2022-2023学年北京市高二下期中考试数学模拟试卷及答案解析.pdf

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1、2022-2023学年北京市高二下期中考试数学模拟试卷一.选 择 题（共10小题）1.（20 21春阜新期末）在等差数列*中，“|+3即+0 3=120,则 3a 9-。13的值 为（）A.6 B.12 C.24 D.4 8S 32.（20 20 秋河西区期末）已知等比数列的首项为-1,前项和为S”，若 一 =，则S 32公比g=（）11A.B.-C.2 D.-2223.（20 20 春南开区校级月考）函数/（x）=x+/x 在（1,e）上 是（）A.单调增 B.先增后减 C.单调减 D.先减后增4.（20 20 春和平区校级月考）函数/（x）=e/x-x 在（0,2e 上的最大值为（）A.1

2、 -e B.-1 C.-e D.05.（20 21春海淀区校级期中）已知函数/（x）x3+ax2+bx+c,则-36 0”是uf（x）有三个不同的零点”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6.（20 21绵阳模拟）若曲线y=-奔 在 点（1,-1）处 的 切 线 与 曲 线 在 点 尸 处 的切线垂直，则点尸的坐标为（）、1A.（e,1）B.（1,0）C.（2,I ni）D.（,-ln2）27.（20 18春跳北区校级期末）已知数列 斯 的前n项之和Sn=n2-4/7+1,则同+咫|+|矶|的 值 为（）A.6 1 B.6 5 C.6 7

3、D.6 88.（20 21春海淀区校级期中）若数列 小 的前项和为S”，且&=2 为+1,“6 N*,则下列说法不正确的是（）A.白 5=-16 B.Ss=-6 3C.数列 斯 是等比数列 D.数列广1 是等比数列9.（20 19赣州模拟）若函数f （x）=e -出（x+a）在（0,+）上存在零点，则实数a第1页 共2 4页的取值范围是（A.（8,一）B.（-8,e）c.（-,e）D（-e,一）e e e10.（2021春涪城区校级月考）函数/（x）=-+a+l,xe_L,e与 g（x）=3历 x 的图象e上存在关于X轴对称的点，则实数。的取值范围是（）A.e,e3-3 B.1,e2-4 C.

4、1,e3-3 D.0,e3-4二.填 空 题（共5小题）11.在等差数列 斯 中，前 加（加为奇数）项和为1 3 5,其中偶数项之和为6 3,且=1 4,则 =,ai oo=.12.若等比数列伍 的前”项和为S,”且 S4=3,S 8=1 5,则5202（）2-S20162=.13.（2021秋青羊区校级月考）已知函数/（x）=lnx+a（2-x）在 点（1,7 （1）处的切线 与 圆（X-3）2+炉=1相切，则=.氏 兀14.函数y=sinx-acosx在 ，为减函数，则 a 的 最 大 值 为.8 6 x I n x x 5*Q15.（2021春海淀区校级期中）己知函数/（x）=|“，其中

5、a 0.如一 -2 x 3,x a果对于任意XI，X2WR，且 X1X2,都有/（XI）0恒成立，结合函数的单调性与导数的关系分析可得答案.X【解答】解：根据题意，/（x）=x+/x,其导数为/（x）=1+1一,X在 区 间（1,e）上，有，（%）=1+一0恒成立，X则函数/（x）在（1,e）上为单调增函数：故选：A.【点评】本题考查函数的单调性的判定，注意利用函数的导数与函数单调性关系分析.属于基础题.4.（2 0 2 0春和平区校级月考）函数f（x）=elx-x在（0,2句上的最大值为（）A.1 -e B.-1 C.-e D.0【考点】利用导数研究函数的最值.【专题】函数思想；分析法；导数

6、的概念及应用；数学运算.第5页 共2 4页【分析】利用导数判断出函数/(X)的单调性，可得到当x=e时，f(x)取最大值【解答】解：根据条件可得，(x)=-1,令/(x)=0可得x=e,X则当 0 x 0,/(x)单调递增，当 e x 2 e 时，f(x)0”是(x)有三个不同的零点”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【考点】利用导数研究函数的单调性；充分条件、必要条件、充要条件.【专题】计算题；函数思想；综合法；简易逻辑；数学运算.【分析】先求函数的导数，判断单调性，得到函数有三个零点的充要条件即可.【解答】解：f(x)=3x2+2 a

7、x+b,若/(x)=3x2+2 ax+b=0,且 A =4 -1 2 b 0,B P a2-3b 0 f f f,设/(X)=0 两根为 X”X 2，且 X IX 2，当或X X 2时，f(x)0,f(x)单调递增，当 X 1 X X 2 时，f(x)o若./(工2)0-3人0是/(x)有三个不同的零点的必要不充分条件.故选：B.【点评】本题主要考查零点个数的求法，方程与根的关系，以及充分必要条件的定义，属于中档题.第6页 共2 4页6.(2021绵阳模拟)若曲线y=-在 点(1,-1)处的切线与曲线_y=/x 在点尸处的切线垂直，则点尸的坐标为()1A.(e,1)B.(1,0)C.(2,加2

8、)D.(,-M 2)2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.【专题】计算题；对应思想；定义法；导数的概念及应用；数学运算.【分析】设 0),g(x)=lnx(x 0 然后求出f G)和 g(x)的导数，设P点坐标为(孙，)，根据条件得到，(1)g(XP)=-1,进一步求出P 的坐标.【解答】解：设/(1)=2 0),g(x)=1 nx(x 0 贝 u r m)=-s U)=2万 i设尸点坐标为(xp,yp),由题意，得/(1)g(xp)-1,yp=lnxp=-/2,A P(,-ln2.2故选：D.【点评】本题考查了利用导数研究函数的切线方程及其几何意义，属基础题.7.(2018春济北区校级期

9、末)已知数列 斯 的前n 项之和Sn=n2-4+1,则同+|。2|+团。|的 值 为()A.61 B.65 C.67 D.68【考点】数列的求和.【专题】计算题；等差数列与等比数列.f S.,n 1【分析】首先运用即=J 求出通项即，判断正负情况，再运用SioS -S 1,n2(n n 1 7第7页 共2 4页-2 S 2 即可得到答案.【解 答 解：当=1时，S i=a i=-2,当?2 时，斯=5,-&一 1=(2-4+1)-(-1)2-4(n -1)+1=2 -5,(-2,n=1故 斯=，(2 n-5,n 2据通项公式得 a i 2 O a 3 a 4 所以S -1 =-2n-n n故/

10、C O正确，8错误.故 选:B.【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题.9.(2 0 1 9赣州模拟)若函数/(x)=ex-ln(x+a)在(0,+)上存在零点，则实数a的取值范围是()1 1 1A.(o o ,)B.(-8,e)C.(-,e)D.(-e,)e e e【考点】函数零点的判定定理.【专题】数形结合；转化思想；转化法；函数的性质及应用.【分析】利用函数零点与函数图象之间的关系，转化为两个函数图象交点问题，利用数形结合进行求解即可.【解答】解：若/(X)=ex-ln(x+a)在(0,+)上存在零点，即(x+

11、a)在(0,+8)上根，即 两 个 函 数 和 人(x)I n(x+a)在(0,+)上有交点，作出两个函数的图象如图：若 a 0,则只需要人0)=lna,即0 a Cx+a)的图象是函数y=/x向右平移的，此 时 在(0,+)上恒有交点，满足条件，综上a0得 I V x W e,此时函数(x)为增函数,第1 0页 共2 4页当 h(x)h (),e即(x)的取值范围是 0,e3-4 ,则实数a的取值范围是 0,e 3-4 ,故选：D.【点评】本题主要考查函数与方程的应用，结合对称性转化为方程有解，利用导数研究函数的单调性和最值是解决本题的关键.综合性较强.二.填 空 题(共5小题)1 1.在等

12、差数列 小 中，前 加(机 为 奇 数)项 和 为 1 3 5,其中偶数项之和为6 3,且 a”,-a i=1 4,则 m 1 5 ,aoo=1 0 1 .【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n 项和.【专题】计算题；方程思想；定义法；等差数列与等比数列；逻辑推理；数学运算.【分析】由数列“的前m项和中偶数项之和为6 3,得前m项中的奇数项之和为1 3 5 -6 3 =72,从而可得等差数列 金 的公差为d=9,进一步利用a,=a i+Cm-)d,am-a=1 4 即可求解出a i 的值，从而可求出机与GOO的值.【解答】解：数列 斯 的前m项和中偶数项之和为6 3,.前m项中的奇数项之和

13、为1 3 5 -6 3=72,设等差数列 斯 的公差为d,则d=7 2 -6 3=9,%+a又 a m=a i+(加-1)d,所以-9,因为。加-。1=1 4,2mCa,+a)所以 a i=2,0.如X+2 3,x a果对于任意*1，丫 2 1 1,且*1 2，都有./(苫1)人 工 2),则实数a的取值范围是 ,1 .e【考点】分段函数的应用.【专题】数形结合；函数思想；转化法；函数的性质及应用；导数的概念及应用；数学抽象.【分析】把题意翻译为函数/(X)在 R上单调递增，则两段函数分别递增，且在分界处右端点大于等于左端点的函数值即可.【解答】解：对于任意X I,X 2 6R,且 X 1 X

14、 2,都有/(X I)/(X 2)成立，即函数/(X)在 R上单调递增，先考察函数g(x)=-J+2 X-3,xGR的图象，配方可得 g(x)=-(x -1)2 -2,函 数g(x)在(-8,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，且g(x)max=g (1)=-2,.o W 1,以下考察函数h(x)=xlnx,xE(0,+8)的图象，则 h(x)=/x+l,令 hf(x)=/x+l=0,解得 x =随 着 x变化时，h(x)和h(x)的变化情况如下:X(0,)e1e匕+0;eh(x)-0+h(x)单调递减极小值单调递增即 函 数h(X)在(0,-)上 单 调 递 减，在 d,十 8)上 单

15、 调 递 增，且e e第 1 4 页 共 2 4 页h（x）=h）=-m,n e e对于任意x i，X 2 6R，且 X 1 X 2，都有f（x i）2 即 h（X）加 g（X）maxie：.a的取值范围为_L,i .e故答案为：J L,i .e【点评】本题考查分段函数的单调性，考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想,考查数学抽象的核心素养，属于难题.三.解 答 题（共 5 小题）1 6.（2 0 2 1 河南模拟）已知数列“为等比数列，0 3=8,其中4 3,4 4+4,4 5 成等差数列.（1）求数列 斯 的通项公式：（2）设 M=l o g2“，C n=-,求数列 C n 的前 项和

16、.b,b,in n-r 1【考点】数列的求和.【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算.【分析】（1）由题设求得数列 ”的公比g,即可求得其通项公式；（2）先 由（1）求得从”进而求得C n,再利用裂项相消法求得其前项和即可.【解答】解：（1）设数列缶 的公比为4，.,。3 =8,。3，4+4,5 成等差数列，*.2（0 4+4）=。3+。5，即 2 （8q+4）=8+8 7，解得：q=2 或 g=0 （舍），ClnCl3（n 3 =2 ;（2）由（1）可得：6 =1 o g2 2 =,C n=-=-,n（n+1）n n+1第1 5页 共2 4页2 2 3 n n+1 n+1 n

17、+1【点评】本主要考查等差数列的定义及等比数列的基本量的计算、裂项相消法在数列求和中的应用，属于中档题.%1 7.(2 0 2 1 青岛一模)从 S=(+)；2=。3，。4 =。1。2；。1=2,“4 是。2，2四 的等比中项.”三个条件任选一个，补充到下面横线处，并解答.已知等差数列 斯 的前项和为S”公差d不等于零，,6N*.(1)求数列 ”的通项公式；(2)若 6=S2-S2 ，数列出“的前项和为 铀,求%.【考点】数列的求和.【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算.【分析】(1)分别 选 ，由等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项

18、公式；(2)由S=2+，可得儿，再由数列的分组求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和.【解答】解：(1)选 S 产(+-),2%可得=5 1 =1+-，解得m=2,2即 Snn2+n,则 1+。2 =6,即 0 2 =4,=0 2-0 1=2,所以。3=2+2 (M-1)=2 ；选()S2 =。3，。4 =1 2，可得 2 a+d=a+2 d,ai+3 =ai (ai+A 3,A 5,A e AI,AS，4 9，/i o，A,3 2 共 1 2 个基本事件，/=/2,2 6,A s，A g,A w，N 1 1 共 6 个基本事件，所 以，该 月 甲 地 空 气 月 平 均 相 对 湿 度

19、 有 利 于 病 毒 繁 殖 和 传 播 的 概 率P(A)=-=(4 分)12 2(I I )在第一季度和第二季度的6个月中，甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份只有2月和6月，故X所有可能的取值为0,1,2.CP(X=0)=C6 215 5P(X=1)=CCC815P(X=2)=C 15随机变量x的分布列为：X012P28151515第 1 8 页 共 2 4 页(I l l)+6=1 0 8,设乙地上表1 2个月的空气月平均相对湿度的中位数为M,则M的最大值为5 8%,最小值为5 4%.(1 3分)【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法

20、及应用，考查中位数的求法，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题.1 9.(2 0 2 1 春厦门期末)已知函数/(x)=ln(x+1)+ax-a(a G R).(1)讨论/(x)的单调性；(2)若/(x)W x/a+ax,求a的取值范围.【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的最值.【专题】计算题；函数思想；转化思想；转化法；导数的综合应用；数学抽象；数学运算.【分析】(1)根据导数符号与函数单调性之间的关系分a=0,a 0,三种情况分类讨论/G)的单调性；(2)/(x)(x+1)+a 0,构造函数g (x)=xexu-I n(x+1)+a,由必要条件g (0)0,解得a

21、 2 0.再 证 明 当 满 足 题 意 即 可 得 到 答 案.【解答】解：(1)函数/(x)=/(x+1)+a x-a的定义域为(-1,+8),./,.1.1+a(a?+1)a i+a+lf -Fa=-=-1+1 1 1+1当a=0时，f(x)=0(x+1)在(-1,+8 )上单调递增；当 a 0 时，ax+a+-a+a+l=l 0,所以/(x)0 在(-1,+)上恒成立，所以/(x)在(-1,+8)上单调递增；当 a0,/(x)在(一1,-1一-L比单调递增；a a当 1一1-L时，/(X)0,/(X)在(一1-+8)上单调递减.a a综上所述，当 心()时，火x)在(-1,+8)上单调

22、递增；当a 0,当时，g(x)=(x+l)e -，l+l令人(工)=(1+1)/-?一,则 h (i)=m+2)/-+1+1 (1+1)-(-1,+8)上恒成立，所 以 (x)在(-1,+8)上单调递增，又-a1h(0)=e -1 0-a+2由零点存在定理可知存在唯一 x o O,a+1),使得(x)=0,所以当(-1,x o)时，(x)0,所以g (x)在(-1,x o)上单调递减，在(x o,+8)上单调递增,其中 h(x o)g(x o)=0,即 e 5-r =1 -a=-2 ln(i+1),(小D-x_0 x0 ag(i)min =g(%0)=0屋-Z n U0-f-l)+a=x0-Z

23、-+a(x0+l)2x Q x G Q x0 xo 1=-r+亏+方=-r+亏+R力。+2 5 g +1):Uo+D 2 2(%+D 2 2=-+x0+/n(;e04-1)03 o +D-所以g(X)0在(-1,+8)上恒成立.综上所述，a的取值范围为 0,+8).【点评】本题考查导数的应用，考查利用导数研究函数单调性、最值.考查设而不求法和分类讨论的数学思想，属于难题.2 0.(2 0 1 8江苏模拟)设函数/(x)=-ax2-I nx,其中 a R.2第2 0页 共2 4页（1）若a=0,求 过 点（0,-1）且与曲线y=/（x）相切的直线方程;（2）若函数/（x）有两个零点x i，X 2

24、，求。的取值范围；求证：/（X|）+f（X 2）0.（/）若 a W O,（拓）若。0,求出函数X X的/G）而，当O V a V e时，函数/G）在 区 间（0,L）内恰有1个零点.考察函8 1数g (x)=X -1-/X,贝I jg (x)=1 -=-.判断函数的单调性，求出函数X X的最值，利用函数的零点个数推出a的取值范围是（0,e）.由x i，尤是函数/）的两个零点（不妨设X|0.X X（Z）若a W O,则，（X）0,由/（X）=0,解得冗=-.当 0cxf（x）0,f（x）单调递增，所以 f（x）min f（=T）=-ln-1=-J a 2 J a 2 J a要使函数/G）有两个

25、零点，首先加 V O,解得O V q V e.（7分）2 Kv,1 1 1当 0 a-.y/a&e因为/（）=5.0,故/（）o.e 2 e2 e 衣又函数/（X）在（0,十）上单调递减，且其图象在（0,所以函数/（x）在 区 间（0,L）内恰有1个零点.J a1 x -考察函数 g （x）-1 -I nx,贝!|g （x）=1 -=-X X当比（0,1）时，g（x）0,函数g （x）在（1,+8）上单调递增，）上不间断,s/a（9 分）第 2 2 页 共 2 4 页2 2 2所以 g(x)2 g (1)=0,故/()=-In 0.因为2上=与。，故 工 二.a y/a o a&1 2 1 1

26、因为/（一=）,/（）W0,且/（x）在（,+8）上单调递增，其图象在（,y/a a Ja Ja+）上不间断,所以函数/（x）在 区 间（=，三 上恰有1 个零点，即 在（二，+8）上恰有1 个零y/a a Ja点.综上所述，。的取值范围是（0,e）.(1 1 分)由XI,X2是函数/（X）的两个零点（不妨设X l X 2）,得 1 2 a x.1 ln x,=02 1 1 axI 222-l-/n a?,=0两式相减，得（X I2-X 22）2x 1-In-2 2=0,即L(X I+X 2)(X I -X 2)-/-=02x2所以 a(x i+x 2)=（1 3 分）f(x i)+f(X 2)V 0 等价于 ax-axi-0 即 a(x i+x 2)0,”12ln1 0,即 2,1 1L+比 2fX.-x n x lx2 x 2 I 1设(x)=2/x+-x,xG(0,1).贝 (x)=-9X X X1=-2（厂2比 一h（1）=0.X,X,X 9 X,因为一-6(0,1),所以 2 历一 L+-1-L 0,X第2 3页 共2 4页即，(xi)+f(%2)0 成立.(16 分)【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的单调性函数的极值，考查转化思想以及计算能力.第2 4页 共2 4页