2022-2023学年上海市高二下期中考试数学模拟试卷附答案解析.pdf

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1、2022-2023学年上海市高二下期中考试数学模拟试卷一.填 空 题（共n小题）1.（20 21 秋和平区校级期末）已知抛物线x2=4 y 上一点/（机，4）,则点力到抛物线焦点的距离为.2.已知 z i，22GC,|ZI+Z2|=2 72,zi-2,防|=2,则回-Z 2|=.3.（20 20 秋浦东新区校级期中）直线2%-尹2=0 与 4 x+2y-3=0 的夹角是.4.（20 20 金凤区校级模拟）已知圆柱的轴截面为正方形，且圆柱的体积为54m则该圆柱的 侧 面 积 为.25.（20 21 秋辽宁期末）若 双 曲 线 二-y =l（a 0 的右焦点与圆/+炉-4 x=0 的圆a 心重合，

2、则。=.6.（20 1 9 西湖区校级模拟）已知一个圆锥的侧面展开图是圆心角为m 半径为1 的扇形，则 这 个 圆 锥 的 体 积 为.7.（20 20 秋西湖区校级期中）已知三棱锥P-1 8 C,平面/8 C,A C BC,PA=2,A C=B C=1,则 三 棱 锥 尸 外 接 球 的 体 积 为 .8.（20 1 9 上海）某三位数密码，每位数字可在0-9 这 1 0 个数字中任选一个，则该三位数密码中，恰 有 两 位 数 字 相 同 的 概 率 是.9.（20 1 7 秋涵江区校级期中）在正方体力BC D-4 8 i C i ）i 中，E是 小 囱 的中点，则为8与D E所 成 角 的

3、 余 弦 值 为.1 0.（20 21 春奉贤区校级期中）已知抛物线炉=2/（0 0）的焦点和椭圆-|二=1的4 3右焦点重合，直线过抛物线的焦点/与抛物线交于尸、。两点和椭圆交于/、8两点，/第1页 共2 2页为抛物线准线上一动点，满足|P F|+|M F =8,Z M FP=,M F 尸面积最大时，则直线3AB的方程为.1 1.（20 21 春宝山区校级期中）高一新生小崔第一次进入图书馆时看到了馆内楼梯（图 1）,她准备每次走1 级或2 级楼梯去二楼，并在心中默默计算这样走完25 级楼梯大概有多少种不同的走法，可是当她走上去后发现（图 2）原来在1 3 级处有一宽度达1.5 米的平台，这样

4、原来的走楼梯方案需要调整，请问，对于剩下的1 5 级（1 2+3）楼梯按分2 段的走法与原来一次性走1 5 级的走法相比较少了 种.图1二.选 择 题（共5小题）图21 2.（20 21 秋和平区校级月考）已知p：al,q：0,b 0比一动点，a bN8为圆1 +=巴 的 直 径，若 豆 1 豆豆最小值为,则双曲线的离心率为（）42A.B.C C.2 D.R14.（2021春梅州期末）已知a,（J 是两个不同的平面，w,是两条不同的直线，则下列结论正确的是（）A.若加，tn/a,的则a 0 B.若a 依m u a,九 u0,则 加 C.若 mJ _小 加_La,贝!J a D.若 加_La,_

5、L0,贝！J a L0第2页 共2 2页15.（2015 秋金山区校级期末）已知曲线C：1 I-I-y I1 y I1=1（a b Q）,下列叙2 ,2a b述中正确的是（）A.垂直于x轴的直线与曲线C存在两个交点B.直线产=履+加（k,w G R）与曲线。最多有三个交点C.曲线C关于直线=-X 对称力 一 九D.若尸I（X I，刈），尸 2（X 2,y2）为曲线C上任意两点，则有一：-0叫 一 16.（2013新课标I ）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 c 机，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 c/n,如不计容器的厚度，则球的体积为（）

6、1372 xC.-cm32048 xD-cm3三.解 答 题（共 4 小题）2V 17.（2021春奉贤区校级期中）己知直线x-夕+力=0 与双曲线C：x2-=1 交于不同的2两点4,B,且线段4 8的中点在x 2+/=5 上，求 机 的值.18.（2019 秋鼓楼区期中）己知全集 U=R,集合 2=x|l W x 5 ,5=x|2 x 8 ,C=xa 0)的焦点为尸，若过点尸且倾斜兀角为一的直线交抛物线于，N两点，满足|M N|=8.4(1)求抛物线r的方程；(2)过点。C m,0)且斜率为1的直线被抛物线r截 得 的 弦 为若点F在以4 B 为直径的圆内，求机的取值范围.第4页 共2 2页

7、2022-2023学年上海市高二下期中考试数学模拟试卷参考答案与试题解析一.填 空 题（共11小题）1 .（20 21秋和平区校级期末）已知抛物线x 2=4 y上一点Z （加，4）,则点N到抛物线焦点的距离为 5 .【考点】抛物线的性质.【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.【分析】先根据抛物线的方程求得准线的方程，进而利用点力的纵坐标求得点/到准线的距离，进而根据抛物线的定义求得答案.【解答】解：依题意可知抛物线的准线方程为y=-1,点/到 准 线 的 距 离 为4+1 =5,根据抛物线的定义可知点A与抛物线焦点的距离就是点A与抛物线准线的距离，点/与抛物线

8、焦点的距离为5,故答案为：5.【点评】本题主要考查了抛物线的定义的运用.考查了学生对抛物线基础知识的掌握.属基础题.2.已知 zi，Z2&C,|Z I+Z2|=2、/5，匕 I|=2,=2,则匕=Z 2|=_2/Q【考点】复数的模.【专题】计算题：方程思想：转化思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算.【分析】根据题意，设zi=a+b i,Z2=c+di,(a、b、c、c/eR)贝！|zi+z2=(a+c)+(b+d)i,由向量模的计算公式可得“c+&d=0,又由zi-Z 2=(a -c)+(b-d)i,则|zi-Z 2=(a-c)2+(b-d)2 a2+b2+c2+d2-2(a c+b d)

9、,由此计算可得答案.【解答】解：根据题意，设zi=a+/Z2c+di,（a、b、c、deR）则 zi+z2=(a+c)+(b+d)i,若|zi|=2,|Z2|=2,则有+必=4,。2+屋=4,又由|Z I+Z2|=2，攵,贝(I|zi+z2/=(a+c)2+(b+d)2=a2+b2+c2+d2+2(ac+bd)=8,则有 ac+bd=0,第5页 共2 2页z-Z2=(a-c)+(b-d)ifz Z2=(a-c)2+(b-d)2=a2+b2+c2+d2-2 Cacbd)=8,故忆1-22|=2 0,|故答案为：2【点评】本题考查复数和复数模的计算，注意复数的运算性质，属于基础题.43.(2020

10、秋浦东新区校级期中)直线2 r-v+2=0 与 4x+2p-3=0的 夹 角 是 arctan .3【考点】两直线的夹角与到角问题.【专题】转化思想；综合法；直线与圆；数据分析.【分析】先求出直线的斜率，再利用两条直线的夹角公式，反三角函数，求得结果.【解答】解：直线2 x 7+2=0 的斜率为2,直线4x+2y-3=0 的斜率为-2,-2-2 4 4设它们的夹角为 则 tan0=|-1=,故它们的夹角为arctan，l+2 X(-2)3 3_ 4故答案为：arctan.3【点评】本题主要考查直线的斜率，两条直线的夹角公式的应用，反三角函数的应用，属于中档题.4.(2020金凤区校级模拟)已知

11、圆柱的轴截面为正方形，且圆柱的体积为5 4 m 则该圆柱的 侧 面 积 为 361T.【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；旋转体(圆柱、圆锥、圆台).【专题】计算题；数形结合；转化思想；分析法；空间位置关系与距离；直观想象.【分析】通过圆柱的体积与求出圆柱的底面半径，转化求解圆柱的侧面积即可.【解答】解：设圆柱的底面半径为人因为圆柱的轴截面为正方形，所以该圆柱的高为2r.因为该圆柱的体积为54TT,W2A=2TO-3=54IT,解得r=3,所以，该圆柱的侧面积为2mX2r=36ir.故答案为：36n.【点评】本题考查几何体的体积以及表面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力.第6页 共2

12、 2页 5.（20 21 秋辽宁期末）若 双 曲 线 工-y=1（Q0；的右焦点与圆/+7 2_ 以=0的圆Q 一心重合，贝 I j a=_.【考点】双曲线的性质.【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.【分析】求出圆的圆心，利用已知条件求解a即可.【解答】解：圆/+y 2-4 x=0 的 圆 心（2,0）,双 曲 线 工-y=l（a0 的右焦点7+），双 曲 线 厂=1（Q 0）的右焦点与圆f+y-4 x=0 的圆心重合,可得J +1=2,解得故答案为：【点评】本题考查双曲线的简单性质以及圆的性质的应用，是基础题.6.（20 1 9 西湖区校级模拟）已知一个圆

13、锥的侧面展开图是圆心角为7 1,半径为1 的扇形,则这个圆锥的体积为皿j.【考点】旋 转 体（圆柱、圆锥、圆台）：棱柱、棱锥、棱台的体积.【专题】空间位置关系与距离.【分析】利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得底面半径，进而求出圆锥的高，代入圆锥体积公式，可得答案.【解答】解：设此圆锥的底面半径为r,由题意，得2 口 尸=nX 1,解得r=.故圆锥的高=第7页 共2 2页i/3圆锥的体积V nr2/?=兀，3 24故答案为：24【点评】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.本题就是把扇形的弧长等于圆锥底面

14、周长作为相等关系，列方程求解.7.（2020秋西湖区校级期中）已知三棱锥P-4 8 C,平面/8C,A C LBC,PA=2,A C=B C=1,则三棱锥P-AB C外 接 球 的 体 积 为 而 兀 _.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.【专题】计算题；数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离.【分析】取 P 8 的中点O,推导出。为外接球的球心，从而得到外接球半径2由此能求出结果.【解答】解：取尸8 的中点。，平面48C,：.PA LA B,PA BC,5LBC VA C,PC C/C=Z,；.8C_L平面以C,：.BC LPC,：.O A =P B O C=-P B,2 2：.O A =O

15、 B=O C=O P,.O 为外接球的球心，又 PA=2,/C=8 C=1,：.A B=P B=第8页 共2 2页外接球半径R=故答案为：Q x-C【点评】本题考查三棱锥外接球的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养.8.（2 0 1 9 上海）某三位数密码，每位数字可在0-9 这 1 0 个数字中任选一个，则该三位数27密码中，恰有两位数字相同的概率是100【考点】古典概型及其概率计算公式.【专题】分析法；概率与统计.【分析】分别运用直接法和排除法，结合古典概率的公式，以及计数的基本原理：分类和分步，计算可得所求值.【解答】解：方法一、（直接法）某三位数密码锁，每位数

16、字在0-9 数字中选取，总的基本事件个数为1 0 0 0,其中恰有两位数字相同的个数为C；C：C；=2 7 0，270 27则其中恰有两位数字相同的概率是-=；1000 100方法二、（排除法）某三位数密码锁，每位数字在0-9数字中选取，总的基本事件个数为1 0 0 0,其中三位数字均不同和全相同的个数为1 0 X9 X8+1 0=7 3 0,第9页 共2 2页可得其中恰有两位数字相同的概率是1-730=271000 100故答案为：.100【点评】本题考查古典型概率的求法，注意运用直接法和排除法，考查排列组合数的求法，以及运算能力，属于基础题.9.(2 0 1 7秋 涵 江 区 校 级 期

17、中)在 正 方 体 中，E是48 1的中点，则小8与D E所 成 角 的 余 弦 值 为 _ 歪 _.2【考点】异面直线及其所成的角.【专题】数形结合；空间角；空间向量及应用.【分析】如图所示，建立空间直角坐标系.不妨取4 8=2.利用c o s V BA-D -BA D.E-.即可得出.B Al-D E【解答】解：如图所示，不妨取4 8=2.B(0,0,0),A l(0,2,2),E(0,1,2),D (2,2,2),A (0,1,1),BA；=(0,2,2),D.E=(o,-1 0),.一,_ B A1，D1 _ -2 _ 7 2.c o s V BA,D,E=-?-j-=-|B A.|D

18、】E|272X 1 2，小8与O 1 E所成角的余弦值为义2故答案为：总.2第 1 0 页 共 2 2 页z【点评】本题考查了向量夹角公式、数量积运算性质、异面直线所成的角，考查推理能力与计算能力，属于中档题.V10.（2021春奉贤区校级期中）已知抛物线丁=2内（p 0）的焦点和椭圆-H上-=1 的4 3右焦点重合，直线过抛物线的焦点F 与抛物线交于P、。两点和椭圆交于4 8 两点，M兀为抛物线准线上一动点，满足/回+|M月=8,N M FP=，尸 尸面积最大时，则直线3的方程为【考点】抛物线的性质.【专题】转化思想；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.【分析】由已知求得抛物线

19、方程，根据|PF|+|MQ=8,N M FP=,由三角形面积公式3及基本不等式，可 得 面 积 最 大 时，为正三角形且边长为4,进一步求得直线 Z 8 的倾斜角，在求解方程即可.x y D【解答】解：由椭圆一-h =1-可得C=l,则 上=1，P=2,4 3 2得抛物线方程为炉=4x.1兀 J 3S =|PF|,|MF ,sin=&MFP 2 3 4由 8=|P F|+|g 2 P F|M F I，得方月 W16,SFF=1|P F|M F|l,q：1,则p是 g的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.既不充分也不必要D.充分必要【考点】充分条件、必要条件、充要条件.第 1 3 页 共 2

20、 2 页【专题】对应思想；转化法；简易逻辑；数学运算.【分析】解不等式，结合集合的包含关系判断即可.【解答】解：由-1,解得：4 1,a故p是4的充分不必要条件，故选：A.【点评】本题考查了充分必要条件，考查不等式问题，是基础题.工 y1 3.（2 0 2 0秋渝中区校级期中）已知点尸是双曲线_ _=l（a o,b0比一动点,a b为圆f +y =的直径，若pN 最小值为工,则双曲线的离心率为（）4 2A.B.枭 C.2 D-【考点】双曲线的性质.【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程;数学运算.【分析】利用向量的数量积求解五工.豆最小值为,得到“，。的关

21、系，然后求解离2心率.【解 答】解：)3),3 )a 3 aPA PB=(PO+OA)(PO+OB)=(PO+O A)(PO-O A)=P O-O A 3 a=4 43a c c 3 3 V6,所以=所以 e=2=e =4 2 a 2 2 2故选：A.【点评】本题考查双曲线的及的简单性质的应用，向量的数量积的应用，是基础题.1 4.（2 0 2 1春梅州期末）已知a,0是两个不同的平面，m,是两条不同的直线，则下列结论正确的是（）A.若机”，tn/a.,0,则&0B.若a 0,/w u a,则第1 4页 共2 2页C.若机_L，z n a,则a D.若机_L，m a,_L 0,贝 lja_l_

22、0【考点】空间中直线与直线之间的位置关系：空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系；平面与平面垂直.【专题】整体思想；分析法；空间位置关系与距离；逻辑推理；直观想象.【分析】由直线与直线平行、直线与平面平行的位置关系判定出由平面与平面平行可得两平面中直线的位置关系判定5；由直线与直线、直线与平面垂直的关系分析C：由直线与平面垂直的性质及面面平行的判定判断D.【解答】解：若机 N,m/a,n/,则a。或a与0相交，故 4 错误；若a 0,znua,u 0,则加或，与 异面，故 8 错误；若加_1_，则a或u a,故 C 错误；若加 J_,则 a 或“u a,又“J L 0,则 a

23、 J _ 0,故 O 正确.故选：D.【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是基础题.比 I 1 1 y I y I15.（2015秋金山区校级期末）已知曲线C：!匚-=1（a 6 0）,下列叙 9a-b-述中正确的是（）A.垂直于x 轴的直线与曲线C 存在两个交点B.直线了=自+机（左，mGR）与曲线C 最多有三个交点C.曲线C 关于直线、=-X 对称D.若尸1 （xi，y）,尸 2（%2 2）为曲线C 上任意两点，则有-0,y 0 时，曲线C 的方程为 =1，渐近线方程为y=a2 bZ a2 2当xVO,y 0 时，曲线C

24、 方 程 为-Z一E 丁 一V二 =1，方程无解.第 1 5 页 共 2 2 页2 9当x0,y 0,y 刍寸，直线与曲线C 有三个交点.a“W6,.曲线。不关于直线y=-x 对称，故 C 错误.九 一 九由图象可知y=/（x）为增函数，=：-0,故。错误.L L M M【点评】本题考查了曲线的方程的含义，椭圆与双曲线的性质，属于中档题.16.（2013新课标1）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm,将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6c机，如不计容器的厚度，则球的体积为（）第 1 6 页 共 2 2 页500 汽 866 KA.-c m B.

25、-c m3 3【考点】球的体积和表面积.【专题】计算题；空间位置关系与距离.1372 兀C.-cm32048 兀D-cm3【分析】设正方体上底面所在平面截球得小圆可得圆心M 为正方体上底面正方形的中心.设球的半径为根据题意得球心到上底面的距离等于（R-2）。，而圆M 的半径为4,由球的截面圆性质建立关于R的方程并解出/?=5,用球的体积公式即可算出该球的体积.【解答】解：设正方体上底面所在平面截球得小圆，则圆心为正方体上底面正方形的中心.如图.设球的半径为A,根据题意得球心到上底面的距离等于（R-2）cm,而圆A/的半径为4,由球的截面圆性质，得 R2=（R -2）2+42,解出R=5,x l

26、 IT A TV r CZAA-根据球的体积公式，该球的体积V-.R3=-X 53-c m3-3 3 3【点评】本题给出球与正方体相切的问题，求球的体积，着重考查了正方体的性质、球的截面圆性质和球的体积公式等知识，属于中档题.三.解 答 题（共 4 小题）2V -1 7.（2 0 2 1 春奉贤区校级期中）已知直线x-=0与双曲线C：%2-=1交于不同的2两点B,且 线 段 的 中 点 在 上/=5 上，求加的值.【考点】直线与双曲线的综合.【专题】计算题；方程思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】将直线方程代入双曲线方程，利用韦达定理及中点坐标公式求得Z 8中点点第 1 7 页

27、共 2 2 页坐 标，代入圆的方程，即可求得加的值.【解答】解：设8两 点 的 坐 标 分 别 是（x i，巾），（X2，歹2），线 段 的 中 点 为A/（x o,泗），由,22厂 1N-=12,x2-2mx-m2-2=0,（判别式 A。）i y+m=0Xl+X2=2 Z,.,.xo （x i+x 2）m,yo xo+m=2m,2点 A/（x o，yo）在圆 3+炉=5 上，则加2+（2 i）2=5,故加=1,m 的值士 1.【点评】本题考查双曲线的标准方程及简单性质，直线与双曲线的位置关系，考查韦达定 理，中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题.18.（20 19 秋鼓楼区期中）己知全集

28、U=R,集 合/=x|l W x V 5 ,8=x|2 x 8 ,C=xa x W a+3 .（1）求/U 8,（C u“）n s；（2）若“x 6 C”为“x E4”的充分不必要条件，求。的取值范围.【考 点】交、并、补集的混合运算；充分条件、必要条件、充要条件.【专 题】计算题；转化思想；定义法；集合；简易逻辑：逻辑推理；数学运算.【分 析】（1）根据集合运算定义进行计算即可；（2）由“X6C”为“x C/”的充分不必要条件，得 集 合C器4 求 出a的取值范围即可.【解答】解：（1）.,集 合N=x|l W x 5 ,8=x|2 x 8 ，/U 8=x|lx 8 ,（C u 4）=x|x

29、 l 或x 25 ,（C u/）n 8=x 5 W x 8 fa+3 1解 得lWa=B C=4.-P A=-P D=-J CD 2+P 02=2y5,/8=2,:.AB2+PB2=PA2,:.ABPB,J A BYBC,P B C B C=B,：.AB n PBC.(2)以8为原点，8/为x轴，8 c为夕轴，过8作平面/8 C。的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，D(4,4,0),P(0,2,2后)，A(2,0,0),C(0,4,0),P D=4,2,-2/),RA=2,-2,-2y3)-P C=0)的焦点为尸，若过点尸且倾斜加角为一 的直线交抛物线于N两点，满足|MN|=8.4(1)求抛物线

30、的方程；(2)过点。(w,0)且斜率为1 的直线被抛物线截得的弦为N8,若 点/在 以 为直径的圆内，求机的取值范围.【考点】直线与圆锥曲线的综合；抛物线的性质.【专题】方程思想；消元法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.a兀【分析】(1)根据题意可得抛物线焦点为尸(一，0),写出过点尸的倾斜角为一的直4 4第2 0页 共2 2页线方程，设M（x i，g）,N（X 2，”），并联立抛物线的方程，结合韦达定理得x i+x 2=3a2由抛物线的定义可得|MN =x i+x 2+H=2 a=8,解得a,即可得出答案.2（2）设直线N5的方程为了=-机，联立抛物线的方程，由（）,得加 -1,设 N

31、（X 3,”），B（X 4,了4）,结合韦达定理可得冲+卜4,y 3 y 4,写出.下石坐标，由点尸在以为直径的圆内，得员1 同 0,由数量积公式计算，即可得出答案.【解答】解：（1）抛物线：（40）的焦点为尸（,0）,4兀a则过点F的倾斜角为一的直线方程为y=x -,4 42联立炉=4 X,得 X 2 -x+=0,2 16设 Af （x i,y）,N（X 2，”）,ri.3a贝！1 X1+X2-,2.a,由抛物线的定义可得|MV =x i+x 2+=2 a =8,解得a=4,2所以抛物线的方程为r=4 x.（2）设直线48的方程为夕=-“，代入/=4x,得/-4 y -4?=0,由=1 6+

32、1 6 m 0,得设 Z（X 3，歹3），B（X 4，夕4），得y3+y4=4,y 3 y 4 =-4m,又 尸（1,0）,所以 FN=（X 3 -1，”），Y B=（X 4-1，Mt）,因 为 点 尸 在 以 为 直 径 的 圆 内，所以/F 8为钝角，即孑I孑厉0，得（X 3 -1）（X 4 -1 ）力3 y 4 V0，得 X3X4 （工3+1 4）+1 -4?V 0,第2 1页 共2 2页2 2y y所以 -（g+川）+2加 +1 -4加V 0,得 ，-6？-3 V 0,16解得 3 -2 v 加 3+2/,又 m-1,所以7的取值范围为（3-2、后，3+2/）.【点评】本题考查直线与抛物线的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题.第2 2页 共2 2页