2021年全国甲卷高考数学（文科）试卷【含答案】.pdf

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1、2021年全国统一高考数学试卷（文科）（甲卷）一、选 择 题（共12小题，每小题5分，共60分）.1.设集合 A/=1,3,5,7,9,N=x|2x 7,则 Af AN=()A.7,9 B.5,7,9 C.3,5,7,9 D.1,3,5,7,9 2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:A.该地农户家庭年收入低于4.5 万元的农户比率估计为6%B.该地农户家庭年收入不低于10.5 万元的农户比率估计为10%C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5 万元D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5 万元至&5

2、 万元之间3.已 知(1-i)2z=3+2i,则 z=()_3 3_ 3_A.-1 *2/B.-1 +2/C.2+i4.下列函数中是增函数的为()2_A.f(x)=-x B.f(x)=(3)*C.f(x)x23_D.-2-zD.f (x)=V x5 .点（3,0）到双曲线16 -9 =1 的一条渐近线的距离为（)D.52 1 AA.5 B.5 C.56 .青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据/和小数记录法的数据-满足L =5+lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约 为()(1

3、/10 1.25 9)A.1.5B.1.2C.0.8D.0.67 .在一个正方体中，过顶点4 的三条棱的中点分别为旦F,G.该正方体截去三棱锥A-EF G 后,所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是()正视图A.B.C.D.8 .在/B C 中，已知 8=120 ,A C=419,AB=2,则 8 C=C.V 5()A.1B.V 2D.39 .记工为等比数列 斯 的前项和.若S 2=4,S4=6,则 S 6=)A.7B.8C.9D.1010.将 3 个 1和 2 个 0 随机排成一行，则 2 个 0 不相邻的概率为()A.0.3B.0.5C.0.6D.0.87 1cos a11

4、.若 a e(0,2)7 1 5A.lT,tan2a=2-sina,返B.5则 tana=(C.D.12.设/(x)5T)=(5A.-7是定义域为R 的奇函数,B._1C.二、填空题:本题共4 小题,13.若向量a,b j 茜足I a|=3,=/(-x).若/(-3)=3,则/(每小题5 分，共 20分。|a-b|=5,a*b=1,贝!|b|=返3)7151 1)且/(1+x)135D.耳14.已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为3 0 m则该圆锥的侧面积为.K15.已知函数/G)=2c o s (a)x+(p)的部分图像如图所示，则/(2)=16 .已知F i，0 为椭圆C：16+4=1 的

5、两个焦点，P,。为 C上关于坐标原点对称的两点，且|尸。|=下内|，则四边形尸入。出 的 面 积 为.三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题:共 60分。1 7 .甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了 2 0 0 件产品，产品的质量情况统计如下表:一级品二级品合计甲机床1 5 05 02 0 0乙机床1 2 08 02 0 0合计2 7 01 3 04 0 0(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级

6、品的频率分别是多少？(2)能否有9 9%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？_ _ _ _ _ _ n(a d-b c)?_ _ _ _ _ _ _附：烂=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).P(K22 4)0.0 5 00.0 1 00.0 0 1k3.8 4 16.6 3 51 0.8 2 81 8 .记 为 数 列 狐 的前”项和，已知“2=3 ,且 数 列 八%是等差数列，证明:斯 是等差数列.1 9 .已知直三棱柱Z 8 C-/1 8 1 G 中，侧 面 为 正 方 形，A B=B C=2,E,尸分别为4 c 和 C G 的中点,BFVA B.(1)求三棱锥F-

7、E 8 C 的体积；(2)已知。为棱小丛上的点，证明：BFL DE.BiD2 0 .设函数/(x)=a2x2+ax-3/n x+l,其中 a 0.(1)讨论/(x)的单调性；(2)若y=/(x)的图像与x轴没有公共点，求”的取值范围.2 1 .抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上，直线/：x=l交C于尸，。两点，且O P V O Q.已知点A/(2,0),且。与/相切.(1)求C,0 的方程；(2)设小，A2,小 是C上的三个点，直线小生，小小均与。M相切.判断直线4出与。例 的位置关系，并说明理由.(-)选考题：共 10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题

8、计分。选修4-4：坐标系与参数方程2 2 .在直角坐标系x O y中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p=2 V i o s e.(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点4的直角坐标为(1,0),朋 为C上的动点，点 尸 满 足 屈=收 及，写出尸的轨迹Ci的参数方程，并判断C与G是否有公共点.选修4-5：不等式选讲|2 3 .已知函数/(X)=|x-2|,g(x)=|2 x+3|-2x-1|.(1)画出y=/(x)和y=g (x)的图像；(2)若/(x+a)2 g (x),求a的取值范围.答案一、选 择 题(共12小题).1.设集合初=1,3,5

9、,7,9,N=x|2x7,则 M C N=()A.7,9 B.5,1,9 C.3,5,7,9D.1,3,5,7,97_解：因为 N=x|2x7=x|x 2,M=,3,5,7,9,所以 A/CIN=5,7,9.故选：B.2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间解：对于4该地农户家庭年收

10、入低于4.5万元的农户比率为(0.02+0.04)XI=0.0 6=6%,故选项4 正确；对于8,该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率为(0.04+0.02X3)X 1=0.1=10%,故选项8 正确；对 于 C,估计该地农户家庭年收入的平均值为3 X 0.0 2+4 X 0.0 4+5 X 0.1+6 X 0.1 4+7 X 0.2+8 X 0.2+9 X 0.1+1 0 X 0.1+1 1 X 0.0 4+1 2 X 0.0 2+1 3X0.0 2+1 4 X 0.0 2 =7.6 8 6.5 万元，故选项 C错误；对于D,家庭年收入介于4.5 万元至8.5 万元之间的频率为(0

11、.1+0.1 4+0.2+0.2)X l=0.6 4 0.5,故估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5 万元至8.5 万元之间，故选项。正确.故选：C.3.已 知(1 -j)2 z=3+2 i,则2=()3 3 3A.-1-2 i B.-1 +2 z C.-2+i解：因 为(1 -/)2 z=3+2 i,_ 3+2i 3+2i(3+2i)i-2+3i-,3.所以 三)3 _D.-2-i故选：B.4 .下列函数中是增函数的为()A.f(x)=-x B.f(x)=(3 )*C.f(x)=x2 D.f(x)=V x解：由一次函数性质可知/(x)=-在 区 上 是 减 函 数，不符合题意；_

12、 2由指数函数性质可知/(X)=(京)、在 R上是减函数，不符合题意；由二次函数的性质可知/(x)=/在 R上不单调，不符合题意；根据募函数性质可知/(x)上单调递增，符合题意.故选：D.5 .点(3,0)到双曲线16-9=1的一条渐近线的距离为()_ 9 1 A AA.5 B.5 C.5 D.52 2x y _解：由题意可知，双曲线的渐近线方程为1 6 9-I即 3 x4 y=0,结合对称性，不妨考虑点(3,0)到直线3 x-4 y=0 的距离,卜 9-0 =9则 点(3,0)到双曲线的一条渐近线的距离一网+16-5.故选：A,6.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通

13、常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据乙和小数记录法的数据/满足L=5+lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约 为()(1/1 0 1.2 5 9)A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6解：在 A=5+/g V 中，=4.9,所以 4.9=5+/g 匕 即/g k=-0.1,_1_ _ _ _ _ _ _解得 K=IO-=1 0。=%=匚2 5 9 M).8,所以其视力的小数记录法的数据约为0.8.故选：C.7.在一个正方体中，过顶点4的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱锥A-EF G 后,所得多面体的三视图中，正视

14、图如图所示，则相应的侧视图是（）解：由题意，作出正方体，截去三棱锥4-EFG,根据正视图,可得/-E F G 在正方体左侧面，如图，根据三视图的投影，可得相应的侧视图是D图形，故选：D.解：设角4B,C所对的边分别为a,h,c,结合余弦定理，可 得 1 9=a2+4-2 X a X 2 X c o sl 2 0 ,即。2+2“-1 5=0,解得。=3 (“=-5 舍 去)，所以8 c=3.故选：D.9 .记 S 为等比数列 斯 的前项和.若$2 =4,$4=6,则$6=()A.7 B.8 C.9 D.1 0解：为等比数列%的前项和，$2=4,$4=6,由等比数列的性质，可知&，S4-S2,S6

15、-S4成等比数列，,4,2,$6-6 成等比数列，二2 2=4(&-6),解得&=7.故选：A.1 0 .将 3个 1 和 2个 0随机排成一行，则 2个 0不相邻的概率为()A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.0.8解：将 3个 1 和 2个 0随机排成一行的方法可以是：0 0 1 1 1,0 1 0 1 1,0 1 1 0 1,O H I O,1 0 0 1 1,1 0 1 0 1,1 0 1 1 0,1 1 0 0 1,1 1 0 1 0,1 1 1 0 0,共 1 0种排法,其中2个 0不相邻的排列方法可以是：0 1 0 1 1,0 1 1 0 1,O H I O,1 0 1 0

16、1,1 0 1 1 0,1 1 0 1 0,共 6种方法，=0 6满足题意的概率为10,故选：C.兀 c o s a1 1.若 (0,2 ),t a n 2 a=2-s i n a ,则 t a n a =()返 返 返 逗A.15 B.5 C.3 D.3cos a sin2 a cos a解：由 tan2a=2-sina,得cos2a 2-sina,2sinacosa _ cos a即 l-2 sin 2 a-2-sinCI,nV a G(0,2 ),.c o s a WO,则 2 s i n a (2 -s i n a)=1 -2 s i n2a,解得 s i n a=4,则 cosa=Y

17、 l-si n?a=4,1sinCl 二 疝 二 后cos C L A/15 15故选：A.1 11 2.设/(x)是定义域为R的奇函数，且/(1+x)=/(-%).若/(-石)=京，则/(_53)=()_ 5-31B.1C.353解：由题意得/(-X)=-/G),又/(1+x)=/(-%)=-f (x),所以/(2+x)=/(x),又/(-5)=3,5_ 1 1则/(3)f(2-3)f (-3)=3.故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。1 3.若向量 a,bf茜 足|a|=3,|a-b|=5,ab=1,贝!|划=_372_,解：由题意，可 得(a-b)=a-2a-b+b

18、=25,12因为|a|=3,ab=l,所以9 2乂1+6=25,所以$=1 8,lb|=7?=3V 2.故入历.1 4.已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为3 0 m则该圆锥的侧面积为39n解：由圆锥的底面半径为6,其体积为30TT,1 9设圆锥的_高 为人，则-=3-X(T T X 60 7)Xh=3u0 H,解得所以圆锥的母线长故 3 9 n.7 T1 5.已知函数/(x)=2 c o s (u)x+(p)的部分图像如图所示，则/(2 )=国 1 3兀 兀解：由图可知，f(x)的最小正周期7=3 (1 2 -3 )=TI,2兀.所以 3=T=2,因为/(3 )=0,7 T 7 1 J T所

19、以由五点作图法可得2义?+4=或二 解得(p=-工，兀所以/(x)=2 c o s (2 x -6 ),兀 K 7 T 7 T _所以/(2 )=2 c o s (2 X 2 -6 )=-2 c o s 6 =-V3.故-M.1 6.已知尸|,尸2为椭圆c：1 6+4=1的两个焦点，P,。为C上关于坐标原点对称的两点，且|。|=|吊尸2|，则四边形P B O F,的 面 积 为8 .解：因为P,0为C上关于坐标原点对称的两点，且0|=|8&|,所以四边形尸居0尸2为矩形，设 呐 f,&|=，由椭圆的定义可得|P Q|+|P&|尸 加+=2。=8,所以 m2+2mn+n2 6 4,因为 吊|2+

20、|尸 尸2产=|尸内F=4/=4(“2-)=48,即 m2+n2=48,所以mn S,所以四边形P F 0 2的面积为尸?=8.故8.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。1 7 .甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了 2 0 0 件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品二级品合计甲机床1 5 05 02 0 0乙机床1 2 08 02 0 0合计2 7 01 3 040 0(1)甲机床、

21、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？_ _ _ _ _ _ n(a d-b c)?_ _ _ _ _ _ _附：K2-(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).解：由题意，可得甲机床、乙机床生产总数均为2 00件,P(烂发)0.05 00.0100.001k3.84 16.6 3510.82 8150=3因为甲的一级品的频数为15 0,所以甲的一级品的频率为而二：120=3因为乙的一级品的频数为12 0,所以乙的一级品的频率为而方；_ _ _ _ _ _ n(a d-b c)?_ _ _ _ _ _ _(2)根据 2

22、X 2 列联表，可 得 群=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)400(150X 80-50X 120)2=2 7 0 X 130X200X 200 f 0,2 5 6 6,6 35.所以有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.18.记 S.为数列 为 的前项和，已 知%0,“2=3”且数列 E 是等差数列，证明:斯 是等差数列.证明：设等差数列 何i 的公差为力由题意得店J =J ai+a2=7 7=2历,则 d=4 _ 后=2 向-所 以 次 Wi+(-1)所以 Sn=n2a (T)；当2 2 时，有 S-|=(-1)2.由 ，得 a=S-S-1=%-(-1)2f

23、l|(2 n-1)，经检验，当”=1时也满足.所以。“=(2 -1)i，eN+,当 2 2 时，%-1=(2 -1)a 1-(2 -3)a=2a,所以数列 四 是等差数列.19.已知直三棱柱/B C-4 181G中，侧面Z小 为 正 方 形，4B=B C=2,E,尸分别为N C和CG的中点，B F U B.(1)求三棱锥尸-E 8C的体积；(2)已知。为棱小以 上的点，证明：BFA.DE.解：(1)在直三棱柱Z 8C-小S G中，小S，又 8尸 工小历，BBC BF=B,BBi，8R u 平面 8 C GS，J_ 平面 B CCM：A B/A BX,.18，平面 B CCB，：.A BVBC,

24、又 AB=AC,故 A C=V?7 =2板，A C E=V 2=B E,而侧面4 4|8|8为正方形，.卜 吟 吟 =1,AHSAEBC 4 X/X亚X亚X 19即三棱锥F_ EBC的 体 积 最(2)证明：如图，取8 c中点G,连接E G,B G,设 BiGC BF=H,；点E是/C的中点，点G时8 c的中点，：.E G/A B,：.EG/AB/BD,:.E、G、Bi、。四点共面，由（1）可得/3_ L 平面2CGS，；.E G _ L 平面 BCCiB”:.BFLEG,CF 1 ,tanZCBF=r=D.U taNn Z1BB.G-B G 1BB1 2,且这两个角都是锐角,:/CBF=/B

25、BG,NBHB=/BGBi+/CBF=NBGBi+NB&G=90,：.BFLBG,又 E G C 5 G=G,EG,8I G u 平面 E G 8。，.8F _ L 平面 EGBD,又D E u 平面EGBQ,：.BFLDE.2 0.设函数/(x)=a2x2+ax-3/nx+l 其中 a 0.(1)讨论/(x)的单调性；(2)若y=/(x)的图像与x 轴没有公共点，求。的取值范围.3 2 a 2 x 2+a x-S(2 a x+3)(a x-1)解：(1)/(x)=2a2x+a-x=x =x ,x 0,因为a 0,3 1所以-2 a 0 a,1所以在(0,a)上，/(x)0,/（x）单调递增.

26、综上所述，/（%）在（0,7）上单调递减，在（T,+8）上/（x）单调递增.1 工 工 工（2）由（1）可知，f（x）minf（a ）=。2义（a ）2+4 X a -3in a +1 =3+3/”。，因为y=/（x）的图像与x轴没有公共点，所以 3+3。”0,1_所以a e,所以。的取值范围为（e,+8）.2 1.抛物线C的顶点为坐标原点。，焦点在x轴上，直线/：x=l交C于P,。两点，且O P Y O Q.已知点/（2,0）,且0/与/相切.（1）求C,。的方程；（2）设小，A2,力3是C上的三个点，直线小4 2,小小均与O M相切.判断直线力2 4与。的位置关系，并说明理由.解：（1）因

27、为x=l与抛物线有两个不同的交点，故可设抛物线C的方程为：y2=2px（p 0）,令 x=i,贝根据抛物线的对称性，不妨设P在x轴上方，。在X轴下方，故P（1,V 2 p,Q（1,-V 2 p）,因 为 如。故i诉x（-逐”。加4；抛物线C的方程为：y2=x,因为。M与/相切，故其半径为1,故OM：（x-2）2+y=l.（2）设 小（%i，y）,A z（%2 处）4 3（X 3,3）当小，A2,小其中某一个为坐标原点时（假设小为坐标原点时），设直线小4方程为丘-y=o,根据点（2,0）到直线距离为1可得,土 近得 k=3,联立直线小4 2与抛物线方程可得x=3,2k1+k2=1,解此时直线4

28、2 4 3与。的位置关系为相切,当小，色，“3都不是坐标原点时，即X#X 2#X 3，直线出色的方程为X-（力力）尸”艺=0,此时有,l 2+y i y2l71+(yl+y2)T-1,即yl-1y2+2yly2+3-yl=C),同理，由对称性可得，（年3沁巾”。,所以必，必是方程（年-1）”+2丫广+3一4=0的两根,依题意有，直线4 2 4 3的方程为-（丝+，3）丁+9 3=。，令M到 直 线 的 距 离 为 小 则 有/_(2+丫2丫3产i+(y2+y3)2-2了121=1此时直线小小与0 的位置关系也为相切,综上，直线力2小与OM相切.（二）选考题：共 10分。请考生在第22、23题中

29、任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程|2 2.在直角坐标系x O y中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p=2亚o s6.（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点/的直角坐标为（I,0）,M为C上的动点，点P满足屈=J丽，写出P的轨迹G的参数方程，并判断C与Ci是否有公共点.解：（1）由极坐标方程为p=2&c o s。，得p 2=2 J%c o s。，化为直角坐标方程是炉+产=2缶，即（x-&）2y=2,表示圆心为C（&,0）,半径为祀的圆.（2）设点尸的直角坐标为（X,y）,M（x i，y）,因为力（1,0）

30、,所以 A P=（x -1,y）,A M=（%1 -1,%），由 屈=底 就x-l=V 2 (x j -1)即 丫 海 ，x1=(x-l)+l解得y2 ”,返 返所以“(-r(X-1)+1,T y),代 入C的方程得*/x-D+i-v (除y)_9乙+乙 一2,化简得点尸的轨迹方程是(X-3+、历)2+产=4,表示圆心为。(3-V 2,0),半径为2的圆：X=3-A/2+2COS 8化为参数方程是1 y=2 si n 8 ,。为参数；计算|CG|=|(3-&)-2=3-2&2 -&,所以圆C与圆G内含，没有公共点.选修4-5：不等式选讲2 3.已知函数/(x)=|x-2|,g(x)=|2 x+3|-|2 x-1|.(1)画出y=f(x)和y=g (x)的图像；x-2,x)2解：(1)函数/(x)=|x -2|=(2-x,x 2,4x+2,2 2-4,x=C-g(x)=|2x+3|-2x-l|=l 2.画出y=/(x)和y=g(x)的图像；工(2)由图像可得：f (6)=4,g(2)=4,若/(x+a)2g(x),说明把函数/(x)的图像向左或向右平移同单位以后，/(x)的图像不在g(x)的下方，_1_ 里由图像观察可得：。2 2-4 4=511