2022-2023学年浙江七年级上学期数学重难题型全归纳及技巧提升专项（浙教版）专题03有理数的运算重难点题型(含详解).pdf

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1、专题0 3 有理数的运算重难点题型题 型 1有理数加减法乘除再认识解题技巧：该类题型的实质是有理数加减乘除法的计算，通过理解题干条件，利用有理数加减乘除法运算规律逐一判别即可。1.（2022浙江杭州市 七年级期末）在数轴上，四个不同的点A,B,C,。分别表示有理数m b,c,d,且a+Z?=c+,则这四个点在数轴上的大致位置表示不正确的是（）A.AC.D.B-wB.cABDC.BDAC.D.DBAC2.（2022长沙市开福区七年级月考）在 数 轴 上 有 两 个 有 理 数 的 对 应 点，则下列结论中，正确的是（）-1 :A.a+b 0 B.ab0 C.a-b 0-3-2-1 0 1 2 3

2、 b3.（2021 北京二中七年级期末）有理数。、。在数轴上的位置如图所示，则下列说法正确的是（）-g-A.a+b 0 B.ab0 C.a 0D.网-同04.（2022吉林白城市七年级期末）已知数。力在数轴上表示的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（）-a Q-*A.a+b 0 B.a-b 0 C.b+lQ D.a b05.（2022广东省初一期中）已 知 帆=2,网=5，且m-r=n-m，则m+n的 值 是（）A.7 B.3 C.3 或一7 D.3 或 76.（2022广东省初一月考）如果久 匕是有理数，则下列各式子成立的是（）A.如果。（）、/?0 B.如果a （）,那么a+h （）C.

3、若。0、b 0,则a+人0 D.若a 0,且时 网，则。+8 1 6。8。4 2，如果正整数机最少经过6步运算可得到1,则切的值为（）A.1 0 B.3 2 C.6 4 D.1 0 或 6 4Q y Q S x 4 x 35.（2 0 2 2.浙江金华市七年级开学考试）已知：C；=-=3,C：=-=1 0,C：=-=1 5,1x2 1x2x3 Ix2x3x4观察上面的计算过程，寻找规律并计算：C =_.6.（2 0 2 2 北京海淀区 七年级期中）我们知道，正整数按照能否被2整除可以分成两类：正奇数和正偶数，小浩受此启发，按照一个正整数被3除的余数把正整数分成了三类：如果一个正整数被3除余数为

4、1,则这个正整数属于4类，例 如 1,4,7等；如果一个正整数被3除余数为2,则这个正整数属于8类，例如2,5,8 等：如果一个正整数被3整除，则这个正整数属于C类，例如3,6,9 等.（1）2 0 2 0 属于 类（填 A,B或 C）；（2）从A类数中任取两个数，则它们的和属于 类（填 4 8或 C）；从A类数中任意取出1 5 个数，从 8类数中任意取出1 6 个数，从 C类数中任意取出1 7 个数，把它们都加起来，则最后的结果属于 类（填 A,8或 C）；（3）从 A类数中任意取出，个数，从 8类数中任意取出个数，把它们都加起来，若最后的结果属于C类，则下列关于，小，?的 叙 述 中 正

5、确 的 是 （填序号）.加+2属于C类；川 属 于8类；机属于A类，属于C类；%，属于同一类.题型5有理数的简算解题技巧：（1）有理数的简便运算一般运用加法（乘法）的运算律或减法（除法）的性质，达到简便运算的目的。（2）利用乘方的运算性质。“产=（ab）二将可以凑整的部分先放在一起简化运算，再求凑整后部分的乘方运算。1.（2 0 2 1江苏苏州市七年级月考）计算（-0.2 5严7、（-4严8等 于（）.A.-1 B.1 C.-4 D.42.（2 0 2 2江苏无锡市七年级月考）阅 读 第（1）小题的计算方法，再用这种方法计算第（2）小题.计 算：-5+9|+7 5+3 g（解析）=(-5)+(

6、-9)+1 7 +(-3)+=。+卜|上面这种解题方法叫做拆项法.（2）计算：-2 0 0 0-|+|-1 9 9 9-I+4 0 0 0-+I-1-3.（2 0 2 2.浙江七年级期中）先计算，再阅读材料，解决问题:计算：|4 4 12-（2）认真阅读材料，解决问题：计算：+仔一l +分析：利用通分计算3一 上+:一?的结果很麻烦,可以采用以下方法进行计1 3 1 U 6 5，3 1 0 6 5算:解：原式的倒数是:2 1 1 2|1 (2 1 13 10 6 5J 30(3 10 6252 112x30=-x30 x30+-x30 x30=20-3+5-12=10.3 10 6 5故原式=

7、5.请你根据对所提供材料的理解，选择合适的方法计算:卜 奸（泊+一）4.（2022.四川省内江市第六中学七年级期中）观察下面算式的演算过程:,1 1x3+1 4 22,1 2 x 4+1 9 32,1 3 x 5+1 16 421H-=-=-=-1 H-=-=-=-1 H-=-=-=-1x3 1x3 1x3 1x3 2x4 2x4 2x4 2x4 3x5 3x5 3x5 3x5,1 4x6+1 25 524x6 4x6 4x6 4x6（1）根据上面的规律，直接写出下面结果:1 +5x71681 +2nx(2n+2)（为正整数）（2）根据规律计算:(1+白 x(l+124)x(1+135)x(1

8、+4x6)X x(1+1)X(1+1-).98x100 99x1015.（2021.温州市第十二中学七年级月考）计算-的值.2 6 12 20 30 42 56 72 906.（2022.浙江衢州市.七年级期中）阅读下面解题过程:计算：（一15）十 1一3卜625解：原式=（-15）+（-二）x6（第步）6=（第步）=（-15）+（-25）（第步）3=-1（第步）（1）上 面 解 题 过 程 中 有 错 误 的 步 骤 是.（填序号）（2）请写出正确的解题过程.题 型6乘方的应用解题技巧：（1）末尾数字问题：此类题型通常乘方运算种的暴比较大，且无简单计算方法，直接计算几乎无法进行。但此类题型也

9、并非需要求解出最终的结果，往往只需要求解这组数的末尾数字。因此，在解这类时，我们只需要关注末位数字，通过多计算几组末尾数字，找出末尾数字的变化规律。最后依旧变化规律，分析出最终结果。（2）此类题型的难点在于分析问题，建立乘方的数学模型。基本步骤为：首先从特殊情形入手，逐步分析、归纳，找出变化规律；然后根据规律写出乘方数学模型；最后根据题干要求计算结果。1.（2 0 2 1湖北武汉初三二模）观察下列等式：7 =7，7 2 =4 9，73=3 4 3 ,74=2 4 0 1 .75=1 6 8 0 7.76=1 1 7 6 4 9.，那么7+7?+7 3+7 2 3 8的末位数字是（）A.9 B.

10、7 C.6 D.02.（2 0 2 2江苏相城初一月考）数3239 72020.132021的 个 位 数 是（）A.1 B.3 C.7 D.93.（2 0 2 1.河南省初一期中）一质点P从距原点1个单位的A点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA的中点A 1处，第二次从A 1点跳动到OA】的中点A 2处，第三次从A 2点跳动到O A?的中点A 3处，如此不断跳动下去，则第5次跳动后，该质点到原点O的距离为.P,4.（2 0 2 1福建省初一期中）我国古代1 f *-1-_、1 r（A,i A A;At A x 易经一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结 绳 记 数 如 图

11、，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果个 数 为（）“0 A.3 1 2 3 B.3 2 1 4 C.3 2 58 D.3 2 3 65.（2 0 2 2浙江七年级开学考试）我们平时用的是十进制数，例如，2 0 4 958=2*1 0 5+0 x 1 0 4+4 x 1 0 3+9x 1（）2+5x 1 0+8x 1,表示十进制数要用 1 0 个数字：0,1,2,9.在电子计算机中使用的是二进制，只用两个数字：0,1.例如：在二进制中，1 1 0 1 =1 x 2 3+1 x 2 2+0 x 2 1+1 x 1 等于十进制的

12、1 3,1 1 0 0 1 1 =1X25+1X24+0X23+0X22+1X2 +1X1 ，等于十进制的5 1.请你计算一下:(1)二进制中的数1 1 0 1 0 1等于十进制的数多少？(2)仿照二进制的说明与算法，请你计算一下，八进制中的数1 50 7等于十进制的数多少？6.(2 0 2 1.浙江温州市.七年级期中)如图所示的计算流程图中，输入的x值为整数，若要使输出结果最小,则应输入x的值为.开始输入X求讨+x+l 大于1 0 0的值,输出结果结 束)题 型7新定义否运算(乘方)【解题技巧】正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的有理数混合运算算

13、式进行计算.1.(2 0 2 1江苏省初一期中)已知，这2,，仑2,且，小”均为正整数，如果将川进行如图所示的“分解”,那么下列四个叙述中正确的有()y2；25的“分解”结 果 是1 5和1 7两个数.在42 3的“分解”结果中最大的数是9.2.(2 0 2 2涟水金城外国语学校初一期中)规定两数。，力之间的一种运算，记作3,。)：如果/=匕，那么(a,b)=c.例如：因为2=8，所以(2,8)=3.(1)根据上述规定，填空：(5,125)=,(-2,4)=,(-2,-8)=；(2)小明在研究这种运算时发现一个现象：(3 ,4 )=(3,4),小明给出了如下的证明：设(3 ,4 )=x,则(3

14、 )=4 ,即(3 )=4 ,所以3 =4,即(3,4)=x,所以(3 ,4 )=(3,4),请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：(3,4)+(3,5)=(3,2 0)3.(2 0 2 1全国七年级)请认真阅读下面材料，并解答下列问题.如果a(a 0,a l)的b次幕等于N,即指数式ab=N,那么数b叫做以a为底N的对数，对数式记作：l o g a N 若 小 的“分解”结果中最小的数是2 3,则m=5.若3 的“分解”结果中最小的数是7 9,则n=5.A.1个B.2个C.3个D.4个=b.例如:因为指数式2 2=4,所以以2为底4的对数是2,对数式记作：l o g 2 4=2；因为指数式4

15、 2=16,所以以4为 底 16 的对数是2,对数式记作：l o g 4 16=2.(1)请根据上面阅读材料将下列指数式改为对数式：6 2=3 6；4 3=6 4；(2)将下列对数式改为指数式：l o g s 2 5=2；l o g 3 2 7=3；(3)计算：1 哂 3 24.(2 0 2 1山东临沂市九年级一模)定义运算：若 a1=b，则l o g“z?=?(a 0),例如2?=8，则l o g28=3.运用以上定义，计算：1 叫12 5-1(里3 81=.5.(2 0 2 2.银川市第三中学初一期中)阅读理解与计算：(1)用“”定义新运算：对于任意有理数。,仇 都有a8=+i.例如：7

16、4 =4 2+1=1 7.则填空：5 3=；当机为有理数时，求加(加2)的值；(2)已知相，互为相反数，X,)互为倒数，同=1,试求m+广 2+(_ 9 “2 的值.6.(2 0 2 2 浙江七年级期末)(阅读理解)求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫做除方，如：5+5+5 ,(-8)+(8)+(-8)+(-8)等，类比有理数的乘方，我们把5+5+5 记作5 ,读作“5的圈3次方”,(一 8)+(-8)+(-8)+(-8)记 作(-8),读作“一 8 的圈4次方”一 般 的 把 竺 竺 二 二 士 记 作 a ,读作 个 a的 圈 次 方(1)直接写出计算结果：(-6)=；类比探究

17、有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？试一试：将下列运算结果直接写成幕的形式：(2)(-)_；(-)=_.(几.2 且“为正整数)；实践应用(3)计 算 (一，)7a4 x (-4)-(-)4-633(工)+(1)+J )+J )+(-)(其中=2 0 2 1)一 5 5 5 5 5题型8科学记数法【解题技巧】科学记数法的表示形式为a x l O n 的形式，其 中 l W|a|V 10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.I.(2 0 2 2.四川广安.二模)2 0

18、 2 2 年北京冬奥会取得圆满成功，中国代表团以9 金 4银 2铜的骄人成绩位居世界第三！它不仅为各国体育健儿提供了展示自我的竞技场所，而且也为促进世界和平、增进相互了解、实现文化交融、传递文明友谊搭建了最好的学习交流平台.它将“带动3亿人参与冰雪运动”成为北京冬奥会最大遗产成果.数字3 亿用科学记数法表示正确的是（）A.3 x l O1 0 B.3 x 1 0 9 C.3 x l（）8 D.3 0 x 1 072.（20 21 河北唐山市九年级二模）一个整数81 550 0 用科学记数法表示为&1 55x l（y,则原数中“0”的个 数 为（）A.4 B.6 C.7 D.1 03.（20 2

19、1.河南洛阳市.九年级二模）20 21 年 2 月 1 9 日9：0 0 时,我国首枚火星探测器“天问一号 距离地球2.0 5亿千米，其中2.0 5亿千米用科学计数法表示为（）A.2.0 5X1 0 米 B.2.0 5x 1 0”米 C.20.5x l 0 米 D.20.5x 1 0”米4.（20 21.湖北荆州市.九年级三模）为了将“新冠”疫情对国民经济的影响降至最低，中国政府采取积极的财政税收政策，切实减轻企业负担，以促进我国进出口企业平稳发展.据国家统计局相关数据显示，20 20 年1 月至5 月，全国累计办理出口退税6 3 24 0 0 0 0 0 0 0 0 元，其中数字6 3 24

20、 0 0 0 0 0 0 0 0 用科学记数法表示为（）A.6.3 24 x 1 0 B.6.3 24 x 1 0 1 C.6 3 2.4 x 1（）9 D,0.6 3 24 x l 01 35.（20 21 广州大学附属中学九年级二模）整数6 81 0 0 0用科学记数法表示为6.81 x 1 0 9 ,则原数中“0”的个数 为（）A.6个 B.7个 C.8 个 D.1 0 个 6.（20 21 .浙江杭州市.九年级二模）今年“五一”小长假期间，杭州市各景区景点共接待市民游客大约9 21 0 0 0 0 人次，与去年同期相比增长8 5%.数据9 21 0 0 0 0 用（科学记数法表示为（）

21、A.9 2.1 X1 05 B.9 21 X1 04 C.9.21 X1 06 D.9.21 X1 07题 型 9近似数【解题技巧】近似数和有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字.近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示.一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法.1.（20 21 河北唐山市九年级一模）用科学记数法表示数字1 60 531 （精确到千位）是（）A.1.61 X 1 06 B.0.1 61 X 1 06 C.1.61 X 1 05 D.1 6.1 x l 042.（20 21 .河北九年级二模）近似数3.20 精确的数位是（

22、）A.十分位 B.百分位 C.千分位 D.十位3.（20 21 河北唐山市九年级学业考试）我国第十四个五年规划和20 35年远景目标纲要中阐释了“坚持农业农村优先发展，全面推进乡村振兴”的具体目标：坚持最严格的耕地保护制度，实施高标准农田建设工程,建成1 0.75亿亩集中连片高标准农田，下列关于1 0.75亿的说法正确的是（）A.1 0.75亿是精确到亿位 B.1 0.75亿是精确到十亿位C.1 0.75亿用科学记数法表示为a x 1 0 ,则a =l.（）75,n=9D.1 0.75亿用科学记数法表示为a x 1 0 ,则a =1 0.75,=84.（20 21 潍坊市寒亭区教学研究室九年级

23、一模）新冠疫情在我国得到了很好地控制，可至今仍在海外肆虐，截止20 21 年3 月底,海外累计确诊1 28924229人，1 28924229用科学记数法可表示为（精确到千万位）（）A.0.1 3x l 09 B.1.3x l O8 C.1.29x l 08 D.1 2.9x 1 0?5.（20 21 江西省大吉山中学初一期中）当 使 用 计 算 器 的 也 J键，将婴的结果切换成小数格式1 9.1 6666667,则对应这个结果1 9.1 6666667,以下说法错误的是（）A.它不是准确值 B.它是一个估算结果 C.它是四舍五入得到的 D.它是一个近似数6.（20 21.广西壮族自治区初一

24、期中）用四舍五入法按要求对0.0 60 3分别取近似值，其中簿误的是（）A.0.1 （精确到 0.1）B.0.0 60 （精确到 0.0 0 1）C.0.0 6（精确到百分位）D.0.0 6（精确到十分位）专题0 3 有理数的运算重难点题型题 型 1有理数加减法乘除再认识解题技巧：该类题型的实质是有理数加减乘除法的计算，通过理解题干条件，利用有理数加减乘除法运算规律逐一判别即可。1.（2022浙江杭州市 七年级期末）在数轴上，四个不同的点A,B,C,。分别表示有理数m b,c,d,且a +Z?=c+,则这四个点在数轴上的大致位置表示不正确的是（）A.-A-C-D B B.cA-BD4C.BDA

25、CD.DBAC【答案】C【分析】从选项数轴上找出。、氏 c、4 的关系，再根据。+6=。+4,逐项判断.【详解】解：数轴上A、B、C、。四点所代表的数分别是“、b、c、d,且a +b=c+d,A、a c d b,可以满足a+/?=c+d,故不符合；B、c a b d,可以满足a+b=c+d,故不符合；C、b d a c,满足a+6 c+4,故符合；D、d b a 0 B.ab 0 C.a-b 0-3-2-1 0 1 2 3 h【答案】C【分析】根 据 数 轴 上 的 位 置 判 断。两个有理数的正负和绝对值大小即可.【详解】解：根据数轴可知，0,ab,：.a+b 0,a b 0,-0,。一匕

26、0 B.abQ C.b-a 0 D.|/?|-|0【答案】D【分析】根据数轴上点的位置可得匕 0 同，然后利用有理数的加减法及乘法计算法则进行判断求解.【详解】解：由题意可得：b O|a|A a+h 0,故选项4不符合题意；a b 0,故选项B不符合题意；b-a 0,正确故选：D.【点睛】本题考查利用数轴比较数的大小及有理数的加减法及乘法运算，利用数形结合思想解题是关键.4.（2 0 2 2吉林白城市七年级期末）已知数/匕 在数轴上表示的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（）-a 工 A.a+b Q B.a-b 0 C.b+0 D.a b 0【答案】D【分析】根据数轴得出“V 0 b,再根据

27、有理数的加法、减法、乘法法则进行判断即可.【详解】解：从数轴可知：a0|臼，A、a+b 0,故此选项不符合；B、a 0,故此选项不符合；C、不能确定b+1与0的大小关系，故此选项不符合；D、a b 0 m,进而确定出m、n的值，再计算出答案.【解析】,同=2 ,；.m=2,/|n|=5 ,；.n=5,V -n m n,.当 m=2,n=5,则 m+n =2+5=1,当 m=-2,n=5,则 m+n =-2+5=3,故选：D.【点睛】此题主要考查了有理数的加法和绝对值，关键是掌握绝对值的性质，互为相反数的两个数绝对值相等.6.（2 0 2 2广东省初一月考）如果a、人是有理数，则下列各式子成立的

28、是（）A.如果。0、b 0 B.如果a 0,那么a +b 0C.若。0、b 0,则a+b 0D.若a 0,且 同 网，则a +b 0【答案】D【分析】利用有理数的加法法则判断即可得到结果.【解析】A、如果。0、人0,那么。+匕 0,故A错误；B、如果。0,那么不能判断。+力的符号，故B错误；C、若。0、b 0,不能判断。+力的符号，故C错误：D、若 a 0,且|a|b|,那么 a+b V O,正确：故选：D.【点睛】此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键.题 型2有理数加、减法运算的实际应用解题技巧：与利用正负数求平均数方法类似。（1）选择合适的标准数，超过标准数的记为正数，不

29、足的记为负数；（2）对处理后的正负数进行加法运算；（3）最后还需要将处理后的正负数还原为实际数。（4）根据题意列出算式；（5）进行有理数加减法运算，可利用运算律进行简算：（6）比较结果，得出结论。1.（2 0 2 2浙江杭州市 七年级期末）记运入仓库的大米吨数为正，则（+3.5）+（2.5）表 示（）A.先运入大米3.5吨，后运入大米2.5吨 B.先运出大米3.5吨，后运入大米2.5吨C.先运入大米3.5吨，后运出大米2.5吨 D.先运出大米3.5吨，后运出大米2.5吨【答案】C【分析】先理解“正”和“负”的相对性，得到运入和运出分别记作正和负，从而得到算式的意义.【详解】解：运入仓库的大米吨

30、数为正，则运出仓库的大米吨数为负，二（+3.5）+（-2.5）表示：先运入大米3.5吨，后运出大米2.5吨，故选：C.【点睛】此题考查正数和负数问题，解题关键是理解“正 和 负 的相对性，确定一对具有相反意义的量.2 .（2 0 2 2浙江绍兴市七年级期中）为解决村庄灌溉问题，政府投资由水库向A ,B,C,D,E这五个村庄铺设管道，现已知这五个村庄与水库以及村与村之间的距离（单位：km）如图所示，则把水库的水输送到这五个村庄铺设管道的总长度最短应是（）【答案】A19kmB.2 0 k mC.21km D.22km【分析】尽量选择数据较小的路线，到达5 个村庄即可.【详解】解：如图，要使水管最短

31、，一定要挑选最短的路程,最短总长度应该是：水库到A,再从A到 E、B,同时从8到 C,从 E到。,总长度为：4+3+4+4+4=19 k m,故选人【点睛】本题考查了最短路径问题，找到最短路线是解决本题的关键.3.（2 0 2 1浙江杭州市七年级期末）如图是一个二阶幻圆模型，现将-1,2,-3,4,-5,6,-7,8分别填入圆圈内，使横、纵向以及内外圆圈上的4 个数字之和都相等，则6的值是.答案】7或【分析】由八个数的和为4 及横、纵向以及内外圆圈上的4 个数字之和都相等可得，两个圈的和为2,横、竖的和也是2,从而可设出两空白圈的数，列等式求解即可【详解】解：设小圈上的数为c,大圈上的数为d1

32、+2-3+44+6-7+8=4且横、纵向以及内外圆圈上的4 个数字之和都相等，两个圈的和为2；横、竖的和也为2，-7+4+b+6=2,2+4+c+b=2,a+c+2+d=2b=-1,c=-3,a+d=3 当 a=8 时，d=-5,则 a+0=8-1 =7当 a=-5时，d=8,则口 +8=-5 1=-6 故答案为：7或-6【点睛】本题考查了有理数的加法，解决本题的关键是依据八个数的和与横、纵向以及内外圆圈上的4 个数字之和都相等得到：两个圈的和为2；横、竖的和也为24.（2 0 2 1浙江金华市九年级二模）如图，两支温度计的读数分别是某一时刻小明家阳台与室内的气温，那么这一刻阳台的气温比室内气

33、温低（）【答案】BB.12 C.7 D.-12 【分析】根据温差=最高气温-最低气温计算即可.【详解】最高气温是7 ,最低气温是-5,.温差为：7-（-5）=12 （）,故选8.【点睛】本题考查了有理数的减法，理解温差的定义，并准确列式是解题的关键.5.（2 0 2 2 浙江宁波市七年级期末）两个小朋友玩跳棋游戏，游戏的规则是：先画一根数轴，棋子落在数轴上K。点，第一步从K。点向左跳1 个单位到K 1,第二步从&向右跳2个单位到K2,第三步从K2向左跳3个单位到K3,第四步从K 3 向右跳4个单位到K,，如此跳2 0 步，棋子落在数轴的K?。点，若 K 2 0 表示的数是16,则 仆 19 的

34、值为.【答案】-10 0 4【分析】根据向左减向右加可知每两步跳动向右1个单位，根据K?。表示的数是16,可得K。，然后先得出长2。18 的值，进而得出长2。19 的值.【详解】解：由题意得，第一步、第二步后向右跳动1 个单位，跳 2 0 步后向右2 0+2=10 个单位，则 K o 的值是 16-10=6,因为2 0 19+2=10 0 ,所以跳2 0 18 步时，所对应的数是10 0 9+6=10 15,跳 2 0 19 步时，所对应的数是10 15-2 0 19=10 0 4,故答案为：-10 0 4.【点睛】本题考查数轴上动点问题，有理数的减法的应用.解决此题的关键是理解可知每两步跳动

35、向右1个单位.6.（2 0 2 2 河北省初一期中）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从 A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：+14,-9,+8,-7，+13，-6，+12,-5.（1）请你帮忙确定8地位于A地的什么方向，距离A地多少千米？（2）若冲锋舟每千米耗油0.5 升，邮箱容量为2 8 升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？【答案】（1）8地在A地的东边2 0 千米；（2）冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充9 升油；【分析】（1）根据有理数的加法，可得和，再根据向东为正，和的符号，可判定方向；（2）根据

36、行车就耗油，可得耗油量，再根据耗油量与已有的油量，可得答案；（3）根据有理数的加法，可得每次的距离，再根据有理数的大小比较，可得最远.【解析】（1）V 14-9+8-7+13-6+12-5=2 0,答:8地在A地的东边2 0 千米；（2）这一天走的总路程为:14+卜 9|+8+|-7|+13+卜 6|+12 出-5|=7 4 千米,应耗油7 4 x 0.5=3 7（升），故还需补充的油量为：3 7-2 8=9（升），答：冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充9 升油；【点睛】考查了正数与负数，掌握有理数的加法运算是解题的关键.题型3.有理数的乘除法在实际问题中的应用解题技巧：（1）根据题意列出算式；

37、（2）进行有理数乘除法运算，可利用运算律进行简算；（3）比较结果，得出结论。对原本无数量关系的问题巧妙的赋某些特定值，将其转化成数量问题，然后通过对整数的正负号进行讨论，使问题得到解决。用赋值法解决此类问题时，关键是对操作过程中的某一个量进行赋值（通常为1）,通过对操作过程的量化，讨论理数正负号变化规律，最终求解出具体问题。I.（2 0 2 2 四川成都.七年级期末）元旦节期间，某商场对顾客实行这样的优惠政策：若一次购物不超过2 0 0元，则不予折扣；若一次购物超过2 0 0 元不超过5 0 0 元，则按标价给予八折优惠：若一次购物超过5 0 0 元，其中5 0 0 元按上述八折优惠外，超过5

38、 0 0 元的部分给予七折优惠.小明的妈妈两次购物分别付款1 9 2 元和3 8 4 元，如果她合起来一次性购买同样多的商品，那么她可以节约 元.【答案】5 5.6 或 2 2#2 2 或 5 5.6【分析】根据题意分类讨论，分别求得两次购物标价，进而根据优惠方案求解即可.【详解】解：付 款 1 9 2 的商品如果按规定：每一次购物不超过2 0 0 元，则不予折扣付款，则商品的标价为1 9 2 元;付 款 1 9 2 的商品如果按规定:若一次购物超过2 0 0 元，不超过5 0 0 元,按标价给予八折优惠付款,则标价为1 9 2 X）.8=2 4 0 元；由5 0 0 x 0.8=4 0 0,

39、所以付款3 8 4 的商品没有超过5 0 0 元，则按规定：若一次购物超过2 0 0 元，不超过5 0 0 元，按标价给予八折优惠付款，则商品的标价为3 8 4-0.8=4 8 0 元，所以某人两次购物分别付款1 9 2 元和3 8 4 元的商品的总标价为1 9 2+4 8 0=6 7 2 （元）或 2 4 0+4 8 0=7 2 0（:元），当他合起来一次购买同样的商品时，可按规定：若一次购物超过5 0 0 元，其中5 0 0 元按上述八折优惠之外，超过500元部分给予七折优惠进行付款.总标价为672元应实际付款数=500 x0.8+（672-500）xO.7-520.4（元），则他可节约（

40、192+384）-520.4=55.6（元）；总标价为720元应实际付款数=500 x0.8+（720-500）x0.7=554（元），则他可节约（192+384）-554=22（元）.故答案为：55.6或 22.【点睛】本题考查了有理数运算的应用，分别求得两次购物标价是解题的关键.2.（2021浙江初一期中）如图，桌上有9 张卡片，每张卡片的一面写数字1,另一面写数字-1.每次翻动任意2 张（包括已翻过的牌）。改变其向上的面，然后计算能看到的所有牌面数字的积请问，当翻了 2019次时牌面数字的积为（）A.1 B.-1 C.2019 D.-2019【答案】A【分析】依照题述翻牌，发现翻牌时-1

41、的个数总保持偶数，故 2019次翻牌乘积仍为1.【解析】第一次翻牌时有两张变成-1,其它都为1,故乘积为1：;第二次翻牌时，有三种可能：翻到的两张都为未翻到的牌，则有四张-1,其它都为1,乘积为1;翻到的两张都为翻到的牌，则有。张-1,其它都为1,乘积为1；翻到的两张一张为翻过的牌，一张为未翻过的牌，则 一 1有两张，其它都为I,乘积为1.依次类推，从第二次开始每次翻牌都有三种可能，-1的个数比原来增加2,-1的个数保持不变，-1 的个数减少 2,总之-1的个数为偶数，其余全是1,故乘积为1.所以当翻了 2019次时牌面数字的积为：1.故选:A.【点睛】本次考查探索与表达规律，多个有理数相乘.

42、解决本题的关键是能找到题中-1个数的变化规律，并根据多个有理数相乘，当负数的个数为偶数时结果为正，当负数的个数为奇数时结果为负，再把绝对值相乘进行计算.3.（2022山西七年级期中）2 4 点游戏是一种扑克牌类的益智类游戏，游戏规则是：从一副扑克牌（去掉大小王）中任意抽取4 张牌，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为2 4 或-2 4.例如：抽到的数字为“4,4,10,10”,则可列式并计算为：（1 0 x 1 0-4）+4=24.如 果 八 表示正，*、今 表示负（如“5”为+5”，“.4”为-4”）,请对下面两组扑克牌按要求进行记数,并按“2

43、 4 点”游戏规则对两组数分别进行列式计算，使其运算结果均为2 4 或-2 4.【答案】M，+4,-1().T O；(-1 0)x(-1 0)4+4 =2 4.(答案不唯一，正确即可)T，+4,+1(),-1 0：(-1 0)x l 0 +4-(-4)=2 4.(答案不唯一，正确即可)【分析】根据、表示正，、*表示负结合牌的点数即可表示，出各张牌表示的数，根据“2 4点”游戏规则结合有理数的混合运算法则列式即可.【详解】解：四张牌依次记为M，M，-1 0,-1 0；列式计算得：(1 0)x(-I0)4+4 =2 4 (答案不唯一，正确即可);四张牌依次记为T，+1 0,-1 0；列式计算得：(

44、T0)x 1 0+4+(-4)=2 4 (答案不唯一，正确即可).【点睛】本题考查了新定义问题和有理数的混合运算，理解 2 4点 游戏规则并熟练掌握有理数运算法则是解题关键.4.(2 0 2 2四川石室中学七年级期中)居民生活中使用天然气实行阶梯式计价，用户每月用气量在2 0立方米及以内的为第一级基数，按一级用气价格收取；超过2 0立方米且不超过3 0立方米的部分为第二级气量基数，按一级用气价格的1.5倍收取：超过3 0立方米的部分为第三级气量基数，按一级用气价格的1.8倍收取.为节约用气量，小明记录了 1 7月份他家每月1号的气表读数.1月2 月3 月4 月5 月6 月7 月气表读数(立方米

45、)433450468485500514535（1）直接写出小明家1 月份的用气量_立方米及16月平均每月用气量为_ 立方米.（2）已知小明家2 月份的气费为36元，试求他家6 月份需交气费多少元？（3）7 月份放暑假后，小明的爷爷、奶奶及表哥来到家里和小明一起生活，并多次请客，用气量明显增加，比6 月份多用气12立方米，试求小明家7 月份需交纳气费多少元？【答案】（1）17；17；（2）43元；（3）80.8元【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以得出小明家1月份的用气量和1-6 月份平均每月的用气量（2）根据小明家2 月份的气费为36元，可以计算出一级用气价格，再根据小明家6 月份的用气

46、量超过20立方米且不超过30立方米，超过20 立方米的部分按第二级气量基数，结合题意，从而即可计算（3）根据题意，可计算出小明家7 月的用气量，再结合题意，即可计算【详解】（1）由表格数据可得：小明家1月份的用气量为450-433=17立方米；1-6 月份平均每月的用气量为：（535-433）+6=17立方米故答案为：17；17（2）.小明家2 月份的气费为36元，2 月份的气费量为；468-450=18 1 0 0,即（XH）-=3 3 ,6 1 2 6 3 6 3 6二应输入x的值为-6.故答案为：-6.【点睛】本题主要考查了平方的非负性，利用配方法将式子转化为平方的形式，然后利用平方的非

47、负性的到式子的最小值，进一步判断x的取值.题型7 新定义运算（乘方）【解题技巧】正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的有理数混合运算算式进行计算.1.（2 02 1 江苏省初一期中）己 知 论 2,n2,且，小n均为正整数，如果将m 进行如图所示的“分解”,那么下列四个叙述中正确的有（y2v 在 25的“分解”结 果 是 1 5 和 1 7 两 个 数.在 42的“分解”结果中最大的数是9.若 小 的“分解”结果中最小的数是2 3,则m=5.若 3 的“分解”结果中最小的数是7 9,则=5.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C【分析】根据

48、所给的例子的分解方法中找出加 分解的规律，其中最小的数是加=加 1 -加+1,从而可判断出正确.【解析】在25的“分解”中最大的数是25-1+1=17,所以这个叙述正确；在43的“分解”中最小的数是43T 4+1=13；所以这个正确;若53的“分解”中最小的数是2 1,所以这个叙述是错误的；若3”的“分解”中最小的数是3-2=79,解得n=5,故这个是正确的.综上所述，共有两个正确的结论.故选C【点睛】本题考查了有理数的乘方运算和规律总结，仔细观察发现其中的规律是解题的关键.2.(2022涟水金城外国语学校初一期中)规定 两 数 之 间 的一种运算，记作(。，力：如果=匕，那么(a,b)=c.

49、例如：因为2=8，所以(2,8)=3.(1)根据上述规定，填空：(5,125)=(-2,4)=(-2,-8)=；(2)小明在研究这种运算时发现一个现象：(3,4)=(3,4),小明给出了如下的证明：设(3,4)=x,则(3 1=4 ,即(3)=4 ,所以3=4,即(3,4)=x,所以(3,4)=(3,4),请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：(3,4)+(3,5)=(3,20)【答案】(1)3；2；3：(2)见解析【分析】(1)分别计算左边与右边式子，即可做出判断；(2)设(3,4)=x,(3,5)=y,根据同底数基的乘法法则即可求解.【解析】解：(1)53=125,(5,125)=3,(-

50、2)2=4,(-2,4)=2,(-2=-8,(-2,-8)=3,故答案为：3；2；3；(2)设(3,4)=x,(3,5)=y,贝I 3*=4,3=5,：.3=3=20,：.(3,20)=x+y,二(3,4)+(3,5)=(3,20).【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新运算是解本题的关键.3.(2021全国七年级)请认真阅读下面材料，并解答下列问题.如果a(a0,a,l)的b次基等于N,即指数式ab-N,那么数b叫做以a为底N的对数，对数式记作：logaN=b.例如:因为指数式22=4,所以以2为底4的对数是2,对数式记作：log24=2；因为指数式42=16,所以以4为 底16的