2022_2023学年高中数学第三章函数的概念与性质3.2函数的基本性质讲义.pdf

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1、3.2.2函数的奇偶性出州，陶 囱 时 陶 课 前 预 习 恤加州川川川加州勿加加川州川加州勿川川勿州.最新课程标准学科核心素养结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义.1 .了解函数奇偶性的概念.（数学抽象）2 .会利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性.（逻辑推理）3 .会利用奇、偶函数的图象.（直观想象）4 .能利用函数的奇偶性解决简单问题.（逻辑推理）教材要点要点1 .偶函数的概念如果对一切使尸（X）有定义的X,尸（一 王）也有定义，并且尺一%）=成立，则称尺X）为偶函数.2 .奇函数的概念如果对一切使网x）有定义的小尸（一x）也有定义，并且尺-x）=成立，则称尸（x）为奇函数.3 .奇、偶

2、函数的图象特征（1）奇函数的图象关于 成中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.（2）偶函数的图象关于 对称；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.状元随笔 奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性.基础自测1 .思考辨析（正确的画“J ”，错误的画“X ”）（1）已知/x）是定义在R上 的 函 数.若 f（l）=f（l）,则/X x）一定是偶函数.（）（2）偶函数的图象与x 轴交点的个数一定是偶数.（）（3）f（x）是定义在R上的奇函数，则 A 0）=0.（）（4）一个奇

3、函数与一个偶函数的积函数是偶函数.（）2 .下 列 函 数 为 奇 函 数 的 是()A.y=|x B.y=3 xC.y=D.y f +1 43 .若 函 数 尸 A x),2,目是偶函数，则 a 的值为()A.-2 B.2C.O D.不能确定4.下列图象表示的函数是奇函数的是_ _ _ _ _ _ _ _，是 偶 函 数 的 是.(填序号)环川川团勿川川川勿用勿勿勿勿勿勿川川川川川川田川川川川从 周 四 陶1 I课I堂I解I透I-题 型 1 函数奇偶性的判断例 1 判断下列函数的奇偶性(1)/(%)=V 1 x2+V x2 1 ；/=喑；x+l 3着(4 (x)=(l -x),x 0.方法归

4、纳判断函数奇偶性的方法(1)定义法：根据函数奇偶性的定义进行判断.步骤如下：判断函数A x)的定义域是否关于原点对称.若不对称,则函数/Xx)为非奇非偶函数，若对称，则进行下一步.验 证.F(x)=F(x)或 f(x)=F(x).下 结 论.若 H x)=-f(x),则/Xx)为奇函数：若/(x)=F(x),则fx)为偶函数；若F(-X)W f(x),且/X-x)W f(x),则 f(x)为非奇非偶函数.(2)图象法：f(x)是奇(偶)函数的等价条件是/Xx)的图象关于原点(y轴)对称.跟踪训练1 (1)(多选)下列函数中，是偶函数的是()A.y=V l+x2B.C.yx 尸 X+X2f-x2

5、+1,x0,(2)函数 f(x)=2 是()I-i x2-1,x0A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数也不是偶函数题型2函数奇偶性的图象特征例 2已 知 函 数 尸 f(x)是定义在R上的偶函数，且 当 后 0 时，/(x)=V+2x.现已知画出函数f(x)在 y 轴左侧的图象，如图所示.(1)请补出完整函数y=f(x)的图象.(2)根据图象写出函数尸f B的递增区间.(3)根据图象写出使y=f(x)0 的 x 的取值范围.方法归纳1 .巧用奇偶性作函数图象的步骤(1)确定函数的奇偶性.(2)作出函数在 0,+8)(或(一8,0 )上对应的图象.(3)根据奇(偶)函数关

6、于原点(y 轴)对称得出在(-8,0 (或 0,+8)上对应的函数图象.2 .奇偶函数图象的应用类型及处理策略(1)类型：利用奇偶函数的图象可以解决求值、比较大小及解不等式问题.(2)策略：利用函数的奇偶性作出相应函数的图象，根据图象直接观察.跟踪训练2设奇函数/(X)的定义域为-5,5 ,若当x W 0,5 时，F(x)的图象如图，则不等式f(x)0的解集是.y=f(x)题型3 函数奇偶性的应用角 度 1 利用函数的奇偶性求参数例 3 (1)已知函数f(x)=?(2而)x+3 为偶函数，则小的值是()A.1 B.2C.3 D.4 函 数 F(x)=上瞽为奇函数，则实数a=()X2+8A.-I

7、B.1C.-D.-2 2方法归纳已知函数的奇偶性求参数值的三种思路(1)若表示定义域的区间含有参数，则可利用对称性列出关于参数的方程.(2)一般化策略：对 x取定义域内的任意一个值，利用/(-X)与 H x)的关系式恒成立来确定参数的值.(3)特殊化策略：根据定义域内关于原点对称的特殊自变量值对应的函数值的关系列方程求解，不过，这种方法求出的参数值要代入解析式检验，看是否满足条件，不满足的要舍去.角度2利用函数的奇偶性求函数值例 4 (1)已知函数/(“)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且 f(x)g(/)=x+x+2,则/(l)+g(l)=()A.-2B.1C.ID.2(2)已知

8、函数/(x)=a f+3,且代一2)=1 0,则函数f(2)的值是.方法归纳利用函数的奇偶性求函数值的方法已知函数的某一个值，求对应的函数值时，常利用函数的奇偶性或部分函数的奇偶性求值.角度3 利用函数的奇偶性求函数解析式例 5 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且 x W O 时，F(*)=*(x 1),求/X x).方法归纳利用奇偶性求函数解析式的方法已知函数的奇偶性及其在某区间上的解析式,求该函数在整个定义域上的解析式的方法是：先设出未知解析式的定义区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入己知的解析式，然后利用函数的奇偶性求解即可.具体如

9、下：(1)求哪个区间上的解析式，x就设在哪个区间上；(2)将一“代入已知区间上的解析式；(3)利 用/,(x)的奇偶性把/(一X)写成一/X x)或/X x),从而解出对应区间上的f(x).角 度4奇偶性与单调性的简单应用例6 (1)若 对 于 任 意 实 数x总 有/(*)=汽”),且/(*)在 区 间(-8,1 上是增函数，则(B./(2)/(-|)A-l)D.A-i)/(-|)A 2)(2)定 义 在 2,2上 的 偶 函 数/(x)在 区 间 0,2上单调递减，若/X I而)/(而，求实 数0的取值范围.方法归纳利用单调性和奇偶性解不等式的方法(1)充分利用己知的条件，结合函数的奇偶性

10、，把己知不等式转化为flxS或f(为)f 且 f(2)=1 0,则 f(2)=_ _ _ _ _ _ _.已知偶函数F(x),且 当 才0,+8)时，都有(小一及)(照)一/(由)V0成立，令 a=F(5),b=，G),c=F(2),则 a,b,c 的 大 小 关 系 是(用“”连接).易错辨析忽视函数的定义域致误例7关于函数f(x)=7x2-4 +，4 -X?与/?(x)=V x -4 +=4 -x的奇偶性,下列说法正确的是()A.两函数均为偶函数B.两函数都既是奇函数又是偶函数C.函数/X x)是偶函数，尔x)是非奇非偶函数D.函数/1(X)既是奇函数又是偶函数，A(x)是非奇非偶函数Y4

11、2-x A2.一 Q即 丁=4,因此函数/(*)0,的定义域为-2,2 ,关于原点对称，此 时f(x)=0,满足/(X)=一f 5),f(x)=F(x),所以函数/X x)既是奇函数又是偶函数，而函数从+的定义域为 4,不关于原点对称，因此函数小x)是非奇非偶函数.故选D.答案：D易错警示易错原因纠错心得忽视了函数的定义域，直接利用函数奇偶性的定义判断，错选了 C.根据函数的解析式，判断函数的奇偶性首先应确定函数的定义域，只有在函数的定义域关于原点对称的情况下，才能根据解析式是否满足f(X)=f(x),f(-x)=f(x)判断函数的奇偶性.若函数的定义域不关于原点对称，则可以直接说明函数是非奇

12、非偶函数.课堂十分钟1.(多选)下列函数是奇函数的有()A.y=/+V xB.y=i(x0)C.y=d+l D.尸 立i2 .函 数 尸 券 的 图 象 大 致 为()ABC D3 .设奇函数f(x)在(0,+8)上为增函数，且/(1)=0,则不等式3与1)0的解集X为()A.(-1,O)U (1,+8)B.(-8,-I)U(o,1)C.(-8,-l)u(1,+8)D.(-1,0)U(0,1)X 十x,X U,是奇函数，则 =_ _ _ _ _ _ _ _.a x2+x,x 0时，fx)=%(%1),求函数/(x)的解析式.抽象函数没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数.题 型 1 抽象函数的

13、定义域(1)函数f(x)的定义域是指X的取值范围.(2)函数f(6 (x)的定义域是指x 的取值范围，而不是(x)的取值范围.(3)f(t),f(6(x),f(h(x)三个函数中的t,6(x),h(x)在对应关系f下的范围相同.例 1 已知函数f (x)的定义域为 0,1 ,求函数g(x)=f (x+m)+f (xm)(m 0)的定义域.思路分析：由 f(x)的定义域为 0,1 可知对应关系f 作用的范围为 0,1 ,而 f(x+m)+f(xm)的定义域是指当x 在什么范围内取值时，才能使x+m,xm都在 0,1 这个区间内，从而使f (x+m)+f (xm)有意义.解析：由题意得职 x +m

14、 W l,(-mx 1 -m,V m m,1 m l+m,而 m与 1 m的大小不确定，.对m与 1 -m的大小讨论.若 i n=l-m,H P m=|,则 x=m=/若 m l m,即 m 点 则 m l m,即 m ,贝 ij xG 0.综上所述，当 0 时，函数g(x)的定义域为。.题型2 抽象函数的奇偶性对于抽象函数奇偶性的判断，由于无具体的解析式,要充分利用给定的函数方程关系式,对变量进行赋值，使其变为含有f(x),f(x)的式子.再利用奇偶性的定义加以判断.其解题策略为(1)要善于对所给的关系式进行赋值.(2)变形要有目的性，要以 六一*)与 6)的关系”为目标进行化简和变形.例

15、2 函数f(x),x e R,若对任意实数a,b,都有/1(a+6)=f(a)+F(6),求证：F(x)为奇函数.证明：令 a=0,则 f(6)=f(0)+f(6),A O)=0.又令 a=-x,b=x,代入/(a+6)=f(a)+F(6),得/(-x+x)=f(x)+f(x).即 f(-x)+f(x)=0,f(.x)f(x).丹二为奇函数.题型3抽象函数的单调性判断抽象函数的单调性，通常利用单调性的定义，但要注意充分运用所给条件，判断出函数值之间的关系.常见思路：先在所证区间上任取两数x x2(x)1 时，fx 0.(1)求证：H x)是偶函数；(2)求证：f(x)在(0,+8)上是增函数；

16、(3)试比较一|)与/g)的大小.思路分析：(1)利用赋值法证明f(-x)=F(x)；(2)利用定义法证明单调性；(3)利用函数的单调性比较大小.解析：(1)证明：由题意可知函数f(x)的定义域关于原点对称.;对定义域内任意的X,彳 2,都有 F(X lX 2)=F(X 1)+F(X 2),令 为=照=1,得 F(l)=2。,A rtl)=0.令 占=兹=一 1,得五(一l)X (1)=人一1)+F(1),即 F(l)=2F(1),即 2F(1)=0,F(1)=0.令 X i=-1,x2=xf/.fx)=/(1)x=(1)+F(x)=F(x),F(x)是偶函数.(2)证明：任取小，x2e (0

17、,+8),且 XVx2,则/(入 2)=/X i )一/(汨)=汨)+底)T=喧)，GQ。，吟1,又.当 x l 时，f(x)。，二 唁)。，即 f x 2)0,:v f(xD,F(x)在(0,+8)上是增函数.(3)由(1)知 f(x)是偶函数，则有一|)=|).由(2)知/Xx)在(0,+8)上是增函数，且2 4则/0.)3.2.2函数的奇偶性新知初探课前预习要点1 .尸(x)2.一尸(x)3.原 点 y 轴 基础自测1 .答案：(1)X (2)X (3)V (4)X2 .解析：A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而 C 项中函数为奇函数.故选C.答案：C3 .解 析：因

18、为偶函数的定义域关于原点对称，所 以-2+a=0,所 以 a=2.故选B.答案：B4 .解析：(1)(3)关于y轴对称是偶函数，(2)(4)关于原点对称是奇函数.答案：(2)(4)(1)(3)题型探究课堂解透例 1 解析：(1)函数/(x)=V r 耳+的定义域为 -1,1 ,关于原点对称，此 时 f(x)=0,所以函数F(x)=7 1 3?+疹 二 I 既是奇函数又是偶函数.(2)函数f(x)的定义域是(一8,-l)u(-l,+8),不关于原点对称，是非奇非偶函数.(3)函数/.5)=与景的定义域为(一8,0)U(0,+8),关于原点对称.又因为f(一”)=上 当 二=至 二=f(X)，所以

19、函数f(x)是偶函数.|-x|X|x|(4)方法一：,函数f(x)的定义域是(-8,0)u(0,+8),关于原点对称.当 x0 时，一xV O,工 F(x)=(-x)1 (x)=-x(l +x)=f(x).当 x V O 时，一元 0,/.f(x)=X(1 X)=f(x).函数广(X)为奇函数.方法二：作出函数的图象，如图所示的实线部分：由图可知，该函数为奇函数.跟踪训练1 解析：(1)由偶函数的定义可知A C是偶函数.故选A C.(2)函数的定义域为(-8,0)U(0,+8),关于原点对称.当x 0 时，一“0,A-X)X)1 =(i%+1)=-f(x)；2 2当 x 0,/(x)=|(x)

20、2+l=|x2+l =(1)=-fx).f-x2+1,x 0.综上可知，函数/(X)=2I -x2 1,x 0是奇函数.故选A.答案：(1)A C(2)A例 2 解析：(1)由题意作出函数图象如图：(2)据图可知，单调递增区间为(-1,0),(1,+8).(3)据图可知，使/(x)0 的 x 的取值范围为(-2,0)U(0,2).跟踪训练2 解析：由奇函数的性质知，其图象关于原点对称，则 f(x)在定义域-5,5 上的图象如图，由图可知不等式rU XO的解集为 x|-2 x0 时，-K O,则 F(x)=-x(x1)=x(x+l),又函数 F(x)是定义在R上的偶函数，所以当x O时，F(x)

21、=1(x)=x(x+l).所以 f(x)=F(x+l)X 0lx(x-1),x 0例 6解析：(1”.对任意实数x 总 有 f(一力=F(x),，=x)为偶函数，.*.f(2)=f(一2).又一又在区间(一8,-1 上是增函数,一2 一|1,.(2)一|)(1).故选B.(2)函数 F(x)是偶函数，f(x)=f(I x|).:=/(|1m),=一(|%|).-2 1-m 2,-2 m|m|,.实数力的取值范围是卜1,答案：(DB(2)见解析跟踪训练3解析：(1)方法一(定义法)由已知/(*)=F(x),gp(-x+l)(-x+a)_ _(x+l)(x+a)-X X .显然 xWO 得，x (

22、a+1)x+a=x+(a+1)x+a,故 a+l=O,得 a=-1.(经检验满足题意)方法二(特 值 法)由 f(x)为奇函数得1)=/，pj(-l+l)(l+a)_ _ (l+l)(l+a)-1 -1整理得a=-l.(2)由/Xx)为偶函数知，其定义域关于原点对称，故有 a2+2a0,解得 a=|.又因为f(x)为偶函数，所以其图象关于y轴对称，即一色=0,解 得6=0.2a(3)令/=系+且 +以，则g(x)是定义在R上的奇函数.从而 g(2)=-g(2).又/(x)=g(x)8,；./(2)=g(2)8=10.g(2)=18,.g(2)=-g(2)=18.A A2)=(2)-8=-1 8

23、-8 =-26.解析：(4)，.,当 xG0,+8)时都有(X I三)f(就-(为)。成立，在 xG 0,+8)上单调递增.又/(x)为偶函数，画出符合题意的图象(不唯一)，如图.由图可知，当自变量与y轴距离越近，则函数值越小，即我卜一2|c6.答案：(1)一1 (2)|0(3)-26(4)acb 课堂十分钟1.解析：A中函数的定义域为R,Ax)=%+Vx,f-x)=(y+Vx)=-fx),则函数/Xx)是奇函数；B中函数的定义域关于原点不对称，则函数/X*)为非奇非偶函数；C中函数的定义域为R，F(0)=0+l=lW 0,则函数/V)为非奇非偶函数；D中函数的定义域为(一,0)U(0,+8)

24、,f(_ x)=l=f(x),则函数 f(x)是奇函数.故选 A D.答案：A D2.解析：函数的定义域为R.由函数的解析式可得：(一必=者=一 ，则函数f(x)为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；当x=l时，y=W=20,选 项B错误.故 选A.答案：A3.解析：由 H x)为奇函数可知，f(x)-f(-x)2f(x)0 时，f(x)0=F(-1).又Ax)在(0,+8)上为增函数,.奇函数/(x)在(-8,0)上为增函数.所以0 *1,或一l x 0.故选D.答案：D4.解析：因为/(x)为奇函数，所以/1(一 l)+F(l)=0,即(a1)+(1 +1)=0,故 a=l.答案：15.解析：当矛 0,则 F(x)=(-x)(xl)=x(x+l)又因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以 f(x)=-f(x),./(*)=-x(x+l),又.(0)=0.x(x 1),x 0,0,x=0,x(x+1),x 0.