2021年数学高考真题卷--全国甲卷（理）数（含答案解析）.pdf

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1、2021年普通高等学校招生全国统一考试全国甲卷理科数学一、选择题:本题共12小题,每小题5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合 M=x|0 x 4,N=x|5,则 M C N=A.X0 B.x|ix4C.x|4x5 D.X|0A0,乙:是递增数列，则A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86（单位:m）,三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A,

2、8,C三点，且A,B,C在同一水平面上的投影满足NAC=45o,NA5C=60。.由C点测得8点 的 仰 角 为与CC的 差 为100面8点测得A点的仰角为45。,则A,C两点到水平面A7TC的高度差A4-CC约为（百旬.732）A.346 B.373 C.446 D.4739.若 aW%),tan 2a嗖 冷,则 tana=A.誓B（若喑10.将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为A-iC.|D.|11.已知A,B,C是半径为1的球。的球面上的三个点，且ACJ_ 8GAe=BC=1,则三棱锥O-ABC的体积为D包4A噂B.g若12.设函数式x）的定义域为R於+1）为奇函数於+2

3、）为偶函数，当x e“,2时十x）=o?+A若40）+/（3）=6,则.媳）=A-7 B.-|egD1二、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.13.曲线尸整在点（-1,-3）处的切线方程为一14.已知向量。=(3),6=(1,0),c=+心若 _Lc,则 k=1 5.已知尸昭为椭圆c：1+。=1的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|尸。=下典,则四边形1 6 4PFyQFz的面积为.1 6.已知函数危)=2c o s(s+)的部分图象如图所示，则满足条件如讨T)(/(x)力 0的最小正整数x为.三、解答题:共7 0分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1 7 21

4、题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、2 3题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共6 0分.1 7.(1 2 分)甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了 20 0件产品，产品的质量情况统计如下表:一级品二级品合计甲机床1 5 05 020 0乙机床1 208020 0合计，2701 3 0 4 0 0(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？(2)能否有9 9%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附.K2 _ n(ad-bc)2 (a+匕)(c+d)(a+c)(b+d)尸(心 0.

5、0 0.0 0.0k)5 0 1 0 0 13.8 6.6 1 0.k4 1 3 5 8281 8.（1 2 分）己知数列 为 的各项均为正数，记 S“为“的前项和，从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立.数列 斯 是等差数列；数列（国 是等差数列；a2=3 aL注:若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.1 9.（1 2 分）已知直三棱柱A B C-A i B Ci 中，侧面AABB为正方形4 B=2C=2,E,F 分别为AC 和 C G的 中 点 为 棱 4以上的点（1）证明:8尸，。当 为 何 值 时，面 B8 GC 与面O F E 所成的二面角的正弦值最小？20.(12 分)

6、抛物线C的顶点为坐标原点。，焦点在x轴上，直线l:x=交C于 尸,。两点，且O PLOQ.已知点M(2,0),且0 M与/相切.(1)求C,O M的方程；(2)设4 4 2力3是C上的三个点，直线4 A 2 A A 3均与。M相切.判断直线A2A3与。M的位置关系,并说明理由.21.（12 分）己知 0 且 a声 1,函数式x)=5(x0).当=2 时，求心)的单调区间；(2)若曲线)，=_ )与直线y=l有且仅有两个交点，求a的取值范围.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.224选修4-4:坐标系与参数方程(10分)在直角坐标系X。)

7、，中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为p=2&cos0.(1)将 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点A 的直角坐标为(1,0)为 C 上的动点，点 P 满足丽=鱼 而 7,写出P 的轨迹G 的参数方程,并判断C与 Ci是否有公共点.23.选修4-5:不等式选讲(10分)己知函数/(x)=|x-2|,g(x)=|2x+3H2x-11.(1)画出y J x)和 y=g(x)的图象；若./(x+a)沟(x),求a的取值范围.12345678910111213 141516BCBCADBBACADy=5x+2-y821.B【考查目标】本题主要考查集合的

8、运算，考查的学科素养是理性思维.【解析】M nN=x|350%,故 D 正确.【解题妙招】由于C难以计算，可以在判断选项A,B,D后，利用排除法得到答案为C.3.B【考查目标】本题主要考查复数的运算,考查运算求解能力.【解 析 一=券=嗫 等 小 女4.C【考查目标】本题主要考查对数的运算，考查运算求解能力，考查的学科素养是数学应用、数学探索.【解析】4.9=5+Ig V=lg y=-0.1=U=1 0*=/得=0.8,所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.V10 1.2595.A【考查目标】本题主要考查双曲线的定义与简单几何性质,考查运算求解能力、逻辑思维能力，考查的学科素养是理性思维

9、、数学探索.【解析】设|PF2|=，W,|PQ|=3皿则向F-yJm2+9m2-2x3m x m x cos60=V7nz,所以 C 的离心率e/_ 2 c _|F/2|a 2a PF1-PF2 2m 2,6.D【考查目标】必备知识:本题主要考查三视图.关键能力:空间想象能力.学科素养:理性思维、数学探索.【解析】根据题目条件以及正视图可以得到该几何体的直观图，如图，结合选项可知该几何体的侧视图为7.B【考查目标】必备知识:本题主要考查充分条件、必要条件.关键能力:逻辑思维能力.学科素养:数学应用、理性思维.【解析】当时/0,则0，O(eN*),即q0;若00,则/tan a=.4 15【易错

10、提醒】在应用公式化简转化过程中，约去的式子必须不能为0,本题式子变形过程中除以cos a 是在aW（0 9 的前提下进行的.1 0.C【考查目标】必备知识:本题主要考查排列组合的应用与古典概型概率的求解.关键能力:逻辑思维能力、数学建模能力.学科素养:理性思维、数学应用.【解析】解法一（将 4 个 1和 2 个 0 视为完全不同的元素）4 个 1分别设为1418,1仁1。,2 个 0 分别设为0A,08,将 4 个 1和 2 个 0 随机排成一行有线种排法，将 14,18,1。,1。排成一行有筋种排法,再将0 4 0 8 插空有Ag种排法，所以2 个 0 不相邻的概率。=缭=|.A6 3解法二

11、（含有相同元素的排列）将 4 个 1和 2 个 0 安排在6 个位置，则选择2 个位置安排。，共有髭种排法;将4 个 1排成一行，把 2 个 0 插空，即在5 个位置中选2 个位置安排0,共有髭种排法.所以2 个 0 不相邻的概率Dc1 2P=-=.髭 3 易错警示】元素相同的排列与元素不同的排列不要混淆,在一种解法中应保持一致.H.A【考查目标】必备知识:本题主要考查球的结构特征、锥体的体积公式.关键能力:运算求解能力、空间想象能力.学科素养:理性思维、数学探索.【解析】如图所示，因为ACLBC,所以AB为截面圆Oi的直径，且 AB=&.连接。01,则。0 面ABC,OOi=J1-鬻）2=J

12、i 一 净2#所 以 三 棱 锥 O-ABC的体积V=|5AAS O O产/X 1 x 1吟 畛1 2 .D【考查目标】必备知识:本题主要考查函数的图象与性质，函数求值.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力.学科素养:理性思维、数学应用、数学探索.【解析】由 于 公+1）为奇函数，所以函数於）的图象关于点（1,0）对称，即有 r）+/（2-x）=0,所以川）+人2-1）=0,得 川）=0,即a+b=0.由于於+2）为偶函数，所以函数火x）的图象关于直线x=2 对称，即有危）二 4 4-x）=0,所以购 t/（3）=十2）如）=-4。6+。+人=-3。=6 .根 据 得。=-2 4=2,所 以

13、当 1,2 时 於）=-2+2.根据函数段）的图象关于直线x=2 对称，且关于点（1,0）对称，可得函数段）的周期为4,所以媳）=/（=-&）=2 x（沪 2 等1 3 .y=5 x+2【考查目标】必备知识:本题主要考查导数在求曲线切线方程中的应用.关键能力:通过求导数体现对运算求解能力的考查.学科素养:通过导数的应用体现了数学应用的学科素养.【解析】丫 =（筌）=崇 工=总 焉，所以V 1=7=5,所以切线方程为y+3=5（x+l）,即y=5 x+2.【一题多解】本题可以先将函数转化为）=写 缗=2-亮，再求导数.1 4 .-y 【考查目标】必备知识:本题主要考查平面向量的坐标运算.关键能力

14、:通过坐标的运算体现了运算求解能力.学科素养:理性思维.解析 c=（3,l）+（匕 0）=（3+1 ）,=3（3+幻+1 x 1 =1 0+3 k=0,得 仁 学1 5 .8【考查目标】必备知识:本题主要考查椭圆的定义及几何性质.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力.学科素养:通过知识的转化过程体现了理性思维、数学探索学科素养.【解析】根据椭圆的对称性及|P Q|=|F E|可以得到四边形尸QQB为对角线相等的平行四边形，所以四边形 PQQ&为矩形.设|人|=?,则|P F 2 l=2 a-|P Q|=8-?,则|尸 尸 1|2+|尸&|2=川+（8-?）2=2 F+6 4-1 6 根=尸产2

15、|2=4/=4 3 2 一 从）=4 8,得 皿 8 加）=8,所以四边形PFQF2的面积为|P Q|x|P F 2|=m（8 加）=8.【解题妙招】皿8 加）=8 整体的直接应用，避免了求解m的运算过程！1 6 .2【考查目标】必备知识:本题主要考查三角函数的图象与性质.关键能力:通过函数解析式的求解体现了逻辑思维能力、运算求解能力.学科素养:通过对不等式的分析体现了理性思维、数学探索学科素养.【思维导图】已知*函数段）的解析式一k-巧力斗一原不等式转化为（/W-1次x）0力 与 ：或COS（2%T）V0T分析4 3 6 2 6不等式一结果【解析】由 题 图 可 知,?=詈?哼（T为 小）的

16、最小正周期），得7=兀，所以。=2,所以火x）=2 c o s（2 x+姆点（轴可看作“五点作图法”中的第二个点，则2 x 9+9小得夕=T，所以段）=2 c o s（2 x q）,所以式r）=2 c o s2 x（r）-3 2 6 6 4 47 =2 c o s（-）=2 c o s 11y o=2 c o s（2 x;-6=2 c o s?=0,所以如）夫?）如）爪9）0,即 如）-1 ）段）0,可得O 5 D 5 o O Z 4 3危）1或 段）0,所以c o s（2 x?）甘或c o s（呜）0.当x=l时2弓=2-/职）,c o s（2 x-3 G（0$,不符合题意;当x=2时23=

17、436（兀,1）,8式2%）0,符合题意.所以满足题意的最小正整数 为2.6 6 6 6【技巧点拨】本题在处理不等式c o s（2 r$；或COS（2X-7）0时,没有采用直接求解不等式的方法来确定最6 2 6小正整数x的值，而是采取验证正整数得到最小正整数的方法，相对快捷！1 7.【考查目标】必备知识:本题主要考查样本频率、独立性检验等知识.关键能力:通过求频率和计算心考查了运算求解能力.学科素养:理性思维、数学应用.【解题思路】（1）利用公式求解样本的频率;（2）利用照的计算公式求出院,结合临界值表，得出结论.解：（1）根据题表中数据知，甲机床生产的产品中一级品的频率是黑=0.7 5,乙机

18、床生产的产品中一级品的频率是 翳6（2）根据题表中的数据可得心=4黑制靠黑明攀1 0 2 5 6.因 为1 0.2 5 6 6.6 3 5,所以有9 9%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.1 8.【考查目标】必备知识:本题主要考查等差数列的定义、通项公式、前项和公式等知识.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力.学科素养:理性思维、数学探索.【解题思路】在题设条件下，可 构 造 三 个 命 题:X D.对于今，找到 斯 的首项和公差间的关系,表示出S“再利用等差数列的定义进行判断即可;对于=,利用数列 如 的前 项和公式、等差数列通项公式的特征，得出数列 斯 的首项和公差间的关

19、系即可;对于茹，利用、腐 是等差数列求出S,再利用斯=*5（吟2）结合等差数列通项公式的特征判断即可.解:已知 斯 是等差数列,4 2 =3 0.设数列 斯 的公差为，则。2=3“1=。|+,得d-2a,所以 Sn-na+ra因为数列&的各项均为正数,所 以 医=斯，所 以 疝 二 房=(1 +1)病-八年=后(常数)，所 以数列 房 是等差数列.夜已知%是等差数列,店 是等差数列.设数列 如 的公差为4贝ij Sn=na+n(；i)d=2 d+(a 1.|)n,因为数列 居 是等差数列，所以数列 医 的通项公式是关于n的一次函数，则0 3=0,即1=2 ,所以2=i+d=3 m.g.已知数列

20、 同j是等差数列,。2=3内,所以S i =a,Si=a+a2=a.设数列 G j的公差为,d 0,则得。1=法，所以6 j=Z i+(-l)=，所以 5 =/，所 以 如=5$一1=2 (-1)2屋=2(/2 -#(*2),是关于n的一次函数，所 以数列 斯 是等差数列.【题型风向】本题给出多个条件，要求我们根据试题要求构建一个命题，属于“结构不良试题”，充分考查对数学本质的理解，引导中学数学在数学概念与数学方法的教学中，重视培养数学学科素养，克服“机械刷题”现象.这将是今后命题的一个方向.1 9.【考查 目标】必备知识:本题主要考查直三棱柱中的线线垂直、二面角的正弦值、空间向量等知识.关键

21、能力:通过线线垂直的证明和二面角的求解考查了空间想象能力、逻辑思维能力和运算求解能力.学科素养:理性思维、数学探索.【解题思路】先证明B A L B C,再利用AB,BC,BBi两两垂直建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用向量证明;(2)分别求出 面 防 C和 面D E F的一个法向量，通过求出两法向量夹角的余弦值的最大值来解决.解:因为E,F分别是4c和CC的中点，且A B=B C=2,所以 CF=,BF=y5.如图，连接 A F,由 8凡1 _ 4 8|,4 8 4|8 1,得 BA8,于是 A F B F2+A B2=3,J?r W AC=yjAF2-CF2=2 V 2.A B2+

22、B C 2=A C 2,得J _ 8 c，故 以8为坐标原点，以A 2,8 C,B B|所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系B-xyz,则 B(O,O,O),E(1 ,l,0),F(0,2,l),B F=(0,2,1).设 加(0 0彷2),则 D(m,0,2),于是 D E =(1-/7 7,1,-2).所 以 乔 反=0,所以BF1DE.(2)易知面8SGC的一个法向量为i=(1,0,0).设面OFE的法向量为2=(x,y,z),则 留 改=0(F F-n2=0又 丽=(l-/n,l,-2),F F =(-1,1,1),所以一。，令 尸3,得产1+1 2=2-肛于是，面OFE的一个

23、法向量为 2=(3,?+1,2-，所以设面B8GC与面QFE所成的二面角为。，则sin 0=y/l-c o s2 ,故当，话 时，面88CC与面QFE所成的二面角的正弦值最小，为拳即当3。=；时，面B5CC与面QFE所成的二面角的正弦值最小.【解题关键】本题求解关键是建立恰当的空间直角坐标系，确定相关点的坐标，再利用空间向量进行运算.2 0.【考查目标】必备知识:本题主要考查抛物线与圆的方程、点到直线的距离、直线与圆的位置关系等知识.关键能力:通过求抛物线与圆的方程和判断直线与圆的位置关系考查逻辑思维能力、运算求解能力.学科素养:理性思维、数学探索.解题思路(1)由已知求得P,Q的坐标，进而得

24、C的方程，由。M与I相切求得。M的半径，即可得。M的方程;(2)设出4,A 2,小的坐标，分两种情况讨论，利用圆心到直线的距离与半径的关系判断直线A M 3与OM的位置关系.解：(1)由题意，直线x=l与C交于P,Q两点，且O P L O Q,设C的焦点为F,P在第一象限，则根据抛物线的对称性,Z POF=Z Q O F=4 5。，设C的方程为则l=2 p,得p=1,所以C的方程为V=x.因为圆心历(2,0)到/的距离即。M的半径，且距离为1,所以。M的方程为(/2)2+)2=1.设 A(,y i),A 2(X 2 J 2)A(X 3 3),当4/2,A 3中有一个为坐标原点，另外两个点的横坐

25、标均为3时，满足条件，此时直线A 2 A 3与。M相切.当汨加2方3时，直线4 4 2洸心1+丫2 +力 丫2=0,则I；芸a+黄1，即(资-1)无+2 M以+3-比=0,viyi+y2)十，同理可得(y+1)川+2)，+3-弁=0,所以 2,丁3是方程(y%l)y+2)，i y+3 M=0的两个根,则丁2+乃=箫 卬3=?.直线 A 2 A 3 的方程为 x-(y 2+y 3)y+y 2 y 3=0,设点M到直线4么3的距离为d(d 0),贝I片=诡鬻2=以 栗)2=1,EP d=,所以直线4M 3与0 M相切.综上可得，直线A 2 A 3与。M相切.2 1.【考查 目标】必备知识:本题主要

26、考查导数在研究函数单调性以及方程根的问题中的应用.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力.学科素养:理性思维、数学探索、数学应用.【思维导图】求 导(1 l/w-f(x)f函数段)的单调区间(2)曲线y/x)与直线y=l有且仅有两个交点黄冬方程岑二等有两个不同的解一构造函数g(x)二 等类士函数g(x)的单调性f晨工)皿=g(e)W X(1)0 0),/w=z(2n2)(x 0)5令/(x)0,则0 x 意，此时函数,/(x)单调递增,令/(x)0)有两个不同的解，即方程等=等有两个不同的解.设 g(x)啰(x 0)如 gQ产 鬻(x 0),令 g(x)=T =。，得 x=e,当0 x 0,函数

27、g(x)单调递增，当xe时,g(x)e 时,g(x)G(0,，又g(l)=0,所以0 1且得e,a e即a的取值范围为(l,e)U(e,+o o).【方法点拨】关于含有参数的方程根的问题，分离参数，构造新函数，通过研究新函数的单调性确定参数范围,这是一种常见的解决方程根的问题的基本方法.2 2.【考查 目标】必备知识:本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、根据已知条件求曲线的参数方程、判断两曲线公共点存在与否等知识.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力.学科素养:理性思维、数学探索.解：(1)根据=2或c o s。，得 p2=2 V 2 p c o s 0,因为 A2+5,2=p2 c=

28、p c o s 3,所以所以C的直角坐标方程为(-夜)2+;/=2.设 P(x,y),M(x,y),则 而=(x-l,y),宿=(x-l,y).因 为 点 地 宿，所 以 产 十 1),即 卜 飞+Il y =V 2 y 上=套因为M为C上的动点，所 以 溪+1 -伪2+得)2=2,即(上3+伪2+六4.V2 V2所以P的轨迹G的参数方程为卜=W 一 夜+2 c 0s a(其中a为参数,。可0,2兀).l y =2 s i na所以|CG|=3-2注,O C i的半径n=2,又。C的半径片或，所以|CG|/w,所以C与G没有公共点.23.【考查目标】必备知识:本题主要考查绝对值函数的图象与性质.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力.学科素养:理性思维、数学探索.【解题思路】根据零点分段法写出函数g(x)的解析式，分别画出y=/(x)和 产g(x)的图象;根据图象的平移,数形结合求解。的取值范围.-4,x -解:由已知得g(x)=14x 4-2,-x -I 2所以 可2与y=g(x)的图象为(2)=加+)的图象是由函数产危)的图象向左平移30)个单位长度或向右平移32-a),则 4=1+a-2,解得 a=y.因为y(x+a)沟(X),所以y,故。的取值范围为号,+8).