2022-2023学年上海九年级数学上学期同步精讲第1讲相似形与比例线段（解析版）.pdf

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1、第1讲放缩与相似形 相似形知识梳理 L相似多边形的性质I 相似多边形的判断题型探究一L根据相似多边形性质求长度、角度等课后作业知识梳理1、相似形的概念相似形：我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，简称相似形.2、相似多边形的性质如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例.当两个相似的多边形是全等形时，它们对应边的长度的比值为1.夕要点：(1)相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；“全等,，是“相似,，的一种特殊情况，即当“形状相同，且“大小相同，时，两个图形全等；(3)相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质.(4)相似多边形对应边的比称为相似比.

2、题型探究支：题 型-、相似形的判断ML【例1】有以下命题：(1)邻边之比为2 :3的两个平行四边形相似;(2)有一个角是4 0。的两个菱形相似；(3)两个矩形相似；(4)两个正方形相似，其中正确的是()A.1 和 2B.2 和 4C.3 和 4D.1 和3【答案】B【解析】邻边之比固定，但邻边的夹角不确定，形状不一定相同，错误；矩形每个角都是9 0 度，但长宽之比不确定，即对应边不一定成比例，错误；故选B.h【例 2】如图，有三个矩形,其中是相似形的是（A 甲与乙甲23【答案】B1.52.5B.甲与丙乙,与丙丙 D.以上都不对【解析】甲:长:宽=3：2；乙:长：宽=2.5：1.5=5：3；W：

3、长：宽=1.5：1=3：2；所以甲与丙的对应边成比例，故选择B.A.I 对B.2对C.3 对相似三角形有（）D.4对【答案】A【解析】解：第一个三角形的三边的三边之比为：1：2：近,第二个三角形的三边的三边之比为：近:V5：娓,第三个三角形的三边的三边之比为：1：2：旄,第一个四角形的三边的三边之比为：1：1：&，只有第一和第三个三角形的三边成比例,所以只有第一和第三个三角形相似,故选：A.惠 题 型二、相似形性质的应用配【例 4】将一个多边形I 放大或缩小得到多边形n,那么在多边形I 和多边形n 的对应量中，没有被放大或缩小的是（）A.多边形的边长 B.多边形的周长 c.多边形的面积 D.多

4、边形的内角【答案】D【解析】放缩运动后，多边形的边长会放大或者缩小，同时周长与面积也会发生变化，所以A、B、C 不正确，而放缩后，角不变，故选择D.网【例 5】如果两个矩形相似，已知一个矩形的两边长分别为5 cm 和 4 c m,另一边矩形的边长为6 cm,则 另 一 边 长 为.【答案】4.8cm或 7.5cm.【解析】设矩形另一边长为x c m,根据相似形的定义，对应边成比例，可知巳5=4 或5？4,解得：x=4.86 x x 6或 x=7.5.应【例 6】在比例尺为1 ：1000 000的地图上，相距3 cm 的两地，它们的实际距离为（）A.3 km B.30 km C.300 km D

5、.3 000 km【答案】B.【解析】图上距离：实际距离=比例尺.所以3cm：实际距离=1：1000000,故实际距离=3000 000cm=30km。H l【例 7】如图，四边形A B C D与四边形A EC。相似的图形，点 A 与点4、点B与点用、点C与点C、点。与点O 分别是对应顶点，已知数据如图所示，求未知边x、y 的长度和角a、。的大小.【解析】解：在四边形A8C。中，Z D=Z D=P=55,N 4=a=360-55-90-60=155,/四 边 形 四 边 形ABCD,.9 _ 12,_-y,X 8 10 x=6 y=15.，【例 8】如图，AABC 和AADE 是相彳以形，AE

6、=5cm,AC=6cm,BC=12cm,ZACB=40,ZB=ZD.(1)求/A E D 的度数；(2)求 D E的长.【答案】(1)ZAED=40；(2)DE=10cm.【解析】(1),.,ABC-AADE,ZB=ZD,ZDAE=ZBAC,A ZACB=ZAED,又ZACB=40,ZAED=40AAC BC(2):ABC ADE,.-,AE DE；AE=5cm,AC=6cm,BC=12cm,6 1 2 .=-.DE=IOcm.5 DE/举一反三1.（2020秋期末）观察下列图形中，是相似图形的一组是（）D.rii 1【答案】B【解析】A.形状不相同，不符合相似形的定义，故不符合题意;A.形状

7、相同，且大小不同，符合相似形的定义，故符合题意；B.形状不相同，不符合相似形的定义，故此项不符合题意；C.形状不相同，所以不符合相似形的定义，此项不符合题意；故选B.2.（2020全国课时练习）下列命题中，正确的命题是（）A.相似三角形是全等三角形C.全等形是相似形【答案】CB.不全等的图像不是相似形D.不相似的图形可能是全等形【解析】A.相似三角形不一定是全等三角形，故错误，A 不符合题意;B.不全等的图形可能是相似形，也可能不是相似形，故不正确，B 不符合题意;C.全等形一定是相似形，C 正确;D.不相似的图形一定不是全等形，故 D 不符合题意;故选C.3.（2021沁阳市模拟）如图，已知

8、AABC,则下列三角形中，与 相 似 的 是（）【答案】C【解析】解：,由图可知，AB=AC=6,NA=30。,：.ZC=15=ZB,A三角形各角的度数分别为75。，52.5,52.5,B、三角形各角的度数都是60。，C、三角形各角的度数分别为75。，30,75,D、三角形各角的度数分别为40。，70,70,二只有C 选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等,故选：C.4.（2020秋全国期末练习）如图，在正方形网格上有两个相似三角形AABC和AEDF,则/A B C+/A C B 的度 数 为（)A.I350B.9O0C.6O0D.45D【解析】:A B C 与A E D F 相似

9、，根据图形可以看出，ND E F=1 3 5。，/B A C=/D E F=1 3 5 ,N A B C+N A C B=1 8 0 0-NB A C=4 5.故选：D.5.（2 0 2 0 秋全国期末练习）下列说法中：（1）所有的等腰三角形都相似：（2）所有的正三角形都相似；（3）所有的正方形都相似；（4）所有的矩形都相似；（5）所有的圆都相似。其 中 说 法 正 确 的 序 号 是。【答案】（2）（3）（5）【解析】（1）错误，对应角不一定相等，例如：一个等腰三角形的顶角为3 0,另一个等腰三角形的顶角为 5 0。，不相似，故（1）不正确；（2）正确；（3）正确；（4）对应边不一定成比例，

10、故错误；（5）正确。6.（2 0 2 0 全国期末练习）利用复印机的缩放功能，将原图中边长为5厘米的一个等边三角形放大成边长为2 0 厘米的等边三角形，那么放大前后的两个三角形的周长之比是 1【答案】1:4【解析】原图的边长为5厘米，周长为1 5 厘米，放大后的边长为2 0 厘米，周长为6 0 厘米，所以周长之比为 1 5:6 0=1:4,故答案为：1:4.7.（2 0 2 0 秋阜宁县期末）在比例尺为1：5 0 0 0 0 0 的交通地图上，阜宁到盐城的长度约为11则它的实际长度约为（）A.0.5 85 km B.5.85 hn C.5 8.5 ktn D.5 85 hn【答案】c【解析】解

11、：设这两城市的实际距离是x厘米，由题意，得1：5 0 0 0 0 0=1 1.7：x,解得：x=5 95 0 0 0 0,5 85 O O O O a =5 8.5 h.故选：c.8.AABC的三条边长分别为0、2、屈,的两边长分别为1和 石，且AABC与AABC，相似，那么AABC，的第三边长为【答案】V2【解析】ABC，己知两边之比为1：后,在4ABC中找出两边 应、而，它们长度之比也为1 ：回设AA，B，C 第三边为，所以2：x=&：1，则 犬=&.9.（2019秋杨浦区期末）定义：我们知道，四边形的一条对角线吧这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫

12、做这个四边形的相似对角线.在四边形ABCD中，对角线BD是它的相似对角线，ZABC=70,BD平分NABC,那么NADC=度.【答案】145【解析】如图所示，VZABC=70,BD平分NABC,；./ABD=NDBC,又 对角线BD是它的相似对角线，.ABD与ADBC相似，,ZA=ZBDC,ZADB=ZC,.ZA+ZC=ZADC,ZA+ZC+ZADC=360o-70=290,二/ADC=145。，故答案为：145.10.从一个矩形中剪去一个正方形，如图所示，若剩下的矩形与原矩形相似，求原矩形的长边与宽边比.【答案】（1+6）：2【解析】设原矩形的长为X，宽为y,则剩下矩形的长为y,宽为x.yy

13、Xy-yXV V X X I由题意知，一二 一，即2 =一1,令。=一，则一二。一1,所以/一 1=0,y x-y X y y。所以 2,所以原矩形的长与宽之比为y 2Qy课后练习1.（2020徐汇区一模）下列命题中，假命题是（）A.凡有内角为30。的直角三角形都相似；B.凡有内角为45的等腰三角形都相似；C.凡有内角为60的直角三角形都相似；D.凡有内角为90。的等腰三角形都相似.【答案】B【解析】A.直角三角形三个内角分别为30。、60。、9 0 ,所以对应角相等，且对应边成比例，所以相似，故A 是真命题；B.如果一个等腰三角形顶角为45。，另一个等腰三角形底角为45。，不相似，故 B 为

14、假命题；C.由题意，直角三角形三个内角分别为30。、60。、9 0 ,所以对应角相等，且对应边成比例，所以相似，故C 是真命题；D.内角我90。的等腰三角形即为等腰直角三角形，对应角相等，且对应边成比例，故 D 为真命题.故选B.2.（2020秋麦积区期末）下列说法错误的是（）A.等边三角形都相似 B.矩形都相似C.等腰直角三角形都相似 D.正方形都相似【答案】B【解析】解：因为所有等边三角形，正方形，等腰直角三角形都相似，故选：B.3.（2020秋奉贤区期末）下列两个图形一定相似的是（）A.两个菱形 B.两个正方形 C.两个矩形 D.两个梯形【答案】B【解析】解：A、两个菱形，对应边成比例，

15、对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意；8、两个正方形，对应角相等，对应边一定成比例，一定相似，故符合题意；C、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故不符合题意；。、两个梯形同一底上的角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故不符合题意；故 选:B.4.（2 0 2 0 秋娄星区期末）图形中，每个小网格均为正方形网格，带阴影部分的三角形中与如图 A iB Ci相似 的 是（）【答案】B【解析】解：从图中看出，A A iB i。中有一个角是1 35。，而观察选项中，有 1 35。角的三角形只有&且满足两边成比例夹角相等，故选：B.5.（2 0 2 0

16、 秋北暗区校级月考）选项图形与如图所示图形相似的是（）【答案】D【解析】解：因为相似图形的形状相同，所以A、B、C 中形状不同，故选：D.6.（2 0 2 0 秋拱墅区期末）在 1 0 倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比，三角形的周长（）A.没有发生变化 B.放大了 1 0 倍C.放大了 30 倍 D.放大了 1 0 0 倍【答案】B【解析】解：在 1 0 倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比，则边长扩大1 0 倍，故三角形的周长放大了 1 0 倍.故选：B.7.（2 0 1 9秋徐汇区期末）四 边 形 和 四 边 形 A B C。是相似图形，点 A、B、C、。分别与A B C、对应，已

17、知BC=3,CD=2A,B C=2,那么CZ 的长是.【答案】1.6【解析】解：四边形A B C D s 四边形4 8。，Z.C D：C D =B C：BC,：B C=3,CZ）=2.4,BC=2,：.CD=.6,故答案为：1.6.8.（2 0 1 8秋嘉定区期中）已知两个三角形是相似形，其中一个三角形的两个角分别为2 5。、5 5,则另一个三角形的 最 大 内 角 的 度 数 为.【答案】1 00【解析】解：一个三角形的两个角分别为2 5。、5 5 ,第三个角，即最大角为1 8 0。-（2 5。+5 5。）=1 00。，.两个三角形相似，另一个三角形的最大内角度数为1 00,故答案为：1 0

18、0。.9.（2 02 0秋松江区期末）在一张地图上量得上海与南京两地的距离为3.2 厘米，又已知上海与南京、北京两地的实际距离分别约为3 00千米和1 08 0千米，那么在这张地图上，上海与北京两地的距离为多少厘米？【答案】1 1.5 2 厘米【解析】解:设在这张地图上，上海与北京两地的距离为x 厘米.根据题意得到:一 义 上 一=-.3 0000000 1 08 000000解得 x=1 1.5 2,答：在这张地图上，上海与北京两地的距离为1 1.5 2 厘米.1 0.已知四边形A B C D 和四边形A5C。是相似的图形，并且点4与点A、点 B与点8、点 C与点C、点。与点 分别是对应顶点

19、，已知 B C=4,C Z）=3.6,AB=33,BC=3,N B=7 5。，ZC=1 05 ,Z D=9 5,求 4 8,C T T 的 长 和 的 度 数.【答案】A 8=4.4.CD=2.1,/A =/A =8 5 .【解析】解：在四边形 A 8 c。中，ZA=360-7 5 -1 05 -9 5=8 5,:四 边 形 A B C Z J s四边形ABCD,：.AB：AB=CD：CD=BCt B C=4：3,Z A,=Z A=8 5,：AB=3.3,8=3.6,.8=4.4.CD=2.1,1 1.（2 01 9 秋大观区校级期中）某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下

20、面两个观点：观点一：将外面大三角形按图1的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为1,则新三角形与原三角形相似.观点二：将邻边为6和 1 0的矩形按图2的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1,则新矩形与原矩形相似.图 图 图（3）请回答下列问题：（1）你认为上述两个观点是否正确？请说明理由.（2）如图3,已知A B C,A C=6,B C=8,A B=1 0,将A A B C 按图3的方式向外扩张，得到 O E F,它们对应的边间距都为1,D E=5,求A D E F 的面积.【答案】（1）观点一正确；观点二不正确；（2）A D E F 的面积为：5 4.【解析】解：（1

21、）观点一正确；观点二不正确.理由：如 图（1）连接并延长。A,交尸C的延长线丁点。，.4 8 C和A O E尸对应的边的距离都为1,：.AB/DE,AC/DF,：.Z F D O=Z C A O,Z O D E=Z O A B,：.Z F D O+Z O D E=Z C A O+Z O A B,即 N F Q E=N C A B,同理N E F=N A 8 C,/XABCs/DEF,观点一正确；如 图(2)由题意可知，原矩形的邻边为6和1 0,图（2）则新矩形邻边为4和8,.6 _ 3 10_5-1-，4 2 8 4.6,10新矩形于原矩形不相似，.,.观点二不正确；（2）如 图（3）,延长D4、E 8交于点O,V A到D E、D F的距离都为1,：.D A是N F D E的角平分线，同理，E 8是/D E尸的角平分线,.点。是A A B C的内心，：4 C=6,8 c=8,A B=W,.A B C是直角三角形，设AABC的内切圆的半径为r,则 6-什8-r=10,解 得r=2,过 点。作O”_LOE于点”，交4 8于G,：AB/DE,：.OGLAB,*OG=r=2,A B =0G.2*DE O H 享同理=B C =A B _ 2DF-E F-DE-y，/.)/7=9,EF=12,.QEF 的面积为：AX9X12=54.2