2022-2023学年江苏高二上学期数学教材同步教学讲义（苏教版必修第一册）专题02 史上最全直线的最值问题(含详解).pdf

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1、专题0 2 史上最全直线的最值问题【题型归纳目录】题型一：“距离之和”型的最值问题题型二：“距离之差”型的最值问题题型三：“距离乘积”型的最值问题题型四：“截距之和”型的最值问题题型五：“周长”型的最值问题题型六：“面积”型的最值问题题型七：“平行线间距离”型的最值问题题型八：“距离的平方和”型的最值问题题型九：“点到直线距离”型的最值问题题型十：“斜率”型的最值问题【典型例题】题型一：“距离之和”型的最值问题例 1.直线2x+3y-6=0 分别交x 轴和y 轴于A,8 两点，P 是直线y=x 上的一点，要使|PA|+|P 3|最小，则点尸的坐标是()A.(-1,1)B.(0,0)C.(1,-

2、1)D.(1,-；)例 2.设机e R,过定点A 的动直线x=0 和过定点3 的动直线，n x-y-m +3=0 交于点P(x,y),则|%|+|例的最大值是()4.2 B.2石 C.3 D.2+若例 3.已知直线/:3 x-y-l=0及点 4(4,1),8(0,4),C(2,0).(1)试在/上求一点P,使|AP|+|CP|最小；(2)试在/上求一点Q,使lA QI-IB QI最大.例 4.直线/:3 x-y-l=0,在/上求一点尸，使 得.(1)尸到A(4,l)和 3(0,4)的距离之差的绝对值最大；(2)尸到A(4,l),C(3,4)的距离之和最小.例 5.(2022 四川达州高一期末(

3、理)在直角坐标系中，若 A(2,l)、3(1,2)、C(0,y)(ywR),则|的+|四的 最 小 值 是.例 6.(2022 宁夏银川二中高一期中)平面直角坐标系内有四个定点4(-1,0),B(1,0),C(2,3),D(-2,6),在四边形ABC。内求一点P,使1pAi+|P8|+|PC|+|叫 取 得 最 小 值 时 尸 的 坐 标 为.例 7.(2022 江 苏 高 二)已知点P是无轴上的任意一点，4 0,-2),8(-3,0),则21Api+|8 P|的最小值为.例8.(2022会国高二课时练习)已知点A(L3)、B(5,2)，点P在x轴上,则|明+|尸8|的最小值为.题型二：“距离

4、之差”型的最值问题例 9.已知点 A(-3,5),8(2,15)直线/:3犬 一4)，+4=0.(1)在/上求一点P,使|弘|+|2 8|的值最小；(2)在/上求一点Q,使I0 4-Q3 I的值最大.例 1 0.已知直线/:x 2y+8=0和两点 A(2,0),8(2,T).(1)在直线/上求一点P,使|ft4|+|P B|最小；(2)在直线/上求一点P,使IIP 3 I-I尸4|最大.例 11.(1)已知两点4(3,-3),8(5,1),直线/:y =x,在直线/上求一点尸，使|PA|+|P 8|最小.(2)已知两点A(-3,3),8(5,1),直线/:y =x,在直线/上求一点P,使|2

5、4|-|PB|最大.例1 2.已知两点A(2,3)、8(4,1)，直线/:x +2y 2=0,在直线/上求一点P.(1)使|PA|+|P 8|最小；(2)使|PA|-最大.例 1 3.已知直线/:3 x-y-1 =0 及点 A(4,l),B(0,4),C(2,0).(1)试在/上求一点P,使|AP|+|C P|最小，并求这个最小值；(2)试在/上求一点。，使|4。|-|8 0|最大，并求这个最大值.题型三：“距离乘积”型的最值问题例1 4.过点P(2,l)作直线/分别交x轴的正半轴，y轴的正半轴于A,B两点.(1)当|。4卜|。8|取最小值时，求出最小值及直线/的方程；(2)当1PAi4尸例取

6、最小值时，求出最小值及直线/的方程.例1 5.过点P(2,l)作直线/分别交x,y轴正半轴于A,B两点.(1)当AAO3面积最小时，求直线/的方程；(2)当取最小值时，求直线/的方程.例1 6.直线/过点尸(2,3)且分别与x、y轴正半轴于A ,B 两 点,O为原点.(1)当取最小时，求直线/的方程；(2)当1 P A i|例 取最小值时，求直线/的方程.设e R ,过 定 点A的 动 直 线x +,町，=0和 过 定 点3的动直线z n r-y-m +3 =0交于点P(x,y),则以尸3的最大值是()A.3 B.4 C.5 D.6例1 8.已知直线/过点M(2,l),且分别与x轴的正半轴、y

7、轴的正半轴交于A ,B两点，。为原点，当取得最小值时，直线/的方程为.题型四：“截距之和”型的最值问题例1 9.过点P(l,4)作直线与两坐标轴的正半轴相交，当直线在两坐标轴上的截距之和最小时，求此直线方程.例2 0.直线/经过点P(l,9),且与两坐标轴的正半轴相交，当两截距之和最小时直线/的方程为.例2 1.若直线办+勿/a 0力 0)过点(1,1),则该直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为()A.1 B.2 C.4 D.8例2 2.若直线o r +勿=a伙”0力 0)过点(1,4),则该直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为()A.1 B.4 C.9 D.1 6例2 3.若直线/:/+

8、2=1(4 0力 0)经过点(1,2),则直线/在x轴和y轴上的截距之和的最小值为()a bA.忘 B.20 C.3 +5/2 D.3 +2&题型五：“周长”型的最值问题例2 4.(2 0 2 2 重庆第二外国语学校高二阶段练习)已知在平面直角坐标系中直线/恒过定点(2,1).与x正半轴y正半轴分别相交A、B两点，。为坐标原点，P 1 U A08周长的最小值是.例2 5.(2 0 2 2 湖北监利市教学研究室高二期末)已知定点4(4,2),动点M、N分别在直线y =x和y =0上运动，则AAMN的周长取最小值时点N 的坐标为.例 26.(2022 江 苏 高 二)已知点4-L T),试在y 轴

9、和直线丫=龙上各取一点8、C,使AABC的周长最小.(提示：尝试使用对称方法，用几何性质简化运算)例 2 7.已知点A(3,l),在直线x-y =0 和 y=0 上分别有点和N 使 AAM/V的周长最短，求点A f、N 的坐标.例 2 8.已知点M(3,5),在直线/:x-2 y +2=0 和 y 轴上各找一点P 和。，使AMPQ的周长最小.例 2 9.在直角坐标系中，己知M(2,l)和直线L:x-y =0,试在直线L 上找一点P,在 X 轴上找一点Q,使三 角 形 的 周 长 最 小，最 小 值 为.题型六：“面积”型的最值问题例 3 0.过点P(2,l)作直线/交x 轴、y 轴的正半轴于A

10、,B两点,O 为坐标原点.(1)当AAO3的面积为2 时，求直线/的方程；2(2)当AAQ8的面积最小时，求直线/的方程.例 3 1.已知过点41,1)且斜率为-双机0)的直线/与x 轴、y 轴分别交于P、Q,过 P、0 作直线2x+y=0的垂线，垂足为R、S,求四边形PRSQ 面积的最小值.例 3 2.已知直线/:y=(1-,)工+利(,R).(I)若直线/的倾斜角a e 匹，生 求 实 数 小的取值范围；4 3(H)若直线/分别与x 轴，y 轴的正半轴交于A,3 两点，O 是坐标原点，求 A4Q8面积的最小值及此时直线，的方程.例 3 3.已知直线/:土+二 一=l(?eR).m 4-77

11、?(1)若直线/的斜率等于2,求实数机的值；(2)若直线/分别与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴交于A,B 两点，O是坐标原点，求 AAOB面积的最大值及此时直线/的方程.例 3 4.已知直线/经过直线2 x+y-5=0 与x-2 y =0 的交点M.(I)若/经过点A(5,0),求/的方程：(I I)若直线/分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A、8 两点，O 为原点，是否存在使AABO面积最小的直线/?若存在，求出直线/方程；若不存在，请说明理由.例 3 5.已知直线4:a r-2 y=2a-4,/,:2x+a2y=2a2+4,当0 a 0)将A A B C分割为面积相等的两部分，则匕的取值范围

12、是()A.(0,1)8.(1-等,；)。一 告 白题型七：“平行线间距离”型的最值问题例3 7.已知4是分别经过8(0,-2)两点的两条平行直线，当4之间的距离最大时，直线4的方程是.例 3 8.已知/4是分别经过42，1)，8(0,2)两点的两条平行直线，当4之间的距离最大时，直线4的方程是.例 39.直线/-4是分别经过4(1,1),3(0,7)两点的两条平行直线，当乙，4间的距离最大时，直线4的方程是()A.x+2 y-3 =0 B.x-y-3 =0 C.x+2y +3 =0 ).x-y +3 =0题型八：“距离的平方和”型的最值问题例 4 0.已知光线通过点A(2,3),经直线/:x+

13、y +l =0反射，其反射光线通过点8(1,1).(1)求反射光线所在的方程；(2)在直线/上求一点尸，使Q 4=P8；(3)若点。在直线/上运动，求。工+。82的最小值.例 4 1.已 知 直 线/过 点 且 与x轴，y轴的正半轴分别相交于A ,B两 点,O 为坐标原点.求：(1)当|。4|十|。例 取得最小值时，直线/的方程；(2)当|初4+|知8|2取得最小值时一，直线/的方程.例 4 2.己知三点尸(1,2),Q(2,l),R(3,2),过原点作一直线，使得点P,Q,R 到此直线的距离的平方和最小，求此直线方程.例 43.(20 22 江 苏 高 二)已知直线/：x+(a-l)y+2=

14、0,右：区+丫=。，且 则 片+匕?的 最 小 值为()4.-B.；C.D.42 2 1 6题型九：“点到直线距离”型的最值问题例 44.(20 22 江 苏 高 二)点P为直线3 x-4 y+2=0上任意一个动点，则P到点(3,-1)的距离的最小值为例 45.（2022 江 苏 高 二）直线/：3x-2y+5=0,P（肛）为直线/上动点，则（加+1产+外的最小值为例 46.（2022 上海虹口 高二期末）已知点M 3 6）在直线5x-12y+26=0 上，则 行 存 的 最 小 值 为例 47.（2022 江苏盐城高二期末）已知点P（x,y）在直线x-y-l=0上的运动，则（x-Z）?+（y

15、-2）?的最小 值 是（）A.；B.C.-D.在2 2 4 4例 4 8.已知直线/经过直线2 x+y-5 =0 与x-2 y =0 的交点.（1）若点A（5,0）到/的距离为3,求/的方程;（2）求点A（5,0）至 h 的距离的最大值，并求此时/的方程.例 4 9.已知4（1,2）,直线/经过直线2x+y-5 =0 与直线x-2 y =0 的交点P.（1）若直线/与直线3x+2y+5=0 平行，求直线/的方程；（2）当点A 到直线/的距离最大时，求直线/的方程.例 5 0.若点（九”）在直线4x+3 y-10=0 上，贝 U疗+*的 最 小 值 是.例 5 1.已知动直线/。：以+切+c-2

16、 =0（a 0,c 0）恒过点尸（1,.）且 Q（4,0）到动直线的最大距离为3,则J_ +2 的最小值为（）2a c9 9A.-B,-C.1 D.92 4题型十：“斜率”型的最值问题例 5 2,直线2X85。-3=0（2 工二）的倾斜角的取值范围是（）6 34 弓 百 氏弓 与 C.弓,刍 小弓，刍6 3 4 3 4 3 4 3例 5 3.设直线/的斜率为3且 则 直 线/的 倾 斜 角 c 的取值范围是（）A.0,加停 3.崂U 呼 。.亨 争 亨 争例 5 4.已知A（-l,0）,8（0,3）,若直线/:o r+y+2 a-l=0 上存在点P,满足|PA|+|P8R A 8|,则/的倾斜

17、角的取值范围是（）4 吟U 印 8.6，学 C 0,勺 IJ与,争4 4 4 4 6 6 6 6例5 5.若直线/:y=A x-G与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限，则直线/的倾斜角的取值范围是（）A.吟 百o 3B中9 C.（资）D转）专题0 2 史上最全直线的最值问题【题型归纳目录】题型一：“距离之和”型的最值问题题型二：“距离之差”型的最值问题题型三：“距离乘积”型的最值问题题型四：“截距之和”型的最值问题题型五：“周长”型的最值问题题型六：“面积”型的最值问题题型七：“平行线间距离”型的最值问题题型八：“距离的平方和”型的最值问题题型九：“点到直线距离”型的最值问题题型十：“斜

18、率”型的最值问题【典型例题】题型一：“距离之和”型的最值问题例 1.直线2x+3 y-6 =0分别交x 轴 和 y轴于A,8 两点，P是直线y=x 上的一点，要使|P A|+|P 3|最小，则点尸的坐标是()A.(-1,1)B.(0,0)C.(1,-1)D.(1,-；)【解析】解：由 题 意,A(3,0),5(0,2)设点8(0,2)关于直线y =-X 的对称点Bm,)，=f =_2则由,求得，可 得 8(-2,0),2+tn=0-=-12 2.4 y 的直线方程为：y =0.联立方程可得：y =0,求得x=y =0.点P的坐标为(0,0).故选：B.例 2,设7 尺，过定点A的动直线x+/n

19、 y =0和过定点8 的 动 直 线 如-y-7 +3 =0交于点P(x,y),则|PA|+|P 8|的最大值是（）4.2 B.2有【解析】解：由题意可得动直线x+叼=0 过定点A（0,0），C.3 D.2+6直线 m x-y-m +3=0 可化为(x-1)，+3-y=0,令丁=：可解，EP 5(1.3),3-y =0 y=3X 1X/H+/?X(-1)=0,故两直线垂直，即交点为P,+|物 2=|AB。,由基本不等式可得10=|PA+|PB|2=(|PA|+|PB|)2-2|P A|P B|.(PA+PB)2-2(|PA|+|Pg|y=(I PA I +1 P 3 1)2,2 2.-.(PA

20、+PB)220,解得：PA+PB 275,当且仅当I PA|=|PB 7 5 时取等号.故选：B.例 3 已知直线/:3x y l=0 及点 A（4,l）,8（0,4）,C（2,0）.（1）试在/上求一点尸，使|AP|+|C P|最小；（2）试在/上求一点Q,使IA Q I-I8Q I最大.【解析】解：（1）设 C 关于直线的对称点。的坐标（。,力，e 2+h3 x-1 =02 2h-x3=-l、一 2,解得b=则则 A C 的直线方程为：y=l,联立（3 x-,v-l=0y=l交点为q,l），9在/匕求一点使|AP|+|C P|最小;（2）设 3 关于直线的对称点夕的坐标3,切，则.0+4+

21、h3x-1=0h-4-x3=-l.67-04=3 A-解得以3,3），直线A夕的方程为:5|=言,即2=。,联立23Xx-+Ly-9 =。0 解.Z得R：xy =25 在./上,求一点.Q（2,5），由对称性知，|BQ|=B，Q|,|AQ|B Q|=|A Q|-|B，Q|,|AB，|(当且仅当。、B1、A 三点共线时取“=”).(1)P 到 A(4,l)和 8(0,4)的距离之差的绝对值最大;在/上求一点P,使得.(2)P 到 A(4,l),C(3,4)的距离之和最小.【解析】解：在直线L：3 x-y-1 =0 上求一点P,使得:(1)尸到A(4,l)和 3(0,4)的距离之差最大，显然A、3

22、 位于直线L 两侧，作 8 关于直线L 的对称点8 ,连接长4,则 所 在 直 线 与 直 线 L 交点即为尸，此时，的差值最大，最大值就是氏4,设 8 点关于 L 对称点 8 (a.h),(Z-4)x3=-(-0)-3。-S+4)-2=0 得 a=3，b=3，A B 的直线方程为2x+y-9 =0 解方程2x+y-9 =0,与3x-y-1 =0 可得(2,5)是距离之差最大的点.(2)P 到 A(4,1)和 C(3,4)的距离之和最小，显然，A、8 位于直线心同侧，作点C 关于直线L对称点C,连接C 4,则 C A 与直线L 的交点就是点尸，此时，R 4+P6之和最小，最小值为CA,设C 关

23、于/的对称点为C,求出0 的坐标为.A C 所在直线的方程为19x+17y-93=0.例 5.(2022 四川达州高一期末(理)在直角坐标系中，若 A(2,l)、8(1,2)、C(0,y)(y eR),则|AC|+|BC|的最小值是【答 案】M【解 析】由题意可知，点c 在 y 轴上，点A 关于y 轴的对称点为知(-2,1),由对称性可得|A C|=|q,A 所以，|AC|+|BC|=MC+|BC|MB=(1+2)2+(2-l)2=V10.当且仅当点C 为线段BM与y 轴的交点时，等号成立,故gO +|BC|的最小值为何.故答案为：V io.例 6.(2022 宁夏银川二中高一期中)平面直角坐

24、标系内有四个定点A(-1,0),B(1,0),C(2,3),D(-2,6),在四边形4BC。内求一点P,使|冽+归却+归。+|尸。取得最小值时P 的坐标为【答 案】1 i313【解 析】因为|PA|+|PC|A C|,当且仅当点A,P,C三点共线，且点尸位于4 C 之间时等号成立,|PB|+|PD|BD|,当且仅当比P,D 三点共线，且点P 位于瓦。之间时等号成立，所以I M+I 期+|p q+|叫 可 a q+l 叫,当且仅当点P为直线AC与50的交点时等号成立，因为A (-1,0),B(1,0),C(2,3),D(-2,6),所以直线AC 的方程为：x-y +l =0,直线8。的方程为：2

25、 x+y-2 =0,所以宜线AC 与B O 的交点为所以当点P的坐标为(；，皆 时,|以|+|则+|P Cj+|P D|取最小值,故 答 案 知(罟).例 7.(2 0 2 2 江苏高二)已知点P是 x轴上的任意一点，4 0,2),仇一3,0),则2 1 A p i+|8 P|的最小值为.【答案】3 +26【解析】如图，过 8点作倾斜角为2的一条直线B M:y =(x+3),过点尸作于63PE 1 E，则扁B|J|P|=-|P f i|,所以I A P|+!I BP 1=1 A P|+1 P E 闫A E|,A到 直 线 的 距 禽 d =三 马 叵，2 2因此2 1 A p i+|8 尸|的

26、最小值为3 +2 百.故答案为：3 +2 道例 8.(2022嚏国 高二课时练习)已知点A(l,3)、5(5,2),点尸在x 轴上，则|知+|冏 的最小值为.【答案】741【解析】因为3(5,2)关于x 轴的对称点8(5,-2),则=左=国，所以|A4+|P5|的最小值为网=如.故答案为：741题型二：“距离之差”型的最值问题例 9.已知点 4-3,5),8(2,15)直线/:3x 4)，+4=0.(1)在/上求一点，使|上 4|+|尸 3|的值最小；(2)在/上求一点。，使的值最大.【解析】解：(1)由题意知，点 A、3 在直线/的同一侧.由平面几何的知识可知，先作出点A 关于直线/的对称点

27、A，然后连接A B，则 直 线 与/的 交 点尸为所求.设 A(x,y),则 U=-l 且 3 4=+4=0,x+3 4 2 2解得 =3,y=-3,/.A(3,3),直线A 3 的方程为18x+y 51=0.由3 x-4 y+4=018x+y-51=0解得x=g 旦 y=3,.P(g,3)即为所求；(2)连接A B，则钙与直线/的交点即为所求Q，易得直线4 5 的方程为y=2x+ll,联立I;：工。可解得x=-8j =-5.Q(-8,-5)即为所求.例 1 0.已知直线/:x-2 y +8=0和两点 A(2,O),5(-2,-4).(1)在直线/上求一点P,使|R4|+|P 8|最小;(2)

28、在直线/上求点P使|P B|-|P A|最大.【解析】直线/斜率为工，过点(-8,0),(0,4)2结合图形易知点A关于直线/的对称点AX-2,8)连接4 3交直线/于P(-2,3),使得|PA|+|P B|最小.(2)连接A B,直 线 交 直 线/与P,使得|4|-|尸3|最大.利用A,3两点可得直线A B的方程为y=x-2.与直线/的方程联立解得P 点坐标为(12,10)例 11.(1)已知两点A(3,-3),8(5,1),直线/:y =x,在直线/上求一点尸，使1PAi+|尸3|最小.(2)已知两点A(-3,3),8(5,1),直线/:y =x,在直线/上求一点P,使|-|尸8|最大.

29、【解析】解：(1)作点A 关于/对称点4,则4(3,-3),连接A 3延长交/于P，|必|+|P 3|R|/W|-|P B|=|A 8|,.|p4|+|PB|最大值为|A B|,联立卜+4)-9 =,得 p(2,2)y=x 5 5(2)作点A 关于/对称点A，则 A(3,-3),连接A 3延长交/于P,PA-PB=4PA!-PB=IA!B,.J|pA|-|PB|最大值为|A 8|,联立上+4y-9=。,得尸卷 4y=x 5 5例 1 2.已知两点A(2,3)、8(4,1),直线/:x +2 y-2 =0,在直线/上求一点P.(1)使 1PAi+|P B|最小；(2)使|P A|-|P 8|最大

30、.【解析】解：(1)可判断A、8 在直线，的同侧，设 A 点关于/的对称点4 的坐标为(占，y,).则有A 1Z +2.2112_2=O,=2 2%-2 2解得23=-丁9由两点式求得直线A 8 的方程为y=(x-4)+l,直线A B 与/的交点可求得为P(|,-).由平面几何知识可知|R41 +1尸 31最小.(2)由两点式求得直线 他 的 方程为y-l=(x-4),即x+y-5 =0.直线A B与/的交点可求得为P(8,-3),它使|B 4|-|P B|最大.例 1 3.已知直线/:3 x-y-l=0 及点 A(4,l)，3(0,4),C(2,0).(1)试在/上求一点P,使|AP|+|C

31、 P|最小，并求这个最小值；(2)试在/上求一点Q,使|A Q|-I8Q II最大，并求这个最大值.【解析】解：(1)设C 关于直线的对称点C，的坐标(。,切，2+b.八3 x-1 =02 2b x3=-la-2则4解得。=Tb=l,即则A C 的直线方程为：y=l,联立=y=l7解得了=,y=1，3即交点为P(2,1),此时|AP|+|C P|最小，最小为|A C|=4+1 =5；3c a 4+Z?t 八3x-1 =0(2)设3 关于直线的对称点股的坐标3/),则，2 2,解得a=3,h=3,解得8(3,3),6 4)1-x3=-l直线A夕的方程为匕 =3 ，BP 2x+y-9=0,x-3

32、3-4 2x+y-9=03x-y-1 =0联立，解 得=：y=5即 Q(2,5),由对称性知,3Q|=B，Q|,|A Q|-|3 Q|=|A Q|-|Q|,|6|(当且仅当Q、B、A 三点共线时取“=”)力上的点0(2,5),是使|A 0I-I BQ|最大的点.此时最大值为|AB=7(4-3)2+(1-3)2=石:“距离乘积”型的最值问题例 1 4.过点尸(2,1)作直线/分别交x 轴的正半轴，y 轴的正半轴于A,B两点.(1)当10AH 0 8 1取最小值时，求出最小值及直线/的方程;(2)当IPAHP8I取最小值时，求出最小值及直线/的方程.【解析】解(1)设 A(a,0),B(0,B),

33、设直线方程为巧+2=1,过点P(2,l),代入2 +,=.2、区，解之得必.8,当且仅当2 =工时取等号,a b a h ah a bk=-=-,所以IOAHO例取最小值为8,此时宜线方程为x+2 y-4=0.a 2(2)设 y=Z(x-2)+l,令 x=0,y=0,可得 A=(2J,0),B(0,l-2Q,k则|PAH PB|=J(4+4/)(1+j)=+4(矢+).4，当且仅当&=1 或 A=T (舍)时取等号,即最小值为4,此时方程为x+y-3=0.例 1 5.过点尸(2,1)作直线/分别交x,y 轴正半轴于A,8 两点.(1)当AAOB面积最小时，求直线/的方程：(2)当1PAi|P8

34、|取最小值时，求直线/的方程.【解析】解：(1)设所求的直线方程为之+上=1 3 0/0)，由已知a b2 1 ,I =1 .a b2 1于是2 5,()2=1,当且仅当2=1=1,即a h 2 4 a b 2。=4,人=2 时，取最大值，即SA A O H=g 。力 取最小值4.故 所 求 的 直 线/的 方 程 为 +2 =1 ,即4 2x+2y 4=0.(2)设直线 I:y-l=k(x-2),分别令 y=0.x=0 得 A(2-LO),8(O,1-2 A).k则PA PB=小8+4(公+为.4当且仅当2=1,即=1时，|PA|P例 取最小值，又“(),这时/的方程为x+y-3 =0.例

35、1 6.直线/过点尸(2,3)且分别与x、y 轴正半轴于A,B 两点,O 为原点.(1)当|O4 H。3|取最小 时,求直线/的方程;(2)当|PA|“P 8|取最小值时，求直线/的方程.【解析】解：(1)设直线4?的方程为2 +2 =1(。0力0),a b 点P(2,3)在直线上，.*+=1,a b由基本不等式，得 1 =2 +?.2、口，当且仅当a=4 且b=6 时，等号成立,a b a b:.ab.24,因此|0 A|C B|取最小值为12,此时的直线方程 为;+上=1,即3x+2y 12=0.(2)设 NQ4O=6,则可得。(0,工),2PA=3sinPB=2cos。3 2:PA-PB

36、=-.sing cos.12sin 2 g.,.当26=90。，即夕=45。时,|E 4|P 5|取最小值12,此时，直线的倾斜角为135。，斜率为-1,直线/的方程为丁-3 二 -8-2),化为一般式可得工+)，-5=0.例1 7.设加过定点A 的 动 直 线 x+my=0 和 过 定 点 B 的动直线尔-V一加+3=0 交于点尸(工,丁)，则 的 最 大 值 是()A.3 B,4 C.5 D.6【解析】解：由题意可知，动直线x+ay=0 经过定点4 0,0)，动直线如一y m+3=0 即m(x-)-y+3=0,经过定点8(1,3),注意到动直线x+=0和动直线g-y-机+3=0始终垂直，尸

37、又是两条直线的交点，则有A4J_PB,.-J4|24-|PB|2=|AB|2=10.故|PA|“P 8|,10I+IP8I=5(当且仅当 1PAi=|PB|=石 时 取=”),2故选：C.例 1 8.已知直线/过点M(2,l),且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A,B两 点,。为原点，当取得最小值时，直线/的方程为.【解析】解：直线/过点M(2,l),且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A,8两点，。为原点，设直线/:y l=A(x-2)伏 0/0).a b把点P(l,4)代入可得!+=1 .a b,-.a+/?=(+/,)(-+-)=5+-5+2.1-=9，当且仅当匕=2a=6时取等号

38、，a b a h v tz ha+匕的最小值为9,此时直线的方程为-+=1.3 6例 2 0.直线/经过点尸(1,9),且与两坐标轴的正半轴相交，当两截距之和最小时直线/的方程为.【解析】解：设所求直线/方程为2+上=1(力0).a b 直线/经过点尸(1,9),1 Q 1 Q h 9/7 lh 9 I=1 .a+b=(+/?)(i)=10H 1 .10+2./二 16,当且仅当 b=3a=12 时取等号.a b a b a h ya b.直线/的方程为二+上=1，化为3x+y 12=0.4 12故答案为：3x+y-12=0.例 2 1.若 直 线 方+勿=3 0,人0)过点(1,1),则该直

39、线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为()A.1B.2C.4D.8【解析】解：直线+切=次 0,60)过点(1/),:.a+b=ab B P +=1 a b+Z?=(6f+fe)(+)=2+.2+2./=4 当且仅当 a=Z?=2 时上式等号成立.a b a h a h直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4.故选：C.例 2 2.若直线+切=仅 0/0)过点(1,4),则该直线在工轴、y 轴上的截距之和的最小值为()A.1 B.4 C.9 D.16【解析】解:,直线以+勿=。伏 0力 0)过点(1,4),4 1:.a+4b=ah 即一+=1 ,a b:.a+b=(a+b)(-+-)=5+-

40、+.5+2.-=9,当且仅当a=力时上式等号成立.a h h a h a直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为9.故选：C.例 2 3.若直线/:2 +2 =1(。0力0)经过点(1,2),则直线/在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值为()a b4.yfi B.2 0 C.3+V2 D.3+2近【解析】解:直 线/:、+上=l(a 0,b 0)经过点(1,2),则+2=1.a b a h:.a+b=(a+b)(-+-)=3+-+.3+2.-.=3+2y/2,当且仅当b=0 a =2+应 时取等号.a b a b a b则直线/在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值为3+2点.故选：D.题型五

41、：“周长”型的最值问题例 24.(2022 重庆第二外国语学校高二阶段练习)已知在平面直角坐标系中直线/恒过定点(2,1).与 x正半轴),正半轴分别相交4、8 两点，。为坐标原点，则4 A 03周长的最小值是.【答案】10【解析】设三角形三个顶点坐标分别为。(0,0),A(a,0),B(0,b),其中“0,b0,jr 2设 NOBA=a,a-则QA=a=2+tana,OB=b=l+-2 tanaA B=-+,sin cr cos a2 AOB 周长=OA+A 3 +3O=3 +-+t an a+t an a21-+-s i n a c o s a=1 +2 +2-a2 t an -+-2 t

42、 an 1-t an2l-t an 222 47+2-+_ a2 t an 2.。al +t an 21.2 a1 T a r r 2.2 a1 +t an-2=2 +2a a、t an (1-t an-)2 2a令t an =x,x (0,l),则 A08周长=2 +22x(l-x)2 +2-(-2x +l-x)2=1 0当且仅当x =l-x,即x =；时，周长取最小值1 0.故答案为：1 0例2 5.（2 0 2 2 湖北监利市教学研究室高二期末）已知定点4（4,2）,动点M、N分别在直线y =x和y =0上运动，则AAMN的周长取最小值时点N的坐标为【答案】件0）定点A（4,2）关于函数

43、y =x的对称点8（2,4）,关于X轴的对称点c（4,-2）,当BC与直线y =x和y =0的 交 点 分 别 为 时，此时AAMN的周长取最小值，且最小值为|BC=/（2-4）2+（4 +2）2=2 V1 0 .此时点N（x,0）的坐标满足言,解得X*，即点 N（，O）.故答案为：(三,。).例 26.(2022 江 苏 高 二)已知点A(-l,-4),试在y 轴和直线y=x 上各取一点B、C,使AM C的周长最小.(提示：尝试使用对称方法，用几何性质简化运算)【解析】过点A 做 y 轴对称点A(1,Y),作 y=x 的对称点&(Y,T),连接A 4 与y 轴交于点8,与 y=x 交于点c,

44、得G.=|阴+忸4+慎。=/耳+|四+|&q=|a4|-4-1所以此时AAB。的周长最小，直线A 4 的方程为y+4=1 K(x-i),1 一(-4)与 丁 二工交于点。-即 3x+5y+17=0,例 2 7.已知点A(3,l),在直线x-y =0 和 y=0 上分别有点M 和 N 使 AAAW的周长最短，求点、N 的坐标.【解析】解：如图，A(3,l)关于y=x 的对称点A(l,3),A(3,l)关于y=。的对称点A2(3,-l),M M N的周长最小值为|,IA 4|=2石，A 4 的方程：2x+y 5=0.与 x-y =0 的交点为M,由2x+y-5x-y =O=0 5=M（一，3A 4

45、 与 y=0 的交点N,由:=r=吟。”的周长最小.【解析】解：由点M(3,5)及直线/,可求得点M 关于/的对称点M 1(5,l).同样容易求得点M 关于y 轴的对称点式-3,5).据 M,及M2两点可得到直线MtM2的方程为x+2y-7 =0.得交点尸(|,1).7令x=o，得到陷加2与 y 轴的交点a。，/).解方程组x+2 y-l=0 fx-2 y+2=0,故点尸(|,；)、Q(0,3 即为所求.例 29.在直角坐标系中，已知M(2,l)和直线L:x-y =0,试在直线L 上找一点尸,在 X 轴上找一点。，使三角形的周长最小，最 小 值 为.【解析】解：如图，作出M(2,l)关 于 直

46、 线 y=0 的对称点N(l,2),作出M(2,l)关于x 轴的对称点(2,-1),连结M N,交直线L 于 P,交x 轴于E,M P =PN,MQ=QE,.三角形MPQ的周长为线段N f的长，由两点间线段最短得此时三角形MPQ的周长最小,三角形MP。的周长最小时，最小值为：|NE|=2 y+(2+l f =M.故答案为：/u).题型六：“面积”型的最值问题例 3 0.过点P(2,l)作直线/交x 轴、y 轴的正半轴于A,B两点、,O 为坐标原点.(1)当A4OB的面积为2 时，求直线/的方程;2(2)当AAO8的面积最小时，求直线/的方程.【解析】解：(1)设直线方程为y l=Z(x 2),

47、分别令x=O，y=0 得 4(1_2匕0),8(0,2-3,k1 1 a故 AAQ B 的面积为 S=x|2|x|l-2A:|=-,2 k 2解得 =1或 =4故所求直线为x+y-3 =0或x+4y-6=0；(2)由(1)flS=-x|2-|x|l-2 X:|=-(2-)(i-2 il)=2-2 jt-?-=2+(2无 一 一 2+2=4.2 人 2%2Z 2%故S“加=4,此时k=-g,直线/的方程为x+2y-4=0 例 3 1.已知过点A(l,l)且斜率为-加(z0)的直线/与x 轴、y 轴分别交于尸、Q,过 P、。作直线2x+y=0的垂线，垂足为A、S,求四边形PRSQ 面积的最小值.【

48、解析】解：设/的方程为y l=，(x 1),则 产(1 +1，0),。(0,1+优).m从而可得直线尸/?和QS的方程分别为2 +1x-2 y-=0 和 x-2 y +2(/九+1)=0 .m又 P R/Q S,z.|R S=|2/M+2+1 +-|mC C 1 C 23 +2m+2 +一正*.又|P R|=加即等四边形P R S。为梯形,3 +2 机 +_ m_ 1 T +L 2-5 m 4 80 5 4 80=3.6./.四边形P R S Q的面积的最小值为3.6.例 3 2.已知直线 I:y=(-ni)x+m(m G R).（I）若直线/的倾斜角，工,工,求实数加的取值范围；4 3（I

49、I）若直线/分别与x 轴，y 轴的正半轴交于A,B 两 点,O是坐标原点，求A 4 O 8 面积的最小值及此时直线/的方程.【解析】解：（I ）由已知直线/斜率女=1 一”,倾斜角 ,，4 3由k=t a na 可得啜灰A/3,.掇i -加 ，解得i-G麴历o；(I I )在直线l:y=(-ni)x+/%中，令犬=0 可得y =m，.,点3(0,加)；令 y =0可得%=，一,m .点 A(/,0),由题设可知加 1,m M OB 面积 S|O A|0 团=(1厂+2(吁 1)+12 2 in-I 2(/n-1)=：(/-1)+-+2.J-(2(m-I)!+2 =2 ,2 m 2 v当 且 仅

50、 当 1)=1 即帆=2 时 S取得最小值2,此时直线/的方程为：x+y-2=0例 3 3.已知直线/:二+二 一=1(/MGR).m 4 m(1)若直线/的斜率等于2,求实数机的值；(2)若直线/分别与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴交于A,B 两点，O 是坐标原点，求 A 4 O 8 面积的最大值及此时直线/的方程.【解析】解：(1)直线/：2+二 二=1(加即，即 y =士 生.x +4-加，若直线/的斜率等于2,m 4 in m则 一 _ _ =2 ,求得m=-4.m(2)若直线/分别与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴交于A,B 两 点,O是坐标原点，/.m 0 ,且 4 机 0,即 0V