2022-2023学年北师大版九年级数学上学期专项讲练--矩形的性质与判定(知识讲解).pdf
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1、专题1.5矩形的性质与判定(知识讲解)【学习目标】1 .理解矩形的概念;2 .掌握矩形的性质定理与判定定理;3 .掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边一半;4 .能力要求:利用矩形的性质解决折叠问题、最值问题、坐标系下的矩形问题。【要点梳理】要点一、矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.特别说明:矩形定义的两个要素:是平行四边形;有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形,然后增加一个角是直角这个特殊条件.要点二、矩形的性质矩形的性质包括四个方面:1 .矩形具有平行四边形的所有性质;2 .矩形的对角线相等;3 .矩形的四个角都是直角;4 .矩形是轴对称图形,它有两条对称轴.特别说明:(1
2、)矩形是特殊的平行四边形,因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.(2)矩形也是轴对称图形,有两条对称轴(分别通过对边中点的直线).对称轴的交点就是对角线的交点(即对称中心).(3)矩形是特殊的平行四边形,矩形具有平行四边形的所有性质,从而矩形的性质可以归结为从三个方面看:从边看,矩形对边平行且相等;从角看,矩形四个角都是直角;从对角线看,矩形的对角线互相平分且相等.要点三、矩形的判定矩形的判定有三种方法:L定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2 .对角线相等的平行四边形是矩形.3 .有三个角是直角的四边形是矩形.特别说明:在平行四边形的前提下,加 上“一个角
3、是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.要点四、直角三角形斜边上的中线的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.特别说明:(1)直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形,对一般三角形不可使用.(2)学过的直角三角形主要性质有:直角三角形两锐角互余;直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;直角三角形中3 0 所对的直角边等于斜边的一半.(3)性质可以用来解决有关线段倍分的问题.【典型例题】类型一、矩形性质的理解1.已知,如图,四边形A B C O 是矩形,ADAB.(1)请用无刻度的直尺和圆规在AO上找一点E,使得E C 平分/B E。;(不要求写作法,
4、但要保留作图痕迹)【答案】(1)见 分 析(2 2 8 E C 的面积为7.5.【分析】(I)以 8为圆心,B C 长 为 半 径 画 弧 交 于 点 E即可;(2)由(1)可得B C=B E,设 B C=x,则A E=x-l,根据勾股定理即可求出x,进而求出 B E C 的面积.(1)解:如图,以 8为圆心,8 C 长为半径画弧交A 力于点E;(2)解:由(1)可知 8 c=8 E,设 8 C=x,则 A E=x-l,在 A B E 中,Z A=9 0,:.AB2+AE2=BE2,故 32+(x-1)2=x2,解得x=5,丛BEC 的面积为-x 5 x 3=7.5.2【点拨】本题考查了作图-
5、复杂作图、矩形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质,解决本题的关键是掌握矩形的性质.【变 式 1】矩形具有而菱形不一定具有的性质是()A.两组对边分别平行 B.对角线相等C.对角线互相垂直 D.对角线平分一组对角【答案】B【分析】根据矩形和菱形的性质得出即可.解:A.因为矩形与菱形都是特殊的平行四边形,所以矩形与菱形的两组对边分别平行,故 A 不符合题意;B.矩形的对角线相等,而菱形不是,故 B 符合题意;C.菱形的对角线对角线互相垂直,而矩形不是,故 C 不符合题意;D.菱形的对角线平分对角,而矩形不是,故 D 不符合题意;故 选:B.【点拨】本题考查了矩形与菱形的性质,解题的关键是熟练掌
6、握矩形与菱形的性质.7【变式2】如图,在五边形中,ZA=ZABC=90,AE=,B C =6,连接2CE,B D.若 CEJ.CD 且 CE=C D,则BCD 的面积为.【答案】y【分析】作出8 c 边上的垂线。尸和EG,O F无法宜接计算,。尸是ACOF的一条边,而AEGC和 CDF己有边CE=CD,NEGC=/CFD=90。,若两三角形全等便可求出O F的长.解:如下图过E 作 EGLBC于 G,过。作。延长线于凡7.M3GE 是矩形,B G=A E=-,27 5 CG=BC-BG=6-2 2VCECD,AZECG+ZDCF=90,;NECG+NCEG=90。,:.ZCEG=ZDCFt:C
7、E=DC,/EGC:/CFD,A E G C/ACFD(AAS)f:.DF=CG=,2SABCDW X6X-=,2 2 2故答案为:当.【点拨】本题考查全等三角形的判定,矩形的性质和判定,三角形的面积计算,正确作出辅助线找出高与已知条件的关系是解题的关键.类型二、利用矩形的性质求角。,2.如图,四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AO=CO,BO=DO,且/ABC=90.(1)求证:四边形ABCD是矩形.(2)若NACB=30。,A B=1,求N A 0B 的度数;四边形ABCD的面积.【答案】(1)见分析;(2)60。,6【分析】(1)根据AO=CO,BO=DO可知四边形ABCD是
8、平行四边形,乂NABC=90。,可证四边形ABCD是矩形(2)利用直角 ABC 中/ABC=90。,/ACB=30。,可得NBAC=60。,AC=2,BC=g,即可求得四边形ABCD的面积,同时利用矩形的性质,对角线相等且互相平分,可得ZAOB=180-2ZBAC解:(1)VAO=CO,BO=DO,四边形ABCD是平行四边形,;.NABC=4ADC,VZABC=90,.四边形ABCD是矩形:(2)VZABC=90,ZACB=30,AB=1.,.ZBAC=60,AC=2,BC=Q又.矩形 ABCD 中,OA=OBZ AOB=180-2 Z B AC=60S,ABCD=1 x 3【点拨】本题考查了
9、矩形的判定及性质定理的应用,会灵活运用是解题的关键.【变 式 1】如图,在矩形ABC。中,对角线AC与 BO相交于点0,若NCOD=50。,那么 NC4D的度数是()A.30 B.20 C.40 D.25【答案】D【分析】根据题意只要证明04=。,根据三角形的外角的性质即可解决问题.解:矩形A8C。中,对角线4C,8。相交于点。,:.DB=AC,OD=OB,OA=OC,:.OA=OD,:.ZCAD=ZADO,:NCOO=5(T=ZCAO+NA。,:.ACAD=25,故选D.【点拨】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.【变式
10、2】如图,在矩形ABC。中,对角线AC与 8。相交于点。,过点A 作,垂足为点 若N E A L 2 N C A。,则N 8 4E=度.【答案】2 2.5解:四边形A 8 C力是矩形,:.AC=BD,OA=OCf OB=OD,OA=OB=OC,/.ZOAD=ZODAr ZOAB=ZOBA1.ZA0E=Z0AD+Z0D A=2Z0AD,ZEAC=2ZCAD,.ZEAO=ZAOE,-AEJLBD,/.ZAEO=90t Z A O E=45,ZOAB=ZOBA=67.5f即 N B gNOW-ZOAE=22.5.C,3.如图,在矩形A B C中,点M在DC上,AM=A B,且BNLAM,垂足为N.(
11、1)求证:A ABN9 4MAD;(2)若49 =2,A N =4,求四边形3 c M N的面积.【答案】(1)见详解;(2)45/5-8【分析】(1)由矩形的性质可得N O=9 0。,A B/C D,从而得N B A N=/A M D,进而即可得到结论;(2)由以及勾股定理得4N=W=4,AB=245,进而即可求解.解:(1).在矩形4 BS中,A ZD=9 0,AB/CD,:.N B A N=N A M D,:B N A.A M ,:.ZANB=90,即:ND=N A N B,又 /5 f 矩形A B C D的面积=2亚x2=46,义,:SjBN=MAD=X 2 x4=4,四边形B C M
12、 N的面积=4 7 5-4-4=4亚-8.【点拨】本题主要考查矩形的性质,勾股定理,全等三角形的判定和性质,熟练掌握A 4S证明三角形全等,是解题的关键.【变 式 1】如图,点 0 是矩形ABCD的对角线AC的中点,O M H A B交A D 4点、M,若0M=3,B C=10,则。8 的 长 为()A.5 B.4 C.D.7342【答案】D【分析】如图所示,连接o n 先求出AM=MO=JAO=5,然后利用勾股定理求解即可.解:如图所示,连接。,.四边形A8CO是矩形,A OAOD,NBA庆 90,:OM/AB,:.ZOMD=90,:.A M =M D =-AD=5,2O B =O D =y
13、)OM2+M D2=故选D.【点拨】本题主要考查了矩形的性质,等腰三角形的性质与判定,勾股定理,正确作出辅助线是解题的关键.【变式2】如图,在矩形4 8 8 中,AB=4,A D=3,矩形内部有一动点P 满足S矩形A B C D,则点P 到 A、B 两点的距离之和PA+PB的 最 小 值 为.【答案】4夜【分析】首先由SAB 4B=;S初1B C O,得出动点尸在与AB平行且与AB的距离是2 的直线/上,作 A 关于直线1的对称点E,连接AE,连接BE,则B E的长就是所求的最短距离.然后在直角三角形A8E中,由勾股定理求得BE的值,即 出+PB的最小值.解:设8 P 中A8边上的高是:S&P
14、AB=;S 矩 形 ABCD,:.-AH-h=-AB-AD,2 32A=2,3二动点P 在与A8平行且与AB的距离是2 的直线/上,如图,作 4 关于直线/的对称点E,连接A E,连接B ,则 BE的长就是所求的最短距离.在对 B E 中,VAB=4,AE=2+2=4,*-BE=JAB2+4 炉 7 4。+42=4 0 即PA+PB的最小值为4&-故答案为:45/2.【点拨】本题考查了轴对称最短路线问题、三角形的面积、矩形的性质、勾股定理和两点之间线段最短的性质,其中得出动点P 所在的位置是解题的关键.类型四、利用矩形的性质求面积.如 图,矩形ABC。的对角线AC,8 0相交于点。,点E,尸在
15、8。上,BE=DF(1)求证:AECF;(2)若 AB=6,ZCOD=60,求矩形 ABCD 的面积.【答案】(1)证明见分析;(2)矩形A8CC的面枳为366【分析】(1)由矩形的性质得出。4=0C,OB=OD,AC=BD,NA8C=90。,证出。E=0F,由SAS证明 A 0Eq CO F,即可得出AE=CF;(2)证出AAOB是等边三角形,得出0A=AB=6,AC=2OA=2,在4 ZMBC中,由勾股定理求出8 c的长,即可得出矩形48CD的面积.解:(I);四边形4 8 co是矩形,J.OAOC,OB=OD,AC=BD,N4BC=90,:BE=DF,:.OE=OF,在4 CO尸中,;O
16、A=OC,ZAOEZCOF,OE=OF,:.AAOE/COF(SAS),:.AE=CF;(2)解:OA=OC,OB=OD,AC=BD,:.OA=OB,:ZAOB=ZCOD=60,.A08是等边三角形,0A=AB=6t:.AC=2OA=29在他 A8c 中,B C XA CJ A B S B矩形 ABCD 的面积=AB8C=6x6g=36G.【点拨】此题考查了矩形的性质,等边三角形的性质和判定,勾股定理等知识,解题的关键是熟练掌握矩形的性质,等边三角形的性质和判定,勾股定理的运用.【变 式 1】如图,点 P 是矩形ABCD的对角线4 c 上一点,过点P 作 E尸B C,分别交AB,C D于E、F
17、,连接尸8、P D.若AE=2,P F=8.则图中阴影部分的面积为()【分析】首先根据矩形的特点,作P M 1 A D T M,交3 c 于N,可以得到SAADCSAABC,SAAMP=SAEP,最终得至lj S 矩形EBNP=S 定形M P F D,即可得 SEB=SAPFD,从而得到阴影的面积.解:作于M,交B C于N.则有四边形A E PM,四边形。尸 P M,四边形CFPM 四边形5EPN都是矩形,:.SADC=SABC,SAMP=SAAEP,SAPFC=SAPCN:.S 矩形EBNP=S 炬彩MPFD,乂;S/B E=*S 矩形EBNP,SAP F D*S矩形MPFD,,SADFP=
18、SAPBE=g x2x8=8,:.S 晰 8+8=16,故选:C.【点拨】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识,解题的关键是证明S.PEBuSzPFD【变式2】如图,矩形ABCD中,E、F 分别为AD、AB上一点,且 EF=EC,EF,EC,若 DE=2,矩形周长为16,则矩形ABCD的面积为【答案】15解:因为 EF_LEC,所以NFEC=90。,所以NAEF+/DEC=90。,因为NAEF+NAFE=90。,所以N A FE=/D EC,因为/A=/D,EF=CE,所以 A EFA D C E,所以 AE=CD,AF=DE,设 AB=CD=x,则 AD=AE+DE=CD+DE=x+2,所
19、以 2(x+x+2)=16,解得 x=3,所以 ABxBC=3x(3+2)=1 5,故答案为15.类型五、利用矩形的性质和判定证明如图,矩形ABCD的对角线相交于点O,DE/AC,CE/BD,求证:四边形0CED是菱形.【分析】首先根据两对边互相平行的四边形是平行四边形证明四边形0CED是平行四边形,再根据矩形的性质可得0 C=0 D,即可利用一组邻边相等的平行四边形是菱形判定出结论.解:VDE/AC,CE/BD,四边形0CED是平行四边形.:四 边 形 ABCD是矩形,,.OC=OD=yAC=yBD四边形0CED是菱形.【变 式 1】如图,矩形ABC。的对角线AC与 8。交于点0,过点。作
20、8。的垂线分别交AD.8 c 于E、尸两点,若 AC=4 6,ZAO=1 2 0,则 FC的长度为()【答案】B【分析】根据三角形外角性质可求1HNEQO=30。,从而可求出NQEO=60。,再根据矩形的性质,推理得到OF=CF,最后在R 3 8 0 尸中利用勾股定理求得。尸的长,即可得到C F的长.解:,:EF1.BD,ZAEO=2Q,.N E D 830。,Z D E 0600,;四边形A8CO是矩形,A Z(9BF=ZOCF=30o,ZBFO=60,./尸。=60-30=30,BF=2OF,:.OF=CF,乂.8O=g8D=gAC=2 坏,在 RmBOF 中,BO2+OF2=(2OF)2
21、,二(26 尸+0 尸=40产,:.0F=2,,C尸=2,故选:B.【点拨】本题主要考查了三角形外角的性质,矩形的性质,含 30。角的直角三角形的性质以及勾股定理的运用,解决问题的关键是掌握矩形的对角线相等且互相平分.【变式2】如图,矩形ABCQ中,AB=4,AO=3,点。在对角线AC上,且 A Q=4),连接。并延长,与边BC交于点P,则线段AP=.【答案】V 1 7解:,矩形 A 8 C。中,A B=4,AD=3=BCf.A C=5,又.4Q=4D=3,A D CP,.C0=5-3=2,ZCQP=Z A Q D=Z A D Q=ZCPQ,:.CP=CQ=2,A B P=3-2=1,RtX
22、ABP 中,AP=J AB。+B产=+B =g故答案为:而类型六直角三角形斜边上中线问题.如图,在四边形ABC D中,Z A B C=9 0,A C=A D,M,N分别为A C,C D的中点,连接B M,MN,B N.(1)求证:B M=M N;(2)Z B A D=6 0,A C 平分/B A D,A C=2,求 B N 的长.【答案】(1)证明见分析:(2)应【分析】(1)在AC AD中,由中位线定理得到MN A D,J i M N=|A D,在 RsABC 中,因为M 是 AC 的中点,故 BM=AC,即可得到结论;(2)由/B A D=6 0。且 A C 平分NBAD,得到/B A C
23、=N D A C=3 0。,由(1)知,B M=yAC=AM=MC,得到/BM C=60。.由平行线性质得到NNMC=NDAC=30。,故/BMN=90。,得到 BMMBW +M/V?,再由 MN=BM=1,得到 BN 的长.解:(1)在ACAD中,:M、N 分别是AC、C D 的中点,MNA D,旦 MN=AD,在 Rt/kABC中,:M 是 A C的中点,BM=JAC,又:AC=AD,;.MN=BM;(2)V ZBAD=60K AC Z B A D,.,.ZBAC=ZDAC=30,由(1)知,BM=/AC=AM=MC,ZBMC=ZBAM+ZABM=2ZBAM=60.;MNAD,,NNMC=
24、NDAC=30。,J.NBMN=NBMC+NNMC=90。,B N2=B M2+M N-,而 由(1)知,M N=BM=|AC=1x2=l,;.B N=3 .【变 式 I】如图,四边形ABC。是菱形,对角线4C,8。相交于点。,D HL A B 于点H,连接OH,ZCAD=2 0 ,则NWO的度数是()A.20 B.25 C.30 D.40【答案】A【分析】先根据菱形的性质得OD=OB,ABCD,B D A C,则利用DHLAB得到DH1CD,Z D H B=90,所以OH为 RtzxDHB的斜边D B上的中线,得到OH=OD=O B,利用等腰三角形的性质得N1=N D H O,然后利用等角的
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