2021年普通高等学校招生全国统一考试甲、乙卷数学试题及参考答案+评析.pdf

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1、2021年高考数学全国卷试题评析+2021年普通高等学校招生全国统一考试甲、乙卷数学试题及参考答案WGT整理2 Q 2 f年7月目 录2021年高考数学全国卷试题评析.32021年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）理科数学试题.72021年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）理科数学试题参考答案132021年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）文科数学试题.192021年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）文科数学试题参考答案252021年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）理科数学试题.292021年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）理科数学试题参考答案36202

2、1年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）文科数学试题.382021年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）文科数学试题参考答案44注：2021年全国甲卷使用地区：四川、广西、云南、贵州、西藏2021年全国甲卷使用地区：安徽、河南、陕西、山西、江西、甘肃、黑龙江、吉林、宁夏、青海、新疆、内蒙古2021年高考数学全国卷试题评析教育部考试中心2 02 1年高考数学全国卷共6套，由教育部考试中心命制,包括全国甲卷2套（文、理科）、全 国 乙 卷2套（文、理科）、新 高 考I卷1套（不分文理科）、新高考n卷1套（不分文理科）。2 02 1年高考数学全国卷命题，落实高考内容改革总体要求，贯彻德智体美

3、劳全面发展教育方针，聚焦核心素养，突出关键能力考查，体现了高考数学的科学选拔功能和育人导向。试题突出数学本质，重视理性思维，坚持素养导向、能力为重的命题原则；倡导理论联系实际、学以致用，关注我国社会主义建设和科学技术发展的重要成果，通过设计真实问题情境，体现数学的应用价值；稳步推进改革，科学把握必备知识与关键能力的关系，科学把握数学题型的开放性与数学思维的开放性,稳中求新，体现了基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求。1.发挥学科特色，彰显教育功能2 02 1年高考数学全国卷命题，坚持思想性与科学性的高度统一，发挥数学应用广泛、联系实际的学科特点，命制具有教育意义的试题，以增强考生社会责任感

4、，引导考生形成正确的人生观、价值观、世界观。试题运用我国社会主义建设和科技发展的重大成就作为情境，深入挖掘我国社会经济建设和科技发展等方面的学科素利.，引导考生关注我国社会现实与经济、科技进步与发展，增强民族自豪感与自信心，增强国家认同，增强理想信念与爱国情怀。一是关注科技发展与进步。新高考H卷 第4题以我国航天事业的重要成果北斗三号全球卫星导航系统为试题情境设计立体几何问题，考查考生的空间想象能力和阅读理解、数学建模的素养。二是关注社会与经济发展。乙卷理科第6 题以北京冬奥会志愿者的培训为试题背景，考查逻辑推理能力和运算求解能力。新高考I 卷 第 18题 以“一带一路”知识竞赛为背景，考查考

5、生对概率统计基本知识的理解与应用。甲卷文、理科第2 题以我国在脱贫攻坚工作取得全面胜利和农村振兴为背景，通过图表给出某地农户家庭收入情况的抽样调查结果，以此设计问题，考查考生分析问题和数据处理的能力。三是关注优秀传统文化。乙卷理科第9 题以魏晋时期我国数学家刘徽的著作 海岛算经中的测量方法为背景，考查考生综合运用知识解决问题的能力，让考生充分感悟到我国古代数学家的聪明才智。新高考I 卷 第 16题以我国传统文化剪纸艺术为背景，让考生体验探索数学问题的过程，重点考查考生灵活运用数学知识分析问题的能力。2.坚持开放创新，考查关键能力 深化新时代教育评价改革总体方案提出，构建引导考生德智体美劳全面发

6、展的考试内容体系，改变相对固化的试题形式，增强试题开放性，减少死记硬背和“机械刷题”现象。2021年高考数学全国卷命题积极贯彻 总体方案要求，加大开放题的创新力度，利用开放题考查考生数学学科核心素养和关键能力，发挥数学科的选拔功能。一是“举例问题”灵活开放。新高考n 卷 第 14题的答案是开放的，给不同水平的考生提供充分发挥数学能力的空间，在考查思维的灵活性方面起到了很好的作用。乙卷文、理科第16题考查考生的空间想象能力，有多组正确答案，有多种解题方案可供选择。二 是“结构不良问题”适度开放。甲卷理科第18题，试题给出部分已知条件,要求考生根据试题要求构建一个命题，充分考查考生对数学本质的理解

7、，引导中学数学在数学概念与数学方法的教学中，重视培养数学核心素养，克 服“机械刷题”现象。新高考n卷第2 2 题 第（2）问是一道“结构不良问题”，对考生的逻辑推理能力、数学抽象能力、直观想象能力等有很深入的考查，体现了素养导向、能力为重的命题原则。三是“存在问题”有序开放。新高考H卷 第 1 8 题基于课程标准，重点考查考生的逻辑推理能力和运算求解题能力，在体现开放性的同时，也考查了考生思维的准确性与有序性。新高考I 卷第21 题 第（2）问要求考生运用解析几何的基本思想方法分析问题和解决问题，考查考生在开放的情境中发现主要矛盾的能力。3.倡导理论联系实际，学以致用20 21 年高考数学全国

8、卷命题注重理论联系实际，体现数学的应用价值，并让考生感悟到数学的应用之美。理论联系实际的试题，体现现代科技发展和现代社会生产等方面的特点，有机渗透数学建模、数据分析、逻辑推理等数学核心素养与数学思想方法的应用，对选拔与育人具有积极的意义。一是取材真实情境，解决实践问题。新高考H卷第21 题取材于生命科学中的真实问题，考查数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养，体现了基础性、综合性、应用性、创新性的考查要求。甲卷理科第8题以测量珠穆朗玛峰高程的方法之-三角高程测量法为背景设计，要求考生能正确应用线线关系、线面关系、点面关系等几何知识构建计算模型，情境真实，突出理论联系实际，二是关注青少年身心

9、健康。身心健康是素质教育的核心内容，在高考评价体系的核心价值指标体系中，包含有健康情感的指标，要求考生具有健康意识，注重增强体质，健全人格，锻炼意志。20 21 年高考数学试题对此也有所体现，如甲卷理科第 4题（文科第6 题），以社会普遍关注的青少年视力问题为背景，重点考查考生的数学理解能力和运算求解能力。三是关注现实生产生活。乙卷文、理科第1 7 题，以芯片生产中的刻蚀速率为原型，设计了概率统计的应用问题，考查考生对平均数、方差等知识的理解和应用，引导考生树立正确的人生观、价值观。新高考n卷第6题，以某物理量的测量为背景，考查正态分布基本知识的理解与应用，引导考生重视数学实验，重视数学的应用

10、。总之，20 21 年高考数学全国卷试题很好地落实了立德树人、服务选才、引导教学的高考核心功能，同时突出数学学科特色，发挥了高考数学科的选拔功能，对深化中学数学教学改革发挥了积极的导向作用。2021年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷)理科数学试题(使用地区：四川、广西、云南、贵州、西藏)1.设集合M=x|0 x,则M p|N=()A.x 0 x B.x 4x3 3C.x|44x5 D.x|0 x0,乙：S,是递增数列，则（）A.甲是乙充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8.2 0 2 0 年 1 2 月 8

11、日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 8 4 8.8 6 （单位：m）,三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有4 B,C三点，且 4 B,。在 同 一 水 平 面 上 的 投 影 满 足 N A，C0=4 5。，NAE C=6 0。.由。点测得8 点的仰角为1 5。，8 8 与CC的差为1 0 0；由6点测得力点的仰角为4 5。，则4。两点到水平面A B C 的 高 度 差 约 为（6732）（）A 3 4 6 B.3 7 3 C.4 4 6 D.4 7 39.若a 2 a =jo s a ,则 t a n a=（）2 /2-s i n。A.B.

12、C.D.V 1 51 5 5 3亍1 0.将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（1 2 2)4A.-B.-C.-3 5 3D.?1 1.已 如 儿B,。是半径为1球。的球面上的三个点，且A C _ L 3 C,A C=3 C =1,则三棱锥。一ABC的体积为（）AV 2 R百 0五 D石1 2 1 2 4 41 2.设函数x）定义域为R,/（x+1）为奇函数，x+2）为偶函数，当x e l,2 时，f（x）=ax2+b.若/（0）+/=6,则/伸=（）1 2）9 3 八7 八5A.一 一 B.一 C.-D.-4 2 4 2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2 0分.1 3

13、 .曲线 =上=在 点（T-3）处的切线方程为_ _ _ _ _ _ _ _.x +21 4 .已知向量a =（3/）,B =（l,0）,c =a +%B.若 _1 _ 2,贝.2 21 5 .已知耳，居为椭圆C：二+匕=1的两个焦点，P,。为。上关于坐标原点对称的两点，且16 4|口=|耳段，则四边形P耳。工的面积为.1 6 .已知函数/（x）=2 c o s（g +）的部分图像如图所示，则满足条件/图卜。的最小正整数x为.三、解答题：共70分.解答应写出交字说明、证明过程或演算步骤，第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(-)必考题：共60

14、分.17.甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了 200件产品，产品的质量情况统计如下表：(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？1级品二级品合计甲机床15050200乙机床12080200合计270130400由 K2=3 be?(a+6)(c+d)(a+c)(b+d)P（K2k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818.已知数列%的各项均为正数，记S”为 q 的前 项和，从下面中选取两个作为条件，证明另外一个

15、成立.数列 4 是等差数列：数列 疯 是等差数列；%=3%.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.19.已知直三棱柱ABC-Ag G中，侧面A4g 8为正方形，AB=BC=2,反尸分别为AC和CC；的中点，为棱4月上的点.DABiVUcx（1）证明：BF工DE；（2）当6Q为何值时，面8 B C C 与面O F E 所成的二面角的正弦值最小？2 0 .抛物线。的顶点为坐标原点。.焦点在x 轴上，直线J：x =l 交。于R 0两点，且O P，O Q.已知点（2,0）,且QM与/相切.（1）求 G QM 的方程；（2）设4,4,&是 C 上的三个点，直线A A，44均与0M相切.判断直

16、线4 A 3 与0 M 的位置关系，并说明理由.2 1 .已知。0 且G H 1,函数/（X）=工（%0）.ax（1）当a =2 时，求/（x）的单调区间；（2）若曲线y =/（x）与直线y =l 有且仅有两个交点，求 a的取值范围.（二）选考题：共 1 0 分.请考生在第2 2、2 3 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程（1 0 分）2 2 .在直角坐标系x Q y 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线。的极坐标方程为2=2 血 c o s 8.（1）将。的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点/的直角坐标为（1,0）,为。上

17、的动点，点尸满足Q =0 与7,写出尸的轨迹G 的参数方程，并判断。与G 是否有公共点.选修4-5：不等式选讲(10分)2 3.已知函数/(x)=卜 一 2|,g(x)=|2x+3|-|2x-1|.y1()(1)画出y=/(x)和y=g(x)的图像；(2)若/(x +a)2 g(x),求 a 的取值范围.2021年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷)理科数学试题参考答案1 1 2 B C BCA D BBA CA D1 3.5 x-y +2 =014T.31 5.81 6.21 7 (1)7 5%；6 0%；(2)能.1 8.选作条件证明时，可 设 出 底，结合,S,的关系求出耳，利用%是

18、等差数列可证%=3 4；选作条件证明时，根据等差数列的求和公式表示出底，结合等差数列定义可证；选作条件证明时，设 出 后=加+人，结合4，S”的关系求出。，根 据 可 求 人然后可证 4 是等差数列.【详解】选作条件证明：设/7 =an+h(a 0),则 S“=(an+A),当 =1 时，q=S=(a +。)-；当 N 2 时，an=一 S“_ +-(an-a+b y=a 2 an a+2 b ；因为 4 也是等差数列，所以(a +0)2=a(2 a-a +力)，解得h=0；所 以=(2 一 1),所以生=3 4.选作条件证明：因为4=3 0）,则 S,=（a +Z?，当=1 时，4 =E =

19、（a+Z?.当月 N 2 时，an=Sn-S _ =+Z?_1加a +Z?）2=a（2 an-a+2 h；因为4=34，所以（3 4 +2/?）=3（。+/?）2,解得=o或/,=_?；当=0时，.=/,%=/（2 1）,当上2时，4-*=2/满足等差数列的定义，此时 4为等差数列；当。=-与 时，底=an+b=an-：a，#7 =0不合题意，舍去.综上可知 4为等差数列.1 9.（1）见解析；（2）B,D =-2【解析】【分析】通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直和求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案.【详解】因为三棱柱ABC

20、-ABC是直三棱柱，所以84,底面4 B C,所以叫L A B因为B F工A M ,所 以 哥 _L A B,又 B B q B F =B ,所以 4 5,平面.所以两两垂直.以B为坐标原点，分别以B A,B C,8片所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图.所以 3（0,0,0）,A（2,0,0）,C（0,2,0），4（0,0,2），A（2,0,2），G（0,2,2）,E(l,l,0),F(0,2,l).由题设。（。,0,2）（0 a 2=2；尸的轨迹C的参数方程为一=3 一拒+2 c os(。为参数)，。7 y =2 si n。与C没有公共点.2 3.(1)图像见解析；(2)a-2【

21、解析】【分析】(1)分段去绝对值即可画出图像；(2)根据函数图像数形结和可得需将y =/(x)向左平移可满足同角，求得y =/(x+a)过A1 ,4 时。的值可求.,2-x.x 2V(2)f(x+a)x+a-2,如图，在同一个坐标系里画出x),g(x)图像，y =x+a)是y =/(x)平移了同个单位得到,则要使/(x+a)2 g(x)，需将y =/(x)向左平移，即。(),当 y =/(x+a)过 时，|；+。2=4,解得“=或 _|(舍去),则数形结合可得需至少将 =X)向左平移”个单位，。2日.绝密启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）文科数学试题（使用地区：四川、广西

22、、云南、贵州、西藏）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合M=1,3,5,7,9,N=x|2 x 7 ,则M Q N=（）A.7,9 B.5,7,9 C.3,5,7,9 D.1,3,5,7,92.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入

23、进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（）A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C.估计该地农户家庭年收入 平均值不超过6.5 万元D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间3 .已知(l-i)2z =3 +2 i,贝 i z=()1 1 3.1 3.3A.-1 i B.-1 +z C.-H2 2 24 .下列函数中是增函数的为（）A.,f(x)=-x B.=C.7 (%)=广2 25 .点（3,0）到双曲线三-与=1 一条渐近线的距离

24、为（）1 6 9D.46 .青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据/和小数记录表的数据/的满足L =5 +l g V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据为（）（啊“1.25 9）A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.67 .在一个正方体中，过顶点力的三条棱的中点分别为反F,G.该正方体截去三棱锥A-EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）正视图8 .在 AABC中，已知3 =1 20,A C =M，A 6 =2,A.1 B.0 C.)9 .记 S“为

25、等比数列 4 前项和.若邑=4,S 4=6,则 S$=（A.7 B.8C.9D.1010.A.将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为(0.3 B.0.5 C.0.6)D.0.811.(八九、-cos a若a 引 0,|,tan 2 a =谷.，贝ijta n a-12 J 2-sin a:()A.V15 口 石-D.15-5C.如3D.叵12.设/(x)是定义域为?的奇函数，且/(1 +x);=/(T).若4)=r 则，份,A.5 1一 一 B.一 一3 3C._3D.53二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2 0分.13.若 向 量 满 足 卜|=3,k一q =5,。石=1

26、,则呵=.14.已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为3 0%则 该 圆 锥 的 侧 面 积 为.15.已知函数/(x)=2 c o s(5+)的部分图像如图所示，则.16 4则四边形PFXQF2的面积为_ _ _ _ _ _ _ _.三、解答题：共7 0分.解答应写出交字说明、证明过程程或演算步骤，第17 2 1题为必考题,每个试题考生都必须作答.第2 2.2 3题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共6 0分.17 .甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了 2 00件产品，产品的质量情况统计如下表:一级品二级品合计甲

27、机床15 05 02 00乙机床12 08 02 00合计2 7 013 04 00（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？（2）能否有99%把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附：心吆 3(+b)(c 4-d)(a+c)(b+d)P(K2k)0.05 00.0100.001k3.8 4 16.6 3 510.8 2 818 .记 S“为数列 4 的前项和，已 知%O,g =34,且数列 后 是等差数列，证明：4 是等差数列.19 .已知直三棱柱A B C 44G 中，侧面A 4 8#为正方形，AB=BC=2,E,产分别为AC 和 的 中点,BF上AB1.（1）求

28、三棱锥尸E 3C 的体积;(2)已知为棱4片 上的点，证明：BF L DE.2 0.设函数/(x)=+o x-3 1n x +l ,其中 a 0.(1)讨论 力 的单调性；(2)若y =/(x)的图象与x轴没有公共点，求a的取值范围.2 1.抛物线C的顶点为坐标原点0.焦点在x轴上，直 线/：x =l交C于 只。两点，且OPLOQ.已知点”(2,0),且OM与/相切.(1)求C,Q M 方程；(2)设A，4,4是c上的三个点，直线44，44均与0 相切.判断直线44与。”的位置关系，并说明理由.(二)选考题：共10分.请 考 生 在 第2 2、2 3题 中 任 选 一 题 作 答.如 果 多

29、做，则按所做的第一题计分.选 修4-4：坐 标 系 与 参 数 方 程 2 2 .在直角坐标系x O y中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p=2&C O S。.(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点力的直角坐标为(1,0),M为C上的动点，点尸满足Q =0砌，写出尸的轨迹&的参数方程,并判断。与G是否有公共点.选 修4-5：不 等 式 选 讲 2 3 .已知函数/(x)=|x-2|,g(x)=|2 x +3|-|2 x-l|.(2)若/(x +a)2 g(x),求a的取值范围.2021年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷)文科数学试题参考答

30、案1 1 2 B CBDACDDACAC1 3.3 亚1 4.3 9 万1 5.-V31 6.81 7 .(1)7 5%；6 0%；(2)能.1 8 .证明见解析.【分析】先 根 据 病-求 出 数 列 叵 的公差d，进一步写出 底 的通项，从而求出 4 的通项公式，最终得证.【详解】数歹双底 等差数列，设公差为 d=厄 飞=府 -如=册:M+(频-1)弧=八弧,(n e N,)/.Sn=an2,(N*)当 2 2 时，an-Sn Sn_=an2 a(/?l),-=q当 =1 时，2 a Xl-q=q,满足%=2%-4,；凡 的通项公式为4 =2w-q,(n e N,)/.a“一a“_ -(2

31、 axn a 2 ax(z i l)-a1=2 al%是等差数列.1 9.(1)；(2)证明见解析.【分析】(1)首先求得力。的长度，然后利用体积公式可得三棱锥的体积；(2)将所给的几何体进行补形，从而把线线垂直的问题转化为证明线面垂直，然后再由线面垂直可得题中的结论.【详解】(1)如图所示，连结 凡力】D由题意可得：B F B C2+CF2=V4+T=V5-由于&BCLAB,B B Q B C=B,故 A 3,平面BCC4,而 5 F u 平面 8C G 4，故从而有 A F=JG+B 尸=3从而 AC=JAFC产=7 1 =2 0,则AB2+B C2=A C2,:.AB 1 BC,ABC为

32、等腰直角三角形，SZ S B C E=；,A B C=g x ；x2x2)=l,VF_EBC=|X SABCE X CF=1 X1X1(2)由(1)结论可将几何体补形为一个棱长为2 的正方体ABCM-481GM-如图所示，取棱AM,BC 的中点”,G,连结 4 ，G,GB1,正方形8C C 4中，G,尸为中点,则故，平面A B Q H,而D E u平面A B G H ,从而BF上DE.20.(1)/(x)的减区间为(0,J ,增区 间 为+8 ；(2)a：.2 1.(1)抛物线。：2=龙，。“方程为(九-2)2 +丁=1 2)相切，理由见解析2 2.(1)(X-V2)2+/=2；(2)尸的轨迹

33、G的参数方程为卜=3 内+2C O S(。为参数)，。)y=2 s i n。与G没有公共点.2 3.(1)图像见解析；(2)a 2【解析】【分析】(1)分段去绝对值即可画出图像；(2)根据函数图像数形结和可得需将y=/(x)向左平移可满足同角，求得y =/(x+”)过A|j,4 尸寸的值可求.,.2-x,x2y八4-z：iiii 1 i i 9-4-3-2-1 Q 1 2 3 4 5-1-2-一3-L 3-4,x 2g(x)-|2 x +3|-|2JC-1|=4x+2,x-2,画出图像如下：画出函数图像如下:如图，同一个坐标系里画出/(x),g(x)图像，y =是y =X)平移了同个单位得到，

34、则要使/(x+a)N g(x),需将y =/(x)向左平移，即。0,当 y =/(x+a)过 时,j T=4,解得。*或(舍去)，绝密启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试(全国乙卷)理科数学试题(使用地区：安徽、河南、陕西、山西、江西、甘肃、黑龙江、吉林、宁夏、青海、新疆、内蒙古)注意事项：1 .答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2 .回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本 题

35、 共 1 2 小题，每小题5分，共 6 0 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .设 2(z +z)+3(z-z)=4 +6 i,则 2=()A.l-2 z B.l +2 z C.1 +z D.1-/2 .已知集合5 =卜 卜=2 +1,2 ,T =巾=4 +l,“eZ,则 S?T ()A.0 B.S C.T D.Z3 .已知命题小玉e R,s i n x l,则下列命题中为真命题的是()A.，入 q B.c.p 八r D.(pvq)4 .设函数x)=F，则下列函数中为奇函数的是()1 +xA.f(x 1)1 B.,/(x 1)+1 C.,t(x+1)1 D.f(x+l

36、)+l5.在正方体A B C。-A&GR 中，尸为BQ的中点，则 直 线 也 与 所 成 的 角 为()兀c 兀 c 兀 n 兀A.B.C.-D.一2 3 4 66 .将 5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4 个项目进行培训，每名志愿者只分配到1 个项目，每个项目至少分配1 名志愿者，则不同的分配方案共有()A.60 种 B.12 0 种 C.2 40 种 D.480 种7.把 函 数 y =/(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的;倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移?个单位长度，得到函数 =$皿卜71的图像，则/（=（）A.(X lxs i n-(2 12B.s i

37、nx 冗+一2 12C.s i n 2公 全I 12D.s i n 2 x H-l 128.7在区间（。/）与2）中各随机取1个数，则两数之和大于押概率为（）A.79D-i9.魏晋时刘徽撰写的 海岛算经是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高.如图,点E,H,G在水平线A C上，。七和F G是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，E G称为“表距”，G C和E”都称为“表目距”，G C与E”的差称为“表目距的差”则海岛的高4?=（）表高x表距A.表目距的差+表高B.表高X表距表目距的差一表回C.却|+表距D.表高X表距一表目距的差表距10.设。工0,若x =。为函数力=。（工

38、 一。）2（工 一。）的极大值点，则（）A.abC.ab a22 21 1.设8是椭圆。:=+4=1 3 6 0）的上顶点，若C上的任意一点P都满足1心区2匕，则。a b-的离心率的取值范围是（）A.B.7D.412.设a=2 1nl.01,Z?=lnl.O 2,c=V L 0 4-l.则()A.abcB.bcaC.bacD.ca2 =（加0）的一条渐近线为6 x+my =（）,则。的焦距为.m14.已知向量 =（1,3）,B =（3,4）,若0 萩）贝I/1=.15.记 A B C 内角力，B,C的对边分别为a,b,c,面积为B =60。，a2+c2=3ac,则b =16.以图为正视图，在图

39、中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则 所 选 侧 视 图 和 俯 视 图 的 编 号 依 次 为 （写出符合要求的一组答案即可）.图三、解答题：共7 0分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1 7 2 1题为必考题，每个试题考生都必须作答.第2 2、2 3题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共6 0分.1 7 .某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 1 0件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.81 0.3 1 0.0 1 0.29.99.81 0.0 1 0.11 0 29.7

40、新设备1 0.1 1 0.4 1 0.1 1 0.0 1 0.1 1 0.3 1 0.6 1 0.51 0.4 1 0.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 和7，样本方差分别记为和(1)求 x y，*,$2 ；(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果歹 无2 2 ，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高).1 8 .如图，四棱锥。一 A B C。的底面是矩形，底面A B C。，P D=D C=1,M为 的 中点，且(1)求 8 C；(2)求二面角A-PM-3的正弦值.2 11 9 .记S,为数列%的前项和，么

41、为数列 的前项积，已 知 不+厂 2.(1)证明：数列也 是等差数列;(2)求%通项公式.2 0 .设函数 x)=ln(a-x),已知x =O 是函数y =3(x)的极值点.(1)求 a；设 函 数 g(x)=某T证明：g(x)0)焦点为尸，且尸与圆M:/+(y +4)2=l上点的距离的最小值为4.(1)求P；(2)若点P 在M 上，P A P 8 是。的两条切线，A,8是切点，求 面 积 的 最 大 值.（二）选考题，共 1 0 分.请考生在第2 2、2 3 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程（1 0 分）2 2 .在直角坐标系x O y 中，OC

42、的圆心为0（2,1）,半径为1.（1）写出OC的一个参数方程；（2）过点尸（4,1）作。C的两条切线.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求这两条切线的极坐标方程.选修4-5：不等式选讲（1 0 分）2 3 .已知函数/（x）=|x-a|+|x+3 .（1）当。=1 时，求不等式x）N 6 的解集;(2)若求a取值范围.2021年普通高等学校招生全国统一考试(全国乙卷)理科数学试题参考答案l.C 2.C 3.A 4.B 5.D 6.C 7.B 8.B 9.A 1 0.D 1 1.C 1 2.B1 3.451 5.2 V 21 6.(答案不唯一)1 7.(1)x =1 0，=1 0

43、 3,s；=()。3 6,$=0.0 4；(2)新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.1 8.(1)后；(2)叵1 42 2 b1 9.(1 )由 已 知 不+7=2得5“=病 七，且产0 ,取=1,得优=。，由题意得2 力 2 人 2 Z?2 bLr Lr丁 =，消 积 得 到 项 的 递 推 关 系 尸 进 而 证 明 数 列 也 是等差2 仇-1 2白-1 2%-1 bn数列；f 3 ,n=l24=彳-/-r2 0.(1)a=(2)由(1)得/(x)=l n(l-x),g(x)/:X?：,：)，x v l且x w O,xf x x l n(l-x)/、x+l n(l-x)z

44、z当 X (0,l)口 寸，要证g(x)=-7-y0,l n(l-x)0 ,/.x l n(l-x)x l n(l-x),化简得 x +(l-x)l n(l-x)0 ；/、x +l n(l-x)/、/、同理，当工式-,。)时，要证 g0)=一壮 1，vx 0,.-.x l n(l-x)x l n(l-x),化简得工+(1 7)1 1 1(1 7)0；令(x)=x +(l-x)l n(l-x),再令=1_%,则，(O,l)U(L+)，x=l-t,令 g)=l T +/l n f,g )=-l +hu +l =l n r,当r O,l)时，g g =0；当止(1,+8)时，g(r)0,g 单增，假

45、设g能取到，则g(l)=0,故g )g =0；综上所述，g(x)=-e 1 在 X (-8,o)U(0,1)恒成立x In (1 X)2 1.(1)p=2；(2)2 0 7 5.2 2.(1)1 x -2 +c o s a,(1 为参数)；(2)2 0 c o s(，+工)=4 6或2 0 c o s(6 七)=4+6.y =1 +s in a 3 32 3.(1)(-o o,-4 U 2,+).(2)f|,+o o j.2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）文科数学试题（使用地区：安徽、河南、陕西、山西、江西、甘肃、黑龙江、吉林、宁夏、青海、新疆、内蒙古）注意事项：1.答卷前，考

46、生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共12小题，每小题5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集。=1,2,3,4,5,集合M=1,2,N =3,4,则加（MuN）=（）A.5 B.1,2 C.3,4 D.1,2,3,42.设i z=4+3 i,则 z=（）A.3 4i B.3 +4i C.3 -4i D.3 +4

47、i3 .已知命题：H r e R,s i n x i ,则下列命题中为真命题的是（）A.P MB.C.D.T p v q)4.x函数/(x)=s i n q+c o s 5的最小正周期和最大值分别是（）A.3兀 和y/2B.3兀 和2C.6兀和 72D.6兀和2x+y 4,5.若X，y满足约束条件X-y 2,则z =3 x +y的最小值为（）A.18B.10C.6D.42兀 2 5兀6.c o s-c o s -()12 12A.B.V 2D.23228.下列函数中最小值为4是（）7.在区间随机取1个数，则取到的数小于g的概率为（)3211A.-B.-C.-D.-4336A.y=f +2x+4

48、B.4y=sinx+|sin xC.y=2x+22-xD.4y=lnx+-Inx9.设函数/（幻=手,+x则下列函数中为奇函数的是（）A./(x-l)-lB.f+1 C./(x+l)-lD./(x+l)+l1 0.在正方体A B C O-A B C A中，P为4。的中点，则 直 线 形 与 所 成 的 角 为（）7 1c 兀 八 兀 c 兀A.B.C.D.一2 3 4 621 1.设B是椭圆C:?+y 2 =i的上顶点，点p在C上，则归目的最大值为（）A.-B.y/6 C.加 D.2212.设a#0,若x=为函数x）=a（x-a）2（x-b）的极大值点，则（）A.a b C.ab a1二、填空

49、题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.13.已知向量 1=（2,5）,3=（4 4）,若力/）,则4=.2 214.双曲线土-匕=1的右焦点到直线x+2 y-8=0的距离为4 5 15.记“S C 内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为6，8=60。，a1+cl=?ac,则b=.16.以图为正视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则 所 选 侧 视 图 和 俯 视 图 的 编 号 依 次 为 （写出符合要求的一组答案即可）.图 图三、解答题.共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第 1721题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题

50、为选考题，考生根据要求作答.（-）必考题：共 60分.1 7.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.3 10.010.29.99.810.010.110.29 7新设备10.110.410.110.010.110.3 10.610510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为1和5,样本方差分别记为s；和（1）求 亍，s：,s；（2）判断新设备生产产品该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果了-江i,V 10则认为新设备生产产品的该项指标的