2022-2023学年人教A版高二数学上学期同步讲义第二章直线和圆的方程章末重点题型归纳(解析版).pdf

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1、第二章直线和圆的方程章末重点题型归纳善高频考点题型十圆的弦长问强题型五亘线的综合问题点题型归纳题型九国的切线问强题型八直线和圆的位置关系题型六求国的方程题型七点和图的位置关系知识梳理知识点1直线的倾斜角1.倾斜角的定义当直线/与X轴相交时，取 X轴作为基准，X轴面包与直线/向上的方向之间所成的角a 叫做直线/的倾斜角.如图所示，直线/的倾斜角是NA尸 x,直线/，的倾斜角是N5Px.2.倾斜角的范围直线的倾斜角a 的取值范围是0。3180。，并规定与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0。.注：每一条直线都有一个确定的倾斜角已知直线上一点和该直线的倾斜角，可以唯一确定该直线知识点2直线的斜率1.斜

2、率的定义一条直线的倾斜角a 的正切值叫做这条直线的斜率.常用小写字母A表示，即&=tana(aw 90).2.斜率公式经过两点Pl(Xl,J1),尸 2(*2,72)(X#X2)的 直 线 的 斜 率 公 式 为 仁 空1.当X1=X2时，直线尸1 尸 2没有斜率.*2 -X 1知识点3斜率与倾斜角的联系倾斜角C(范围)a =00 a 90a=9090 0k 不存在k 0知识点4两条直线平行和垂直1.对于两条不重合的直线/I,，2,其斜率分别为心，k2,有l 尸kz.注：(1)八 /20Al=近成立的前提条件是：两条直线的斜率都存在.与，2不重合.(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，4 与

3、4 的倾斜角都是9 0，贝匹IIL(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是：4|，2。勺=网或4,4 斜率都不存在.2.如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于一1;反之，如果它们的斜率之积等于-1,那么它们互相垂直，即20A d2=-1.注：(1)/2=心后=一1 成立的前提条件是：两条直线的斜率都存在.生邦且心邦.(2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直.(3)判定两条直线垂直的一般结论为：4 J_，2 0匕=T 或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零.3.利用直线的斜截式方程解决直线平行与垂直问题的策略已知直线/

4、i：y=*ix+bi 与直线，2：y=kix+bi,(1)若 1/2,则 幻=心，此时两直线与y 轴的交点不同，即历邦2；反 之 岛=,且 加 时，1/2.所以有/1/20Al=&2,且 5#历.(2)若，2,则一嗔2=1；反之。嗔 2=1 时,.所以有心心2=1.4.若已知含参数的两条直线平行或垂直，求参数的值时，要注意讨论斜率是否存在，若是平行关系注意 考 虑 历 这 个 条 件.5.利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略直线6：4 x+%y+G=0,直 线 Z2:A2x+B1y+C2=0,(1)若 li/l2 AiB2-A2Bl=0 且 81c282。#0(或 AxC2-A2C ).(2

5、)若/I/2AIA2+BIB2=0.6.与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法(1)由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程.(2)可利用如下待定系数法：与直线4x+5y+C=0(A,3 不同时为0)平行的直线方程可设为Ax+3+C i=()(C i#O,再由直线所过的点确定G;与直线Ax+8y+C=0(A,5 不同时为0)垂直的直线方程可设为如一3+。2=0,再由直线所过的点确定C2.知 识 点5直线的五种方程名称条件方程图形适用范围点斜式直 线/过 定 点P（xo,jo），斜 率 为Ayyo=A（xxo）/P（xo,yo）不表示垂直于X轴

6、的直线直 线/的 斜 率 为A,且 与）轴的交点 y为（0,加（直 线/与J轴的交点（0,h）斜截式y=Ax+b/的 纵 坐 标b叫 做 直 线/在y轴上的截 7 o距）k不表示垂直于x轴n的直线两点式P1（X1，yi）和尸2（必，J2）其中 K#K2,7由2y-y i x-x Jl X2-X4%o 不表示垂直于坐标轴的直线截距式 在x轴 上 截 距,在y轴上截距方 a+b=i o7 不 表 示 垂 直 于 坐;标 轴 的 直 线 及 过原点的直线一般式A,B,C为系数Ax+Bj+C=0（A2+BVO）任何位置的直线知 识 点6两直线的交点坐标1、已知两条直线的方程是/i：4 x+3 iy+G

7、=0 2：A2X+8U+C 2=0,设这两条直线的交点为尸，则点P既在直线人上，也 在 直 线A上.所 以 点P的 坐 标 既 满 足 直 线6的 方 程A ix+%y+G=O,也满足直线G=0和 直 线，2：42X+B“+C 2=0的位置关系如表所示：/2的 方 程4*+8少+C 2=0,即 点P的坐标就是方程组,的解.2、直 线k 4 x+8 iy+A2x+B2j+C2=0方程组，4 x+%y+G=0，八、的解,A2x+&y+C2=0无数组无解直 线6与6的公共点个数一个无数个零个直 线A与12的位置关系 相交 重合 平行知 识 点7两点间的距离公式1.公 式：点 P1（X1,Jl）P2（

8、X2,72）间的距离公式|P1P2|=（X2xi）2+（j2-Jl）2.原点0(0,0)与任一点P(x,y)的距离|O P|=V.2.文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根.知识点8直线系过定点问题1.平行于直线A x+B y+C=d的直线系方程为Ax+Bj+x=0(x0.2.垂直于直线A x+的+C=0 的直线系方程为Bx-Ay+A=Q.3.过两条已知直线4 x+5 iy+G=0,4*+8 少+。2=0 交点的直线系方程为Aix+Biy+Ci+l(A2 x+B2y+。2)=0(不 包 括 直 线 冲+。2=0).知识点9点到直线的距离与两条平行线间的

9、距离点尸o(M”yo)到直线/：A x+B y+C=两条平行直线/i：4 r+5 y+G=0 与，2：4x+By+C2=0(C#C2)点到直线的距离两条平行直线间的距离定义点到直线的垂线段的长度夹在两条平行直线间公垂线段的长度公 0 的距离式|Axp+Bjo+C|“y)A2+B2之间的距离IG-Czl)A2+B2知识点1 0圆的标准方程1.圆的定义：平面上到定点的距离等于定性的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.2.圆的要素：是圆心和半径,圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.如图所示.圆的标准方程：圆心为A(a,b),半径长为r 的圆的标准方程是(xa)2+(y%2=产.当。=6=

10、0 时，方 程 为 炉+产=/，表示以原点为圆心、半径为r 的圆.知识点1 1点与圆的位置关系(1)根据点到圆心的距离d 与圆的半径r 的大小判断：d r o 点在圆外；d=r o 点在圆上；dVrO 点在圆内.(2)根据点M(xn,则)的坐标与圆的方程(xa)2+(y-%)2=/的关系判断：(xoa)2+6)2 /0 点在圆外；(xoa)2+(jo3)2=7 0 点在圆上；(xoa)2+(yo5)2尸 点在圆内.知识点1 2圆的一般方程1.圆的一般方程的概念当。2+2-4+()时,二元二次方程*2+y2+6+后 了 +尸=。叫做圆的一般方程.注：将 方 程/+产+加+协+尸=0,配方可得G/

11、+夕n 2+Q/+引 2=D2+E-2-4F，当。2+E2-4 Q 0 时，方程 x2+y2+Dx+Ey+F=O 表示圆.当 L 2+E2-4F=0 时，方程 x2+y2+Z)x+j+F=0,表示一个点(_r 2)-2.圆的一般方程对应的圆心和半径圆的一般方程*2+产+。*+助+尸=0(0 2 +E2 4尸 0)表示的圆的圆心为(一今，-),半径长为T注：圆的一般方程表现出明显的代数结构形式，其方程是一种特殊的二元二次方程，圆心和半径长需要代数运算才能得出，且圆的一般方程好+炉+加+尸=0(其中O,E,尸为常数)具有以下特点：(l)x2,V 项的系数均为1；(2)没有xy项；(3)D2+E2-

12、4F ().3.常见圆的方程的设法标准方程的设法一般方程的设法圆心在原点x2+y2=r1x2+j2-r2=0过原点(x-a)2+(yb)2=a2+b2x2+y2+Dx+Ey=0圆心在X轴上(xa)2+y2=r2x2+y2+Dx+F=0圆心在y 轴上x2+(yb)2=i2x2+j2+j+F=0与*轴相切(x-a)2+(yb)2=b2x2+y2+Dx+Ey+D2=0与 y 轴相切(x-a)2+(yh)2=za2x2+y2+Dx+Ey+E2=0A=C#),4.二元二次方程4/+5 盯+Q 2+o x+E y+尸=o 表示圆，贝犷5=0,D2+F2-4AF0.5.以 4(,ji),8(x2,%)为直径

13、端点的圆的方程为(x-xi)(xX2)+(y-yi)(y及)=0.知 识 点 1 3 直 线 与 圆 的 三 种 位 置 关 系相切只有一个公共点相离没有公共点注：直线与圆的位量.关系及判断判定方法何去常，几程1用代数法代数法：位置关系相交相切相离几何法：设圆心到直线的距离d胤*磊0dr加+砂+C=0,由.xa2+y b2=r2zf0 4=0 J=产；过圆外一点P做圆c的切线，切点为“，利用勾股定理求P”；PH=yj PC2-C H2知识点1 6圆上点到直线的最大(小)距离设圆心到直线的距离为d,圆的半径为当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d+r,最小距离为d-尸;当直线与圆相切时，

14、圆上的点到直线的最大距离为2 r，最小距离为0；当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为d+广，最小距离为0；知识点1 7圆与圆的位置关系1 .种类：圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含.2 .判定方法(1)几何法：若两圆的半径分别为打，/2,两圆连心线的长为d,则两圆的位置关系的判断方法如下:d与 r i,r 2的关系 d ri+r2 d=rt+r2|八一r21V dn+力 d=|，|一力|rf0),C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0(Di+Ei-4F20),X2+J2+DIX+EIJ+FI=0,x2+j2+D2x4-Ey+F2=0,联立方程得，则方程组解的

15、个数与两圆的位置关系如下:方程组解的个数2组1组0组两圆的公共点个数2个1个0个两圆的位置关系 相交 内切或外切 外离或内含注：(1)圆和圆相离，两圆无公共点，它包括外离和内含；(2)圆和圆相交，两圆有两个公共点；(3)圆和圆相切，两圆有且只有一个公共点，它包括内切和外切.(4)圆与圆的位置关系不能简单仿照直线与圆的位置关系的判断方法符两个方程联立起来消元后用判别式判断，因为当方程组有一组解时，两圆只有一个交点，两圆可能外切，也可能内切；当方程组无解时，两圆没有交点，两圆可能外离，也可能内含.知识点1 8 圆与圆位置关系的应用设圆 Ci：x2+j2+D ix+E u+F1=0,圆 Cz：x2+

16、j2+D2x+Ey+F2=0 若两圆相交，则有一条公共弦，由一，得(D,-D2)x+(El-E2)y+F i-尸2=0.方 程 表 示 圆G与C2的公共弦所在直线的方程.(1)当两圆相交时，两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程，这一结论的前提是两圆相交，如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程.(2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心.(3)求公共弦长时，几何法比代数法简单易求.两圆公共弦长的求法两圆公共弦长，在其中一圆中，由 弦 心 距d,半 弦 长(半 径r所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解.知识点1 9 圆与圆的公切线1、公

17、切线的条数与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种.两圆外离两圆外切两圆相交两圆内切两圆内含有 2 条外公切线和2 条内公切线，共 4 条有 2 条外公切线和1条内公切线，共 3 条；只有2 条外公切线只 有 1 条外公切线无公切线知 识 点2 0圆系方程(1)以(力)为圆心的同心圆圆系方程：(x a)?+(y 0)；(2)与圆M+J +)x+y+尸=0 同心圆的圆系方程为X?+V +Dx+Ey+A,=0；(3)过直线4,八 与 圆/+产+6+4+尸=。交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+2(Ax+By+C)=0(2 e/?)(4)过两圆 G V +V

18、 +。即+g y +耳=(),圆 C2：1+/+。/+与 丁+工=0 交点的圆系方程为X2+y2+Dtx+E1y+Ft+A(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(1,此时圆系不含圆 C?：f +y +A x+&y +K u O)特别地，当 丸=1时，上述方程为一次方程.两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程.考点精析题型一直线的倾斜角与斜率1.(2022重庆长寿高二期末)直线述x+&y-l=()的倾斜角为()A.30 B.60 C.120 D.150【解析】将直线一般式方程化为斜截式方程得：y=-g x +等，所以直线的斜率为=-6，所以根据直线倾斜角与斜率的关系得直线的倾斜

19、角为120。.故选：c2.(2022江苏南通高二期末)经过点A(,b+c),+)的 直 线 的 倾 斜 角 为,【解析】根据两点间斜率公式得：3=j =-1，b-a b-a所以直线的倾斜角为：吟3乃.4故答案为：?37 r43.(2022天津天津高二期末)若直线/经过A(2,l),3(1,布)两点，则/的斜率取值范围为其倾斜角的取值范围为.【解析】因为直线/经过4(2,1),8(1,M)两点，所以/的斜率为女=匕H=1-疗4 1,2-1所以/的斜率取值范围为(F,l ,设其倾斜角为a,则t a n e V l,所以其倾斜角的取值范围为 日 口 与/)，故答案为：y,i ,0彳 丐 4.(202

20、2上海虹口高二期末)直线2 x-3y +1=0与x+5 y-1 0 =0的夹角为.2 2【解析】直线2 x 3y +l=0的 斜 率 即 倾 斜 角。满足t a n a =1,直线x +5 y 1 0 =()的斜率&=一?，即倾斜角夕满足t a n =-g,_2所以 t a n(2-。)=ta T a n a =一.=-1,加以 W 1 +t a n g t a n a 1+f 12，3所 以/一。=：万，4又两直线夹角的范围为0,所以两直线夹角为故答案为：45.(2022辽宁本溪市第二高级中学高二期末)已知点A(2,3),B(-3,-2),若直线/过点P(3,l)且与线段A 3相交，则直线/

21、的斜率k的取值范围是()A.kN 或 女 4 22C.kN2B.-2 A:-2D.*0、b 0,直线（：x+（a-4）y+l=0,l2-.2bx+y-2=0,且 已%则?+上的最小值为（）a +1 2bA.2B.4c.2D.15 5【解析】因为 a 0、b 0,直线 4：x +（a-4）y+l =O,l2:2hx+y-2=0 ,且所以力+a 4 =0,即 a +%=4,所以（。+1）+2人=5,所以（S +l）+2句=1,所以 7+：=:（。+1）+2句 七+1）a+2b 5 I a +1 2。J当且仅 当 察=/，即=。力=:时，取等号,2h a+2 4i i 4所以7+5的最小值为2，+1

22、 2 b 5故选：D10.【多选】(2022河北保定高二期末)已知两条直线4、4的方程分别为3 x+4 y+12 =0与a x +8 y-l l =0,下列结论正确的是()A.若，/2,则a =6B.若2,则两条平行直线之间的距离为g3 2C.若 ,则4=半D.若。片6,则直线4、4一定相交【解析】若2,则 =!*，,=6,A 正确;由 A 知，2：6x+8 y-l l =0,直线4的方程可化为6x+8 y+2 4 =0,故两条平行直线之间的距离为|11 +2 4|_ 7V 3 6+64 2,B 正确由/I _L 4,贝！3a+4*8=0,a?=11或 m=-9,故选：A题型五直线的综合问题2

23、1.(2022广东深圳高二期末)数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这 条 直 线 称 为 欧 拉 线.已 知 的 顶 点 42,0),8(0,4),若其欧拉线的方程为x-y +2=0,则顶点C 的坐标为()A.(-4,0)B.(-2,-2)C.(-3,1)D.1,-2)【解析】设C。,”)，由重心坐标公式得，三角形A8C的重心为(守，号)，代入欧拉线方程得：誓-誓+2=0,整理得：机-+4=0 4-0A 5的中点为(L2),kA B=-=-2f()2A 8的中垂线方程为y-2 =g(x-l),即x2y+3=0.联立x-2y+3=0 x-y+2=0 x=-

24、，解得,y=l.ABC的外心为(T,l).则（加 +1）2+5 1）2=32+/=1（）,整理得：m2+n2+2m 2n=8联立（D得：m=T,=0 或2 =0,n=4.当 z=。，=4 时 8,。重合，舍去.二 顶 点。的坐标是（-4,0）.故选：A.22.（2022山东淄博高二期末）已知：A（0,4）,fi（0,-4）,C（4,0）,（0,2）,网 0,-2）,一束光线从尸点出发射到8 c 上的。点经BC反射后，再经AC反射，落到线段4 E 上（不含端点），则尸。斜率的取值范围是（）4 0,4)C(4,0)A.-0 0,-4(0,-4)【解析】由题意可知：直线B C 的方程为y=x-4 ,

25、直线A C的方程为y=-x+4,如图:设厂（0,-2）关于直线BC的对称点为尸力），贝/解得,故 P(2 T),U -T同理可求P(2,-4)关于直线AC的对称点为M(8,2),连接M A,M E,交AC于N,而MN方程为y=2,联立 二+4得N点坐标为N(2,2),连接P A,P N,分别交BC于，,G,以 方 程为：y=-4x+4,和直线BC方程y =x-4联立，解得H点坐标为(1，-/),PN的方程为x=2,和直线BC方程y =x-4联立解得G(2,-2),连接则H,G之间即为动点。点的变动范围，1 2 -2 而即G=0,即H=T =-4，5故尸。斜率的取值范围是(-1，0),4故选B.

26、2 3.(2 0 2 2山西朔州高二期末(理)设点A(-2,0)和3(0,3),在直线/：x-y +l =0上找一点P,使|到+|身取到最小值，则这个最小值为【解析】-y+i=o的对称点为c(m,“)又仁%匕x l =-l 解 得，?=2,=1;C（2,1）m|AC|=7(2石 尸 了 =如故答案为：后24.(2022湖北省武汉市青山区教育局高二期末)已知直线方程为y+2=%(x+l).若直线的倾斜角为135,求左的值；(2)若直线分别与x 轴、V轴的负半轴交于A、8 两点，。为坐标原点，求 1 0 8 面积的最小值及此时直线的方程.【解析】由题意可得k=tanl350=tan(180-4 5

27、)=-tan45=-l.在直线AB的方程中，令 尸 0 可得x=个2-k，即点个(一2-k,0)令 x=0 可得 =2,即点 8(),%-2),由 已 知 可 得 一,解得女 o,所以，上 一 2 3 =0过定点(-3,0),当直线4：以+2)，+3 a=0与点P(l,3)和(-3,0)的连线垂直时，P0,3)到直线4的距离最大，最 大 值 为+3 +(3-0)2 =5 ,故D正确，故选：BD.题型六求圆的方程26.(2022贵州遵义四中高二期末)已知直线/：x-gy+2=0,一个圆的圆心C在 x 轴正半轴上，且该圆与直线/和y 轴均相切.(1)求该圆的方程；(2)若直线x+,即-1=0与 圆

28、 C交 于 4、8 两点，且|A8|=2 G，求，的值.【解析】(1)设圆心为(a,0),a0,则由题意得：堆3=。，VI+32解得：a=2或a=.(舍去)，故该圆的方程为(x-2 Y+y 2=4(2)圆心(2,0)到直线x+阳-1 =0的距离为d =不三，由垂径定理得：(方 三)+旧=2?,解得：机=027.(2022广东深圳高二期末)已知圆。经过点A(-1,0),B(3,0),C(1,2).(1)求圆D 的标准方程；若直线/：3 x-4 y+2 =0与圆。交于M、N两点，求线段MN的长度.【解析】(1)解：设圆。的标准方程(x-4+(y-，=，(-1-4)2 +(0-4 =/fa =l由题

29、意可得，(3-4+(0-加2=，解得=0,(-a)2+2-h)2=r r =2所以圆O 的标准方程为(X-1)2+/=4；(2)解：由(1)可知圆心。(1,0),半径r =2,所以圆心乃(1,0)到直线/：3 x-4 y +2 =()的距离 J：0 +2|=,V9 +1 6所以|M/V|=2 4 2-1 =2 石.28.(2022四川高二期末)已知圆C经过点4(3,0),5(7,4)两点，且圆心C在直线 4：x-2 y +5 =0 上.求圆C的标准方程；若过点尸(0,1)且倾斜角为:的直线4 与圆C相交于P,。两点，求四边形A 8 P Q 的面积.【解析】(1)设圆心坐标为C(2-5,a),由

30、/T A CkW q则 JW-S y+S-Oy=J(2 a-5-7)2 +(a-4)2解得。=4,故C(3,4),半径r =J(3 3 丫+(0-4)2=4,.圆C的标准方程为(x-3)2 +(y-4)2 =1 6.(2)由12过点尸(0,1)且倾斜角为看，可得12的斜率旗=t an：=1则4的方程为：x-y+l=0经过点A(3,0),8(7,4)两点的直线斜率为如=1=1,7 -3贝 U直线AB的方程为x _y _3 =0,贝!|A8 尸 Q又圆心C(3,4)在直线4 上，所以尸。为圆C 的直径则|P。=8 ,又|=J(7-3 尸+(4-0 =4历 w 8则四边形AB P。为梯形，梯形ABP

31、Q的高即为4 与 12之间的距离“J十州=2 立故 S =；x(4&+8)x 2&=8 +8 及29.(2022重庆高二期末)已知点M(2,-l),直线/:o r 3 y+3 =0,0 C:x2+y2+2 x-4 y+3 =O.若连接点M 与圆心C 的直线与直线/垂直，求实数。的值；若直线/与圆C相交于A,B 两点，且弦A B的 长 为 生 叵，求实数。的值.1 0【解析】圆 C:(x+l)2+(y 2)2=2,.C(-l,2),.吹=一 1，&=三，V/1 M C,(-1)=7,W3 圆 C半径为 夜，设圆心C到 直 线 的 距 离 为 d,又由点到直线距离公式得：d=A化简得：cr-1 0

32、 4-9 =0,解得：。=1 或。=9所以实数。的值为1 和9.30.(2022吉林吉化第一高级中学校高二期末)若曲线/+产+2%+2 =0 表示圆，则机的取值范围是()A.(2,+o o)B.2,+o o)C.(-?,一2)口(2,+8)D.(e,-2 u 2,a)【解析】2 2+加2 一 8 0,“一 2 或加2.故选：C.题型七点和圆的位置关系31.(2022山东青岛高二期末)点(陵M-1)在圆,/+丁-2)-1 2 =0 的内部，则实数a 的取值范围是()1 9 9 1A.-9 a -B.-l a C.a D.一一a95 5 5 5【解析】因为丁+/一 2、-1 2 =0,所以/+()

33、_ 1)2=1 3 ,由于点(2 a,-1)在圆内所以(2 a y+(a-2 y 1 3,所以5/-4a-9 =(5 a-9)(a +l)0若 P 在圆外，贝 情,/,4+4 5 +。解得：-5a 1，所以/+/7 2 1,所以点P(“与圆J +y 2=l外，故选：B34.(2022四川遂宁高二期末(文)过点户(1 )可以向圆/+/+2-4)，+-2 =0 引两条切线，则 k 的范围 是()A.k 2 B.0 k 7C.k 7 D.2 k r,即 5/5 J7 -k，且 1 k 0 1解得2%至 或 也 4+9直线AB的方程 为 总=詈，即x-y +l =。3+1 2+2圆心(0,0)到直线A

34、8的距离为4=12*11=变，当圆心(0,0)到直线A B的距离大于半径时，V 2 2&八&a n一 八-|m 快 0,-tn 2)2 +丁=3的 位 置 关 系 是()A.直线/过圆心 B.直线/与圆相交，但不过圆心C.直线/与圆相切 D.直线/与圆无公共点【解析】直线x-0)，=O过原点，斜率为 弓，倾斜角为3 0,依题意，直线/的倾斜角为6 0。，斜率为6,而/过原点,因此，直线/的方程为：j3x-y=0,又圆（x-2）2 +V=3的圆心为（2,（）,半 径 为 于 是 得 点（2,0）到直2x 6线 的距离为府而=6,所以直线/与圆相切.故选：C37.（2022海南琼海市嘉积第二中学高

35、二期末）若。“直线y=x+6 与圆V+y2 =相交*q:“_ 2 V b 2”,则。是“的（）A.必要而不充分条件B,充分而不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】直线y=x+8与圆一+丁=1 相交,可 得 瞿 1,解得-6b五,且 b、-五V b（塔 U “一 2 v 6 v 2,.“直线产 x+与圆/+丫 2 =1 相交，是“_ 2 b 0 力 0）平分圆C：x2+y2 2 x 4 y 2 0 1 7 =0,贝!J 7 的最大值为()a+bA.3 +2 应 B.3-2 夜 C.立 D.,【解析】.圆 C ：%2+/-2 x-4 y-2 0 1 7 =0 ,圆心 C(L 2),

36、8 6 直线办+办，-1=0(。0 6 0)平分圆。：x2+/-2 x-4 y-2 0 1 7 =0,直线方+办-1 =0 仅 0/0)过圆心 C(1,2),即 +2 人=1(0,/?0),i-+-b=1 i 1 =(z 1 i-I)、(，a+2b)、=-2-b-1-a-F3 2 vr2-+C3 ,ab a b a b a baba+b1_ (3-2 V 2)2 及 +3 -(2 夜 +3)(3 -2 6=3-2 应 当 且 仅 当 丝=：a b需 的 最大值+产=9相交于48两点，则|A 8|=.【解析】根据圆的方程：(x-l)2 +y 2=9,圆心坐标(1,0),半径r =3,.圆心到直线

37、距离d=-=2&,所以|4同=2,以-解=2 7 9 8=2 ,故答案为：2.47.(2022河北保定高二期末)已知圆C过点A(l,3)、3(2,2),且圆周被直线3x+y+7 =0平分.求圆C的标准方程；(2)已知过点(-4,5)的直线/被圆C截得的弦长为2后,求直线/的方程.【解析】(】)解：由题意得：.4(1,3),8(2,2),且直线3x +y+7 =0过 圆 心 的 中 点 坐 标 为又3三3-2=-1：.A B的垂直平分线方程为y-15 =x-13，即尤-y+l =()联立3x+yl+7=。0,解得x=-2y=-i.圆 C 的圆心坐标为(-2,-1),r=+(-1-3)2 =5则

38、圆 C 的标准方程为(x+2+(y+l)2 =2 5.(2)当斜率存在时，设 直 线 方 程 为 5 =Z(x+4),即依-y+4 A +5 =0.圆 心 到 直 线 的 距 离d-2：业+5|=毕 兽=-2 1 =2收 +1 V +l解得人=-14.直线/的方程为4 x +3y+l =0当斜率不存在时，x =T 也满足条件则直线/的方程为4 了 +3丫 +1=0 或=Y.48.(2022重庆市巫山大昌中学校高二期末)已知圆。:/+丁-4 犬+3=0.(1)求过点M(2,1)的圆的切线方程；直线/过点N 6,口且被圆c 截得的弦长为2,求直线/的方程；(3)已知圆E 的圆心在直线y=l上，与

39、y 轴相切，且与圆C 相外切，求圆E 的标准方程.【解析】圆 C:/+y2-4 x+3=0,即(x-2)2+y2=1,其圆心为C(2,0),半径为1.因 为 点(2,1)在圆上，如图，所以切线方程为尸1;由题意得，圆的直径为2,所以直线/过圆心C(2,0),1由直线的两点式方程，得A=U，2-2 2即直线/的方程为x+2=0；(3)因为圆E的圆心在直线y=l上，设圆E的圆心E (a,1),由圆E与y轴相切，得R=a(a0)又圆E与圆。相外切，所以C f =a+1,由两点距离公式得C E=J(a-2)2 +(1 _ 0尸,所以 +=(4 2)2+(1 0)2 ,解得=,所以圆心R =|,所以圆月

40、的方程为卜|j+(y-l)2=：49.(2022甘肃酒泉高二期末(理)直 线 -1 =&(-3)被圆(-2)2+(-2)2=4所截得的最短弦长等于()A.0 B.2G C.2 V 2 D.y/5【解析】圆(x-2)2 +(y-2 =4的圆心为Q 2.2),半径厂=2,又直线)=左。-3),.直线恒过定点P(3,l),当圆被直线截得的弦最短时，圆心C(2,2)与定点尸(3,1)的连线垂直于弦，此时弦心距为J(2-3+(2-1/=7 2 .所截得的最短弦长：2 J所(0尸=2弦.故选：C.50.(2022北京昌平高二期末)已知圆O:V +y 2=4,直线/过点(1,1)且与圆。交于A,B两 点,当

41、AAOB面积最大时，直线/的方程为.【解析】当直线/的斜率不存在时，直线/的方程为x =l,则由1 +丁=4,得 尸&,所以A 0,6),网1,-G)|A =2石，S“0=；x 2后x l =G当直线I的斜率存在时，设直线I的方程为-1 =k(x-1)原点。到直线/的距离为：“=匕*V 1 +A:2|A B|=2 正一2 =2 一i f&皿=l|A B|x t/=d-d2=2(4-r f2)6故直线,的方程为：y-l =-(x-l),即 y +x-2 =()故答案为：y +x 2=()题型十一圆与圆的位置关系51.(2022上海中学东校高二期末)已知圆M:x 2+y 2_ 2o x =8 截直

42、线/：x-y =O 所 得 的 弦 长 为 南.则 圆M 与圆N：/+(y-l)2=4 的位置关系是()A.内切 B.相交 C.外切 D.相离【解析】由M2+y2-2ax=8,即+y?=8 +/,故圆心半径%=屈/,所以点M 到直线/：x-y =O的距离”=盘 广 裳,故2 r；-d2=后,即24+：=宿,解得：a=l；所以M(L O),rM=3;又 N:/+(y-l)2=4,圆心N(O,1),rN=2,所以眼N|=/(1)2+12=&,且|心-叫=1&2-6x+8 y +%=0外切，贝！|实数团=.【解析】圆。1的圆心G（0,0）,半径=1,圆。2的圆心。2（3,7）,半径4=后 二 获，则

43、|。2|=5根据题意可得：|。|=4 +4，即5=1 +J 25-”?,二机=9故答案为：9.53.（2022天津静海一中高二期末）若圆C；/+（丫-4）2=1 8与圆。（-1）2+&-1）2=/?2的公共弦长为6垃,则圆。的半径为.x2+（y-4）2=1 8 ,【解析】根 据,/丁 ，得公共弦方程为：2x-6y =4-R （1）+（y-i）=F因为公共弦长为6及，所以直线过圆C：/+（y-4 p =1 8的圆心（0,4）.所以-24 =4-解得R=25.故答案为：2不54.（2022贵州黔东南高二期末（文）若圆F +y 2=i与圆（犬_。）2+6 _4）2=1 6有 3 条公切线，则正数=（

44、）A.-3 B.3 C.5 D.3 或-3【解析】由题可知两圆外切，又圆/+丁=1的圆心为（0,0）,半径为1,圆（x-4+（y-4）2=1 6的圆心为（。,4）,半径为4,yja2+42=5 a=3,又 a 0,二 a=3 .故选：B.55.【多选】（2022吉林长春吉大附中实验学校高二期末）已知圆O：f+y 2=4和 圆 加：V+y 2-2x+4），+4 =0相交于A,B两 点,下列说法正确的是（）A.圆 M 的圆心为（1,2）,半径为1 B.直线A 3 的方程为x-2 y 4 =0C.线段4 8 的 长 为 挛 D.线段AB的 长 为 述【解析】由圆 M：N+j22x+4y+4=0,得（

45、x 1）2+（J+2）2=1,A：则圆M 的圆心为（1,一2）,半径为1,故 A 正确；B：联立圆。：/+y2=4 和圆 M：x2+y22x+4j+4=0,消去二次项,可得直线4 8的方程为x-2 y-4=0,故B正确；C：圆心0到直线工一2/4=0的距离”=9=竽，圆。的半径为2,则线段 的长为2小2-（竽）2=竽，故C错误，D正确.故选：ABD题型十二与圆有关的轨迹问题56.（2022河北张家口 高二期末）在等腰直角三角形A8C中，B =90,AB=BC =2,平面上有动点M,满足=2|MC|,A M=x A B+y A C,则 x+的最大值为.【解析】以8为原点，配,而方向分别为x轴，轴

46、的正方向建立如图所示平面直角坐标系，则A（0,2）,C（2,0）设V（孙），贝!|加网=2|知4=/加2+川=2/（/-2）2 +2 +2=。故点的轨迹 为 以 为 圆 心，!为半径的圆（如图），设直线A M交8 c于。则 而=%说=日 而+心，北,Q,8,。共线得依+0=1=+=1k故当女最小时，X+）,最大过点M作BC的平行线交A 3的延长线于点P,则k=府AB 二A局Q 故 当 心 与圆在8 _43，-3处相切时，*最小为g3,故x+y的最大值为:5故答案为：57.（2022江苏南通高二期末）在平面直角坐标系X。），中，线段A 8的两端点A,3分别在x轴正半轴和.V轴正半轴上滑动，若圆C

47、：*-4/+（y-3尸=1上存在点M是线段A 8的中点,则线段A 3长 度 的 最 小 值 为（）A.4B.6C.8D.10【解析】设|A8|=r,（/0）,AB的中点为“，则=故点M的轨迹是以原点为圆心，尖 为半径的圆,问题转化为圆：/+产=宁 与圆c：（x-4+（y-3）、1有交点,-r+l 52-f-1 52所以-t-i M C 一 I/=1 0.59.（2022福建厦门高二期末）圆。:（-2+（），-2）2=4与*轴相切于点4.点5在 圆C上运动，则A8的中点M的 轨 迹 方 程 为 （当点8运动到与A重合时，规定点M与点A重合）；点N是直线x+y=0上一点，则的最小值为.【解析】依题

48、意得A（2,0）,C（2,2）,因为M为4 8中点，所以CM_LAM,所以点M的轨迹是以AC为直径的圆，又A C中点为（2,1）,|4。=2,所以点M的轨迹方程为（X-2）2+（），-1）2 =1,圆心。（2,1）,设A(2,0)关于直线x+y=0的对称点为A(z,ri),则有-0 1-=1m-2m =0n=-2,所以 4(0,-2),m +2 n 八-+-=0,解得2 2所以由对称性可知|M N|+的最小值为|-1 =,J(O-2)2+(2-l)2-1 =屈-1.V1 3-160.【多选】(2022江苏镇江高二期末)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=l和两点4-旭,1),5(肛-1)(3

49、 0),若圆C上存在点尸，使得Z A P 8 =9 0。，则”?可能的取值为()A.7B.6C.5D.4【解析】设P(x,y),则 A P =(x+m,yT),5 P =(x /w,y+l),因为Z A P 8 =9 0。，故 衣.丽=0即f+,2=疗+1,故尸的轨迹为圆。(原点为圆心，半径 为 厢 W，不含A,B两点)，因为A,B分别在第二象限和第四象限，而圆C在第一象限，又 尸在圆C：(x-3)2+(y-4)2 =l上，故圆C与圆。有公共点，所以+1 1 C O 1 +xlm2+即；n2+1 -1 5 /5-1 B.非 C.5/5+1 D.6【解析】C 2 +y2+2 x +4 y+4 =

50、0变形为(x +l)2+(y+2=l,故圆心为(一1,2),半径为1,故圆心到原点的距离 为 口）“=石，故圆上的点到坐标原点的距离最小值 为 逐-1.故选：A62.（2022安徽六安外国语高级中学有限公司高二期末）圆/+产=4上的点到直线4x+3y-12=0的距离的最大值为.【解析】由题意，圆/+丁=4的圆心坐标为（0,0）,半径为r=2,则圆心到直线4 x+3 y-12=0的距离为=上 叫=昔,V42+32 5所以圆上的点到直线的距离的最大值为d+r=/12 +2=年22.22故答案为：y63.（2022上海奉贤区致远高级中学高二期末）已知直线/：2,n x-y-8m-3 =0和 圆C：%