2021年数学高考真题卷--上海春季卷（含答案解析）.pdf

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1、2021年普通高等学校春季招生考试上海卷数学本试卷满分1 5 0 分，考试时间1 2 0 分钟.一、填空题（本大题共有1 2 题，满分5 4 分，第 卜6 题每题4分，第 7 1 2 题每题5 分）1 .己知等差数列 小 的首项为3,公差为2,贝 I a io=.2 .已知 z=l-3 i,则区-i|=.3 .已知圆柱的底面半径为1,高为2,则 圆 柱 的 侧 面 积 为.4 .不等式等 0）的最小值为5 则a=.9 .在无穷等比数列 小 中,l im（G-a“）=4,则 G 的 取 值 范 围 是.H T 81 0 .某人某天运动的总时长需要大于等于6 0 分钟，现有如下表所示的五项运动可以

2、选择,则共有 种 8 9-10占 占 占，、，、1 1 12点 点30 20 40 分 30 分 30 分分 钟 分 钟 钟 钟 钟第21 1.已知椭圆/+%=1（0 匕 1）的左、右焦点分别为九6,以0（0为坐标原点）为顶点,B为焦点作抛物线交椭圆于点P,且N P Q F 2=4 5。,则 抛 物 线 的 准 线 方 程 是.1 2.已知6 0,存在实数外使得对任意d N*,c o s（6+e）W，则6的最小值是-二、选择题（本大题共有4题，满分2 0分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.1 3.下列函数中，在定义域内存在反函数的是A U）=/B.y（x）=sin xC/x）=2v D./

3、x）=l1 4.已知集合2 4 =小-1,工 区,5=3/击2 N 0 1,则下列关系中,正确的是A.AG3 B.C RAG C RBC.ACB=0 D.AUB=R1 5.已知函数y=/U）的定义域为R,下列是段）无最大值的充分条件的是Ay（x）为偶函数且图象关于点（i,i）对称为偶函数且图象关于直线x=l 对称c y（x）为奇函数且图象关于点（1 ）对称D x）为奇函数且图象关于直线x=l 对称1 6 .在 A B C 中,为 B C 的中点,E 为 的 中 点，有以下结论:环在满足条件的 4 BC,使得希请=0;曾存在满足条件的 ABC,使得屈（而+3）.下列说法正确的是A.成立，成立 B

4、.成立，不成立C.不成立,成立 D.O 5 成立，不成立三、解答题（本大题共有5 题，满分7 6 分）解答下列各题必须写出必要的步骤.1 7 .（本题满分1 4分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面A B C D为正方形,边长为4,为A8的中点，尸平面ABCD.（1）若4 P A B 为等边三角形，求四棱锥P-ABCD的体积；（2）若 CD的中点为F,P尸与平面A B C。所成角为45。,求 P C 与 AD所成角的大小.BD1 8 .（本题满分1 4分）已知A,B,C为4 A B C的三个内角，力，。分别是角人仇（：对应的三条边,4=2,8 5 C=.若 si n A=2 si n 8,求

5、b,c ,若 c o s（A-：）W，求 c.1 9 .（本题满分1 4分）（1）某团队在基地。点西侧、东侧2 0 千 米 处 分 别 设 有 两 站 点，测量距离发现一点满足|PA H PB|=2 0 千米，可知P 在以点A,8为焦点的双曲线上.以。点为坐标原点，正东方向为x 轴正半轴方向，正北方向为y 轴正半轴方向，建立平面直角坐标系，点 P 在基地。点北偏东60。处，求双曲线的标准方程和P 点的坐标.（2）该团队又在基地。点南侧、北 侧 1 5千米处分别设有C,D两站点，测量距离发现一点Q 满足|QA|-|Q8|=30 千米,|。卜|。勾=1 0 千米,求|0。|（精确到1 千米）和。点

6、的位置（精确到1 千米,1。）.2 0 .（本题满分1 6分）已知函数 fi,x）=yjx+a-a-x.若 a=l,求函数式x）的定义域.（2）若存0,且 _/（内）=4 有 2 个不同实数根，求a的取值范围.（3）是否存在实数凡使得函数次x）在定义域内具有单调性?若存在，求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.21.(本题满分18分)已知数列 为 满足。2 0,对任意 N2,小和 中 存 在 一 项 使 其 为 另 一项与恁/的等差中项.已知0=5/2=3,44=2,求3的所有可能取值；(2)已 知=44=。7=0,。2,45,。8为正数，求证：。2,。5,。8成等比数列，并求出公比夕；(3

7、)已知数列 斯 中恰有3 项为0,即产产0=0,2 ，且 0 =1,42=2,求ar+i+as+at+的最大值.1234567891 01 11 21 31 41 51 62 1V54兀(-7,2)1T60649(-4,0)U(0,4)2 3r=l-V22 I TTCDCB1.21【考查目标】本题主要考查等差数列的通项公式，考查的学科素养是理性思维.【解析】设公差为4则0 o=S+9 d=2 1.2.V 5【考查目标】本题主要考查共轨复数的概念、复数的模的计算，考查的学科素养是理性思维.【解析】：z=l-3i,.：z=l+3i,.：I-i=1+3i-i=1 +2 i,.：|z-i|=V12+2

8、2=V5.3.4 n【考查目标】本题主要考查圆柱的侧面积公式，考查的学科素养是理性思维.【解析】圆柱的侧面积S=2兀r=2 7 t x l x 2=4兀4.(-7,2)【考查目标】本题主要考查分式不等式的解法，考查的学科素养是理性思维.【解析】等 1,即 等-1 0,即 当 0,(易错警示:解分式不等式时，注意等价变形)XL XL XL解得-7令 n(n“)【解析】由题意知,露彘则蕊二瓦S2，解得5 7,又 C N,因此=6.设(6 2 4(1 +工)6=/+)+4 2/+。k+。6，令1=1,则(1 +X)6 的系数和为 Q o+1 +。2 +.+6 Z 6=26=6 4.8.9【考查目标】

9、本题主要考查基本不等式，考查的学科素养是理性思维.【解析】/)=3 +捻=3 +1+*-后2仿-1=5,当且仅当3，+1=3时等号成立,.：4=9,经检验,当且仅当3，=2时等号成立.(易错警示:注意检验等号是否能取到)9(4,0)U (0,4)【考查目标】本题主要考查等比数列的相关知识，考查的学科素养是理性思维.【解析】：当8时，数列 gs 的极限存在,.：当“T O O吐数列 裕 的极限存在,(题眼)又数列%为等比数列，设其公比为或0 q oo:=4,：故=。q=4 q (-4,0)U (0,4).1 0.23【考查目标】本题主要考查组合的应用，考查的学科素养是理性思维、数学应用.【解析】

10、若使运动总时长大于等于6 0分钟，则至少要选择两项运动，并且选择两项运动的情况中,AB,DB,EB的组合方式是不符合题意的，选择三项、四项、五项运动均满足总时长大于等于6 0分钟，因此组合方式共有禺+禺+髭+髭-3=2 3(种).(技巧点拨:复杂问题可先分类，再计算)H.x=l-V 2【考查目标】本题主要考查椭圆的定义、抛物线的准线方程，考查的学科素养是理性思维.【解析】如图，设F(c,0),F2(c,0),则抛物线的方程为V=4 c x,不妨设 恸/点P在第一；二f 得 尸(c，2 c)，连接用2,则手 尸2，尸1场,|尸2|=旧国|=2，,|尸 尸|=2岳,.：|外|+|尸 尸2|=(2+

11、2伪。=2。=2,(题眼)得0=夜-1,.：抛物线的准线方程为x=-c=l-鱼.1 2 .y 【考查目标】本题主要考查三角函数的应用，考查的学科素养是理性思维、数学探索.【解析】作出单位圆如图所示，由题意,“0+9的终边要落在图中域(其中 Z A O x=ZBOx=),.：(n+1 )0+(p-(n3+(p)=0/4 0 8=工,由6 3C O S(6+9)1：。的最小值为名50+3阴影部分区1 3 .C【考查目标】本题主要考查反函数的定义，考查的学科素养是理性思维.【解析】由题意，作平行于x轴的任意直线，函数图象满足与平行于x轴的任意直线最多只有一个交点的函数在定义域内存在反函数.只有C选项

12、中函数的图象满足题意，故选C.1 4 .D【考查目标】本题主要考查集合之间的关系，考查的学科素养是理性思维.【解析】A=(-l,+8),8=(-8,-l U 2,+8),.：AUB=R，其余选项均错误.15.C【考查目标】本题主要考查函数的奇偶性及图象的对称性，考查的学科素养是理性思维.【解析】选项A,B,D的反例如图1,2,3所示,故选项A,B,D错误;对于选项C,：式 )为奇函数且图象关于点(1,1)对称,.：/)+火 田=0次2+/+/(田=2,.；/(2+此次1)=2,.；/(2%+；0=心:)+2工壮乙又的)=0,.；穴2&)=2匕依2,当Z+8时42 k)=2 J+8,.：函数犬x

13、)无最大值,C正确.16.B【考查目标】本题主要考查向量的坐标运算、向量的数量积运算，考查的学科素养是理性思维.【解析】如图，以。为坐标原点QC所在直线为x轴建立平系.(方法总结:涉及几何图形中向量数量积的运算问题，可考虑面直角坐标系来求解)不妨设 A(2 x,2 y)(孙1,0),C(1,0),则 D(O,O),E(x,y),(=(-1 -1 ,y),若 荏”=0,则(-l-2 r)(x-l)-2 y!=0,.：-(2 r+1)(*1)=2/满足条件的x,y明显存在,.：成立;EA8的中点为七则而+己?=2而，记CF与4。的交点为G,则6为小ABC的重心，.:G为A Z)的三等分点，又E为

14、的 中 点，.:而与这不平行，故成立.故选B.1 7.【考查 目标】本题主要考查四棱锥的体积公式、异面直线所成的角，考查的学科素养是理性思维.解:(1):正方形4 8 co的边长为4,且4 P A B为等边三角形,E为A8的中点,：PE=PB sinZPBE=AB ain 60=2 b，又P E _ L平面ABCD,.：四棱锥 P-ABCD 的体积 VP.4BCD=1X42X2 V 3=.(6分)(2)解法一：/O 8C,.：N PCB即PC与AD所成的角.如图，连接 E F,：/E _ L 平面 A B C Q,E F,B C u 平面 ABCD,.：PELEF,PELBC,又 尸 产 与平

15、面A 8 C O所成角为45,B P Z P F E=45,：PE=Fxtan Z PFE=4,；.PBy/PE2+B E2=V42+22=2。又 8C_LA8,PEnAB=E,PE4Bu平面 PAB,.：8C_L平面 PAB,又 8 u 平面 PAB,/.BC-LPB,Z tan Z PCB=BC=2,.：PC与 A。所成角的大小为arctany.（14 分）解法二 如图，连 接:/后,平 面 A8C2EF4BU平面.：PELEF,PELAB,又平面A B C D为 正 方 形,分 别 为AB.CD的中点，.EF1 AB,.：A8,EPE两两垂直.以E为 坐 标 原 点,所 在 直 线 分

16、别 为 x,)，,z轴建立空间贝 ij C(2,4,0)4(20,0),0(24,0),:PF 与平面 ABCD 所成角为 45。,.：NPFE=45 ,.：PE=Fxtan ZPFE=4,.P(0,0,4),；.PC=(2,4,-4),=(0,4,0).设 PC与 4。所 成 的 角 为 刎 cos力 翘 啮=|,即P C与 4。所成角的大小为arccos!.ABCD,直角坐标系,（14 分）18.【考查目标】本题主要考查正弦定理、余弦定理、两角差的余弦公式，考查的学科素养是理性思维.解:由sinA=2sin 及正弦定理，得。二 26,:Z=2,=1,由余弦定理可得cos C=2：+；2：2

17、=同 得 c二 n2x2x1 4（6 分）（2）：cos（A-）=-ycos A+ysin A=*又 sin2A+cosM=l,.7V2_ ix.2 cos A二 取 cos A=io io：e o s c 44.：c eI T、,I/IT 71、42（10 分）若 cos则cos A A+8,显然不成立,（特别要注意结合三角形内角和舍增根）4 ca os7 VA2=.,0 力0）,贝！J a-10,c=2 0,Z/?2=C2-/62 2）.（7 分）（2）由|Q A|-|Q 8|=3 0 可得点Q在以A,B为焦点，实轴在x 轴上且实轴长为3 0 的双曲线右支上,v2 ,2设 双 曲 线 方

18、程 为 1（0 0 力I 0）,则 0 =15,C|=2 0,.祝=175,双曲线的方程为基-卷=1 ；（9分）由|。-|。例=10 可得点。在以CQ为焦点，实轴在y 轴上且实轴长为10 的双曲线上支上,2 2设 双 曲 线 方 程 为=1（。2 。也 0）,2 2则“2=5,C 2=15,.t.bl=2 0 0,双曲线的方程为舒急=1.（11 分）由怪可得。（冏，再），、25 200.:经计算器计算得,I O Q|=19（千米）,a r c ta n /Q O 产66 ,.：Q点位于基地。点北偏东66。方向，距 离。点 约 19千米.（14 分）2 0.【考查目标】本题主要考查函数的定义域、

19、函数的单调性，考查的学科素养是理性思维.【解题思路】由被开方数非负即可求得加0 的定义域;（2）结合题意进行等价变形,要注意以+色0,设办+=仑0,则原问题转化为国=*仑0）有 2 个不同实数根，分离参数进而可求得a的取值范围;（3）函数段）的本质为一个分段函数，可先从史-a 部分的函数入手,此时函数解析式中不含参数a,根据函数式x）的单调性可以先确定出一个“的大致范围，然后在此基础上研究x 0,当且仅当0%时,方程有2 个不同实数根，又存0,.的取值范围为（0,；）.（9 分）当 应-a 时+a 卜 a-x=W-x=-（V g）2+,（可先从x.a部分入手，确定出一个a的大致范围）.次月在（

20、0,6上单调递增，在+8）上单调递减，若使人x）在-a,+8）上具有单调性，则需满足/当即当任；时,函数 x）在 a+oo）上单调递减；当 x -a 时段）=J|%+a|-a-x=/x2 a-x,:危）在（8,2 上单调递减，:辽-：-心0,：当“三 时，函数於）在（-8,-上单调递减.综上，当心一时,函数兀V）在定义域R上单调递减.（16 分）2 1.【考查目标】本题主要考查数列的递推公式，等差数列、等比数列的性质，考查的学科素养是理性思维、数学探索.解:（1）由题意,2。=。+。.或2斯+尸斯+斯”（论2）,若 2。2=。3+4|,则。3=1,此时。2=3,。3=1,4=2,满足 2。4=

21、。3+。2.若 2。3=。2+。1,贝1。3=4,此时。2=3,4 3=4,。4=2,2。3如4+2且 2。4#。3+。2,不符合题意.3=1（5分）：%|=4=4 7=0,.：4 3=2 4 2,或“3音，经检验,43吟.（题眼）二痣鸯 咛，或。5=-。3=攀 舍）,二45咛.：%=/=未 或6=-5 =-子（舍），:。6=票Z o 4 o ：。8=号=煞或。8=-。6=?（舍）,2 16 8 16综上,“2,%,“8成等比数列，公比为;.4（10 分）（3）由 2如=4+|+矶 或2斯+|=4“+即（疙2）,可 知!2 1=1 或/+2 +1=为 中*）,an+lan an+lan 2由（2）可知,。产0=“.一2=2 ar.1 =ar-1 -ar-2=-ar.，（题眼）且 6tr=0=r+l=|r.i,Z r=0=r+l=|iZr-l=-1（tZr-l-67r-2）,;数列 按规律8乌9=1（或 皿 乌 色=-3）递推变换，an+lan an+ian 2.：存在i d N”,将即厂即2按变换，次,按 觎 换r-3-i次，使得 ar+1 1 也（4 2 0）=（二）G N*,/_14同理,出+1=3（3）丁2气3+|9）=$（目；片2,.：3+1）|回=2Z L N N 4 1O同理,3+l）max二士64.:即|+%1+矶的最大值为叁（18 分）