2021年高考文数真题试卷（全国乙卷）.pdf

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1、2021年高考文数真题试卷（全国乙卷）阅卷人得分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，总共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（共12题；共51分）1.(5 分)已知全集 U=l,2,3,4,5 ,集合M=l,2,N=3,4,则 C u (M U N)=()A.5 B.1,2 C.3,4）D.1,2,3,4【答案】A【解析】【解答】因为1 1=1,2,3,4,5 ,集合乂=1,2 片=3,4 则 M U N =1,2,3,4）,于是 C u （MU N）=5 o故答案为：A【分析】先 求 MU N,再 求 Cu（MU N）o2.（5 分）设 i z=4+3i,则 z

2、等 于（）A.-3-4i B.-3+4i C.3-4i D.3+4i【答案】C【解析】【解答】因 为 i z=4+3i ,所以Z=&W =3 4i。故答案为：C【分析】直接解方程，由复数的除法运算法则，得到结果。3.（2 分）已知命题p：3 x G R,s i nx l,则下列命题中为真命题的是（）A.p A q B.p A q C.p A -i q D.-i（p Vq）【答案】A【解析】【解答】因为命题P是真命题，命 题 q也是真命题，故答案为：A【分析】先判断命题p,q的真假，然后判断选项的真假。4.（5 分）函数f （x）=s i n|+c o s号的最小正周期和最大值分别是（）A.3兀

3、 和 V2B.3兀和2C.6兀 和 V2D.6兀和 2【答案】C27 r【解析】【解答】因 为f（X）=s i碍+C O S 1在s i nG +第，所以周期T=y =67 1,值域 _怎应。即最大值是版,故答案为：C o【分析】先 将f（x）解析式化成A s i n X+*）的形式，再由正弦函数的周期公式计算周期，再由正弦函数的性质，得到它的最大与最小值。X+y 4x-y 2，则z=3x+y的最小值为（）7 3A.1 8 B.1 0 C.6 D.4【答案】C【解析】【解答】作出线性约束的可行域（如图阴影部分所示区域），当直线z=3x+y经过点（1,3）时，z取得最小值。此时zmi n=3x

4、1+3=6.故答案为：C【分析】先作出可行域，再通过目标函数以及可行域，确定最优解，进一步得到答案。6.(5 分)co s?$co s 2需=()B,坦r A/2TD.%A.1【答案】D【解析】【解答】因为co s?石 8y羽=1+C O S、2X令）l+co s(2x 驾)J 兀 5兀、-2=2(c s 6-co s-g-)=T故选D。D -3 64丫=回 回+酮4y=l nx +原【分析】由降辱公式，可以化成特殊角的三角函数求值。7.(5分)在区间(0,1 )随机取1个数，则取到的数小于1的概率为()A.I B.1 C.【答案】B1 0 2【解析】【解答】由几何概型得：P=J=争故答案为：

5、B【分析】由几何概型概率公式即可得到结果。8.(5分)下列函数中最小值为4的 是()A.y=x2+2x+4 B.C.y=2x+22r D.【答案】C【解析】【解答】对于A：因为y=(x+l)2+3,则ymi=3;故A不符合题意；对于 B：因为丁 =|s i nx|+高 讦，设 t=|s i nx|(t (0 1),则 y=g(t)=t +微(0 t w 1)由双沟函数知,函数y=g 6=t+(0 2卜4=4,当且仅当2=x =1时“=”成立，即ymi n=4,故C选项正确；对于D：当x 6(0,1)时，y=l nx +!x x故B 符合；对于 C：h(x)=f(x+l)-1,=1 J=-2,/

6、i(-x)=-2,则 h(-X)黄 h(X),所以 C 不l+(x+l；x+2-x+2符合；对于 D：h(x)=f(x+l)+l,=IT*1+1=系,h(-x)=厕 h(-X)#h(X),故 D 不符1+Q+l)x+2-x+2合.故答案为：B.【分析】设选项的各个函数是h(x),分别计算h(-x),与h(x)比较，就可以得到正确选项是B。10.(2 分)在正方体ABCD-AIBICDI中，P 为 BIDI的中点，则直线PB与 ADi所成的角为()A-B c-D 八 2 3 J 4,6【答案】D【解析】【解答】如图，连接A C,设AC与 BD交于O,连接ODI,ADI,BP,设正方体的棱长为X,

7、因为DiP|OB|BD,且 DiP=BOBD,所以四边形ODiPB是平行四边形，所以BP|ODi,所以乙4D10即为所求的角，易证40 _ L 平面BDDB,故40 1OD1,又40=基 C=9加 所以乙4D0=去故答案为：D【分析】在正方体中，作辅助线，通过平移线，作出所要求的角。11.(5 分)设 B 是椭圆C：1 +y2=i 的上顶点，点 P 在 C 上，则|PB|的最大值为()A.1 B.V6 C.V5 D.2【答案】A【解析】【解答】由题意知 B(0,l),设 P(x,y)W iJ|PB|2=(x-O)2+(y-1 )2=x2+y2-2y+1 =5(1 -y2)+y2-2y+1=-4

8、y2-2y+6=4(y+4)2+竿，因为-1 W y W 1,所以当y=/时，|PBFmax=?,此时，|PB|max_5T故答案为：A【分析】先写出B的坐标，然后设任意点P（x,y）,再用两点间的距离公式，表示出|PB|,再用本文法计算|PB|的最大值即可。1 2.（2分）设 存0,若x=a为函数/（x）=a（x-a）2（x -b）的极大值点，贝！J （）A.a b C.a b a2【答案】D【解析】【解答】当a 0时，若a为极大值点,则（如图1）,必有a b,a b a 2.故B,C项错;当a b a 2,故A错。故答案为：D.阅卷人得分【分析】对a的正负进行讨论，根据极值点的意义，作图分

9、析，得到正确选项。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分（共4题；共17分）1 3.（5 分）已知向量 a=（2,5）,b=（入,4）,若 a/b，则入=.【答案】|【解析】【解答】因为后（2,5濡=（九,4）,且a/K，则2x4 5/l=0,则A=|【分析】根据向量平行的条件即可得到结果。1 4.（5分）双曲线-4=1的右焦点到直线x+2 y-8=O的距离为.【答案】V 5【解析】【解答】由题意得，a 2=4M=5,所以c 2=a 2+b 2=9,所以c=3（c 0）,所以椭圆的右焦点是（3,0）,则j|3 4 2 x 0 8|r=右焦点（3,0）到直线x+2 y-8的距离为弓=.=

10、交【分析】先求出椭圆的右焦点坐标，然后用点到直线的距离公式求焦点到直线的距离即可。1 5.（5分）记 ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为b，B=60,a2+c2=3 a c,则b=.【答案】2V2【解析】【解答】SMBC=gacsinB=/acsin60=苧 ac=V5=ac=4,于是/?=Va2+c2 2accosB=Va2+c2 ac=V2ac=22【分析 1根据面积的值，计算出a c,再由余弦定理求解。16.（2分）以图为正视图，在图 中 选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则 所 选 侧 视 图 和 俯 视 图 的 编 号 依 次 为 （写出符合要求

11、的一组答案即可）.【答案】或 【解析】【解答】当俯视图为时，右侧棱在左侧，不可观测到，所以为虚线，故选择为侧视图；当俯视图为时，左侧棱在左侧可观测到，所以为实线，故选择为侧视图，故答案为：或 【分析】分情况讨论各种视图的位置关系。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（共5题；共50分）17.（2分）某厂研究了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用阅卷人得分一台旧设备和一台新设备各生产了 10件产品，得到各件产品该项指标数据如下:旧设备9.810.310

12、.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为无和 歹，样本方差分别记为si?和S22(1)(1 分)求 正，y,si2,S22（2）（1分）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如 果y -x 2此 尹，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.【答案】（1）解：各项所求值如下所示元=金(9.8+1 0.3+1 0.0+1 0.2+9.9+9.8+1 0.0+1 0.1 +1 0.2+9.7

13、)=1 0.0y =A (1 0.1+1 0.4+1 0.1+1 0.0+1 0.1+1 0.3+1 0.6+1 0.5+1 0.4+1 0.5)=1 0.3s；=盂 x(9.7-l0.0)1 2+*2 x(9.8-1 0.0)2+(9.9-1 0,0)2+2 X(l 0.0-1 0.0)2+(1 0.1-1 0.0)2+2 x(1 0.2-l 0.0)2+(1 0.3-1 0.0)2=0.3 6,（1）（6分）证明：平面PAM 1平面PBD；（2）（6分）若PD=DC=1,求四棱锥P-ADCD的体积.【答案】（1）因 为P D 1底 面A B C D ,A M u平 面A B C D ，si

14、=3 x(1 ().0-1 0.3)2+3X(1 0.1 -1 ().3)2+(1 ().3-1 0.3)2+2 x(1 0.4-1 0.3)2+2 x(1 0.5-1 ().3)2+(1 0.6-1 0.3)2=0.4.(2)由中数据得 y-x=0.3,2 S1+S2-0.5 5 1yj I。显然?-元(2 sl+s2，所以不认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高。J i o【解析】【分析】(1)先计算新旧样本平均数元区再直接用公式计算S 12,S 22；(2)由 中的数据，计算得：y-x=0.3,2 sl+s2=0.3 4 ,显 然?-了2 sl+s2,可得J 1 0 J 1

15、 0到答案。1 8.(1 2分)如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，P D 1底面A B C D,M为BC的中点，且P B 1A M.所 以PD L A M ,又 PB 1 AM,PB CPD=P,所 以A M 1 平 面PBD,而 4M u 平 面PAM,所以平面PAM 1 平 面PBD.（2）由（1）可知，A M 1 平 面PBD,所 以A M 1 BD,从 而 DAB-ABM,设 B M =x,AD=2x,则=磊，即 2x2=1,解得久=亨，所 以 4。=遮.因 为PD 1 底 面ABCD,故四棱锥P-A B C D的体积为l/=j x（lx V 2）x l=.【解析】【分析】（1）由

16、PD垂直平面ABCD,及 PB垂直A M,可以证明A M 1 平 面P B D,从而可能证明平 面PAM 1 平 面PBD；（2）由连接BD（1）可得，证明 AABM通过计算，求出高A0=鱼，再用棱锥体积公式直接得到答案。19.（12分）设 时是首项为1 的等比数列，数 列 g 满 足 与=等，已 知%,3 a2,9 a3成等差数列.（1）（6 分）求 an和 bn的通项公式；（2）（6 分）记 S”和Tn分别为 an和 也 的前n 项和.证明：Tn 一 得 抗=升 子+今+苏-1=彳-#=丸1_苏）_制，所以 T n=z（l-p i）-7n，f 3 LS所以 T 一:=-）一 7 j _,（

17、l _）=_ 5 T 0，所 以Tn .【解析】【分析】由 曲，3 a2 ，9 a3成等差数列，列关系式等比数列 a 3 的公比q，进而得到an,再由b n与加的关系求得b n,（2）先根据条件求得又，再由错项相减的方法求得的表达式，最后用求差比较法，证 明Tn o）的焦点F到准线的距离为2.（1）（6 分）求 C的方程.（2）（6 分）已知O为坐标原点，点 P 在 C上，点Q 满 足PQ=9QF,求直线OQ 斜率的最大值.【答案】（1）抛物线C:y 2=2px（p 0）的焦点F（令0）,准线方程为x =-1 ,由题意，该抛物线焦点到准线的距离为 刍-（-3）=2,所以该抛物线的方程为y2=4

18、%；（2）设 QQo J o）,则 同=9 而=（9-9 曲,9 兀），所以 P（10 x0-9,10y0）,由P在抛物线上可得（l O y o）2=4（10比 一 9）,即 出=25富 9 ,k _ Z o _%_ i y（）所以直线O Q的 斜 率 一诏一 诟 眄 一 布 辆，10当 y。=o时,当H 0 时,当 丫 0 0 时,koQ=0;；10女 殁 -2S v +2，25y o+斯Q因为 25y0+-2y。=3 0,-t 9 o此 时 0 5 M g ,当且仅当25y o =稔，即 y 0=5 时，等号成立；当 y o O 时，kO Q 0；综上，直 线 OQ 的斜率的最大值为1.【

19、解析】【分析】(1)根据抛物线的几何性质，可求得P 的值，就可以写出抛物线的方程；(2)先设出Q 的坐标M(x o,y o),在代入已知等式PQ=9QF,用(x o,y o)表示出P(10 x0-9,10y0),再代入抛物线方程，推导出x o,y o 的关系，再表示出OQ 的斜率。再利用基本不等式，求出斜率最大值即可。21.(12 分)已知函数/(x)=x3-x2+a x+1.(1)(6 分)讨 论/(x)的单调性；(2)(6 分)求 曲 线 y =/(x)过坐标原点的切线与曲线y =/(%)的公共点的坐标.【答案】(1)由函数的解析式可得：fx-)=3x2-2x+a，导函数的判别式4 =4

20、-12。，当 z l =4 -12a|时，/(x)0J(x)在 R 上单调递增，当 4 =4-1 2。0,/时，f (x)=0 的解为：巧=2-牛12雪冷=2+牛1丝,当 e (-o o,2v，Y1 2 a)时，/(x)0,/(x)单调递增；当 6 (三 宴 红 红 耳 红)时，f(x)0/0)单调递增；综上可得：当 a*时，/(%)在 R 上单调递增，当 a 6的解集；（2）（1分）若f（x）-a,求a的取值范围.【答案】（1）解:a=l时,f（x）=|x-l|+|x+3|,即求|x-l|+|x-3|次的解集.当 xNl 时，2x+2 6,得 xN2；当-36此时没有x满足条件；当 x-3

21、时-2x-2N6,得 x综上，解集为(，-4U2,-8).(2)f(x)最小值-a,而由绝对值的几何意义，即求x到a和-3距离的最小值.当x在a和-3之间时最小,此时f(x)最小值为|a+3|,即|a+3|-a.AN-3 时，2a+3 0,得 a-1；a-a,此时 a 不存在.综上，a-|.【解析】【分析】(1)当a=l,写 出f(x)=|x-l|+|x+3|,进一步分段讨论去值，解不等式;(2)只要保证f(x)址 小 他-a,而由绝对值的几何意义，即求x到a和-3距离的最小值.试题分析部分1、试卷总体分布分析总分：122分分值分布客观题（占比）51.0(41.8%)主观题（占比）71.0(5

22、8.2%)题量分布客观题（占比）12(52.2%)主观题（占比）11(47.8%)2、试卷题量分布分析大题题型题目量（占比）分 值（占比）选择题：本题共12小题，每小题5分，总共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。12(52.2%)51.0(41.8%)选修4 4：坐标系与参数方程1(4.3%)2.0(1.6%)选修4-5：不等式选讲1(4.3%)2.0(1.6%)解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。5(21.7%)50.0(41.0%)填空题：本题共4小题，

23、每小题5分，共20分4(17.4%)17.0(13.9%)3、试卷难度结构分析序号难易度占比1普通(52.2%)2容易(43.5%)3困难(4.3%)4、试卷知识点分析序号知识点（认知水平）分 值（占比）对应题号1补集及其运算5.0(4.1%)12直线与平面所成的角2.0(1.6%)103椭圆的简单性质5.0(4.1%)114复数代数形式的混合运算5.0(4.1%)25奇偶函数图象的对称性5.0(4.1%)96平面向量的坐标运算5.0(4.1%)137等比数列的通项公式12.0(9.8%)198等差数列的通项公式12.0(9.8%)199函数奇偶性的判断5.0(4.1%)910数列的求和12.

24、0(9.8%)1911点的极坐标和直角坐标的互化2.0(1.6%)2212简单线性规划5.0(4.1%)513几何概型5.0(4.1%)714导数的几何意义12.0(9.8%)2115全称量词命题2.0(1.6%)316存在量词命题2.0(1.6%)317指数函数的定义、解析式、定义域和值域5.0(4.1%)818函数的最值及其几何意义5.0(4.1%)819基本不等式5.0(4.1%)820直线与圆锥曲线的关系17.0(13.9%)14,2021余弦定理5.0(4.1%)1522y=Asin（u）x+（p）中参数的物理意义5.0(4.1%)423平面向量共线（平行）的坐标表示5.0(4.1%

25、)1324众数、中位数、平均数2.0(1.6%)1725正弦函数的周期性5.0(4.1%)426对数函数的图象与性质5.0(4.1%)827命题的否定2.0(1.6%)328二倍角的余弦公式5.0(4.1%)629棱柱、棱锥、棱台的体积12.0(9.8%)1830抛物线的标准方程12.0(9.8%)2031命题的真假判断与应用2.0(1.6%)332由三视图还原实物图2.0(1.6%)1633极差、方差与标准差2.0(1.6%)1734直线与平面垂直的判定12.0(9.8%)1835二次函数的图象2.0(1.6%)1236正弦函数的零点与最值5.0(4.1%)437二次函数的性质2.0(1.6%)1238利用导数研究函数的单调性12.0(9.8%)2139三角形中的几何计算5.0(4.1%)1540交集及其运算5.0(4.1%)141正弦函数的图象5.0(4.1%)442参数方程化成普通方程2.0(1.6%)2243不等式的综合2.0(1.6%)23