2022-2023学年北京市高二上期末考试数学模拟试卷及答案解析.pdf

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1、2022-2023学年北京市高二上期末考试数学模拟试卷一.选 择 题（共10小题）1.（2 0 2 0秋丰台区期末）过 点（1,2）且与直线x+2 y-9=0平行的直线方程是（）A.2x-y=0 B.2x-y-3=0 C.x+2y-5=0 D.x+2y-4=02.（2 0 2 0秋西城区期末）在（“+b）”的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则=（）A.4 B.5 C.6 D.73.（2 0 1 2资阳三模）抛物线/=4 x的焦点到准线的距离是（）A.I B.2 C.3 D.44.（2 0 1 1青羊区校级模拟）在棱长为1的正四面体/B C D中，E,F分别是B C,4）中点,则 近 五=

2、（）A.0 B.A C.卫 D.2 4 22 2 25.（2 0 2 0秋房山区期末）已知双曲线专-了2=1 Q 0）与 椭 圆 江+=1 有相同的焦点,a 8 3贝（J a（）A.瓜 B.2 73 C.2 D.46.（2 0 0 6四川）已知两定点N （-2,0）,B（1,0）,如果动点P满足条件|R 1|=2|尸8,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于（）A.7 1 B.4 ir C.8IT D.9T l7.（2 0 2 0秋海淀区校级期末）在复平面内，复数二一对应的点位于（）l-iA.第一象限 B.第二象限 C.第一象限 D.第四象限8.（2 0 2 0青秀区校级模拟）如图，某建筑工地搭建

3、的脚手架局部类似于一个3 X 2 X 3的长方体框架，一个建筑工人欲从Z处沿脚手架攀登至8处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（）第1页 共2 3页A.且 B.-L c.2 D.A28 14 9 29.（2 0 2 0秋平谷区期末）如图，以长方体/8C 0-/1 81 C 1 Q1的顶点。为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如 果 函 的 坐 标 为（5,4,3）,那 么 雨 的 坐 标 是（）A.(-5,4,3)B.(-5,4,-3)C.(-4,5,3)D.(5,-4,-3)1 0.（2 0 2 0秋房山区期末）如图，在正方体48 6-/闰。|中，点E,

4、尸分别是棱C Q i，上的动点.给出下面四个命题：直 线 跖 与直线/C平行；若直线/尸与直线C E共面，则直线力尸与直线C E相交；直 线E F到平面A B C D的距离为定值；直 线/与 直 线C E所成角的最大值是工.3其中，真命题的个数是（）C.3 D.4二.填 空 题（共5小题）1 1.（2 0 2 0秋丰台区期末）对 于 数 列 若 点 心，an）（n N*）都在函数/）=2 的图象上，则数列 a,的前4项和&=.1 2.（2 0 2 0秋西城区期末）已知抛物线V=4 x的焦点为凡 准线为/,点尸在抛物线上，尸0，/于点0.若尸。尸是锐角三角形，则 点 尸 的 横 坐 标 的 取

5、值 范 围 是.第2页 共2 3页1 3.（2 0 2 0 秋海淀区校级期末）在边长为2的菱形中，Z B A D=60,将这个菱形沿对角线5。折成6 0 的二面角，这时线段4c的长度为.1 4.（2 0 2 0 秋海淀区校级期末）用 1,2,3组成四位数，其中恰有一个数字出现两次的四位数有 个.1 5.（2 0 2 0 秋海淀区校级期末）如图所示，在长方体488-小8 1。|中，A B=B C=2,AAi=,则BC与平面BBiDiD所成角的余弦值为.三.解 答 题（共 6 小题）1 6.（2 0 2 0 秋海淀区校级期末）设点尸（2,5）关于x轴的对称点为0,求过点。且与直线 x t y -3

6、=0 垂直的直线/的方程.1 7.（2 0 2 0 秋西城区期末）生物兴趣小组有1 2 名学生，其中正、副组长各1 名，组 员 1 0名.现从该小组选派3名同学参加生物学科知识竞赛.（I ）如果正、副组长2人中有且只有1 人入选，共有多少种不同的选派方法？（I I）如果正、副组长2人中至少有1 人入选，且组员甲没有入选，共有多少种不同的选派方法？1 8.（2 0 2 0 秋平谷区期末）如图，四棱锥尸-/B C D 的底面是矩形，侧棱必，底面E 是尸。的中点，R4=2,4B=1,4 0=2.（I ）求证：P B 平面4 C E；（I I ）求直线C P与平面A C E所成角的正弦值；（I I I

7、）求点P到平面Z C E 的距离.1 9.（2 0 2 0 秋平谷区期末）期末考试结束，高 二（1）班班主任张老师从班里的4 0 名学生中，随机抽取1 0 名同学的语文和数学成绩进行抽样分析，研究学生偏科现象.将1 0 名第 3页 共 2 3 页学生编号为1,2,3 1 0,再将他们的两科成绩(单位：分)绘成折线图如下:成绩(1 )从 这 1 0 名学生中随机抽取一名学生，求抽取的这名学生两科成绩相差大于1 0 分的概率；(I I)从两科成绩均超过7 0 分的学生中随机抽取2人进行访谈，求这2人中恰有一个是语文成绩高于数学成绩的概率；(I I I)设该班语文和数学两科成绩的平均值分别为X、应，

8、方差分别为。卜。2,根据折线图，试推断小和热，5 和。2 的大小关系(直接写出结论，不需证明).2 22 0.(2 0 2 0 秋西城区期末)已知椭圆C：+=1(a h 0)的一个焦点为F (-1,0),2 1 2a bA(-a,0),Ai(a,0),且|/甫=3,(I )求椭圆C的方程；(n )过点F的直线交椭圆C于点M,N.记和的面积分别为S 1 和 s2.当Sz-S=及 时,求 直 线 A/N 的方程.72 1.(2 0 2 0 秋海淀区校级期末)“绿水青山就是金山银山”的理念越来越深入人心，据此，某网站调查了人们对生态文明建设的关注情况，调查数据表明，参与调查的人员中关注生态文明建设的

9、约占80%.现从参与调查的关注生态文明建设的人员中随机选出2 0 0 人,并将这2 0 0 人按年龄(单位：岁)分组：第 1 组 1 5,2 5),第 2组 2 5,3 5),第 3组 3 5,4 5),第 4组 4 5,5 5),第 5 组 5 5,6 5 ,得到的频率分布直方图如图所示.(1 )求这2 0 0 人的平均年龄(每一组用该组区间的中点值作为代表)和年龄的中位数(保留一位小数)；第4页 共2 3页（H）现在要从年龄在第1,2组的人员中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求抽取的3人中恰有2人的年龄在第2组中的概率；（I I I）若从所有参与调查的人（人

10、数很多）中任意选出3人，设这3人中关注生态文明建设的人数为X,求随机变量X的分布列与数学期望.第5页 共2 3页2022-2023学年北京市高二上期末考试数学模拟试卷参考答案与试题解析一.选 择 题（共10小题）1 .（2 0 2 0 秋丰台区期末）过 点（1,2）且与直线x+2 y-9=0 平行的直线方程是（）A.2x-y=0 B.2x-y-3 =0 C.x+2y-5=0 D.x+2y-4 =0【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系.【专题】整体思想；综合法；直线与圆；数学运算.【分析】设过点2）且与直线x+2 y-9=0 平行的直线方程为x+2 4=0,把 M（l,2）代入能求出结果.【

11、解答】解：设过点M（1,2）且与直线x+2 y-9=0 平行的直线方程为：x+2y+a0,把 M（1,2）代入，得 a=-5.，过点M（l,2）且与直线x+2 y-9=0 平行的直线方程为x+2 y-5=0.故选：C.【点评】本题考查直线方程的求法，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.2.（2 0 2 0 秋西城区期末）在（a+6）的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则=（）A.4 B.5 C.6 D.7【考点】二项式定理.【专题】转化思想；综合法；二项式定理；数学运算.【分析】由题意利用二项式系数的性质，求得的值.【解答】解：在（。+6）”的展开式中，只有第4

12、项的二项式系数最大，则展开式共有7项，6,故选：C.【点评】本题主要考查二项式系数的性质，属于基础题.3.（2 0 1 2 资阳三模）抛物线炉=4 x 的焦点到准线的距离是（）第6页 共2 3页A.1 B.2 C.3 D.4【考点】抛物线的性质.【专题】阅读型.【分析】根据抛物线的方程求得抛物线的焦点坐标和准线的方程，进而利用点到直线的距离求得焦点到准线的距离.【解答】解：根据题意可知焦点尸(1，0),准线方程x=-l,.焦点到准线的距离是1+1=2故选：B.【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质.考查了学生对抛物线标准方程的理解和运用.属基础题.4.(2 0 1 1 青羊区校级模拟)在棱长为

13、1 的 正 四 面 体 中，E,尸分别是BC,ZO中点，则 疝 而=()A.0 B.A C.J.D.2 4 2【考点】平面向量数量积的性质及其运算.【专题】计算题.【分析】欲求标先把要求数量积的两个向量表示成以四面体的棱所在向量为基底的向量的表示形式，写出向量的数量积，问题转化成四面体的棱向量之间的关系，因为棱长及其夹角可知，从而得到结果.【解答】解：AE CF=y (A B+AC)(yAD-AC)_ 1 1 *1 1*A B ,A D -AC A D FA B A C-rAC A C4 4 2 2=(1X IX cos600+1X IX cos600-2X cos600-2=_ 工2故选：D

14、,第7页 共2 3页DBW/EC【点评】本题考查空间向量的数量积，解题的关键是把要用的向量写成以已知几何体的一个顶点为起点的向量为基地的形式，再进行运算.2 2 25.（2 0 2 0秋房山区期末）已知双曲线三_ y 2=i Q0）与 椭 圆 有 相 同 的 焦 点,a28 3则 a=（）A.瓜 B.2 a c.2 D.4【考点】双曲线的性质.【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.【分析】求出椭圆的焦点坐标，然后利用已知条件列出方程，求解。即可.2 2 【解答】解：椭 圆 心 上=1的 焦 点（土 代，0）,8 32 2 2双曲线与-y 2=i Qo）与 椭

15、圆 三 上 二i有相同的焦点，a28 3可得J a 2 +1=所以。=2,故选：C.【点评】本题考查椭圆的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，是基础题.6.（2 0 0 6四川）已知两定点/（-2,0）,B（1,0）,如果动点尸满足条件|以|=2俨5|,则点尸的轨迹所包围的图形的面积等于（）A.n B.4T T C.8T T D.9T T【考点】轨迹方程.【专题】计算题.【分析】设尸点的坐标为（x,y）,用坐标表示|以|、代入等式|%|=2|尸8 ,整理即得点尸的轨迹方程，然后根据轨迹确定面积.【解答】解：已知两定点/（-2,0）,B（1,0）,如果动点P满足固|=28|,设尸点第8页 共2

16、3页的 坐 标 为（X,夕），则（x+2）2+/=4 （X-1）2+y2,即（X-2）2+/=4,所以点的轨迹是以（2,0）为圆心，2为半径的圆，所以点P的轨迹所包围的图形的面积等于4TT,故选：B.【点评】考查两点间距离公式及圆的性质.是训练基础知识的好题.7.（2 0 2 0秋海淀区校级期末）在复平面内，复 数 上 对 应 的 点 位 于（）l-iA.第一象限 B.第二象限 C.第一象限 D.第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义.【专题】整体思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算.【分析】先对复数进行化解，然后由已知的复数得到其在复平面内对应点的坐标得答案.【解答】解:_=lii

17、=坦 对 应 点(l-i(l-i)(l+i)2 21）在第一象限.2故选：A.【点评】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.8.（2 0 2 0青秀区校级模拟）如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个3 X 2 X 3的长方体框架，一个建筑工人欲从/处沿脚手架攀登至8处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（）A.B._L c.2 D.A28 14 9 2【考点】古典概型及其概率计算公式.【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计；逻辑推理.【分析】最近的行走路线就是不走回头路，不重复,种8A 8有共向上攀登共需要3步,向左向前共需要5步，不连续向上攀登，向上攀登的3步，

18、要进行插空，由此能求出其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率.【解答】解：最近的行走路线就是不走回头路，不重复，共有人；种，第9页 共2 3页向上攀登共需要3 步，向左向前共需要5 步,；不连续向上攀登，.向上攀登的3 步，要进行插空，共有A?A科，其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为：A5A6_ 5k*故选：B.【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.9.(2020秋平谷区期末)如图，以长方体/B C D-N i 8 1 c g i的顶点。为坐标原点，过。的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如果函的坐标为(5,4,3),那

19、么 西 的 坐 标 是()A.(-5,4,3)B.(-5,4,-3)C.(-4,5,3)D.(5,-4,-3)【考点】空间中的点的坐标.【专题】数形结合；数形结合法；空间向量及应用；数学运算.【分析】由丽;的坐标为(5,4,3),推导出。力=5,DC=4,D D=3,由此能求出正的坐标.【解答】解：以长方体的顶点。为坐标原点，过。的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，西 的 坐 标 为(5,4,3),：.Bi(5,4,3),：.DA=5,D C=4,。=3,：.A(5,0,0),Ci(0,4,3),AC；的坐标是(-5,4,3).故选：A.第1 0页 共2 3页【点评】本题考查向量坐

20、标的求法，考查空间直角坐标系的性质等基础知识，是基础题.10.（2020秋房山区期末）如图，在正方体向C 0中，点E,尸分别是棱C 0,小。1上的动点.给出下面四个命题：直 线 灯 与直线/C平行；若直线/尸与直线CE共面，则直线Z F与直线CE相交；直 线 斯 到平面A B C D的距离为定值；直 线A F与直线C E所成角的最大值是工.3其中，真命题的个数是（）【考点】命题的真假判断与应用；棱柱的结构特征.【专题】对应思想；转化法；空间位置关系与距离；简易逻辑：逻辑推理.【分析】根据空间直线和直线，直线和平面位置关系分别进行判断即可.【解答】解：如 图1,当尸与小重合时，E与 5 重合时，

21、直 线 跖 与 直 线/C是异面直线，此时不可能平行，故错误.如图2,当尸与小重合时，E与C i重合时，四边形力CEF为矩形，故直线力尸与直线CE平行，此时直线/尸与直线CE相交错误.故错误.第1 1页 共2 3页因为平面4 8 Cid平面/8C Z）,而瓦七c平面小B 1C Q 1，故E尸平面/8C。，所以直线E F到平面N 5 C。的距离为定值（正方体的棱长），故正确.建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1,设F(0,a,1),E(Z ,1,1),其中O W aW l,0W 6W 1,而 C (1,1,0),故 届=(0,a,1),C E=(6-1,0,I),设直线/尸与直线C

22、E所成角为。，则 c osO =|c osI =I 1 1 r 1=1,Va2+l*V(b-l)2+1 迎 加 2若直线Z尸与直线C E不平行，则（0,.故%（0,2L 2 3故直线/尸与直线C E所成角的最大值是子，所以正确.故正确的是,故选：B.第1 2页 共2 3页【点评】本题主要考查与空间直线和平面位置关系的判断，结合空间平行和垂直的位置关系是解决本题的关键，是中档题.二.填 空 题（共5小题）11.（2020秋丰台区期末）对于数列 斯,若 点（n,a n）N*）都在函数/=2的图象上，则数列 斯 的前4项和【考点】数列的求和；数列与函数的综合.【专题】计算题；转化思想；定义法；等差数

23、列与等比数列；数学运算.【分析】代入点的坐标，推出数列的通项公式，然后求数列 ,的前4项和S 8【解答】解：由点（4 an）（n C N*）都在函数/G）=2的图象上，可 得 的=2,所以数列 斯 的前 4 项和 5 4=。1+“2+。3+。4=2+4+8+16=30.故答案为：30.【点评】本题考查数列与函数的关系，数列求和，是基础题.12.（2020秋西城区期末）已知抛物线炉=4 x的焦点为F,准线为/,点尸在抛物线上，尸。，/于点0.若尸。尸是锐角三角形，则点尸的横坐标的取值范围是（1,+8）.【考点】抛物线的性质.【专题】整体思想：综合法：圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.【分析】

24、由抛物线的方程可得焦点尸的坐标，再由4尸。尸是锐角三角形，所以最大角为N Q P F,只需要P在焦点厂的右侧，可得P的横坐标的范围.【解答】解：由抛物线的性质可得尸0=尸 尸，若 P Q F是锐角三角形，所以最大角为/。尸 尸，只需N Q P Fn=(-2,1,-1).(5 分)b+c=0 _,c=-l因为而=(1,0,-2)所 以 丽：=-2+0+2=0.(6 分)又因为尸8仁平面4CE,所以P8平面/CE.(7分)(I I)解：设直线CP与平面NCE所成角为仇由元=(1,2,-2)，平面力 的一个法向量为W=(-2,1,-1)所以sin 0=1cosX2,Dh0)的一个焦点为F (-1,0

25、),2 ,2a b(-a,0),Ai(a,0),且|/冽=3.(I )求椭圆c的方程；(I I )过点F的直线交椭圆C于点M,N.记和的面积分别为S 1和S2.当S2-S i =至 返 时，求直线M N的方程.7【考点】椭圆的标准方程；直线与椭圆的综合.【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.【分析】(I)依通过椭圆C的半焦距c=l,结合如尸尸a+c=3.求解a,h,得到椭圆方程.(I I)当 直 线 的 斜 率 不 存 在 时，其方程为x=-l.验证即可.当直线N的斜率存第2 0页 共2 3页y=k（x+l）,c c r c在时，设其方程为歹=攵（x+1）（左

26、 WO）.由 得（3+4严）/+8 底什4乒-12,3x2+4y2=12=0.设/（x i，p i）,N（X2.”），利用韦达定理结合弦长公式，转化求解三角形的面积，然后推出直线方程即可.【解答】解：（I）依题意，椭圆C 的半焦距c=l,（1分）所以|42月=。+仃=3.解得4=2.（2 分）所以 b2=2 一 2=3.（3 分）2 2所以椭圆C 的方程为工_/=1.（4 分）4 3（I I）当 直 线 的 斜 率 不 存 在 时，其方程为x=-l.itbHJM（1,-1-）,N（-1,）,或M（-l,N（l,所以S=3,Sc=9,即 S2-SI=3,不合题意.（5 分）当直线MN的斜率存在时

27、，设其方程为y=%（x+1）（左#0）._ V 2）,则 x 1 +x 9=8k c，x（x 9=-.（83+4k 3+4/分）因为S|+3 2 52得 以 射|（|丫1|+3 2|所以Sa/卷 X 2 X （|y i|+|y2|）=|y y2 1f（X 1-X 2）1分）Ik I J（X+x.）2 4x x.”皿 壶 F.（12分）3+4k2令”|k N B 1 J 2迎 解 得/=i.（13分）3+4k2 7所以直线M V 的方程为x-_ p+l=0,或 x+_y+l=0.（14分）第2 1页 共2 3页【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能

28、力.21.(2020秋海淀区校级期末)“绿水青山就是金山银山”的理念越来越深入人心，据此，某网站调查了人们对生态文明建设的关注情况，调查数据表明，参与调查的人员中关注生态文明建设的约占80%.现从参与调查的关注生态文明建设的人员中随机选出200人,并将这200人按年龄(单位：岁)分组：第 1组口5,2 5),第 2 组 25,3 5),第 3 组 35,4 5),第 4 组 45,5 5),第 5 组 55,65,得到的频率分布直方图如图所示.(1 )求这200人的平均年龄(每一组用该组区间的中点值作为代表)和年龄的中位数(保留一位小数)；(I I)现在要从年龄在第1,2 组的人员中用分层抽样

29、的方法抽取5 人，再从这5 人中随机抽取3 人进行问卷调查，求抽取的3 人中恰有2 人的年龄在第2 组中的概率；(111)若从所有参与调查的人(人数很多)中任意选出3 人，设这3 人中关注生态文明建设的人数为X,求随机变量X 的分布列与数学期望.【考点】频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差.【专题】对应思想；综合法；概率与统计；数学运算.【分析】(I)先根据概率和为1 计算。，再计算平均数和中位数；(I I)先求出5 人中第1 小组和第2 小组的人数，再根据超几何分布的概率公式计算概率；(I ll)根据二项分布的概率公式计算X 的取值对应的概率，得出分布列和数学

30、期望.第2 2页 共2 3页【解答】解：(/)由小矩形面积和等于1 可得：(0.01+0.015+。+0.03+0.01)X 10=,解得 a=0.035,故这 200 人的平均年龄为7=20X0.01 X 10+30X0.015X 10+40X0.035X 10+50X0.030X10+60X0.010X 10=41.5,设年龄的中位数为m,由频率分布直方图可知35机45,故 0.01X10+0.015 X 10+0.035X Cm-35)=0.5,解得子42.1.(II)第 1 组总人数为 200X0.01 X 1 0=2 0,第 2 组总人数为 200X0.015X10=30,故用分层抽样后，第 1组抽取2 人，第 2 组抽取3 人，故从这5 人中抽取3 人后，恰好有2 人的年龄在第2 组中的概率为P=-2-3=A.C3 5(I I I)由题意可知X 服从二项分布X B(3,A),5故 p(x=o)=(A)3=1 ,p(x=i)(A)2=1 2,5 1 25 5 5 1 25P(X=2)=2.(A)2.工=48 ,p(*=3)=(A)3=64.“5 5 1 25 5 1 25的分布列为:X0123P11 2486 41 251 251 251 25E(X)=3XJ1=5 5【点评】本题考查了频率分布直方图，离散型随机变量的分布列与数学期望，属于基础题.第2 3页 共2 3页