2022-2023学年高三年级新高考数学一轮复习专题-空间向量及其运算（含解析）.pdf

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1、空间向量及其运算学校:姓名：班级：考号：一、单选题(本大题共1 1 小题，共 55.0 分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)1 .如图，正方形A BC。与矩形A C E F 所在平面互相垂直，A B =B AF=1.M 在 E/上，且 AM 平面B D E,则 M点的坐标为()A.(1,1,1)C.也受1)(2 2 )D.4 42.空间四边形A 8 CZ)中，若 向 量 丽=(一3,5,2),C D =(-7,-1,-4)点 E,尸分别为线段8 C,A。的中点，则 前 的 坐 标 为()A.(2,3,3)B.(-2,-3,-3)C.(5-2,1)D.(-5,2,-1)3.已知三棱柱A

2、 B C-A4 G的所有棱长相等，若 乙34 =NAAG=60,则异面直线AC 与Ag 所成角的余弦值是()B亚3c除D.34.如图所示，二面角a-/一，为30,A e a,D&/3 ,过点A作AB_L/,垂足为B,过点。作C D J J,垂足为C,若A B =6,B C=,CD=,则 AO 的长度为（）A.1B.V2C.6D.25.在四面体ABC。中，AB=6,BC=3,BD=4,若NABD与/ABC互余，则 而（肥+砺）的最大值为（）A.20 B.30 C.40 D.506.如图，在正四棱柱4 3 a AgGA 中，A4,=2,AB=BC=1,动点P、。分别在线段G。、AC上，则线段PQ长

3、度的最小值是（）.V2A.3B63C.-3D.旦37.如图，在正方体ABC。A 4 G 2中，M,N分别是棱AB,的中点，点尸在对角线CR上运动.当APMN的面积取得最小值时，点尸的位置是（）A.线段CA的三等分点，且靠近点4B.线段CA1的中点r-1 佚 5犷Bc.线段C A的三等分点，且靠近点cD.线段C A的四等分点，且靠近点c8.向量的运算包含点乘和叉乘，其中点乘就是大家熟悉的向量的数量积.现定义向量的叉乘:给定两个不共线的空间向量方与5，M x B规定：M x b为 同 时 与B垂直的向量；b,a x b三个向量构成右手系(如图1)；a x b|=|ab s i n(a,b)；若 仁

4、=&,加4),h=(x2,y2,z.),则 M x B=(+|X 4|,_ 卢4|,+卢，X|),其中|=加一儿.如图 2,*2 x2,y2 c,d在长方体中A 8 C O 4 4 GA，A B =A D=2,44,=3,则下列结论正确的是()A.ABxAD AAB.A B x A D-A Dx A BC.(福-拓)x丽=正随-击x丽D.长方体A B C O -Ag C Q i的体积V =(A后XA/5).录9.已知三棱锥AB C D中，底面B C D为等边三角形，A B =A C=A D=3,B C =2百，点E为C D的中点，点尸为BE的中点，若 点 是 空 间 中 的 两 动 点，且 幽

5、=也=2,肱V=2,M F N F则 A A/前=()A.3 B.4 C.6 D.81 0.7瓦为三个非零向量，则对空间任一向量下，存在唯一实数组(x,y,z),使p=xa+yb+zc；若方瓦5 5，则M不；若&B B3 ,则江=三；(a-b)-c=a-(b-c),以上说法一定成立的个数()A.0B.1C.2D.311.A,B,C是不共线的三点，。是平面ABC外一点，设用满足条件。而=?方豆+!芯,4 8 8则直线4 0.()A.与平面A8C平行B.是平面ABC的斜线在平面A B C内C.是平面4 8 c的垂线 D.二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)12.在

6、三棱锥P-4 B C中，以下说法正确的有()A.若2亚=福+丽，则 丽=3而B.若 万 恁=0,P&A4=0,则 可 小3二。C.若 P4=P3=PC=2,A3=AC=BC=2 0,M、N 分别为 PA、8 c的中点，则|砺|=2D.若T为AA8C的重心，则2行+标=P 6+PC41 3.正方体ABC。A 4 G。的棱长为2,且 加=4万瓦(0 2 蜴的直线/,/交正方体4 5。一4 4。1 9的表面于用，N两点，下列说法不正确的是()A.8，平面用NB.四边形OMqN面积的最大值为2指C.若四边形。M gN的面积为 太，则4D.若；l=g,则 四 棱 锥 的 体 积 为2夜1 4.如图，已知

7、直四棱柱A3CD-EFG”的底面是边长为4的正方形，C G =m，点、M 为 CG的中点，点P为底面EFGH上的动点，贝 立)A.当机=4时，存在点P满足。A+PM=8JTB.当机=4时，存在唯一的点尸满足NAPM=2C.当m=4时，满足B P，A M的点尸的轨迹长度为2起D.当 加=生 叵 时，满足NAPM=工的点P的轨迹长度为它叵力3 2 915.以下四个命题中错误的是（）A.空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示B.若他,无 口 为空间向量的一组基底，则 他+瓦5+口5+万 构成空间向量的另一组基底C.对空间任意一点。和不共线的三点A、B、C,若 丽=2方 一2丽 元，则P、A、B、C

8、四点共面D.任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底三、填 空 题（本大题共1小题，共5.0分）16.如图，四棱锥P A3C。的底面ABCD为平行四边形，P H =HC,在线段A”上取一点G,使G,8,四点四面.若 正=%而+），前+z即（x,y,z为常数），则 种=D答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查空间中点的坐标的求法，是基础题.设4 C、B O交于点。，连结0 E,由己知推导出四边形O A M E是平行四边形，从而M是E F的中点，由此能求出点用的坐标.【解答】解：设AC、8。交于点。，连结0 E,A M/平面 BDE,A M u 平面 A C E F,平面 B D

9、E 平面 A C E F =E O ,/.A M IIO E,又AO E M,.四边形0 4 W E是平行四边形，是E F的中点，易得 C E J _平面 AB C。、AF 平面 AB C Q,v E(O,O,1),F(V 2,V 2,1),2.【答案】B【解析】【分析】本题考查了向量的线性运算、向量坐标运算，属于基础题.点E,F分别为线段BC,A。的中点，。为空间内任一点，可得丽=而 诙，赤=g(次+0D),乐=(0月+阮)，代入计算即可得出.【解答】解：AB=(-3,5,2),_B A =(3,-5,2),点、E,产分别为线段BC,A。的中点，。为空间内任一点，*I I:.EF=OF-OE

10、,OF=-(OA+OD),0E=(06+0C),2 2：.EF=O A +OD)-(OB+OC)=1(BA+C)=l(3,-5,-2)+(-7-1-4)=(-4,-6,-6)2=(-2,-3,-3).故选：B.3.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查的异面直线所成的角，空间向量的数量积运算，属于中档题.设 乖=%4瓦=设三棱柱ABC A gG的棱长为如 利用空间向量基本定理，将 电 与A8；用,5忑 表示出来，利用空间向量的运算求出COS,即可得到异面直线所成角的余弦值.【解答】解：设 型=2 4瓦=反 福 =设三棱柱ABC A B C的棱长为加.-1 9则。b=bE=O/=一加 .2又 A

11、C=4G+A A=M+，A B =A4 A A=/?a.所以 41d ABi=(/+可)Z)=N 飞-S2+T =/2,|祝 卜 J（过+Z）2=，产 +.N +矛=575m.所以 cos=A-AE双 幅x/Bzn m 6则异面直线4 c与AB1所成角的余弦值是故选A.4.【答案】B【解析】【分析】本题考查线段长的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用.由题设知AZ5 =A与+8 3+。力，故-2-2-*2-2-AD=A5+BC+CD+2AB-BC+2AB CD+2BC CD,由此能求出 4。的长.【解答】解：.二面角a-/-/7的大小为30,点B,C在棱/上，A e a,D w。,AB

12、 V I,CD VI,AB=6 BC=1,CD=1：.ADAB+BC+CD,-2-.2-2-2-/.AD=AB+BC+CZ）+2AB-BC+2AB CD+2BC CD=3+l+l+0+2x 百 xlx cos 150+0=2,AD|=故选B.5.【答案】B【解析】【分析】本题考查空间向量的数量积运算以及三角函数求最值，属于中档题.n设N A 5 O =a,可得=a,利用空间向量数量积的定义以及辅助角公式，结合正弦函2数 的 值域可求得B A（B C +B D）的最大值.【解 答】TT解：设可得=a,则a为锐角，2在 四 面 体A 8 C O中，A B =6,B C =3,B D =4,则丽（反

13、 +丽）=丽 前 +丽 丽=|函|c o s(|-a)+BABD c o s a=1 8 s i n a +2 4 c os a=3 0s i n（a +）,其 中 为锐角，且ta n夕43：0 a ,则夕 a +e =3,底 面 为 等 边 三 角 形，且BC=2百，：.OD=2,AO=y/5,以O为坐标原点，04为z轴，。为y轴，以过点。且与BC平行的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系.则 3(-后-1,0),(0,2,0),C(水又E为CZ)的中点，：.E(-丁3,0),n 1点尸为BE的中点，F(-,-,0)4 4、n -,MB设 M(x,y,z),由-MFNBNF得|MB|=21

14、M研,y（#+w）+3+1尸+/=、9+毛）+卜+；）+,x2+y2+Z2=1,B J OM=1,二点何在以。为球心，以1为半径的球上，同理N也在这个球上，且MN=2,为球的直径，则 丽 丽=须 +两（而 +而）-2-2=A 0-0M=5-1 =4.故选：B.1 0.【答案】B【解析】【分析】本题考查命题的真假判断与应用，考查空间向量基本定理、向量数量积的运算性质，属于中档题.利用空间向量基本定理可判断：利用非零向量共线的性质可判断；利用向量的数量积的运算性质可判断；（无5）1=万（5）错误.【解答】解：因为2 5忑 为三个非零向量，所以，对于，当2反0为三个非零共面向量时，对空间任一向量丑，

15、不存在唯一实数组（x,y,z）,使p-x a +yh+z c,故错误；对于，1,5,个为三个非零向量,a/b,b/c,:.a/c,故正确；对于，若G 下=6 ,则5（万一/=0,即行工色一己，而不是M=/故 错误；对于，30）=万5丹不一定成立，等号左端为（必万）倍的1,等号右端为（5e）倍的而万与了不一定共线，故错误.综上所述，以上说法一定成立的个数为1个，故选：B.11.【答案】D【解析】【分析】本题考查空间向量中向量线性运算以及共面定理，属于中档题.根据题中向量等式，将向量0A/进行拆分，移 项 整 理 可 得 就=-!耐雨，从而得到向量6 6MA.M B.就是共面向量，由此不难得到本题

16、答案.【解答】-3 11解：-：OM=-OM+-OM+-OM4 8 83 1 1 3 1 1.3 1 1 由 OM=-OA+-OB+-O C,-O M+-O M+-O M -O A+-O B+-OC4 8 8 4 8 8 4 8 8移项，得：（0而一0印）=；（O方OM）+（OC-OM：.-AM=-MB+-M C,即 加=百一 用34 8 8 6 6由此可得向量 W、MB,是共面向量，由此可得直线AM在平面48c内故选：D12.【答案】BD【解析】【分析】本题主要考查了空间向量的加法、减法以及数乘、数量积运算，考查了向量的模的计算.根据空间向量的线性运算，逐项判断每项的正误即可.【解答】解：如

17、图：对于A,因为2 方=丽+而，即 加=,A月+,丽，所以。为BP的中点,2 2则 丽=2加，故4错误；对于8,因 为 西 衣=0,PA A B =Q,所 以 西 阮=西 （衣而）=西 /一 百 丽=0,故B正确；对于C,因 为 丽=丽 一 而=,（而+正）J丽=!（而+方 丽），2 2 2且PA=PB=PC=2,A B =A C=B C =2s/i,根据勾股定理的逆定理可得PA,PB,PC两两垂直，故|丽|=g|而+正丽次+存+京2 =百，故C错误；对于O,因 为T为AABC的重心，所 以 羽+而+而=6,所以2万 +诿+而 +元=2万，2 P T +f B+T C =2 P f-T A,即

18、（行+而）+（行+无）=2行+宿所以故。正确.故答案选：BD.13.【答案】A C D【解析】【分析】本题主要考查了线面垂直的判定，空间直角坐标系，空间向量的正交分解及坐标表示，空间向量的模，夹角与距离求解问题，棱锥的体积，属于较难题.根据已知及线面垂直的判定，可知A是否正确，根据已知及空间直角坐标系，利用?表示出点M,N的坐标，从而可求出四边形OW四N的 面 积 以 及 四 棱 锥 的 体 积.【解答】解：因为BQ与鸟。不垂直，所以8。与平面0M4 N不垂直，故A不正确.如图，以。为坐标原点，麻；,4方 的方向分别为x,y,z轴的正方向，建立空间直角坐 标 系-盯z,则(0,0,2),4(2

19、,2,0),4(2,0,0),C,(0,2,0).因 为 丽=2璃 ，所以P(24242 2；1).因为A G，平面8。的，所以 设 丽=丽=则 M(2A+2,2A-2,2 22),N(2A-2,2A+2,2 2A).若M e平面A。/,则4=，即M(440,2-22),W,42,2-2 2),0Z-；2若M e平面A3B14，则;1 +=1,即加(2,4/1 2,2 2；1),N(4，-2,2,2-22),2M8IN的面积1 f 4vzs入,0|MJV|=V3MN=(/I 4x/6(l-A)A A M ,即P A+A M的最小值为A M ,A:当m=4 H 寸，/(0,4,6),所以A M=

20、山 2+(0-4/+(0 一 歹=2717 8，故 A 错误;B：言=(8 一4e,4),融=(劭 4,2),若 A?A f/=(x-4)x+4)+4 x 2=0rr则 尤=2,y=2,所以存在唯一的点满足N A P M=2,故B正确；2C：AA?=(-4,4,2).提=5 _ 4,。_4,4)满足8P_LAW,即 由 二8 户=0,团-4(-4)+4(j-4)+4x 2=0，即 y=x-2,在平面EbG作出该直线y=x-2与四边形EbG”的交线K。，即K(2,0,4),Q(4,2,4),所以KQ=后标而=2 0,故C正确；)：当机时，A(4,0,0),M(0,4,手)，尸(兑 殍)，则 言

21、二卜-4,y,竽)，凝=卜,平)因为N A PM=生，则9,而池=(工一4)0?+孤4)+g =。，23即a 2产+一 2)2=与，与平面EFG/7联合起来交于4段圆弧(如图所示)，设该圆弧G尸交于S,7两点，令y=4,可得玉=2+半，/=2 与，士-%=怨，所以Z S O T =-,其对圆弧长度为竺L万；根据对称性可知点P的轨迹长度为3 9,o 473.4G万8百 坊八p扁/=2万x-4x-=-万，故。正确.3 9 9故选BCD.15.【答案】A C D【解析】【分析】本题考查空间向量基本定理和平面向量基本定理，属于中档题.根据空间向量基本定理和平面向量基本定理逐一判断即可得出答案.【解答】

22、解：因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故 A 不正确；若仅，反 包 为空间向量的一组基底，则4,b,任意两个向量不共线，且万，b,万不共面，B.a+b,b+c,A+M均为非零向量，假设+5,b+c,5+万共面，可设乙 +G=x(万+B)+y(b+3)=x万 +(x+y)h+yc,x=1z+y=O,该方程组无解，期=1故 +5,b+c,1+N 不共面，因此，2+瓦5+己己+万 可构成空间向量的一组基底，故 8 正确；由 于 丽=2 砺 一2砺 一 反，221 =1 W 1,此时，P、A、B、C 四点不共面，故 C 不正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故。不正确

23、.故选ACD216.【答案】27【解析】【分析】本题考查的知识点是四点共面问题，将空间问题转化为平面问题，向量的加减与数乘混合运算，属于中档题.若G,B,P,。四点共面，则 G 即为AH与平面P8。的交点，连接AC,B D交于点M,连接PM,则 G 即为PM与 AH的交点，取 4 C 的中点M 连接M M 结合三角形的中位线定理以及三角形、平行四边形法则可得x,y,z的值，即可求得孙z.【解答】解：在线段A”上取一点G,若 G,B,P,。四点共面，则G即为A H与平面P B D的交点，连接AC,B D 交于点M,连接P M,则G即 为 与A H的交点，如下图所示:在截面P AC中，M为A C的中点，由 两=沅 可 知H为PC的中点，取”C的中点M连接则 MNA/,B|I MN=A H ,在三角形P MC中，则有 j-Jj=即 AH=3GH,则有 AG=A H ,所 以 怒=+前）=：（!?+前）=3（券+即+：解+硝=_ 轲+：初+婢,2 1则有x=,y=z=一 ,3 32所 以 种=-药 2故答案为：-27