2022-2023学年上海九年级数学上学期同步精讲第1讲相似形与比例线段(含详解).pdf

《2022-2023学年上海九年级数学上学期同步精讲第1讲相似形与比例线段(含详解).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022-2023学年上海九年级数学上学期同步精讲第1讲相似形与比例线段(含详解).pdf（20页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第1讲放缩与相似形 相似形知识梳理 L相似多边形的性质I 相似多边形的判断题型探究一L根据相似多边形性质求长度、角度等课后作业知识梳理1、相似形的概念相似形：我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，简称相似形.2、相似多边形的性质如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例.当两个相似的多边形是全等形时，它们对应边的长度的比值为1.夕要点：（1）相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；“全等,，是“相似,，的一种特殊情况，即当“形状相同，且“大小相同，时，两个图形全等；（3）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质.（4）相似多边形对应边的比称为相似比.

2、题型探究支：题 型-、相似形的判断UL 例1 有以下命题：（1）邻边之比为2 :3的两个平行四边形相似;（2）有一个角是4 0。的两个菱形相似；（3）两个矩形相似；（4）两个正方形相似，其中正确的是（）A.1 和 2B.2 和 4C.3和 4D.1 和3【例 2】如图，有三个矩形,其中是相似形的是（)231.52.5丙A.甲与乙 B.甲与丙 C.乙与丙D.以上都不对相似三角形有（)D.4 对 题型二、相似形性质的应用U L1例4将一个多边形I 放大或缩小得到多边形I I,那么在多边形I 和多边形II的对应量中，没有被放大或缩小的是（）A.多边形的边长 B.多边形的周长 C.多边形的面积 D.多

3、边形的内角H l【例 5】如果两个矩形相似，已知一个矩形的两边长分别为5 cm 和 4 c m,另一边矩形的边长为6 cm,则另一边长为.h【例 6】在比例尺为1 ：1 000 000的地图上，相距3 cm 的两地，它们的实际距离为（）A.3 km B.30 kmC.300 kmD.3 000 km【例 7】如图，四边形/8 C O 与四边形4 8 C。相似的图形，点/与点4、点 8 与点方、点 C 与点C、点。与点。分别是对应顶点,己知数据如图所示，求未知边x、y 的长度和角a、0 的大小.h【例 8】如图，AABC 和AADE 是相似形，AE=5cm,AC=6cm,BC=12cm,ZACB

4、=40,ZB=ZD.(1)求NAED的度数；(2)求 D E的长.P举一反三1.（2020秋期末）观察下列图形中，是相似图形的一组是（）D.072.（2 0 2 0 全国课时练习）下列命题中，正确的命题是（)A.相似三角形是全等三角形B.不全等的图像不是相似形C.全等形是相似形D.不相似的图形可能是全等形3.（2 0 2 1 沁阳市模拟）如图，已知 4 8 C,则下列三角形中，与及4 5 c 相似的是（）4.（2 0 2 0 秋全国期末练习）如图，在正方形网格上有两个相似三角形A A B C 和A E D F,则NABC+NACB的度 数 为（）A.1 3 5 B.9 0 C.6 0 D,4

5、5 5.（2 0 2 0 秋全国期末练习）下列说法中：（1）所有的等腰三角形都相似；（2）所有的正三角形都相似;（3）所有的正方形都相似；（4）所有的矩形都相似；（5）所有的圆都相似。其中说法正确的序号是6.（2 0 2 0 全国期末练习）利用复印机的缩放功能，将原图中边长为5厘米的一个等边三角形放大成边长为2 0 厘米的等边三角形，那么放大前后的两个三角形的周长之比是 L7.（2 0 2 0 秋阜宁县期末）在比例尺为1：5 0 0 0 0 0 的交通地图上，阜宁到盐城的长度约为1 1.7 c m 则它的实际长度约为（）A.0.5 8 5 km B.5.8 5 km C.5 8.5 ktn D

6、.5 8 5 km8.4ABC的三条边长分别为血、2、VW,A B C，的两边长分别为1 和、/，且A A B C 与 A B C，相似，那么 ABC，的第三边长为9.（2019秋杨浦区期末）定义：我们知道，四边形的一条对角线吧这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线.在四边形A BCD中，对角线BD是它的相似对角线，ZABC=70,BD平分NABC,那么/ADC=度.10.从一个矩形中剪去一个正方形，如图所示，若剩下的矩形与原矩形相似，求原矩形的长边与宽边比.8后练习1.（2020徐汇区一模）下列命题中，假命题是（）A.凡有内角为3

7、0。的直角三角形都相似；B.凡有内角为45的等腰三角形都相似；C.凡有内角为60。的直角三角形都相似；D.凡有内角为90的等腰三角形都相似.2.（2020秋麦积区期末）下列说法错误的是（）A.等边三角形都相似 B.矩形都相似C.等腰直角三角形都相似 D.正方形都相似3.（2020秋奉贤区期末）下列两个图形一定相似的是（)A.两个菱形B.两个正方形 C.两个矩形D.两个梯形4.（2020秋娄星区期末）图形中，每个小网格均为正方形网格,带阴影部分的三角形中与如图小囱。相A.O K B.am5.（2020秋北硝区校级月考）选项图形与如图所示图形相似的是（）6.（2020秋拱墅区期末）在 10倍的放大

8、镜下看到的三角形与原三角形相比，三角形的周长（）A.没有发生变化 B.放大了 10倍C.放大了 30倍 D.放大了 100倍7.（2019秋徐汇区期末）四 边 形 和 四 边 形/E C 7T 是相似图形，点工、B、C、。分别与4、B。、。对应，已知8C=3,CD=2A,BC=2,那么的长是.8.（2018秋嘉定区期中）已知两个三角形是相似形，其中一个三角形的两个角分别为25。、5 5 ,则另一个三角形的最大内角的度数为9.（2020秋松江区期末）在一张地图上量得上海与南京两地的距离为3.2厘米，又已知上海与南京、北京两地的实际距离分别约为300千米和1080千米，那么在这张地图上，上海与北京

9、两地的距离为多少厘米？10.已知四边形/B C D 和四边形4 8。是相似的图形，并且点力与点4、点 8 与点夕、点 C 与点。、点。与点。分别是对应顶点，已知 8 c=4,8=3.6,4 5=3.3,BC=3,NB=75,Z C=105,ZD=95,求 48,的长和/的度数.11.(2019秋大观区校级期中)某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观点:观点一：将外面大三角形按图1 的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为1,则新三角形与原三角形相似.观点二：将邻边为6 和 10的矩形按图2 的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1,则新矩形与原

10、矩形相似.请回答下列问题:(1)你认为上述两个观点是否正确？请说明理由.(2)如图3,已知ZU8C,/C=6,BC=8,A B=1 0,将ZUBC按图3 的方式向外扩张，得到 DEF,它们对应的边间距都为1,=15,求 下的面积.第2讲放缩与相似形 相似形知识梳理 L相似多边形的性质I 相似多边形的判断题型探究一L根据相似多边形性质求长度、角度等课后作业知识梳理1、相似形的概念相似形：我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，简称相似形.2、相似多边形的性质如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例.当两个相似的多边形是全等形时，它们对应边的长度的比值为1.夕要点

11、：(1)相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；“全等，是“相似，的一种特殊情况，即当“形状相同，且“大小相同”时，两个图形全等；(3)相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质.(4)相似多边形对应边的比称为相似比.题型探究重 题 型一、相似形的判断人【例1】有以下命题：(5)邻边之比为2:3的两个平行四边形相似;(6)有一个角是4 0。的两个菱形相似；(7)两个矩形相似；(8)两个正方形相似，其中正确的是()A.1 和 2B.2 和 4C.3 和 4D.1 和3【答案】B【解析】邻边之比固定，但邻边的夹角不确定，形状不一定相同，错误；矩形每个角都是9 0 度，但长宽之比不确定，即对

12、应边不一定成比例，错误；故选B.h【例 2】如图，有三个矩形,其中是相似形的是（A甲与乙甲23【答案】B1.52.5B.甲与丙乙,与丙丙 D.以上都不对【解析】甲:长:宽=3：2；乙:长：宽=2.5：1.5=5：3；W：长：宽=1.5：1=3：2；所以甲与丙的对应边成比例，故选择B.A.1 对B.2 对C.3 对相似三角形有（）D.4对【答案】A【解析】解：第一个三角形的三边的三边之比为：1：2：近,第二个三角形的三边的三边之比为：近:V5：娓,第三个三角形的三边的三边之比为：1：2：旄,第一个四角形的三边的三边之比为：1：1：&，只有第一和第三个三角形的三边成比例,所以只有第一和第三个三角形

13、相似,故选：A.惠 题 型二、相似形性质的应用HL【例 4】将一个多边形I放大或缩小得到多边形i t,那么在多边形I和多边形II的对应量中，没有被放大或缩小的是（）A.多边形的边长 B.多边形的周长 C.多边形的面积 D.多边形的内角【答案】D【解析】放缩运动后，多边形的边长会放大或者缩小，同时周长与面积也会发生变化，所以A、B、C不正确，而放缩后，角不变，故选择D.网【例 5】如果两个矩形相似，已知一个矩形的两边长分别为5 c m和 4 cm,另一边矩形的边长为6 c m,则另一边长为.【答案】4.8 c m 或 7.5 c m.【解析】设矩形另一边长为x c m,根据相似形的定义，对应_

14、边成比例，可知巳5 =4 或？5 4,解得：x =4.86 x x 6或 x =7.5.网【例 6】在比例尺为1 ：1 0 0 0 0 0 0 的地图上，相距3 c m的两地，它们的实际距离为（）A.3 km B.3 0 km C.3 0 0 km D.3 0 0 0 km【答案】B.【解析】图上距离：实际距离=比例尺.所以3 c m：实际距离=1：1 0 0 0 0 0 0,故实际距离=3 0 0 0 0 0 0 c m=3 0 km。Hl【例 7】如图，四 边 形 与 四 边 形 Z 5 C 7 T 相似的图形，点 N与 点、点 8与 点、点 C与点C，、点。与点。分别是对应顶点，已知数据

15、如图所示，求未知边x、y的长度和角a、。的大小.【解析】解：在 四 边 形 中，/C=/Z T=B=5 5。,Z J=a=3 6 0 -5 5 -9 0 -6 0=1 5 5 ,/四 边 形 四 边 形ABCD,.9 _ 12,_-y,X 8 10 x=6 y=15.，【例 8】如图，AABC 和AADE 是相似形，AE=5cm,AC=6cm,BC=12cm,ZACB=40,ZB=ZD.(2)求/A E D 的度数；(2)求 D E的长.【答案】(1)ZAED=40；(2)DE=10cm.【解析】(1):ABC ADE,ZB=ZD,ZDAE=ZBAC,AZACB=ZAED,又ZACB=40,Z

16、AED=40AC BC(2):ABCAADE,-=-,AE DEV AE=5cm,AC=6cm,BC=12cm,6 12.-=-,DE=1 Ocm.5 DE/举一反三1.（2020秋期末）观察下列图形中，是相似图形的一组是（）C.D.0=7【答案】B【解析】A.形状不相同，不符合相似形的定义，故不符合题意;A.形状相同，且大小不同，符合相似形的定义，故符合题意；B.形状不相同，不符合相似形的定义，故此项不符合题意；C.形状不相同，所以不符合相似形的定义，此项不符合题意；故选B.2.（2020全国课时练习）下列命题中，正确的命题是（）A.相似三角形是全等三角形 B.不全等的图像不是相似形C.全等

17、形是相似形 D.不相似的图形可能是全等形【答案】C【解析】A.相似三角形不一定是全等三角形，故错误，A不符合题意；B.不全等的图形可能是相似形，也可能不是相似形，故不正确，B不符合题意；C.全等形一定是相似形，C正确；D.不相似的图形一定不是全等形，故D不符合题意；故选C.3.（2021沁阳市模拟）如图，已知/8 C,则下列三角形中，与A/18C相似的是（）【答案】C【解析】解：,由图可知，AB=AC=6,ZJ=30,：.ZC=15=ZB,A,三角形各角的度数分别为75。，52.5。，52.5,B、三角形各角的度数都是60。，C、三角形各角的度数分别为75。，30。，75,D、三角形各角的度数

18、分别为40。，70,70,二只有C选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等,故选：C.4.（2020秋全国期末练习）如图，在正方形网格上有两个相似三角形AABC和AEDF,则/A B C+/A C B的度 数 为（）A.135 B.90 C.6O0D.45【答案】D【解析】:A B C 与A E D F 相似，根据图形可以看出，Z D E F=1 3 5,Z B A C=Z D E F=1 3 5 ,Z A B C+Z A C B=1 8 0 0-Z B A C=4 5.故选：D.5.（2 0 2 0 秋全国期末练习）下列说法中：（1）所有的等腰三角形都相似：（2）所有的正三角形都相

19、似；（3）所有的正方形都相似；（4）所有的矩形都相似；（5）所有的圆都相似。其 中 说 法 正 确 的 序 号 是。【答案】（2）（3）（5）【解析】（1）错误，对应角不一定相等，例如：一个等腰三角形的顶角为3 0。，另一个等腰三角形的顶角为 5 0。，不相似，故（1）不正确；（2）正确；（3）正确；（4）对应边不一定成比例，故错误；（5）正确。6.（2 0 2 0 全国期末练习）利用复印机的缩放功能，将原图中边长为5厘米的一个等边三角形放大成边长为2 0 厘米的等边三角形，那么放大前后的两个三角形的周长之比是 1【答案】1:4【解析】原图的边长为5 厘米，周长为1 5 厘米，放大后的边长为2

20、 0 厘米，周长为6 0 厘米，所以周长之比为 1 5:6 0=1:4,故答案为：1:4.7.（2 0 2 0 秋阜宁县期末）在比例尺为1：5 0 0 0 0 0 的交通地图上，阜宁到盐城的长度约为1 1.7 c m,则它的实际长度约为（）A.0.5 8 5 km B.5.8 5 km C.5 8.5 km D.5 8 5 km【答案】C【解析】解：设这两城市的实际距离是x厘米，由题意，得1：5 0 0 0 0 0=1 1.7：x,解 得:x=5 9 5 0 0 0 0,5 8 5 0 0 0 0 c v n=5 8.5 Z;m.故选：c.8.AABC的三条边长分别为0、2、屈,的两边长分别为

21、1 和 石，且4ABC与AABC，相似，那么AABC，的第三边长为【答案】V2【解析】A B C iZ 知两边之比为1：后在AABC中找出两边 五、710-它们长度之比也为1 ：石，设AABC，第三边为，所以2：x=0：1，则*=&.9.（2019秋杨浦区期末）定义：我们知道，四边形的一条对角线吧这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线.在四边形A BCD中，对角线BD是它的相似对角线，ZABC=70,BD平分NABC,那么NADC=度.【答案】145【解析】如图所示，V ZABC=70,BD平分NABC,.NABANDBC,又 对角

22、线BD是它的相似对角线，ABD与4DBC相似，,ZA=ZBDC,ZADB=ZC,.ZA+ZC=ZADC,ZA+ZC+ZADC=360o-70=290,/.ZADC=145,故答案为：145.10.从一个矩形中剪去一个正方形，如图所示，若剩下的矩形与原矩形相似，求原矩形的长边与宽边比.【答案】（1 +6）：2【解析】设原矩形的长为X，宽为y,则剩下矩形的长为y,宽为yXy-yXV V X X I由题意知，一二 一，即2 =一1,令。=一，则一二。一1,所以/一 1=0,y x-y X y y。所以 2,所以原矩形的长与宽之比为y 2Qy课后练习1.（2020徐汇区一模）下列命题中，假命题是（）A

23、.凡有内角为30。的直角三角形都相似；B.凡有内角为45的等腰三角形都相似；C.凡有内角为60的直角三角形都相似；D.凡有内角为90。的等腰三角形都相似.【答案】B【解析】A.直角三角形三个内角分别为30。、60。、9 0 ,所以对应角相等，且对应边成比例，所以相似，故A 是真命题；B.如果一个等腰三角形顶角为45。，另一个等腰三角形底角为45。，不相似，故 B 为假命题；C.由题意，直角三角形三个内角分别为30。、60。、9 0 ,所以对应角相等，且对应边成比例，所以相似，故C 是真命题；D.内角我90。的等腰三角形即为等腰直角三角形，对应角相等，且对应边成比例，故 D 为真命题.故选B.2

24、.（2020秋麦积区期末）下列说法错误的是（）A.等边三角形都相似 B.矩形都相似C.等腰直角三角形都相似 D.正方形都相似【答案】B【解析】解：因为所有等边三角形，正方形，等腰直角三角形都相似，故选：B.3.（2020秋奉贤区期末）下列两个图形一定相似的是（）A.两个菱形 B.两个正方形 C.两个矩形 D.两个梯形【答案】B【解析】解：/、两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意；8、两个正方形，对应角相等，对应边一定成比例，一定相似，故符合题意；。、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故不符合题意；。、两个梯形同一底上的角不一定相等，

25、对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故不符合题意；故选：B.4.（2 02 0秋娄星区期末）图形中，每个小网格均为正方形网格，带阴影部分的三角形中与如图 4 8 i C i 相似 的 是（）【答案】B【解析】解：从图中看出，小囱。中有一个角是1 3 5。，而观察选项中，有 1 3 5。角的三角形只有8,且满足两边成比例夹角相等，故选：B.5.（2 02 0秋北暗区校级月考）选项图形与如图所示图形相似的是（）【答案】D【解析】解：因为相似图形的形状相同，所以4、B、C中形状不同，故选：D.6.（2 02 0秋拱墅区期末）在 1 0倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比，三角形的周长（）A.没有

26、发生变化 B.放大了 1 0倍C.放大了 3 0倍 D.放大了 1 00倍【答案】B【解析】解：在 1 0倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比，则边长扩大1 0倍，故三角形的周长放大了 1 0倍.故选：B.7.（2 01 9 秋徐汇区期末）四 边 形 和 四 边 形 4 8 0 是相似图形，点/、B、C、。分别与4、B。、。对应，已知2 C=3,8=2.4,BC=2,那么CO的长是.【答案】1.6【解析】解：四 边 形 四 边 形:.CD：CD=BC：BC,：8 C=3,C Z）=2.4,BC=2,：.CD=1.6,故答案为：1.6.8.（2 01 8 秋嘉定区期中）已知两个三角形是相似形，

27、其中一个三角形的两个角分别为2 5。、5 5,则另一个三角形的 最 大 内 角 的 度 数 为.【答案】1 00【解析】解：一个三角形的两个角分别为2 5。、5 5。,第三个角，即最大角为1 8 0。-（2 5+5 5）=1 00。，.两个三角形相似，另一个三角形的最大内角度数为1 00,故答案为：1 00.9.（2 02 0秋松江区期末）在一张地图上量得上海与南京两地的距离为3.2 厘米，又已知上海与南京、北京两地的实际距离分别约为3 00千米和1 08 0千米，那么在这张地图上，上海与北京两地的距离为多少厘米？【答案】1 1.5 2 厘米【解析】解:设在这张地图上，上海与北京两地的距离为x

28、厘米.根据题意得到:一 2_=-x.3 0000000 1 08 000000解得 x=1 1.5 2,答：在这张地图上，上海与北京两地的距离为1 1.5 2 厘米.1 0.已知四边形力 8。和四边形49。是相似的图形，并且点力与点4、点 B与点夕、点 C与点。、点。与点。分别是对应顶点，已知 B C=4,CD=3.6,4 9=3.3,BC=3,Z S=7 5,ZC=1 05 ,Z D=9 5,求 4 8,的 长 和 的 度 数.【答案】4 8=4.4.C Z =2.7,乙4 =乙4 =8 5 .【解析】解：在四边形4 8 C O 中，Z/4=3 6 0-7 5 -1 05 -9 5=8 5,

29、/四边形N B C Q s 四边形ABCD,:.AB：AB=CD：CD=BCz BC=4：3,Z J,=Z J =8 5 ,：AB=3.3,C O=3.6,.8=4.4.CD=2.7,1 1.（2 0 1 9 秋大观区校级期中）某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观点：观点一：将外面大三角形按图1的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为1,则新三角形与原三角形相似.观点二：将邻边为6和 1 0 的矩形按图2的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1,则新矩形与原矩形相似.图 图 图（3）请回答下列问题：（1）你认为上述两个观点是否正确？请说明理由

30、.（2）如图3,已知A 4 8 C,AC=f,8 c=8,1 5=1 0,将 Z 8 C 按图3的方式向外扩张，得到A D E F,它们对应的边间距都为1,=1 5,求尸的面积.【答案】（1）观点一正确；观点二不正确；（2）尸的面积为：5 4.【解析】解：（1）观点一正确；观点二不正确.理由：如 图（1）连接并延长。力,交尸C的延长线于点。，./8 C 和 尸 对 应 的 边 的 距 离 都 为 1,：.AB/DE,AC/DF,：.Z F D O=ZCAO,Z O D E=NOAB,.Z F D O+Z O D E=N C 4 0+N 0 A B,即/尸。；=/0 4 5,同理NOF=N48C

31、,X A B C s X D E F,观点一正确；如 图（2）由题意可知，原矩形的邻边为6 和 10,图(2)则新矩形邻边为4 和 8,.-6 _ 3-1-1-0 _-5，4 2 8 4.6,10新矩形于原矩形不相似，.,.观点二不正确；(2)如 图(3),延长。/、E B 交于点、O,.7到。E、。尸的距离都为1,D A是Z F D E的角平分线，同理，E8是/。E尸的角平分线,.点。是A/18C的内心，：/C=6,8c=8,AB=O,：.NBC是直角三角形，设4/夕。的内切圆的半径为r,则 6-什8-=10,解得，=2,过 点。作于点，交N 8于 G,：AB/DE,J.OGVAB,；.OG=r=2,.A B _ O G _ 2DE OH T同理 A C =B C =A B _ 2D F-E F-D E-y，:.DF=9,EF=12,.OEF 的面积为：AX9X12=54.2