l+3-k _4 2+1解得人=-综上，过 河(1，3)的直线方程为x =l或O15x4-8-39=0.(2)由题意可知当I P Q I最小时

5、，C P连线与已知直线/垂直,.|CP|=匕1 1+，=乎由勾股定理知：PQ=ylCP2-22=、件-4=手,2V 4 2所以IP。I的最小值为 叵.23.(2022贵州遵义高二期末(文)在平面直角坐标系中，光线/过点A(-2,1),经工轴反射后与圆。：(x-2+(y-3)2=4 有交点(1)当反射后光线经过圆心。，求光线/的方程;(2)当反射后光线与圆。相切，求光线/的方程.【答案】%+y+i=。y_=_ 4 (x+2)或 y_=_ 4+Jx+2)【解题思路】(1)求出点A关于x 轴对称的点为A,由光线的折射性质，反射光线经过圆心，由K“A=K。*,代入可求出光线/的斜率，即可求出光线/的方

6、程;(2)设反射光线方程为y+1=%(x+2),由反射后光线与圆。相切可求出3即可求出光线/的方程.【解题过程】(1)点 A(-2,1)关于x 轴对称的点为4(-2,-1),由光线的折射性质，反射光线经过圆心0(2,3),所以=KA，易知 KA，=1 5 m=1 所以%A=-1，所以光线/的方程为x+y+i=o.(2)设经过A(-2,-l)的直线方程为y+l=Z(x+2)由于折射光线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即4=华 粤=2,V 1+F化简得：3/_ 8 左+3=0,解得&=或3 3所光线/的方程为y-l=-(x+2)或 y-l=-(x+2).4.(2022上海徐汇高二期末)已知

7、M(2,l)是圆0：/+丁=4 外一点.过 M 作 圆。的切线/,求切线/的方程；(2)过 M 任意作一条割线，交圆。于 AB两点，求弦AB的中点C 的轨迹方程.【答案】(l)x=2和 3x+4y 10=0(2)x2+y2-2x-y=0(在圆。:d +丁=4 内部)【解题思路】(D 根据切线斜率存在和不存在分类讨论可得；(2)由圆性质得OC_ LA B,C 点在以QM 为直径的圆上，求出圆的方程可得结论.【解题过程】(1)圆。的圆心是原点，半径是2,过 M 且斜率不存在的直线是x =2 与圆。相切，当过”的切线斜率存在时，设切线方程为 T =4 x-2),即履-y +l-2 k=0,由 号 望

8、=2,解得k=一,4 2+1 4所以切线方程为一：3 x y +l 2 x(33)=。，即3 x +4 y 1 0 =0,4 4所以切线方程为x =2 和3 x +4 y-1 0 =0；(2)C 是 AB中点，则O C _ L 4 8,即O C L C M,所以C 点在以。例为直径的圆上，O历中点坐标为(1,；),OM =y22+2=y/5,所以以O M 为直径的圆方程为(x -1)?+()，-1)2=净2,即炉+9 一 2 x -y =0 ,所以C 点轨迹方程为/+丫 2-2 犬-=0 (在圆。:炉+丫 二 内部).5.(2022广东红岭中学高二期末)已知圆C 的方程为：x2+y2-2mx-

9、4y+6 m-9=0(w e/?).(1)求，”的值，使圆C 的周长最小；(2)过“1,-2)作直线/,使/与满足(1)中条件的圆C 相切，求/的方程，并求切线段的长.【答案】(1)加=3直线方程为x =l 或3 x-4 y-l l =0,切线段长度为4【解题思路】(1)先求圆的标准方程(x-m)2 +(y-2)2 =(机-3)2 +4 ,由半径最小则周长最小；(2)由m =3 ,则圆的方程为：(x-3)2+(y-2)2=4,直线和圆相切则圆心到直线的距离等于半径，分直线与x 轴垂直和直线与x 轴不垂直两种情况进行讨论即可得解.进一步，利用圆的几何性质可求解切线的长度.【解题过程】(1)x2+

10、y2-2mx-4y+6 m-9 =0,配方得：(x-ni)2+(y-2)2=(m-3)2+4,当?=3 时，圆C 的半径有最小值2,此时圆的周长最小.(2)由 得，机=3,圆的方程为：(x-3 y+(y-2)2=4.当直线与 轴垂直时，x=l,此时直线与圆相切，符合条件;当直线与X轴不垂直时，设为y=4 x-l）-2,2k-2-2 3由直线与圆相切得：/,1=2,解得及=:,y/k2+l 43 11所以切线方程为y=即3尤-4y 11=（）.4 4综上，直线方程为x=l 或版-4-1 1 =0.圆心与点P的距离d=J（1-3+（-2-2）2 =2石，则切线长度为J（2石4=4类型二圆的弦长问题

11、（7 道）6.（2022重庆长寿高二期末）在平面直角坐标系中，AABC的三个顶点坐标分别为A（0,0）,以-2,0）,C（-3,-3）.求 BC边上的中线A D的所在直线方程；（2）求4 A B C的外接圆。被直线/:x-y+1 =0截得的弦长.【答案】（l）3x 5y=0（2）273【解题思路】（D先求8 c 边的中点。的坐标，再 得 的 斜 率 即 可 求 解；（2）先求AABC的外接圆O,再求圆心到直线.直线/的距离，再由勾股定理可求解.【解题过程】（l）T B（-2,0）,C（-3,-3）.8C边的中点D 的坐标为-0 R二中线AO的斜率为T=9,-0 523二中线AO的直线方程为：y

12、-0 =j（x-0）,即3x-5y=0设 A B C的外接圆O的方程为x2+y2+DX+Ey+F=0,B、C三点在圆上，F=04-2 D+F=09+9-3 D-3 E+F =0D=2解得：E=4F=0A外接圆 O 的方程为f +丁+2x+4y=0,gp(x+1)2+(y+2)2=5,其中圆心。为(T-2),半径y 石，I-1(-2)+11 1 又圆心O 到直线l 的距离为d=V2,3 +(T)被截得的弦长的一半为它方=x/3，二被截得的弦长为26.7.(2 02 2 广东深圳高二期末)已知圆C：一+/-2 奴+2y+4a-4=0 的半径为1.求实数。的值；判断直线/：%-丫-2=0 与 圆 C

13、 是否相交？若不相交，请说明理由；若相交，请求出弦长.【答案】a=2；直线/与圆C 相交，夜.【解题思路】Q)利用配方法进行求解即可；(2)根据点到直线的距离公式，结合圆的弦长公式进行求解即可.【解题过程】(1)将 k +y-2ax+1y+4a-4=0化为标准方程得：(x-a)2+(y+l)2=(a-2)2+1 .因为圆C 的半径为1,所以(a-2 y+l=l,得 a=2.(2)由(1)知圆C 的圆心为(2,-1),半径为1.设圆心C 到直线/的距离为d,则”2 +；2|=正,V2 2所以直线,与圆C 相交，设其交点为A,B,则慎却=2 1/克=7 2,即|A 3|=0.8.（2022贵州六盘

14、水市第五中学高二期末）已知圆C:/+y 2-6 x-4 y +4=（）.（1）若一直线被圆C所截得的弦的中点为M（2,3）,求该直线的方程；（2）设直线/：y=x+?与圆C交于A,8 两点，把 CAB的面积S 表示为，的函数，并求S 的最大值.【答案】（l）y=x+l S=x与?，卜3 0-1?3夜-1,机工-1），最大值为|【解题思路】（1）利用垂径定理求出斜率，即可求出直线的方程；（2）利用几何法表示出弦长与d 的关系，利用基本不等式求出C4B的面积S 的最大值.【解题过程】（1）圆 C:/+丁-6x-4y+4=0化为标准方程为：（x 37+（y-=9.则%=1 =-L乙一3设所求的直线为

15、八由圆的几何性质可知：k,-kCM=-1,所 以&=1,所以所求的直线为：y-3=1 4-2）,即 y=x+i.（2）设圆心C到直线，的距离为d,贝 ijd=氏浮L且）+/=改=9,所 以 手|因为直线/：y=x+机与圆C 交于4,8 两点，所以0 4 3,解得：-3 0-1 根/2-l m /2-l,m-l）因为j 幽+/=9I 2 J所以S =3AMX 4（当 I+/=（其中 网=迪时等号成立）.21 1 2 2 ）2 2 2所 以 S 的最大值 为99.（2022内蒙古赤峰高二期末（理）圆f +y2=8内有一点P（7,2）,A 5为圆的过点尸且倾斜角为a 的弦.当 a =135。时，求|

16、AB|的长;(2)当弦A8最短时，求直线48的方程.【答案】回=痴 x-2 y+5 =0【解题思路】(1)先求出直线AB的方程，然后求圆心到直线的距离d,再利用圆心距，弦和半径的关系可求 出 的 长，(2)由圆的性质可知当P 0 J.A 8 时，弦 48最短，从而可求出直线48的方程【解题过程】(1)直线A8的斜率Z =t ana=-1,圆的半径r =2 0.则直线A8的点斜式方程为k2 =-(x+l),即x +y-l =0.则圆心(0,0)到直线48的距离4 =变.A/2 2由垂径定理，得 苧+屋=产，解得|A 8|=闻.(2)当弦A8最短时，尸为A8的中点，P O 1 A B由 题 意%1

17、)=-1 .a=3(2)圆C半径为 正，设圆心C 到直线4 8 的距离为d,化 简 得:a2-10a+9=0 解得：。=1 或 a=9所以实数。的值为1和9.12.(2022重庆市青木关中学校高二期末)已知圆C 的圆心在x 轴上，且经过点A(-3,0),8(-1,2).(1)求 圆 C 的标准方程；过 P(0,2)斜率为2的直线与圆C 相交于M,N,两点，求 弦 的 长.【答案】(D(x+l +y2=4 2 G【解题思路】(1)由圆的性质可得圆心在线段的垂直平分线上，由题意求出A 3的垂直平分线方程，从而得出圆心坐标，再求出半径，得到答案.(2)由题意先求出满足条件的直线方程，求出圆心到直线的

18、距离，由垂经定理可得圆的弦长.【解题过程】由题意设圆C 的标准方程为(x-a)2+y2=，0)设 AB的中点为。，则。(-2,1),由圆的性质可得CD2 0-1-(-3)则 j ,您8=-1,又 AB 一所以ho=T则直线CO的方程为y-l=-(x+2),即y=T-l则圆C 的圆心(。,0)在直线CD上，即()=一一 1,故a=T所以圆心C(-l,0),半径r=4。=2所以圆C 的标准方程为(x+lj+y2=4(2)过 P(0,2)斜率为(a 的 直线方程为：y=；ax+2圆心C(-1,O)到该直线的距离为所以=2yjr2-d2=2/4 T=2G类型三圆与圆的位置关系(7道)1 3.(2 02

19、 2江苏镇江高二期末)圆M 经过两点8(0,-2),C(4,0),且圆心在直线x-y =0上.求圆M 的方程；(2)求圆M 与圆N:(x -3)2 +V=2 5的公共弦的长.【答案】(1)。-1)2 +(-1)2 =1 0(2)2 75【解题思路】(1)设圆的方程为(x-a)2 +(y-a)2 =，代入所过的点后可求，;为,从而可求圆的方程.(2)利用两圆的方程可求公共弦的方程，利用垂径定理可求公共弦的弦长.【解题过程】设圆的方程为(-4 +()-。)2 =巴Q 圆M 过B(0,-2),C(4,0),a2+(-2-a)2=r2 J。=1(4-a)2+a2=r2 r =7 1 0 所以圆M 的方

20、程为(x-l)2 +(y-l)2 =1 0；(2)由圆的方程和圆N的方程可得公共弦的方程为：(x 1)+(y -1)-1 0 (x-3)-+y-_ 2 5 =0,整理得到：2 x-y +4 =0,到公共弦的距离为 左 善1 =6,V 5故公共弦的弦长为：2 g =2右.1 4.(2 02 2吉林梅河口市第五中学高二期末)已知。：x?+y 2=4与 圆 C：x2+y2-2(a+l)x-2y+2a+2=0相交.(1)求正数a的取值范围；若 圆 C 与圆0 的公共弦所在直线的方程是2 x+y-4 =0,求圆C 的半径.【答案】(1)；，+8(2)1.【解题思路】Q)根据两圆相交的性质进行求解即可；(

21、2)根据两圆相交弦的性质，结合圆的标准方程进行求解即可.【解题过程】(1)圆 C 的标准方程是(x-a-l)2+(y-l)2=a2(a 0),因为圆C 与 圆。相交，所以|。-2 卜|0/4+2,即|“-2 卜 J(a +i y+1；,所以正数a的 取 值 范 围 是+8)；(2)将 圆。与圆C 的方程相减，得两圆的公共弦所在直线的方程是(a +l)x+y-a-3 =0,即2 x+y-4 =0,a +1 =2,所以 a 解得a =l.-a-3=-4所以圆C 的标准方程是(X-2)2+(”1)2=1,所以圆c 的半径是1.1 5.(2 02 2 四川绵阳高二期末)已知圆 C：(x-4)2+(y-

22、4)2=r2(r 0).若 r =3,直线/：x-y-4 =0 与 C 相交于A,B两点，求弦AB的长；已知点M(-L O),N(3,0),若 C 上存在点尸，使得P M6 N,求 r 的取值范围.【答案】(1)2；(2)3,7 .【解题思路】(D 根据圆的垂径定理进行求解即可；(2)根据圆的性质，结合圆与圆的位置关系进行求解即可.【解题过程】(1)圆心坐标为：C(4,4),它到直线x-y-4 =0 的距离为：=|4-+4(-_ 4)|2 =2 及r,所以弦_ _ _ _ _ _4 5 的长：2 炉方=26 氐=2；(2)假 设 C上存在点P,使得因此点P 也在以MN为直径的圆上，设该圆的圆心

23、为D(x,y),则有x =三 坦=1,y =等=0,即D Q O),该圆的半径为：g j(-l-3)2 +(0一 0)2 =2 ,|CD|=J(4-+(4-0)2 =5,因为点尸即在圆C 上，也在圆。上，所以两圆相交或相切，因此有：|r-2|5 3 r 2 =1 外切，求，的值；(2)如果直线x +y-3 =0与 C相交所得的弦长为4 石，求，”的值.【答案】(1)加=9；机=-3 .【解题思路】(1)解方程7(3-0)2+(4-0)2=1 +y/25-m即得解；(2)解方程(2 立)？+(2 石/=2 5-机即得解.【解题过程】(1)解：由圆C:/+y 2-6x-8 y +w =0,可得+0

24、-4 了=2 5-m，则圆心。(3,4),半径r=/2 5-及，由圆除+与=1 ,可得圆心(0,0),半径氏=1,因为两圆外切，则J(3 0)2+(4 0)2 =1 +1 2 5-俏,解得机=9.(2)解：圆C 的圆心坐标为(3,4),半径为J 2 5-沉 圆心到直线的距离心生 言 2=2 及，又直线x+y-3 =0与圆C 相交所得的弦长为4 方，(2 应产+(26)2=2 5-,，解得加=-3 .，机的值为-3.17.(2022江苏南通高二期末)已知圆M:(x-2 y +y 2=4,点尸(T j)(f w R).若 f =l,半径为1 的圆N过点P,且与圆”相外切，求圆N的方程；若过点尸的两

25、条直线被圆M 截得的弦长均为2 6，且与 轴分别交于点s、T,|s r|=p 求/.【答案】(l)(x+l +y 2=i 或1+|)=1(2)f=1(a-2)2+b2=9I,、，解得(”+1)+(6-1)-=1a=-由题意可得X或【解题思路】（1）设圆心（a/）,根据已知条件可得出关于。、b 的方程组，解出。、b 的值，即可得出圆N 的方程；（2）分析可知直线内、尸 7 的斜率存在，设过点小且斜率存在的直线的方程为y =M x+i）,即kx-y+k+t=O,利用勾股定理可得出蝴+6 h+产-1 =0,可知直线P S、尸 7的斜率勺、&是关于的二次方程以2+6 雨+,2 _ 1=0 的两根，求出

26、S、T的坐标，结合韦达定理可求得f 的值.【解题过程】（1）解：设圆心N（a,b）,圆A/的圆心为M（2,0）,25因此，圆N的方程为（x+i y+V=l 或1+|+卜 _|）一=1.解：若过点P 的直线斜率不存在，则该直线的方程为x=-l,圆心M 到直线x=-l 的距离为3,不合乎题意.设过点P且斜率存在的直线的方程为y T =%（x+l）,即依-y +Z+f=0,由题意可 得 詈=亚=1,整理可得8 必+6 H+/_ i=o,设直线P S、尸 T的斜率分别为占、k2,则区、k2为关于k的二次方程8 犬+6 k +-1 =0 的两根，=3 6 r-3 2（/-1）=4/+3 2 0,由韦达定

27、理可得3=二,4 8在直线P S 的方程A-y+r =0中，令 x=0,可得y =K+r,即点S（0,+。在直线P T 的方程3-网+/=0 中，令 x=0,可得尸 他+f,即点T（0&+f）,所以，|S7|=%-川=J d+-4 柩 2 =,解得r =L18.（2022广西宾阳中学高二期末（理）已知圆C 的圆心为C（1,2）,且 圆 C经过点P（5,5）.求 圆 C的一般方程;若圆x2+y =（机 0）与 圆 C 恰有两条公切线，求实数m 的取值范围.【答案】x2+V-2 x _4 y-2 0 =0【解题思路】（1）设圆C 的一般方程为V+y2+Dx+Ey+F=0.由圆C 的圆心C（l,2）

28、和 圆 C 经过点P（5,5）求解；（2）根据圆0：/+产=机2（机0）与圆C 恰有两条公切线，由圆。与圆C 相交求解.【解题过程】（1）解：设圆C 的一般方程为/+丫2 +m+6+/=0.-不=1（D =2.咽 C 的圆心C（l,2）,二 ；BP-=2.5T.2又 圆 C 经过点P（5,5）,/.52+52-2 X 5-4 X 5+F=0.解得F=-20.经检验得圆C 的一般方程为/+丁一2-4-20=（）；（2）由（1）知圆C 的圆心为C。,2）,半径为5.圆0:+丁=/（,”0）与圆C 恰有两条公切线，.圆。与圆C 相交./.|5-/n|OC|/（1-0）2+（2-0）2=y5,5-s

29、机 5+y/s；.，”的取值范围是（5-石,5+石）.19.（2022浙江嘉兴高二期末）已知圆 G：x2+y2+2x+8）-8 =0,C2:（x-a）2+（y-2 a +2）2=25.若圆C 与圆G 外切，求实数”的值;若圆G与圆G相交于A,B 两点，弦 A3的 长 为 相，求实数”的值.【答案】(1)。=-1 2 6(2)a =2 或 a =-4【解题思路】(D求出圆心、半径，结合两点间的距离公式即可求解；(2)法一，联立方程组，利用点到直线的距离公式，弦心距公式即可求解；法二，由题意知，圆G与 圆 关 于 直 线 A 8 对称，利用弦心距公式即可求解.【解题过程】(1)圆 G :/+,2

30、+2*+8,_ 8 =(),即为(x+l)2+(y +4)2 =2 5 ,所以G(1,-4),4 =5,圆C2t(x-a)2+(y-2a+2)2=25,所以 C?(。,2 4 2),4=5,因为两圆外切，所以|C|G|=4 +&=1。，得J(a +1)?+(2。+2)2 =0,化简得(a +l)2 =2 0 ,所以。=-1 2 后.(2)法一：0 1 C2:(x-a)2+(y-2a+2)2=2 5 ,即为 A2+9-2依+4(1 a)y+5 4 2-8 -2 1 =。，x?+y+2.x+8 y 8 =0,将圆G与圆C z的方程联立，得 到 方 程 组，I ,；八 /5|a +l|一 2即即|a

31、 +l|=3,解得a =2 或者 =-4.法二：因为 =4=5,所以圆G与圆C?关于直线A 8 对称,因为同 同=屈，得点G到直线AB的距离:所以 CGI =3石=J（4 +l）2+（2 a +2）2 ,解得。=2或者a =-4.类型四与圆有关的轨迹问题（6 道）2 0.（2 02 2湖北沙市中学高二期末）已知点M 到两个定点4 1,0）,8（4 0）的距离比为g.求点M 的轨迹方程；若过点P（L-3）的直线/被点M的轨迹截得的弦长为26，求直线/的方程.【答案】（l）f+y 2=4（2）4 x+3 y +5 =0或x=l【解题思路】（D设出M（x,y）,表 达 出 直 接 法 求 出 轨 迹

32、 方 程；（2）在第一问的基础上，先考虑直线斜率不存在时是否符合要求，再考虑斜率存在时，设出直线方程，表达出圆心到直线的距离，利用垂径定理列出方程，求出直线方程.【解题过程】（1）设 则四川=J（x-l）。+y。,+），故-,两边平方得：x2+y2=4y/（x-4）-+y2 2（2）当直线斜率不存在时，直线/为x=l,此时弦长为2x 51=26，满足题意；当直线斜率存在时，设直线/：丁+3 =可犬-1）,则圆心M（）,0）到直线距离为1 =卑 ，由垂径定理得：y/1+k（去）+（6=2 2,解得：k=,此时直线/的方程为4 x+3 y +5 =o,综上：直线/的方程为x=l或4 x+3 y+5

33、 =0.2 1.（2 02 2山西晋中高二期末）在平面直角坐标系x。），中，已知A（-l,0）,3（l,2）.（1）求直线A B 的方程；平面内的动点户满足，到点A 与点B 距离的平方和为2 4,求动点P 的轨迹方程.【答案】（i）x y+i =o./+（丫-1）2 =1 0.【解题思路】（1）结合点斜式求得直线A 8 的方程.（2）设P（x,y）,根据已知条件列方程，化简求得P 的轨迹方程.【解题过程】(D2-01-(-1)T,于是直线 AB的方程为 y-0=lx(x+l),y=x+l,即 x-y +l=0.(2)设动点P(x,y),于是 网 2叫 2=24,代入坐标得(x+1)2+r+。一

34、 1)2+(y-2)2=24,化简得x2+(y-l)2=10,于是动点P 的轨迹方程为x2+(-l)2=10.22.(2022江西南昌大学附属中学高二期末(理)已知圆G：(x+4)2+V=1 6,点A是圆C1上一动点,点 8(4,0),点C 是线段A 8的中点.求点C 的轨迹方程；直线/过点(1,1)且与点C 的轨迹交于A,B两 点,若|明=2 6,求直线/的方程.【答案】(1)炉+2=4；(2)x=1 或 产 1.【解题思路】设线段A 8中点为C(x,y),点 4 宙，),用 x,y 表 示 知 先,代入G 方程即可；(2)分/斜率存在和不存在进行讨论，根据弦长求出/方程.【解题过程】(1)

35、设线段A 8中点为C(x,y),点 A(为),.8(4,0)/.2x=x0+4,2y=y0+0,:.x=2x-4,y0=2y,(2x-4+4+4)，=16:.x2+y2=4,即点C的轨迹方程为/+丁=4.(2)直线/的斜率不存在时，/为X=L代入/+丁=4 得 =6,则弦长|A8|=2 G 满足题意；直线/斜率存在时，设直线/斜率为&,其 方 程 为=即日-y-A +l=O,圆f +)，2 =4 的圆心到I 的距离d=%=0=/：y=1.4 2+1综上，/为x=l 或 y=L23.(2022福建龙岩高二期末)已知平面直角坐标系上一动点P满足：到点A(0,2)的距离是到点3(0,-1)的距离的2

36、 倍.(1)求点P 的轨迹方程；若点户与点Q关于直线-丫+2=0 对称，求|P。的最大值.【答案】/+/+4 ，=0(2)4夜+4【解题思路】(D 直接法求动点的轨迹方程，设点，列方程即可.(2)点关于直线对称的对称点问题，可以先求出点尸到直线的距离最值的两倍就是|PQ|的距离，也可以求出点。(乂 )，)的轨迹方程直接求解归。的距离.【解题过程】(1)设 P(x,y),由题意，得：化简得/+y 2+4 y =0,所以点P 的轨迹方程为/+9 +分=o(2)方法一：设 Q(x,y),因为点尸与点。关于点x-y+2 =o 对称,则 P 点坐标为(y-2,x+2),因为点尸在圆Y+寸+4y=0,即/

37、+0 +2/=4 上运动，所以(x+4)2+(y-2)2=4,所以点。的轨迹方程为(x+4-+(y-2)2=4,所以两圆的圆心分别为(0,-2),(T,2),半径均为2,贝 11 PQnm=(0+4)2+(-2-2 +4=4&+4.方法二：由/+/+4）,=0 可得：x2+（y+2）2=4所以点尸的轨迹是以（0,-2）为圆心，2 为半径的圆轨迹P的圆心到直线x-y+2 =0 的距离为：=但 琶 4=2 夜|尸01m x=22 r=4 亚+42 4.（2 02 2 湖南永州高二期末）如图所示，第九届亚洲机器人锦标赛V E X 中国选拔赛永州赛区中，主办方设计了一个矩形坐标场地A5CZ）（包含边界

38、和内部，A 为坐标原点），A O 长 为 1 0米，在 A 3 边上距离A 点4米的尸处放置一只电子狗，在距离A 点 2 米的E 处放置一个机器人，机器人行走速度为外 电子狗行走速度为2 v,若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点那么电子狗将被机器人捕获,点 M 叫成功点.BF（1）求在这个矩形场地内成功点M的轨迹方程;-A/（2）尸为矩形场地4。边上的一动点，若存在两个成功点到直线尸P 的距离为|,且直线尸产与点M 的轨迹没有公共点，求尸点横坐标的取值范围.【答案】（l）x2+（y-$2 吟但【解题思路】（D 分别以为轴，建立平面直角坐标系，由题 意 画=幽，利用两点间的距离公

39、2v v式可得答案.由题意可得点M的轨迹所在圆的圆心到直线 的 距离4 e（g，2）,点 的轨迹与y 轴的交点N到直线我 的距离4 2；,从而可得答案.【解题过程】（1）分别以ARAB为X,y轴，建立平面直角坐标系，则 （0,2）,*0,4）,设成功点M（x,y）,可 得 幽=幽2 v v即G+=6+（，化简得f+（y-乎 4V 2 v 3 94因为点M 需在矩形场地内，所以故所求轨迹方程为犬+设P（a，O）,直线FP方程为 +9=1a 44 4直线尸P与点M的轨迹没有公共点,则圆心（0，1）到直线F P的距离大于r=y依题意，动点尸需满足两个条件：点M的轨迹所在圆的圆心（0，?到直线仪 的距

40、离4 仁2）即*二-痴3|即2土2,解得 心 拽3综上所述 尸点横坐标的取值范围是,学25.（2022江苏高二期末）已知线段A 8的端点3的坐标是（2,0）,端点A在圆N:（x+2）2 +V =8上运动,4 B的中点尸的轨迹为曲线T,圆心为C（3,-l）的圆C经过点比求曲线7的方程，并判断曲线7与圆C的位置关系；过x轴上一点G任作一直线（不与x轴重合）与曲线7相交于M、S两点，连接BM,BS,恒有Z M B G =Z S B G,求G点坐标.【答案】（l）f +y 2=2,相离(1,0)【解题思路】（1）设出P，A的坐标，利用户是线段A 8的中点，确定P，A坐标之间的关系，根据点A在圆N上运动

41、，可得中点尸的轨迹，即曲线7的方程，再利用题设写出圆C的方程，利用两圆圆心距与半径和比较大小确定曲线7、与圆C的位置关系；（2）先由图像分析，过点G的直线与曲线7相交于M、S两点，要满 足 B G =N S B G,可知点G必在圆内，再讨论斜率存不存在，当直线的斜率不存在时，显然 有 B G =/S B G；当直线的斜率存在时,设出直线的方程，由勺 +勺8=0,联立方程直线和圆的方程，求出点G点坐标即可.【解题过程】(1)设点P 坐标为(x,y),A(m,n),/w+2,火 2 m =2 x2户 是线段48的中点，且 以2,0),由中点坐标公式得：,，即。，v_ l =2 y又点 4 在圆 N

42、:(x+2/+y2=8 上运动，.(2 x-2 +2)2+(2 y)2=8,化简得产+丁=2,所以曲线7的方程为：X2+/=2,又圆C的圆心为C(3,-l),设圆C方程：(x-3)2 +(y+l)2 =/,又圆C经过点8(2,0),代入圆C方程得r=2,所以圆C方程：(x-3 y+()，+l)2=2,两圆的圆心距J(3-0+(-l-0)2 =屈 /+4=2&,所以曲线7与圆C的位置关系是相离.(2)如图所示，若 点 G在圆外，直线与曲线7 相交于M、S 在 点 G的同侧，有 N M B G 片N S B G,所以点G必在当直线的斜率不存在时，由圆的对称性知必有N M B G =N S B G；

43、屈),过点G的直线分类讨论斜率存v.2 ,2 =2当直线的斜率存在时，设直线的方程/：y=x-a)(4 w 0),联立方程得：/,化简整理得y=k(x-a)(k2+1)x2-2ak2x+k2a2-2 =0,设 M (.y),S(七,%),则用+”,x,x2=，A:2+1 -公+1由题意知，Z M B G =4 S B G,则直线MB,S B 的倾斜角互补，即3.+&3=。则 工 一+%=0,人X2-2，将 =-4),%=。)代入上式可得 ；)+,5 3)=0,又%#0,西 一 Z%2-ZX Cl X Q所以七 7 +七7 =0,化简整理得2 不 (2+a)a+w)+4 a =0,X ，八，即2

44、 卷j-(2 +a)若+4 a=0,解得a=l,所 以 G点坐标为(1,0).类型五与圆有关的最值问题(7道)2 6.(2 0 2 2 天津河北高二期末)已知点P(5,0)和圆C:/+y 2-4 x 4 y +3 =0.(1)求圆C的圆心坐标和半径；设。为圆C上的点，求归。|的取值范围.【答案】圆心C的坐标为(2,2),半 径 一 右；(2)/3 5/5,5/1 3【解题思路】(1)利用配方法化圆的一般方程为标准方程，可得圆心坐标与半径；(2)由两点间的距离公式求得I P C I,得到IP C I+r 与|P C|-r,贝 l j|P Q I的取值范围可求.【解题过程】(1)解：由+9-4乂-

45、4 +3 =0,得(x-2)?+(y-2 =5 ,圆心C的坐标为(2,2),半径r =君;(2)解：vP C S.O),j PC=7(5-2)2+(0-2)2=7 1 3 ,.-.|P C|+z-=7 1 3 +7 5 ,|P C|-r=7 1 3-7 5 .PC-rPQ PC+r,”。1 的取值范围是 屈-石,如+囱 .2 7.(2 0 2 2 广东揭阳高二期末)过点P(3,l)作圆C:(x-l p +y 2=l的两条切线，切点分别为4,B；(1)求直线48的方程；若 为圆上的一点，求 面 积 的 最 大 值.【答案】2 x+y-3 =0(2帝+逐)【解题思路】(1)求出以PC为直径的圆的方

46、程，结合已知圆的方程，将两圆方程相减可求得两圆公共弦所在直线方程；(2)求出圆上的点M到直线A8的距离的最大值，求出|A B|,利用三角形面积公式求得答案.【解题过程】(1)圆C:(x -1)?+V=1的圆心坐标为C(1,O),半径为1,则 PC的中点坐标为N(2,g),1Po(3-1)2+(1-0)2 =6,以N为圆心，PC为直径的圆的方程为(x-2)2 ,由(X-l)2+y 2=l,得 x 2+y 2-2 x =0 ，由(x-2)+(y )=x2+y2 4x y +3 =0 ，-得：2x+y-3=0.二直线AB的方程为2 x+y-3 =0；圆心C(l,0)到直线2 x+y-3 =0的距离为

47、4=1 1=或V 5 5故圆上的点M到直线2 x+y-3 =0的距离的最大值为i +1，5而|明=2,1-净2 =券，故 M 4 8面积的最大值为?竿*(1 +)=(1 +右).2 8.(2 0 2 2浙江宁波高二期末)已知过点A(3,2)的圆的圆心M在直线y =3 x上，且y轴被该圆截得的弦长为4.求圆M 的标准方程；设点N(-2,3),若点尸为x轴上一动点，求|P M|+|P N|的最小值，并写出取得最小值时点尸的坐标.【答案】(l)(x-l)2+(y-3)2=5(2)3石，【解题思路】(D用待定系数法设出圆心，根据圆过点和弦长列出方程求解即可；(2)当三点共线时|/W|+|PN|有最小值

48、，求出直线M N的方程，令尸0 即可.【解题过程】(1)由题意可设圆心例S，3 a),因为y 轴被圆M 截得的弦长为4,所以九3+/=4+a2,又，=|A 4|2=(-3)2+(3a-2)2,贝!4 +2=(a-3)2+(3夕-2)2,化简得a?一2。+1 =0 ,解得=1,则圆心M(l,3),半径+a2=石，所以圆M的标准方程为(x-l)2 +(y-3)2 =5 .(2)点 火-2,3)关于x轴的对称点为M(-2,-3),则 1 P M +1 PM =|PM|+1 PN M N =J(l +2丫+(3 +3)2 =3 6，当且仅当M,P,V三点共线时等号成立，因为鼬共=2,则直线的方程为y

49、3 =2(x-l),即y =2 x+l,令y=0,得x =-，则1 一(一 幺 J，2.)29.(2022四川资阳高二期末(理)已知圆C 的圆心为(1,1),一条直径的两个端点分别在x 轴和y 轴上.求 圆 C 的方程；直线/：y =x+l与圆C相交于M,N 两点，P(异于点M,N)为 圆 C上一点，求APMN面积的最大值.【答案】（if+（y-1）2 =2；地.2【解题思路】（1）设直径两端点分别为4（。，0）,B（O,b）,由中点公式求参数a、。，进而求半径，即可得圆C 的方程；（2）利用弦心距、半径、弦长的几何关系求|网，再由圆心到直线/的距离求P 到直线/的距离的最大值，即可得A P

50、M N 面积的最大值.【解题过程】（1）设直径两端点分别为A（a,O）,B（O,b）,则唱=1,与=1，所以a=2,b=2,则圆 C 的半径r =g j（2 0）2+（0-2）2 =&,所 以 C 的方程为（XT）?+（y-l）2 =2 .（2）圆心C到直线/的距离4 =崂人多 则胸|=2,（可 一 孝=7 6,点尸到直线/的距离的最大值为4 +r=变+&=逑，2 2所以，A P M N 面积的最大值为=在.2 2 230.（2 02 2 四川凉山福二期末（理）已知圆M 过 C（L -1）,0（-1,1）两点，且圆心M 在 x+y-2=0上.（1）求圆M 的方程；（2）设尸是直线3x+4 y+