2022届高三数学一轮复习—解三角形二—平面几何中的问题-近8年高考真题分类汇编—【含答案】.pdf

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1、专题15一解三角形（2）一平面几何中的问题说明：1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何有关的实际问题高频考点：1、边角的求解；2、判断三角形的形状；3、求与面积、范围有关的问题；4、解决平面几何图形问题；5、解决实际问题。高考中，利用正弦、余弦定理解三角形问题是必考的，题型较多，有基础题，比如直接利用定理解三角形，也有难题，比如求范围的问题，出题比较灵活，一些同学总是掌握的不是很好，下面就近几年高考题，给大家分类整理各种题型，希望对大家有所帮助。1、典例分析题型二：解决平面几何中的问题1.（新课标HI）在 A

2、 42c中，B=,8 c 边上的高等于A,也104氏D.-103C.一 巫10则cos 4 等于（）AH分析：作出图形，令 N D AC 3 依题意，可求得cose=2A Ca3.g o）吟了5sine=管，利用两角和的余弦即可求得答案.解答：解：设A J8C 中角4、B、C、对应的边分别为a、b、c,AD 工B C 于D ,令4 D A C =e,4i一u,3 3BD=A D =-a,C D =-a334 D在 RtAADC 中，cos 0 =-A Ca3,故sin”拽，*+(g)2 55二.cos A =+e)=c M c s e _ s i in e=且更受x型 二 一 画4 4 2 5

3、 2 5 10故选：c.点评：本题考查解三角形中，作出图形，令 4 D A C =e,利用两角和的余弦求cosZ是关键,也是亮点，属于中档题.2.（新课标HI）在 A 48c中,8=?,8 c 边 上 的 高 等 于 贝 Usin/=（)。噜A-T oB.x/ioc-T分析：由已知，结合勾股定理和余弦定理，求出A C,再由三角形面积公式，可得sin力.解答：解：.在A48C中，B=-,8C 边上的高等于4 3由余弦定理得：A C =LB?+B C2-2 A B BC cosB=.1-B C2+B C2-B C2=BC,9 3 3故-BC-BC=-A B A C sin A =5 C-BC-si

4、n A ,2 3 2 2 3 33V10.sin 4 一 ,10故选：D.点评：本题考查的知识点是三角形中的几何计算，熟练掌握正弦定理和余弦定理，是解答的关键.3.（浙江）我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）.若直角三角形直角边的长分别为3,4,记大正方形的面积为，小正方形的面积为S，则已 =25分析：利用勾股定理求出直角三角形斜边长，即大正方形的边长，由星=E-s 阴 影，求出S2,再求出色.邑解答：解：.直角三角形直角边的长分别为3,4,.直角三角形斜边的长为,32+42=5,即大正方形的边长为5,5=

5、52=25,则小正方形的面积S?=-S阴 影=25-4 x；x3x 4=1 ,当=25.故 25.点评：本题考查了三角形中的几何计算和勾股定理，考查运算能力，属于基础题.4.（浙江）已知A B=A C =4,8 c =2,点。为N 8延长线上一点，BD=2,连结 C Q,则 ASCC 的 面 积 是,cos Z B D C =.分析：如图，取 BC得中点E,根据勾股定理求出4 E,再求出九席，再根据5.比=；5刖叱即可求出，根据等腰三角形的性质和二倍角公式即可求出解答：解：如图，取 BC得中点E,：A B=A C =4,BC=2,:.BE=-B C =,A E V B C,2A E=-B E2

6、=屈,S.,K C=-S C-J =-x 2x715=V15,ZJ/IDC 2 2;BD=2,.c s 一 巫_ 2 M BC 2，,:BC=BD=2,ZBDC=ZBCD,z./ABE=2ZBDC在 RtAABE 中，BE 1/cos/.ABE=,AB 4)1cos Z.ABE=2 cos NBDC-1 =一,cosZ5Z)C=,4故”叵2 4点评：本题考查了解三角形的有关知识，关键是转化，属于基础题5.（重庆）在 A J8C 中，8=120。，AB=4 1,/的角平分线4。=后，则/C =_后分析：利用已知条件求出力,C,然后利用正弦定理求出Z C 即可.解答：解：由题意以及正弦定理可知：=

7、,即 =与，sin Z.ADB sin 8 sin/.ADB V3TZADB=45,-=180o-120o-45o,可得4=30。，则C=30。，三角形N8C是等腰三角形,2IC=2V2sin60o=V6.故后.点评：本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力.6.（新课标I）在平面四边形Z8C。中，=ZB=ZC=75.BC=2,则 4 8 的取值范围是_(屈 y/2 f_V 6 +V 2)_ _.分析：如图所示，延长比I,CD交于点E,A D =-x,AE=x,D E=屈+垃x,2 2 4CD=m,求出+叵x+?=屈+叵,即 可 求 出 的取值范围.4解答：解：方法一：如

8、图所示，延长BA,CD交于点E,则在 中，ADAE=Q5,ZADE=4 5 ,N E =3 0 ,5 1&7 6 +7 2二.设力。=x,AE=x j DE=-工,CD=m,2 2 4/BC=2,/屈+2 、.1 u o 1(x +/n)s i n l 5=1,y/6+/2 尻-x+m=，6 +J 2 ,40 x l (舍)；67cos Z-A BC=；127综上所述，cos Z.ABC=12法二：点。在边。上且=20。,一 1 一 2 一二.BD=-BA+-B C ,3 3BD=-BA BD+-B C BD,33而 由(1)知BD=b,j2/.b2=-bc-cos/.ABD+ab cos/.

9、CBD,33即 3b=c cos Z.ABD+la-cos Z.CBD,+,2_”2a b2-b2由余弦定理知：3h=c-+2a-2bc 2ab/.1 b2=3c2+6a2,b1-ac3c2-1 ac+6a2=0,r T 2z.c=3a 或 c=a,3在&48C 中，由余弦定理知，cosNABC=+J/二=+c 一 ,2ac 2ac7当 c=3a 时，cosZ.ABC=1 （舍）；62 7当 c=a 时，cos Z.ABC=；3 127综上所述，cos Z.ABC=.12点评：本题考查正弦定理及余弦定理的内容，是一道好题.8.（江苏）在 ZUBC中，角4、B、C 的对边分别为“、b、c.已知a

10、=3,c=&,3=45.(1)求sinC 的值;4（2）在边BC上取一点。，使得cos乙4OC=-一，求 tan N D 4c的值.5分析：（1）由题意及余弦定理求出b 边，再由正弦定理求出sinC 的值:4（2）三角形的内角和为180。，cosZADC=-可得乙4OC为钝角，可得ND4 c 与5NADC+ZC 互为补角，所以 sin ADAC=sin(N/DC+ZC)展开可得 sin ADAC 及 cos ADAC,进而求出tanNDZC的值.解答：解：（1）因为。=3,c=6,8=45。.，由余弦定理可得:b=Ja2+c2-2accosB=9+2-2 x 3 x 5/2 x=V5,由 正

11、弦 定 理 可 得 六 二 焉 所 以 s心卜用一*I邛所以sinC=5（2）因为COS/4 O C =-3,所以si n=J1-cos?/A D C=）,5 5在三角形4）C中，易知。为锐角，由（1）可得cosC=Vl二 荷。=工5所以在三角形/1DC中,2/y2,A D =?,则 8。的 长 为.4.（广东）（几何证明选讲选做题）如图，在矩形X8CO中，A B=6 ,8 c =3,BE L AC ,垂足为E,则 D=5.（新课标H I）A 4 8 C 的内角Z,B,C的对边分别为a,b,c,己知s i n /+x/i c o s A =0 ,a=2 /7 ,b=2 .(1 )求c ；(2)

12、设。为 8c边上一点，且 NOL4C,求 A/B。的面积.6 .（新课标I I）z M 8 c 中，。是 8 c上的点，/O平分N 8 N C,A 4 8 Z）面积是A 4 O C 面积的 2倍.求襄5(2)若 4)=1,D C =,求 5。和/C 的长.27 .（新课标H）A 4 8 c 中，。是 8c上的点，AD 平分NBA C,BD =2 DC.求整(I I )若 A BA C=6 0 ,求 N 8 .8 .(安徽)在 A 4 8 c 中，ZA =,A B=6,A C =3 五,点。在 5 c边上，A D =B D ,4求 49的长.真题试卷集训答案1 .解：在 中：AM2=BA2+B

13、M2-2 BA -B M c o s 6 0 0 ,(2 /3)2=22+S A/2-2 x 2 S M-1 ,:.BM2-2 B M-S =0 ,解得：8/W=4 或-2 (舍去).,点 Af 是 5 c 中点，M C =4,B C =8,在 A4 8C 中：C2=22+82-2X2X8COS60=52,:.A C=2 y/n；在 根 MC 中：c s.C =(2+%行二叽迺.2X2V3X2V13 13故2限132,解：在&4 8C 中，。为 8c 的中点，/8=8,AC=6,AD=5,_ _ 1 -._ _可得 Z Q =5(/8+4 C),平方可得 AD2=；(宿 +AC2+2AB-AC

14、),即为25 x4 =6 4 +3 6 +2x8x6 c o s N 8/C,可得c o s/84 c =0 ,可得A 4 8 c 为直角三角形，且 N 8/C =90。，贝 l j BC=JAB2+AC2=J 6 4 +3 6 =10 ,故 10.3 .解：-.-AD1AC,ZDAC=90,ABAC=NBAD+ZDAC=NBAD+90 ,s i n ABAC=sin(ZBAD+90 )=c o s ABAD=芋，在 A/4 8O 中，AB=3 a ,AD=?,根据余弦定理得：BD2=AB2+AD2-2ABAD-cosABAD=18+9-24 =3 ,则 BD=8.故百4 .解：矩形/8CQ,

15、.N Z8C=90。，.在 Rt AAB C中，AB=y/3,BC=3,根据勾股定理得：AC=26,AB=-A C ,即 N ZCB =3 0 ,EC=,2 AC 2ZECD=6 0 ,在 中，CD=AB=0 EC=,277 o 71根据余弦定理得：ED2=EC2+CD2-2EC,CD c o s NECD=+3-=,4 2 4则 E0 =叵.2故 回25 .解：(1)v s i n J +A/3 CO S A=0,tan A=-V3,0 /平分 N 8/C ,DM=DN,-A B xD M._ 2_,Q -1加 DC-A CXDN2AB=2AC,令 4C=x,则 4 8=2x,/BAD=AD

16、AC,cos/BAD=cos Z.DAC,2 12 x2+i2-（J2）2 x+-（可）由余弦定理可得：（）=-,2 x 2x x 1 2xxxlX=1 ,:.AC=,8。的 长 为 及，4 C 的长为1.7.解：（I）如图，由正弦定理得：4D _ BD AD _ QCsin Z.B sin/.BAD ZC sin Z.CAD 力。平分N 8/C,BD=2DC,.sin ZB DC,sin Z C-D -2 ；(II)/ZC=180-(ABAC+Z B),ABAC=60 f/.sin ZC=sin(ZSC+Z S)=cosZS+sin/5 ,2 2由(I)知 2sinN3=sinNC,.tan/8=W，H P Z=30.4.在 AJ8c 中，由余弦定理可得：BC2=AB2+C2-2 AB AC cos ABAC=90.r.8C=3屈4 分AC 在ZU8C中，由正弦定理可得：*sin 8BCsin ABACsi.n D VioB=-，10cosB=3A8 分10 过点。作 4 8 的垂线Q E,垂足为E,由得：cosNDAE=cosB,Ap 3,.RtAADE 中，AD=-=-=71012 分cos Z.DAE cos 8E、B