2022-2023学年上海九年级数学上学期同步精讲第6讲相似三角形的性质(含详解).pdf

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1、第6讲相似三角形的性质相似三角形对应角相等，对应边成比例-性质定理1：对应高、中线、角平分线之比等于相似比性质定理2:相似三角形的周长比等于相似比I性质定理3:相似三角形的面积比等于相似比的平方 利用性质定理求解长度、周长、面积、比值等I证明线段成比例 几种常用方法是重点知识梳理1.相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例.2.相似三角形性质定理1相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.3.相似三角形性质定理2相似三角形的周长的比等于相似比.4.相似三角形性质定理3相似三角形的面积的比等于相似比的平方.题型探究题型一、利用相似三角形性质的求解4/【例1】

2、求长度、周长、面积(1)已知A A BCs A4tBi G,顶点A、B、C分别与4、Bi、G对应，=-,BE、8|昂 分别是它们的对2应中线，且BE=6.求8面 的长.(2)已知A A B C s 1由G，顶点A、B、C分别与A i、8、G对应，A C =1 2,A G =9,Z 4,的平分线人。的长为6,求 的 平 分 线 的 长.(3)已知A A BCs A A14G，顶点4 8、C分别与A i、3、G对应，它们的周长分别为4 8和60,且A B=1 2,B =2 5,求C C和 的 长.(4)如果两个相似三角形的最长边分别为3 5厘 米 和1 4厘米，它们的周长相差60厘米，那么大三角形

3、的周长是.(5)如图，点。、E 分别在 A A BC 的边 A B 和 A C 上，DE/BC,D E =6,BC=9,SM O=1 6.求%BC 的值.A(6)如图，在 AABC 中，。是 ZB 上一点，若 NB=NACD,A D =4 cm,A C =6cm,=8 d，求 AABC的面积.(7)(2019上海民办桃李园实验学校九年级月考)如图，点G 是AABC的重心，过点G 作 EF/8C,分别交A B.AC于点 E、F,B.E F+B C =7.2cm,求 BC 的长.(8)(2020 上海市静安区实验中学九年级课时练习)在日 ABC中，A B=8,点 D、E 分别在边AB、AC ,且

4、D E 1BC,若 DE把口 ABC分成了面积相等的两部分，求 BD的长.（9）（重要模型）（2 0 1 9上海九年级月考）如图，Z 8 C 是一块锐角三角形的材料，边 8C=1 2 0 加高Z D=80,?，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在8 c 上，其余两个顶点分别在/8、A C ,这个正方形零件的边长是多少【例 2】比值（1）（2 0 2 0 上海市静安区实验中学九年级课时练习）相似三角形对应高的比为4:3,那么它们的对应中线的比为.（2）（2 0 2 0 上海市静安区实验中学九年级课时练习）两个相似三角形的面积比为1:2,则它们的对应角平分线的比为.（3）（2 0 2 0 上海

5、市静安区实验中学九年级课时练习）若两个相似多边形的对应边之比为5:2,则它们的周长比是,面积比是.（4）（2 0 1 9上海市进才中学北校）如果两个相似三角形的对应角平分线之比为1：4,那么它们的周长之比是（5）（2 0 2 0 上海市位育初级中学九年级期中）如图，JOA B DDOCD,OA-.O C=3：2,口。4 8 与口。8 的面积分别是&与 S 2,周长分别是G 与 C 2,则下列说法正确的是（）-D0AA ,CL=2 O A=1 r 空 _ n 0A_322 B 邑 2 C-OT_2 D,0D2“举一反三1.（2 0 1 7上海九年级一模）如果AABCS A O E F,A、B 分

6、别对应）、E,且 A B:D E =1:2,那么下列等式一定成立的是（）A.B C:D E =i:2 B.A A B C 的面积：A Z 无产的面积=1:2C.NA的度数：NO 的度数=1:2 D.A 4 B C 的周长：A D E F 的周长=1:22.（2 0 2 0 上海市静安区实验中学九年级课时练习）两个相似三角形对应中线的比为1：3,且小三角形的面积是2 月，那么大三角形的面积为一.3.（2 0 2 1 上海九年级其他模拟）如图，将E I B C 沿 8 c 边 上 的 中 线 平 移 到 E1/0 C的位置，已知E M 8 C 的面积为1 6,阴影部分三角形的面积为9.如果/4=1

7、,那么。的长为4.（2 0 2 0 上海宝山区九年级月考）如图，电灯P 在横杆A8 的正上方，A 3 在灯光下的影子为CO,AB/CD,AB=2cm,CZ）=5 a，点尸至I C O 的距离是3 cm ,则点尸到AB 的距离是.p/A、/，、A z _5.（2 0 2 0 上海市曹杨二中附属江桥实验中学九年级期中）已知两个相似三角形的相似比为4 口 9,则它们的周长比为（)A.2 口 3B.4 D9C.3 口 2D.1 61 86.（2 0 2 0 上海第二工业大学附属龚路中学）如果两个相似三角形的对应高之比是1:2,那么它们的周长比是（）A.1:2 B.1:4 C.1：V2 D.2:17.（

8、2 0 1 8上海民办兰生复旦中学九年级月考）如果一个三角形保持形状不变，但周长扩大为原来的4 倍，那么这个三角形的面积扩大为原来的（）A.2 倍 B.4 倍 C.8 倍 D.1 6 倍8.（2 0 2 0 上海市西南模范中学九年级月考）在AABC中，AB=3,A C =4,“A B C 绕着点A旋转后能与A B C 重合，那么AABB与/ACC的周长之比为.9.（2 0 2 0 上海九年级月考）两个相似三角形对应高的比为2:3,且已知这两个三角形的周长差为4,则较小的 三 角 形 的 周 长 为.1 0.（2 0 2 0 上海九年级月考）如图，AB/CD,AO与 3c 交于点。，若 要=：，

9、贝 4 翌=_ _ _ _ _ _ _O D 3 BO1 1 （2 0 2 0 上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，已知点O是ABC的重心，过点O作 EF L B C,分别交A B、AC于点E、F,若 BC=6,则 EF=.1 2.（2 0 2 0 上海九年级月考）如图，正方形O E F G 的边E F在I N 8 C 的边8c 上，顶点。、G分别在边“8、/C上，已知口”8。的边8 C=1 5,高 Z H=1 0,求正方形O E尸 G的边长和面积.A1 3.(2 0 2 0 上海市静安区实验中学九年级课时练习)如图所示，梯形中，A B U C D,对角线力C,BD交于。点，若 SA O

10、 D,.SQOC=2:3,求 SA O B,.S C O D.Dw题型二、证明线段成比例氏【例 3】(1)(直接用三角形相似得到比例)(2 0 2 1 上海九年级二模)已知：如QC,点 E 在下底8c 上，DAED=aB.(1)求证：CE,AD=DE2；(2)求证：空=驾.A D AE-AT图，梯形 488 中，ADQBC,A B=BEC（2）（换线段）（2 0 1 8年上海宝山区一模）如图，Q A B C 4 A B=A C,过 点C作。F口/8交口4 8 c的中位线。的延长线于F,联结2尸，交/C于点G./1、A E EG(1)求证：=A C CG（2）若Z”平分2 1 R4 C,交 BF

11、 于 H,求证：8 H是4G和 的 比 例 中 项.（3）（等量代换）（2 0 1 8年上海黄浦区一模）如图，8。是K6C的角平分线，点E位于边6 C上，已知BD 是 B4与 BE 的比例中项.(1)求证：C E=LL J/BC；2(2)求证：A D-CD=A B CE.g方法总结:证明线段成比例的几种方法（1）直接法：观察要证明的四条线段是否在两个三角形中，若是，设法证明这两个三角形相似；（2）换线段法：若不属于（1）的情况，则观察其中三条线段是否适合（1）的情况，若是，设法把另外一条线段代换一下，变成适合（1）的情况；/7 C C l C（3）等量代换法：若（2）也不适合，则观察要证的比例

12、式上=上两端的比巴或上是否能等于另外的比，b d b d证出哪些比相等，最后转换回来，得到幺=.当然，在等量代换的过程中，也常常会使用换线段.若不成功，b dc i c换 成c3i =h2后，再进行等量代换的思考.b d c d 举 一反三1.（2 0 2 0 年上海九年级课时练习）已知：如图，在A B C中，A8=A C ,点O、E 分别在边A C、A 8 上，Z M =D 3 ,0 8 与C E 相交于点F,D A FD=B EC.求证：(1)A F=C E；(2)B F2=EF A F.2.(2 0 2 1 上海九年级期中)如图，在QABCO中，的平分线交边B C于点E,交0c的延长线于

13、点P,点G在A E上,联 结G O,N G Z)F =Z F(1)求证：A D2=DG A F;(2)连结BG,如果BGLAE,且A B =6,A =9,求A尸的长.3.(2 0 2 0上海交大附中九年级期中)已知：如图，在“A B C中，点、D、G分别在边A 3、B C上，Z A CD=Z B,A G与C O相交于点F.D,BFC(1)求证：A C2=A D-A B（2）若*=第，求证:A C CGC G2=D F BG.以作业1.（2021 上海九年级一模）在梯形ABC。中，A D/B C,对角线AC与5 0相交于点O,下列说法中，错误的 是（）A q q o S 4 A OB =D S

14、4 A OD=n S A B D _ A DA.=dAXX7 B.7 _ c C-7 _ c r D，飞 R C2.（2021 上海九年级一模）如图，已知在心A5C中，NC=90。，点G是AABC的重心，G E L AC,垂足为 E,如果C8=8,则线段GE的 长 为（）A.53B.73C.83D.10T3.（2020上海市静安区实验中学九年级课时练习）已知相似三角形面积的比为9:4,那么这两个三角形的周长之比为（）A.9:4 B.4:9 C.3:2 D.81:164.（2020上海市静安区实验中学九年级课时练习）下列语句中，不正确的是（）A.两个三角形相似，且有一条边相等，则两个三角形全等B

15、.两个三角形相似，且周长相等，则两个三角形全等C.两个三角形相似，且面积相等，则两个三角形全等D.两个三角形相似，且相似比为1,则两个三角形全等5.（2020 上海市静安区实验中学九年级课时练习）A iB iG 的相似比为2：3,AiB.CiDDAiBzCz的相似比为5：4,则nABC与DA2B2c2的相似 比 为（）6 c 5 8-1 5A.-B.-C.D.5 6 25 86.（2020上海青浦区九年级一模）如果两个相似三角形对应边之比是1口 2,那么它们的对应高之比是（）A.1D2；B.1D4；C.106；D.1D8.7.（2019上海浦东新区九年级期中）如果两个相似三角形对应边之比是4：

16、9,那么它们的对应角平分线之比 是（）A.2：3 B.4：9 C.16：81 D.8.（2019上海市天山初级中学九年级期中）若AABCADEF,顶点A、B、C 分别与D、E、F 对应，且AB.DEl-A,则这两个三角形的对应中线之 比 为（）A.1:2 B.1:4 C.1:8 D.1:169.（2019 上海九年级一模）如图，在D/B C 中，平分CIB/C交 8 c 于点。，点 E 在/。上，如果=C,A E=2 E D,那么口力BE与1/D C 的周长比为（）EB D CA.1：2 B.2：3 C.1：4 D.4：91 0.（2 0 1 9上海民办桃李园实验学校九年级月考）已知AABCS

17、 A P E F,点A、B、C对 应 点 分 别 是E、F,A B:D E =3:2,那么入碗：5 9比 等 于（）A.3:2 B.9:4 C.1 6:81 D.81:1 61 1.（2 0 1 9 上海）如图，四边形A B C D 的对角线A C与 3。相交于点0,OA =2,0 3 =3,O C =6,0 0 =4,那么下列结论中，错误的是（）.s c 4 B I-GMOB _ 1 SMOD _ 1A.Z O A D =Z O B C B.=-C.-彳 D.-CD 2 CA DOC 2 SA H0C 91 2.（2 0 2 0 上海上外附中九年级月考）如图，尸是A A B C 内一点，过点

18、P分别作直线平行于A A B C 各边，形成三个小三角形面积分别为E =3,S?=1 2,S 3 =2 7，则5“=1 3.（2 0 2 0 上海九年级月考）有一个三角形的三边长为2,4,5,若另一个和它相似的三角形的最短边为4,则第二个三角 形 的 周 长 为.1 4.（2 0 1 9上海市育才初级中学九年级月考）如图所示，A B/CD,A C,8。相交于点E,若 面积为3,A3CE的面积为5,则梯形的面积为15.（2019上海市育才初级中学九年级月考）已知中，点。在边4 C 上，A B=12,A C=8,4）=6,点E 在边AB上,若和“A 8c相似，则/E 的长是.16.（2018 上海

19、市刘行新华实验学校九年级期中）两个相似三角形的的相似比为2:3,且已知这两个三角形的某对对应边上的高相差为4,则这两条高中较短的长度为17.（2020 上海市民办协和双语学校九年级一模）在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形.如图，请在边长为1 个单位的2x3的方格纸中，找出一个格点三角形。E F.如果QDE厂与山18c相 似（相似比不为1）,那么CEDE尸 的 面 积 为.18.（2020 上海九年级期末）如图，在DABC中，BC=12,BC上的高A H=8,矩形DEFG的边EF在边BC上，顶点D、G 分别在边AB、A C .设 DE=x,矩形DEFG的面积

20、为 那么 y 关于x 的函数关系式是（不需写出x 的取值范围）.BEH19.(2019 上海市民办嘉一联合中学九年级月考)如图，尸是平行四边形4 3 8 的边AO上一点，C F交BAAI7 0的延长线于点E,若 AE=3,四=,，AB=6,求:(1)AE的长.(2)BC的长.20.AABC 中，AB=5,BC=6,AC=7,点。、E 分别在边 A8、AC 上，且 DE/BC.(1)如果A4OE的面积与梯形BCE。的面积相同，求。E 的长；(2)如果AAOE的 周 长 与 梯 形 的 周 长 相 同，求。E 的长.21.(2020上海交大附中九年级期中)如图，已知ACBD,A 3和CO相交于点E

21、,AC=6,B D =4,尸是BC 上一点，S BEF-S EFC=2:3.(1)求 防 的长；(2)如果AB E F的面积为4,求AABC的面积.22.已知：如图，在梯形A8CO中，CD/AB,Z D A B =90 ,对角线A C、8。相交于点E,A C L B C,垂足为点C,且BC2=CE-C4.(1)求证：AD=DE；(2)过点。作AC的垂线，交AC于点尸，求证：CE2=AEAF.23.(2021 上海九年级一模)己知：如图，AD/BC,ZABD=ZC,AEA.BD,D F L B C,点、E、尸分别为垂足.(1)求证:AE BDDF-BC(2)连结 E F,如果=尸，求证：DFDC

22、=EFBC.第 6 讲相似三角形的性质相似三角形对应角相等，对应边成比例性质定理1：对应高、中线、角平分线之比等于相似比性质定理2:相似三角形的周长比等于相似比性质定理3:相似三角形的面积比等于相似比的平方利用性质定理求解长度、周长、面积、比值等证明线段成比例 几种常用方法是重点知识梳理1.相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例.2.相似三角形性质定理1相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.3.相似三角形性质定理2相似三角形的周长的比等于相似比.4.相似三角形性质定理3相似三角形的面积的比等于相似比的平方.题型探究题型一、利用相似三角形性质的求解4/

23、【例 1】求长度、周长、面积(1)已知AABCs A4tBiG,顶点A、B、C 分别与4、Bi、G 对应，=-,BE、8|昂 分别是它们的对2应中线，且 BE=6.求 8 面 的长.【答案】4.【解析】解：AABCsMgC,B E、四片分别是对应中线，-A-B-=-B-E-即ni一,3 =-6-,.5=4，A 4 耳4 2 耳4(2)己知A4BCS&41gl G，顶点A、B、C 分别与4、Bi、G 对应，A C =1 2,AG=9,幺 的平分线AQi的长为6,求 N 4的平分线的长.【答案】8.【解析】解：,AABCS A4181c ,A D,A R 分别是NA、幺 的平分线，=处即=丝，4)

24、=8 即Z 4 的平分线的长为8.AG 9 6(3)已知A A B C sB|G ,顶点A、8、C 分别与Al、Bl、Cl对应，它们的周长分别为48和 6 0,且 4 5 =12,3 G =2 5,求 8 c 和 的 长.【答案】B C =20,=15.【解析】解：.AABCS A414 G，&J =0:又.C-=4 8-4C.BG 的 58C=20，A 4=15.(4)如果两个相似三角形的最长边分别为35厘 米 和 14厘米，它们的周长相差6 0 厘米，那么大三角形的周长是.【答案】100cm.【解析】两三角形的相似比为35:14=5:2,则周长比为5:2,设大三角形周长为5 s n,小三角

25、形周长为2017n,则5“-2tt=6 0,所以a=2 0,所以大三角形的周长为100cm.(5)如图，点。、E 分别在AABC的 边 和 AC上，DE/BC,D E=6,BC=9,SM D=1 6.求应时的值.【答案】36.【解析】解：.D E/B C,:.M DEAABC,DEBC2,5 凶 0=36.(6)如图，在 AABC 中，。是 ZB 上一点，若 NB=NACD,A D =4 cm,A C =6cm,=8cM,求 AABC的面积.【答案】18o7.【解析】解：N B =NACE,N4=NA,/.AACDAABC,垓/丝丫/2 丫，SMBC AC)9又 SMCO=8c/n2，.SMB

26、C=18cm2.(7)(2019上海民办桃李园实验学校九年级月考)如图，点G是AA B C的重心，过点G作瓦7/8C,分别交A3、AC于点 E、F,且 EF+BC=7.2cm,求 8C 的长.【答案】4.32cm【解析】解：如图，连接4G并延长，交BC于点、P.G为1/B C的重心，AG=2GP,DAG：AP=2：3,尸过点G且EF BC,aaAGFWAPC,QAF：AC=AG-.AP=2；3.X EFCBC,UAEFUGABC,EF AF 2-=一.BC AC 3QEF=-BC3X EF-BC=1.2cm,BC=4.32cm.（8）（2020 上海市静安区实验中学九年级课时练习）在UABC中

27、，A B=8,点 D、E 分别在边AB、AC ,且 D E 1B C,若 DE把DABC分成了面积相等的两部分，求 B D 的长.【答案】BD=8-4及【解析】解：DErBClADE inABCADE与I ABC的面积的比等于1:2AD：AB=1：V2AB=8 AD=40BD=8-4夜（9）（重要模型）（2019上海九年级月考）如图，/8 C 是一块锐角三角形的材料，边 8 c=120?，高/。=80用机，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在8 c 上，其余两个顶点分别在“夙/C 上，这个正方形零件的边长是多少【答案】这个正方形零件的边长是48 m?.【解析】设正方形的边长为x 加，”，则

28、 4=Z D-x=8 0-x,EFHG 是正方形，JEFDGH,A EF A A B C,EF A I Bt I x 8 0 x=，即=-,B C A D 1 20 8 0解得 x=48 mm,这个正方形零件的边长是48/HW.叽 例 2比值(1)(20 20 上海市静安区实验中学九年级课时练习)相似三角形对应高的比为4:3,那么它们的对应中线的比为.【答案】4:3【解析】解：相似三角形对应高的比为4:3,那么它们的对应中线的比为4:3.故答案为：4:3.(2)(20 20 上海市静安区实验中学九年级课时练习)两个相似三角形的面积比为1:2,则它们的对应角平分线的比为【答案】1:&【解析】解：

29、两个相似三角形的面积比为1:2,则它们的相似比为：1:拉，则它们的对应角平分线的比为1:0故答案为：1:血（3）（20 20 上海市静安区实验中学九年级课时练习）若两个相似多边形的对应边之比为5:2,则它们的周长比是,面积比是.【答案】5:2 25:4【解析】相似多边形的周长的比等于相似比，相似多边形的面积的比等于相似比的平方.两个相似多边形的对应边之比为5:2,则它们的周长比是5：2,面积比是25：4.故答案为5：2；25：4.（4）（20 1 9 上海市进才中学北校）如果两个相似三角形的对应角平分线之比为1：4,那么它们的周长之比是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _【答案】1:

30、4【解析】两个相似三角形的对应角平分线之比为1：4,那么它们的周长之比是I：4.故答案为：1：4.（5）（20 20 上海市位育初级中学九年级期中）如图，O/BDU O C D,0 4：O C=3：2,口。/8与口0 8 的面积分别是S与 S 2,周长分别是C i 与 C 2,则下列说法正确的是（）CDA L-2 O A-l o O B 3 n O A 3A.B.u 今 C.=一 D.=一c2 2 s2 2 CD 2 OD 2【答案】A【解析】解：OAB UOCD,OA：0C=3：2,今=1,A 正确；S 93 =B 错误；=1.c错误；OD 2DOA：0C=3：2,D 错误；故选：A.举 一

31、反三1.（20 1 7 上海九年级一模）如果A A B C s A D E E A、B 分别对应D、E,且 A B:O =1:2,那么下列等式一定成立的是（）A.BC:DE=1:2 B.A A B C 的面积：A）E 5 的面积=1:2C.N A 的度数：N O的度数=1:2 D.A A B C 的周长：ADE尸的周长=1:2【答案】D【解析】根据相似三角形性质可得：A：B C和 D E 不是对应边，故错；B：面积比应该是1:4,故错；C:对应角相等，故错；D：周长比等于相似比，故正确.故选：D2.（20 20 上海市静安区实验中学九年级课时练习）两个相似三角形对应中线的比为1：3,且小三角形

32、的面积是2 6，那么大三角形的面积为一.【答案】1 8 6【解析】两个相似三角形对应中线的比为1：3,相似比=：,面积之比为相似比的平方，设小三角形面积为S,大三角形面积为S ,卷畤,即:绰=(1)2,解得：S=1 8 ,故填：1 8 G.3.(20 21 上海九年级其他模拟)如图，将口/B C沿 8c边 上 的 中 线 平 移 到 E M S。的位置，已知E U 8 C 的面积为1 6,阴影部分三角形的面积为9.如果/H=l,那么4。的长为.【答案】3【解析】解：如图,n S c=l 6、5 A EF=9,且力。为 8c边的中线，S *DE=g s HE/=4.5,S A B D=S,48

33、C=8,将A B C 沿8 c 边上的中线AD平移得到 JArE J A BfDAE DAB,则 修 纣=5，即fq二 gS DB+U 83解 得 。=3 或,（舍），故答案为：3.4.（20 20 上海宝山区九年级月考）如图，电灯P 在横杆A 3 的正上方，A 8在灯光下的影子为C O,A B/CD,A B =2cm,C D =5 c m,点尸到CO的距离是3c m,则点尸到A 8的距离是.PA/、/、，、，、/4/_B/CD【答案】I【解析】解：.-A B/CD：.PA B A PCD.AB:8=尸到A 8的距离：点P到CD 的距离.，2:5=2 到 4 8的距离：3.P 到 A B 的距

34、离为机，故答案为5.（20 20 上海市曹杨二中附属江桥实验中学九年级期中）己知两个相似三角形的相似比为4 U 9,则它们的周长比为（）A.20 3 B.4口 9 C.3口 2 D.1 6 38【答案】B【解析】解：两个相似三角形的相似比为4：9,口它们的周长比等于相似比，即：4：9.故选：B.6.（20 20上海第二工业大学附属龚路中学）如果两个相似三角形的对应高之比是1:2,那么它们的周长比是（）A.1:2C.1:7 2B.1:4D.2:1【答案】A【解析】解：对应高之比是1：2,相似比=1：2,对应周长之比是是2.故选：A.7.（20 1 8上海民办兰生复旦中学九年级月考）如果一个三角形

35、保持形状不变，但周长扩大为原来的4倍，那么这个三角形的面积扩大为原来的（）A.2 倍 B.4 倍 C.8 倍 D.16 倍【答案】D【解析】解：形状不变周长扩大4倍，则高和底都扩大4倍，所以面积扩大16倍.8.（2 02 0上海市西南模范中学九年级月考）在AABC中，.=3,AC =4,AABC绕着点A旋转后能与AB C 重合，那么 A B B与AC C 的周长之比为.【答案】3:4.【解析】如图BR口 ABC绕着点A 旋转后能与EJABC，重合，AB=AB AC=ACA B A B 3=r=-A C A C 4又由旋转性质知BABU CAC ABB ACCA B +A B +B B A B

36、_ 3A C +A C +C C _7C-4,故答案为：3:4.9.（2020 上海九年级月考）两个相似三角形对应高的比为2:3,且已知这两个三角形的周长差为4,则较小的 三 角 形 的 周 长 为.【答案】8【解析】解：I两个相似三角形对应高的比为2：3,即相似比为2：3,匚它们周长的比是2：3,设较小的三角形的周长为2 x,则较大的三角形的周长为3x,由题意得，3x-2x=4,解得，x=4,则 2x=8,较小的三角形的周长为8.故答案为：8.10.（2020上海九年级月考）如图，A B/CD,AD 与 BC 交于点0,若g=则 空=_ _ _ _ _ _ _O D 3 B O【解析】解：J

37、ABDCD,OAB=DODC,又 AOB=COD,AOBDCDOC,OP _ PC PC OB _5OAOB9 而 一市一针OA 3-=OB 53故答案为：j.11（2020 上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，已知点O 是DABC的重心，过点O 作 EF匚 BC,分别交AB、AC于点E、F,若 B C=6,则 EF=.【答案】4【解析】解：匚连接AO并延长交BC于 Q,。是ABC的重心，AO：OQ=2：1,DAO：AQ=2：3,EF BC,AEO ABQ,A EF ABC,EF AE AO _2BC=6,EF=4.故答案为:4.12.（2020 上海九年级月考）如图，正方形。EFG的边

38、E尸在L/8 C 的边8 c 上，顶点。、G 分别在边/8、NC上，已知4 8 c 的边8 c=1 5,高 N 4=1 0,求正方形。EFG的边长和面积.【答案】正方形0E FG 的边长和面积分别为6,36.【解析】解：高 4H 交 D G 于 M,设正方形D E F G的边长为x,则DE=MH=x,A M=A H -MH=0-x,OG 匚 8C,A D G A B C,D G A M nn x 10 xB C A H 15 10 x=6,正方形D E F G的面积为：./=36.答：正方形。以G 的边长和面积分别为6,36.13.（2020上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图所示，梯形中

39、，A B Q C D,对角线/C,B D交于。点，若 S AOD.S DOC1:3,求 S AOB.S COD.AB0,D【答案】S AOB S co0=4:9【解析】CA B C DCDO ABOS AOD S DOC=2E13AO：CO=2Z3S AOB S COD=4:9.理 题 型二、证明线段成比例年【例 3】（1）（直接用三角形相似得到比例）（2021上海九年级二模）已知：如图，梯形/8C。中，A DHB C,4 B=O C,点 E 在下底BC上，口4。=口 8.（1）求证：CE-A D=DE2-【答案】（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析【解析】证明：(1)匚梯形24。中，A

40、DUBC,AB=DC,B=QC,AB=DC,ADE=JDEC,EZ)=DB,QDC=JAEDtQJADEDUDECfAD DE-，DE EC CEMDnDE2；(2)nLADEJUDECfAD DE AEDEECCDDE EC CD CDADDE AEAE，CE AB2A D-AE1*(2)(换线段)(2018年上海宝山区一模)如图，口 48。中，A B=A C,过 点。作 C/口4 3 交EUBC的中位线 O E 的延长线于E 联结8 R 交 4 C 于点G.(2)若力H平分B 4 C,交BF于H,求证：8 H 是 HG 和 的 比 例 中 项.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解

41、析】证明：（1）CF/8 Q E是中位线,口四边形5 C F D是平行四边形，DDE=EF,AE DE EF EG-=-=-=-AC DF BC CG（2）联结 C H,易证 AB H MAA S,n H C G=U D B H=U H F C,J D G H C=a C H FHr4GHe fC H F,HFGHCW:.HC2=HGHF又BH=HC,：.B H2 H G H F,S P 8 H是“G和，厂的比例中项.（3）（等量代换）（2 018年上海黄浦区一模）如图，8。是1/8 C的角平分线，点E位于边8 c上，已知8。是与8 E的比例中项.（1）求证：C D E=LEL4 B C；2（

42、2）求证：ADCD=ABCE.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】证明：（1）E LR D是4 8与B E的比例中项,BA BDBDB E又B D是/8 C的平分线，则DBE,JABD DBE4=BDE.X：BDC=A+ABD,CDE=iABD=-A B C,即证.2（2）-aCDE=2CBD,aC=3C,UQCDEJJCBD,CE DECD DB5i.3ABDDuDBE,DE AD-=-DB ABCE ADCD AB ADCD=ABCE.方法总结:证明线段成比例的几种方法（1）直接法：观察要证明的四条线段是否在两个三角形中，若是，设法证明这两个三角形相似；（2）换线段法：若不属

43、于（1）的情况，则观察其中三条线段是否适合（1）的情况，若是，设法把另外一条线段代换一下，变成适合（1）的情况；C C Z7 f（3）等量代换法：若（2）也不适合，则观察要证的比例式巴=上两端的比上或上是否能等于另外的比，b d b d证出哪些比相等，最后转换回来，得 到 州=.b d当然，在等量代换的过程中，也常常会使用换线段.若不成功，=换成后，再进行等量代换的思b d c d考.“举一反三1.（2020年上海九年级课时练习）已知:如图，在48C中，AB=AC,点。、E分别在边AC、AB上，DA=DB,OB与CE相交于点F,GAFD=BEC.求证：(1)AF=CE；（2）BF-=EF AF

44、.【答案】（1）证明见解析：（2）证明见解析【解析】证明：（D DDA=DB,FBA=I1EAC,ZAFD=ZBEC,1800-ZAFD=1800-ZBC,即 NB网=ZAEC.BA=AC,NBFA AEC.AF=CE.（2）NBFA AAC,BF=AE.NEAF=ZECA,ZFEAZAEC,/XEFA A4C.=.EA2=EFCE.EC EAEA=BF,CE=AF,BF2=E F A F.2.（2021上海九年级期中）如图，在QABCD中，ZR4O的平分线交边BC于点E,交。C的延长线于点f ,点 G 在 AE 上，G D,Z G D F =ZF(1)求证：AD2=DG AF;(2)连结 8

45、 G,如果 且 AB=6,AO=9,求 AF的长.【答案】(1)证明见解析；(2)*瓜【解析】(1)证明：口四边形4 5 c o是平行四边形,AB DF,AD BC,NE 平分 BAD,BAF=QDAF=F,AD=DF,G)F=DF,GDF QDAF,DG DFAD-AF AD2=DGAF;(2)解：口4尸平分口bND,DCBAEODAF,DAD BC,OUBEA=UDAF,UUBEA=3BAE,区 场是等腰三角形，BA=BE=6,B G D JE,UAG=EG,BEA=CEF,C E F=H F,口EC=CF=3,DF=AD=9,FE CE 1-=-二，FA AD 3即 4 G=G E=E

46、b,QQGDFWDAF,AD=FD,DG=FG,DG=-AF,3AD2=DG AF，2 一一片产=8 1,3AF=6.23.（2 02 0 上海交大附中九年级期中）已知：如图，在“A B C 中，点。、G分别在边A S、B C 上，ZACD=NB,A G 与C D 相交于点（1）求证：AC2=AD AB；（2）若 下 =R7，求证：CG-=DF BG.AC C G【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】证 明：AC D=!B,CAD=LBAC,!ACDUDABC,AC：AB=AD：AC,AC2=AD*AB；(2)证明：ACDOOABC,ADF=UACG,AD DF-=-fAC CG

47、ADFnnACG,DAF=DCAF,BPJBAG=UCAG,XDDACD=nB,AFCOIAGB,.AC _CF CFG=LCAG4-JACD,JCGF=UBAG+LB,CFG=l_lCGF,JCG=CF,AC CG由（1）得:AC ADABACDF CGCGBGCGM)FBG.Q 课后作业1.（2021 上海九年级一模）在梯形ABC。中，A D/B C,对角线AC与8方相交于点O,下列说法中，错误的 是（)A.S AOB=S D O CB.SfOB=D BOC BC.qA B O C0A6cD.ABD _八 S 4 A B C B C【答案】C【解析】解:如图所小:ADLBC,AOD COB

48、,S,ABC=SMC，=器，故 D 正确，器=筹，%ABC B C O C O B率 =缁，故 C 错误：BOC,A A B C =S A O B +SOBC,SADBC=N D O C +V O B C，sAOH=S 4nQ C，A 正确;萨S.也nit=O定A，即S瞪.A皿nR 二方OD不，故 B 正确;,A B O C AfiOC故选c.2.（2021 上海九年级一模）如图，已知在HAABC中，ZC=9 0 ,点G 是AABC的重心，G E V A C,垂足为E,如果CB=8,则线段GE的 长 为（）【答案】C【解析】如图，连接AG并 延 长 交 于 点。.点G是AABC的重心，.点。为

49、8 c的中点，笑=：CJD 1 CB=8,/.CD=BD=-BC =4.2 GE LAC,ZAEG=90,ZC=90,ZAEG=ZC=90,v ZEAG=ZCAD（公共角），.AEG AACD,.=CDAG 2,/=-，GD 1AG 2,EG AG 2,一 ,AD 3 4 AD 3：.EG=-.AG益故选：C.3.（2020上海市静安区实验中学九年级课时练习）已知相似三角形面积的比为9:4,那么这两个三角形的周长之比为（）A.9:4 B.4:9 C.3:2 D.81:16【答案】C【解析】匚相似三角形的面积比为9：4,匚这两个相似三角形的相似比为：3：2,口这两个相似三角形的周长比为：3：2.

50、故选：C.4.（2020 上海市静安区实验中学九年级课时练习）下列语句中，不正确的是（）A.两个三角形相似，且有一条边相等，则两个三角形全等B.两个三角形相似，且周长相等，则两个三角形全等C.两个三角形相似，且面积相等，则两个三角形全等D.两个三角形相似，且相似比为1,则两个三角形全等【答案】A【解析】A 中相似三角形一边为公共边，但并没有说明是对应边，所以A 说法不正确；B 中用反证法，假如不全等，但是相似，则周长不相同.这和题目给出的周长相等矛盾，因此必全等，故B 正确；由于相似三角形的面积比等于相似比的平方，如果面积相等，则相似比为1,所以全等，故 CD 正确.故选：A5.（2020上海