2022-2023学年人教A版高二数学上学期同步讲义拓展四:立体几何的翻折问题(解析版).pdf
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1、拓展四:立体几何的翻折问题三目标导航立体几何是高中数学的重点内容,图像的翻折是立体问题中的一类典型问题,是连接平面几何与空间几何的纽带,成为立体几何中考查分析能力与创新能力的好素材,备受命题者的青睐。立体几何翻折问题是指将平面图形沿着平面图形中的某条或几条线段将平面图形翻折,使之变成空间几何体,以此为载体,考查空间中点、线、面之间的相互关系,或角度与距离关系。现将翻折问题中的几类常见题型进行剖析,以其对同学们的复习备考能有所帮助。立体几何解题的根本思想是把空间问题转化为平面问题,解决翻折问题时,首先要根据题目的要求正确画出由平面图形折成的空间图形,即由平面图形转化成空间图形。在解题过程中,往往
2、根据问题的需要再把空间图形还原成平面图形,对比平面图形和空间图形,找准翻折的起点与翻折的程度,弄清翻折过程中的变与不变的量进行求解,这是处理翻折问题的关键。蓍高频考点之二知识梳理认知规律:画好翻折前后的平面图形与立体图形,分清翻折前后图形的位置和数量关系的变与不变.一般地,位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和确定翻折前后变与不变的关系数量关系不变,而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化;对于不变的关系应在平面图形中处理,而对于变化的关系则要在立体图形中解决确定翻折后关键点所谓的关键点,是指翻折过程中运动变化的点.因为这些点的位置移动,的位置会带动与其相关的其他的点、线、面的
3、关系变化,以及其他点、线、面之间位置关系与数量关系的变化.只有分析清楚关键点的准确位置,才能以此为参照点,确定其他点、线、面的位置,进而进行有关的证明与计算考点精析考点一翻折后位置关系的判断解题的前提和必要步骤是分析清楚翻折前平面图形的结构特征,以及翻折前后图形中变与不变的量,特别要注意不变中的直角。【例 1-1】【多选】如图,为 正 方 形 ABC。的边OC上 异 于 点 的 一 个 动 点,将沿A/W翻折成/PA M ,使 得 平 面 平 面 A 8C A/,则下列说法中正确的有()A.在平面P&W内存在直线与8 c 平行B.在平面P8M 内存在直线与AC垂直C.在平面PBC内存在直线与平
4、面PAW平行D.存 在 点 使 得 直 线 PAL平面P3M【解析】对于选项A,若 在 平 面 内 存 在 直 线 与 BC平行,又因为面尸则BC平面P 8 W,而 BC与面网M7相交,故矛盾,A 错误;对于选项B,设 A C c 8 M=O,过。做 AC的垂面a,因为面a 与面P BM有公共点0,所以平面aC|平面PBA/=/,且 O e/,则 AC_L/,I u面 P B M ,故 B 正确;延长A M,8 c 交于点“连接p”,作 C K P HP”u平面 C K u 平面 P B C,C K a 平面1f t 4,所以CK平面R 4 M,故存在,C正确;对于选项D,若 P A _L 平
5、面则 以 _L 8 W又 P N I B M ,所以8 以_L 平面所以WL/VW,可知点似在以A 8 为直径的圆上又该圆与C 无交点,所以不存在,D错误.故选:BC.变 式 1:【多选】在矩形A B C。中,4 8 =2 A O,E 为边AB的中点,将AADE沿 直 线 翻 折 成 4 O E,若点 M 为线段AC的中点,则在AADE翻折过程中,下述选项正确的是()A.BM是定值B.点 M 在某个球面上运动C.存在某个位置,使。E1ACD.存在某个位置,使 9平面A E【解析】取 OC中点尸,连接M F,8 F,则 M F/A Q,且=F B D E a F B =E D,所以N M F B
6、 =D E=N A D E,且度数大小为定值,由余弦定理可得 M B =MF2+FB2-2 M F -FB -c o s Z M FB,由 于 户 以 及 N/0/有是定值,故 MB为定值,故 A 正确;由于8 为定点,为定值,所以M 是在以B为球心,MB为半径的球上,可得B 正确;因为 DE?=AQ2+AE2=2信 ,C E?=B C?+B E?=2 B E?,故 D E2+C E2=2 A E2+2 B E-=4A2=(2AE)2=C D2 DEICE,假设力EL A。,由于 CEnAC=C,CE,A C u 平面 AEC,故 DE_L平面 A|EC,则 D E 1 4 E,则 N D E
7、%=90,而/。4 后=4 也 46=90,这在A AE中是不可能的,故假设不成立,即不存在某个位置,使。E_LAC,故 C 错误;由M尸 A。与 所 D E,且 时尸0 8 尸=尸,4。0。=。,可 得 平 面 平 面 A。/ftW u平面M 8F,故平面,可得D 正确;故选:ABD变式2:已知梯形ABC。和矩形C D E F.在平面图形中,A B =A D =D E =;C D =1,CD1AE.现将矩形CQE/沿 CZ)进行如图所示的翻折,满足面A3C 垂直于面。EF.设 丽=2近,E P=/d PB ,若 AP面【解 析】易得 C D L D E,C D A.D A,又面 ABC _L
8、面 CQER 面 4 8 c o 0 面C D E F=E F,又 A Z)u 面 A B C D,则 J L 面 CDEF,又。Eu面CDE/,则A _ L E ,以。为原点建立如图所示空间直角坐标系,则D(O,O,O),B(1,1,O),A(1,O,O),E(O,O,1)C(O,2,O),又 丽=瓦+函=瓦+|比=诙+|(觉 _ 码=3诙+|觉=(0,*;),同理可 得 而 二 诙+而=诙+仁 丽=-丽+勺丽/勺,上 一 ,设面O 8N的法向量为 =(x,y,z),n-DB=y=0/、则 一 4 1 ,,令y =l,则3 =(又 而=而+而=7,4,ft DN=y +z =0 +又AP 面
9、O8N,则/万=-7+上7-j =。,解得=3.故答案为:3.考点二翻折后角度的计算翻折后首先要确定线段的长度与角度中不变的量,再计算变化的量,其次确定关键点的位置。【例 2-1】如图把正方形纸片ABC。沿对角线AC折成直二面角,E,尸分别为AO,BC的中点,0 是原正方形A B C D的中心,求折纸后NEO尸的大小.【解析】如图,以OB,OC,O D设原正方形的边长为1,则为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系O-xyz.cos COE,7)F)1_ _OE-7)F _ 8 _ 1=T=-1-7=TI O E|-|O F|2X2.ZEO F=12 0 .【例 2-2如图(1),平面四边形ABC
10、。中,CD=4,A B=A D=2,N3AZ)=60。,Z B C D=30,将三角形4 8。沿 8 0 翻折到三角形PBD的位置,如图(2),平 面 PBZ_L平面8C。,E 为尸。中点.(1)求证:PDCEi(2)求直线B E与平面P C D所成角的正弦值.图 图【解析】(1)证明:由题意4 3 0 为等边三角形,则 8。=2,在三角形 5C。中,CO=4,ZBCD=30,由余弦定理可求得:8 c=2巾.:.CD2=B D2+B C2,BCA.BD.又平面尸8 0,平面BCD,平面尸8Z)n平面BCD=B D,8 Cu平面BCD,:.BCJ_ 平面 PBD=BC1.PD.等边三角形尸8 0
11、中,E为/V)中点,W B E L P D,且 B C CB E=B,平面 BCE,:.PDA.CE.(2)以8为坐标原点,BC,3 0分别为x轴,y轴建立空间直角坐标系(图略),则8(0,0,0),C(25,0,0),0(0,2,0),P(0,1,小),(0,令,CD=(-2 3,2,0),PD=(O,1,A/3).设 m=(x,y,z)是平面”CD=0,P C D的法向量,则,mPD=0,-2 V 3 x+2 j=0,即J r 取,”=(1,小,1),U巾z=0,则 cosm,於 所以直线5 E与平面P C D所成角的正弦值为芈.变 式1:如 图(1),A 8 C D中,4 0是8 c边上
12、的高,且/A CD=45。,AB=2AD,E是8 0的中点,将A BCD沿AZ)翻折,使得平面AC。,平面A8Z),得到的图形如图(2).求直线A E与平面5 C E所成角的正弦值.【解析】(1)证明:由 图(1)知,在 图(2)中AC_L4O,AB1.AD,平面 ACO J_平面 45。,平面 4CZn平面 4BZ=A。,A5u平面 A8。,平面 4 C 0,又 CDu平面 ACD,:.AB 1.CD;由(1)可知A8_L平面AC。,又A Cu平面AC。,:.ABA.AC.以A为原点,AC,AB,4 0所在直线分别为x,,z轴建立空间直角坐标系,0),D(0,0,1),E(0,1,3),C(
13、1,0,.泰=(o,l,gj,%=(1,-2,0),而=3B C n=x-2 y=0设平面8CE的法向量为5=(x,y,z),由 _ 1n B E=-y+-z=0令 y=L 得 x=2,z=2,则=(2,1,2),设直线A E与平面B C E所成角为巴则 sin 6引 cos故直线A E与平面B C E所成角的正弦值为延.15【例 2-3】如 图(1),在直角梯形ABC。中,AB/CD,A B V B C,且 8C=CO=;A8=2,取 A 8的中点O,连结0。,并 将 尽。沿着。翻折,翻折后AC=2 6,点M,N 分别是线段ARAB的中点,如图(2).(1)求证:A C 1 O M;求平面O
14、 M N与平面O B C D 夹角的余弦值.【解析】连接OC,NQAB/CD,ABA.BC,BC=CD=-A B =2,。为 A8 中点,步,四边形OOC3为正方形,.(:=2夜,:翻折后,AC=2y/3,:.OA2+OC2=22+(2/2=AC2,:.O A O C;又 OAJ_O),OCCOD=O,OC,O)u 平面OCT),:.O A O C D,;C D u平面OC,.OACD,又CDLOD,OArOD=O,O A,O D czO A D,8人平面。4。,jO M u平面。AO,:.CDVOM ;.OA=OD,为 AO中点,:.OM LA D,又 CZ)nAO=O,8,4 短,z 轴,
15、可建立如图所示空间直角坐标系,则 0(0,0,0),M(1,0,1),N(O Jl),.南=(1,0,1),丽=(0,1,1);:z 轴 _L平面OBCD,平面0 8 8 的一个法向量w=(0,0,1);设平面OMN的法向量 =(x,y,z),则OM-n=x+z=0.,一 /八,令 x=l,解得:y=l,z=-l,/.H=(1,1,-1);ON-n=y+z=0 v 7g s G储 卜 器=H-H/.cos 即平面OMN与平面OBCD夹角的余弦值为立3变 式 1:如图,在等腰直角三角形P A。中,4 4 =9(),A =8,4 5 =3,B、C 分别是以、户口上的点,且A D/B C,M、N分别
16、为B P、C D 的中点,现将ABCP沿 8 c 折起,得到四棱锥P-A8C D,连接用N.(1)证明:MN 平面PA D;在翻折的过程中,当 必=4 时,求二面角B-P C-。的余弦值.【解析】(1)在四棱锥P MC D 中,取 AB的中点E,连接因为,N分别为B P,C。的中点,A D H B C,所以 M E P A,E N /A。,又 A4u平面P A。,平面PAO,所以ME 平面P A D,同理可得,E7 V/平面P A O,又 MECEN=E,M E,E N u平面MNE,所以平面MNE 平面P A O,因为MNuMNC 平面MVE,所以M N/平面P A O.(2)因为在等腰直角
17、三角形P A。中,44 =90 ,4 9 /8 C,所以8 C _ L以,在四棱锥尸A B C O 中,B C PB,B C r A B,因为 A O/8 C,则 A Q _ L P B,A O J_ A B,又 P 8 n A 8=8,P 8,A 8 u 平面 E 3,所以 A)_ L 平面又 叫 /8(7,则 依=5,B C =5,所以 A B P A P B),LPA A.A B,所以以点A为坐标原点,分别以钻,A。,”所在方向为x 轴,),轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A-xy z ,如图所示,M 3A(0,0,0),3(3,0,0),C(3,5,0),P(0,0,4),(0,
18、8,0),所 以 而=(3,(),-4),斤=(3,5,-4),PD=(0,8,-4),设而=(X1,%,Z|)为平面PBC的一个法向量,则m-PB=0(3x,-4z.=0in-PC=0 13X|+5y-4Z1=0令占=4,则 y=0,Z 1=2,j=(4,0,3),设 方=52,%小)为平面尸8 的一个法向量,则m-PD=0 8y2-4 z2=0m-PC=0 3x2+5y2-4z2=0令),2=1,则/=1*2=2,3=(1,1,2),设二面角5-尸C-O所成角为a,贝I Jcos a=|4xl+0 xl+2x3|10 V6-V42+02+32 X712+12+22-5 x 6-3因为二面角
19、B-PC-。的余弦值为-也.3DE变 式2:如 图1,在等边“1BC中,点O,E分别为边AB,AC上的动点且满足OE/BC,ifi =A.A A D E沿OE翻折到 MDE的 位 置 并 使 得 平 面 平 面D E C B,连接M B,MC得到图2,点N为MC的中点.(1)当 EN平面MB。时,求 2 的值;(2)试探究:随着义值的变化,二 面 角 的 大 小 是 否 改 变?如果改变,请说明理由;如果不改变,请求出二面角8-加)-的正弦值大小.【解析】取例8 的中点为P,连接。尸,因为MN=CN,MP=B P,所以 N尸BC,又 OE8 C,所以NP。瓦 即 N,E,D,尸四点共面,又 E
20、N平面 3M,ENu平面 NEZJP,平面 NEOPCI平面 MBD=DP,所以EN/P D,即 NEDP为平行四边形,所以 N P=D E,贝!jQ E=g 8 C,即(2)取 DE的中点。,连接M。,贝!MO_LOE,因为平面MDE_L平面MDEAYffi D E C B=D E,且 MO_LOE,所以 MO_L平面 OEC5,如图建立空间直角坐标系,C不妨设8 c =2,fi(l,x/3(l-/l),0),则 M(0,0,四),*0,0),所 以 砺=(2 0,-&),DB=(l-A,x/3(l-A),0),设平面即 仍 的法向量为 =(x,y,z),MD in=Ax-6九z=0则 rD
21、B/n=(l-2)x+V3(l-A)=0即 X=J?Z,X=一岛令x=也,即,=1).又 平 面 的 法 向 量)=(0,1,0),所以8 s M/-”丽m n 飞-1工5即随着2 值的变化,二面角石的大小不变.且 sin(m,n所以二面角8-河。-的正弦值为 手.考点三翻折后距离的计算处理翻折问题时,一定要将翻折前后的图形相对照进行分析,找准翻折前后中的不变量,弄清哪些要在原平面图形中进行计算,哪些要在翻折后的立体图形中进行计算,这是处理翻折问题的一般性方法。【例 3-1】已知四边形AC8O中,A C =2EAB=2 BC=2,E 为线段4B 上靠近8 的三等分点.现沿AB将四边形进行翻折,
22、使得平面ABOJL平面A 3 C,得到四棱锥并使。E L AC.DD(1)求证:DEBC;(2)若ND48=45。,求点B到平面D4C的距离.【解析】(D 证明:连接CE,;BC2+AC2=12=A B 2,二 ACLBC.DDCE.=-2-也-9 .-B-E-=-/-3 =-B-C-93 BC 3 AB:NEBC=NCBA,:.AfiEC:ABC4,A ZBEC=ZBC4=9(),A CEVAB.又.平面 A8J_平面 A B C,工 CE_L平面Z M 8,故EE_LCE,又:)E_LAC,ACCE=C,二 E_L平面 ABC,故 DE1.BC._ 2 77 _在R rZ 8E中,CE=y
23、/BC2-BE2=,DC=JDE2+CE2=141=AC,3故 SADAC872-3-设8到平面D4C的距离为d,V B-D AC=D-ABC,-1-S1 .S ARr X DE fTDAC-d=-S生 DE,:.d =芳6J3 0D AC故点B到平面DAC的距离为73.变 式1:如图,已知菱形4 8 c o的边长为3,对角线9=2,将 8 8沿着对角线8 0翻折至 3DE的位置,使得A=4,在平面4BCD上方存在一点M,且M4_L平面ABC。,MA=4Io.求证:平面B_L平面求点M 到平面ABE的距离;(3)求二面角E-AB-M的正弦值.【解析】过 E 作 EO 垂直于8 0 于 0,连接
24、A0,因为=,=3,故 E0=2&,同理 AO=2&,又 AE=4,所以 E02+40?=4 6 ,即 EO_LAO.因为48C。为菱形,所以E OLBD,又 B)cA O =O,所以E0_L面 4 8。,又 E Ou 面 EB D,所以面EBD _ 1 _ 面 4 8 0.以。为坐标原点,以 粉,0 A,灰 分别为x 轴,y 轴,z 轴的正方向,如图建立空间直角坐标系,则 0(0,0,0),M(0,272,710),A(0,272,0),8(1,0,0),(1,0,0),(0,0,272).所 以 而=卜 1,2夜,0),荏=(0,-2&,2&),M4=(0,0-V10).面 的 法 向 量
25、 为 元=(x,y,z),所以,n-AB=-x-2y/2y=0 A _ /厂 卜金-2 0+2缶=。令 10,则 丑 2 7,T又 必=(0,0,-9),则点必到面4B E 的距离为W*由 得:面 4 8 E 的一个法向量为为=0 夜且 丽=(1,2夜,0),W =(1,272,710).,、it-B A =x.+1 4 2 y,=0若面MR4的法向量为用=(4,X,z J,贝 一n,-BM=x1+272+7102,所以|cos值,用 日 喀J l=坐,故二面角M 8E-A的正弦值为 V10-V9 10变式 2:如图,在梯形 ABCQ中,A B/D C,A D =D C =2,A B =4,P
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