2022-2023学年上海高二上学期数学同步练第02讲 简单几何体(核心考点讲与练)(含详解).pdf

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1、第 02讲简单几何体（核心考点讲与练）空 间 几何体的表面积、体积1 .空间几何体的结构特征（1）多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形DA BAA BDSA B底面互相平行且全等多边形互相平行且相似侧棱平行且相等相交于一点,但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形（2）旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形11含a卷母线互相平行且相等，垂直于底面相交于一点延长线交于一点X轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形侧面展开图矩形扇形扇环X2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图E，四一缁/IA/2宣&侧面积公式S圆柱=2货rlS附律 恻=nrlS 加台

2、蒯=n（力+目）13.空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱 体（棱柱和圆柱）S表面积=Si则+2 S底V=S 底 h锥 体（棱锥和圆锥）S表面枳=Sffj+S底O台 体（棱台和圆台）S表面积=S（P J+S上+S下，=；（S上+5下+后南方球S=4 31.求解几何体表面积的类型及求法2.求体积的常用方法求多面体只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多的表面积面体的表面积求旋转体可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要的表面积搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系求不规则通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，

3、先求出这些基本的柱几何体的体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积表面积直接法对于规则的几何体，利用相关公式直接计算割补法首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任等体积法一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换3 .几何体的外接球：一个多面体的顶点都在球面上即为球的外接问题，解决这类问题的关键是抓住外接球的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.几何体的内切球：求解多面体的内切球问题，一般是将多面体分割为

4、以内切球球心为顶点，多面体的各侧面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各分割棱锥的体积之和求内切球的半径.4.截面问题：在高考立体几何考点中涉及到空间几何体的截面的地方较多，如:判断截面的形状、计算出空间儿何体的截面周长或面积、或者求与之相关的体积问题、以及最值问题都在考察之列，但是要顺利地解决前面所提到的诸多问题，关键是根据题意作出截面，并判断其形状.柱体一、单选题1.（2 0 2 1 上海市文来中学高二期中）若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45。且腰和上底均为 I 的等腰梯形，则原平面图形的面积是（）A.-B.电 C.2 +&D.1 +7 22 22.（2018.上海市控江中学

5、高二期末）若一圆柱的侧面积等于其表面积的：，则该圆柱的母线长与底面半径之 比 为（）A.1：1 B.2：1 C.3：1 D.4：13.（2021上海市控江中学高二期中）已知圆柱的上、下底面的中心分别为。口 O 2,过 直 线 的 平 面 截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的侧面积为（）A.8 万 B.8 夜 1 C.12万 D.l o J Lr二、填空题4.（2021上海市控江中学高二期中）已知正方形边长为1,把该正方形绕着它的一条边旋转一周所形成的几何体的体积为三、解答题5.（2021上海奉贤区致远高级中学高二阶段练习）如图，边长为4的正方形A B B|A 1为圆柱的轴截面，C是

6、圆柱底面圆周上一点(1 )求证AC_L平面84c.（2）求圆柱的表面积和体积.一、填空题1.（2019上海虹口高二期中）已知正四棱锥的底面边长是2,侧棱长是逐，则该正四棱锥的全面积为2.（2022上海复旦附中高二期中）若一个圆锥的母线长为4,其侧面积为过圆锥轴的截面面积的2万倍，则该 圆 锥 的 高 为.3.（2021上海中学高二期中）半径为2 的半圆卷成一个圆锥，则该圆锥的体积为4.（2021 上海市松江二中高二期中）如图是底面半径为3 的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S 滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3 周，则圆锥的母线长为（2021上海市控

7、江中学高二期中）已知一圆锥侧面展开图是一半径为2 的半圆，则该圆锥的侧面积为.6.（2021上海华东师范大学第三附属中学高二期中）已知一个圆锥的侧面积是底面面积的2 倍，则该圆锥的母线与其底面所成的角的大小为7.（2021上海格致中学高二阶段练习）将表面积为36万的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为手的扇形，则该圆锥的轴截面的面积S=.5球一、填空题1.（2021上海市实验学校高二期中）已知三个球的半径飞、&满 足 N+&=3&,则它们的表面积5、S2、$3满 足 的 等 量 关 系 是.2.（2021.上海市宝山中学高二期中）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为兀，则球的表面积

8、为.3.（2019上海青浦高二期末）球的半径为1 2 cm,球 的 一 个 截 面 与 球 心 的 距 离 为,则截面的半径为4.（2021上海.高二专题练习）已知球的体积为36万，则 该 球 大 圆 的 面 积 等 于.5.（2021上海市甘泉外国语中学高二期中）上海的纬度大约是北纬31。，已知地球的半径大约是6370km,则北纬31。纬线的长度是 km（精确到个位）.6.（2022上海市嘉定区第二中学高二期末）己知球的表面积是16万，则 该 球 的 体 积 为.7.（2021.上海市南洋模范中学高二期中）直三棱柱A B C-A 4 G的侧棱长为2,侧棱。到平面B/C Q的距离不小于1,从此

9、三棱柱中去掉以此侧棱A A为直径的球所占的部分，余下的几何体的表面积与原三棱柱的表面积相等，则 所 剩 几 何 体 的 体 积 最 小 值 为.8.（2021.上海市七宝中学高二期中）球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，与截面垂直的球体直径被截得的部分称作球冠的高.若半径为R的球面被一个平面截成两个球冠，这两个球冠的表面积之差等于截面面积的2倍，则 球 心 到 截 面 的 距 离 为.（球冠的表面积公式：S=2 M 其中R是球的半径，。是球冠的高）9.（2021上海位育中学高二期中）正三棱锥P-M C中，&PA=A8=4及，点E在 棱 以 上，且PE=3E4,已知点尸、A、B、C都在球。的表面上

10、，过点E作球。的截面a,则。截球。所得截面面积的最小值为10.（2021.上海华师大二附中高二期中）已知三棱锥A-B C D的侧棱两两互相垂直，且该三棱锥的外接球的体积为36万，则该三棱锥的侧面积的最大值为_ _ _ _ _ _ _ _.二、解答题11.（2016上海位育中学高二期中）如图,A A B C中,NACB=90,ZABC=30,BC=在三角形内挖去一个半圆（圆心。在边B C上泮圆与AC、分别相切于点C、M与3 C交于点N）,将 ABC绕直线8 c旋转一周得到一个旋转体A(1)求该几何体中间一个空心球的表面积的大小;(2)求图中阴影部分绕直线8 c 旋转一周所得旋转体的体积.12.(

11、2022上海复旦附中高二期中)如图所示，已知球。的半径为2,在球。的表面上有三点A、B、C,且。、A、B,C 四点不共面,(1)若CO _L平面A 0 8,求球心。到平面A B C的距离;(2)若 CO_L平面AOB,一个经过点A、B、C 的球。也经过点。，求球。的表面积;(3)若线段AB上存在一点。，使得AD=C O,求 三 棱 锥 体 积 的 最 大 值.Q能力拓展题型一：几何体的表面积和体积一、单选题1.(2022上海奉贤区致远高级中学高二期末)如图，在棱长为1 的正方体A B S-A 4 G R 中,P、Q、R 分别是棱A氏8C、8片的中点，以APQR为底面作一个直三棱柱，使其另一个底

12、面的三个顶点也都在正方体A BCO-A A G A 的表面上，则这个直三棱柱的体积为()B-fc-得D-IT2.（2 0 2 2.上海市嘉定区第二中学高二期末）九章算术与 几何原本并称现代数学的两大源泉.在 九章算术卷五商功篇中介绍了羡除（此处是指三面为等腰梯形，其他两侧面为直角三角形的五面体）体积的求法.在如图所示的羡除中，平 面 是 铅 垂 面，下宽A 4 =3m,上宽5 ）=4m,深3m,平面是水平面，末端宽C E =5m,无深，长6 m （直线C E 到 8。的距离），则该羡除的体积为（）B.3 0 m 3 C.3 6 m 3 D.4 2 m3二、填空题3.（2 0 2 2 上海复旦附

13、中高二期中）正四棱台的上、下底面分别为边长为1 和 2的正方形，侧棱长为1,则该 棱 台 的 侧 面 积 为.4.（2 0 2 2上海金山高二期末）我国南北朝时期的数学家祖瞄提出了一个原理“嘉势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.现有某几何体和一个圆锥满足祖瞄原理的条件，若该圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则 该 几 何 体 的 体 积 为.5.（2 0 2 2上海金山高二期末）将边长为2的正方形ABCD绕其一边A3所在的直线旋转一周，所得的圆柱体积为.6.（2 0 2 2上

14、海长宁高二期末）正四棱锥P-A B C。底面边长和高均为2,E,F,G,”分别是其所在棱的中点,则棱台E F G H-A B C D的体积为.P（2 0 2 1 上海西外高二期中）直角坐标系X。），内有点P （-2,-1）（0,-2）,将 P O。绕 x 轴旋转一周，则 所 得 几 何 体 的 体 积 为.8.（2 0 2 1.上海.西外高二期中）若球的半径为I,则球的体积是.9.（2 0 2 2.上海奉贤区致远高级中学高二期末）若圆柱的高、底面半径均为1,则其表面积为.1 0.（2 0 2 2 上海长宁高二期末）若球的大圆的面积为兀，则 该 球 的 表 面 积 为.1 1.（2 0 2 2

15、上海市控江中学高二期末）如果圆锥的底面圆半径为1,母线长为2,则该圆锥的侧面积为一.1 2.（2 0 2 2上海长宁高二期末）底面半径为1,母线长为2的 圆 锥 的 体 积 为.1 3.（2 0 2 2.上海市七宝中学附属鑫都实验中学高二期末）一个高为2的圆柱，底面周长为2 万，该圆柱的表面积为三、解答题1 4.（2 0 2 1上海西外高二期中）如图，在圆柱。/中，A B 是圆柱的母线，B C 是圆柱的底面。的直径，D是底面圆周上异于3、C的点.（1）求证：CO,平面A B D；（2）若 BD=2,CD=4,A C=6,求圆柱O O/的侧面积.题型二：新定义一、单选题1.（2 0 2 1.上海

16、闵行中学高二阶段练习）在空间中，过点A作平面万的垂线，垂足为B,记 B =，（A）,设a、夕是两个不同的平面，对空间任意一点P,2=%力（2），0=力 方（尸），恒有PQLPQ?,则（）A.平面a与平面尸垂直B.平面a与平面夕所成的（锐）二面角为4 5C.平面a与平面尸平行D.平面a与平面夕所成的（锐）二面角为602.（2021上海华东师范大学第三附属中学高二阶段练习）连接空间几何体上的某两点的直线，如果把该几何体绕此直线旋转角a（0 a E _ L 平面8 C E.16.（20 21上海复旦附中高二期中）（1）求一个棱长为0 的正四面体的体积，有如下未完成的解法，请你将它补充完成.解：构造一

17、个棱长为1 的正方体一我们称之为该四面体的“生成正方体”，如左下图：则四面体 A C q。为棱长是 的正四面体，且有%|面体AC04=KE方体 一%-ACB,-匕,-AMQ-%-玛田%-ACA=-.对一个已知四面体，构造它的“生成平行六面体”，记两者的体积依次为%面 体和七成 平 行 六 面 体，试给出这两个体积之间的一个关系式，不必证明；（3）如1图，一个相对棱长都相等的四面体（通常称之为等腰四面体），其三组棱长分别为逐，瓜回,类 比（1）（2）中的方法或结论，求此四面体的体积.1 7.（2 0 2 1上海交大附中高二期末）如图，已知长方体A B C Q-A 8 c A，A B =2,M=l

18、,直线B O与平面 所 成 的 角 为3 0。，AE垂直3D于E.（1）若F为棱Ag上的动点，试确 定F的位置使得A E平面BGF,并说明理由；（2）若尸为棱A B|上的中点；求点A到 平 面 的 距 离;（3）若尸为棱A声 上 的 动 点（端点A，除外），求二面角尸-8D-A的大小的取值范围.1 8.（2 0 2 0上海交大附中高二期中）如图，在长方体A B C。-A4GA中，A B =A A,=B C =2,P,。分别为q G与 叫 中点.经过P,。作平面a,平面a 与长方体ABCO-ABCQI六个表面所截的截面可能是边形，请根据”的不同的取值分别作出截面图形形状(每种情况找一个代表类型，

19、例如=3只需要画一种，下面给了四幅图，可以不用完，如果不够请自行增加)，保留作图痕迹；(2)若 R为直线A 上的一点，且 4?=2,求过PQR截面图形的周长.第 02讲简单几何体（核心考点讲与练）考点考向空间几何体的表面积、体积1 .空间几何体的结构特征（1）多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形DA BAA BDSA B底面互相平行且全等多边形互相平行且相似侧棱平行且相等相交于一点,但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形（2）旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形11含a卷母线互相平行且相等，垂直于底面相交于一点延长线交于一点X轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形侧面

20、展开图矩形扇形扇环X2 .圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图E，四一缁/IA/2宣&侧面积公式S圆柱=2货rlS附律 恻=nrlS 加台蒯=n（力+目）13.空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱 体（棱柱和圆柱）S表面积=Si则+2 S底V=S 底 h锥 体（棱锥和圆锥）S表面枳=Sffj+S底O台 体（棱台和圆台）S表面积=S（P J+S上+S下，=；（S上+5下+后南方球S=4 31.求解几何体表面积的类型及求法2.求体积的常用方法求多面体只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多的表面积面体的表面积求旋转体可以从旋转体的形

21、成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要的表面积搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系求不规则通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱几何体的体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积表面积直接法对于规则的几何体，利用相关公式直接计算割补法首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任等体积法一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换3 .几何体的外接球：一个多面体的顶点都

22、在球面上即为球的外接问题，解决这类问题的关键是抓住外接球的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.几何体的内切球：求解多面体的内切球问题，一般是将多面体分割为以内切球球心为顶点，多面体的各侧面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各分割棱锥的体积之和求内切球的半径.4 .截面问题：在高考立体几何考点中涉及到空间几何体的截面的地方较多，如:判断截面的形状、计算出空间儿何体的截面周长或面积、或者求与之相关的体积问题、以及最值问题都在考察之列，但是要顺利地解决前面所提到的诸多问题，关键是根据题意作出截面，并判断其形状.柱体一、单选题1.（2 0 2 1 上海市文来中学高二期中）若一个水平放置的图形

23、的斜二测直观图是一个底角为4 5。且腰和上底均为 I 的等腰梯形，则原平面图形的面积是（）A.-B.电 C.2 +&D.1 +7 22 2【答案】C【分析】先计算出等腰梯形的面积为H，再利用5 =2 收 计算得到答案.【详解】等腰梯形的面积，=1（1 +I x c o s 4 5 0 x 2 +I）x l x s in 4 5 0 =+1则原平面图形的面积S =20=2+7 2.故选：C.2.（2 0 1 8上海市控江中学高二期末）若一圆柱的侧面积等于其表面积的：，则该圆柱的母线长与底面半径之 比 为（）A.1：1 B.2：1 C.3：I D.4：1【答案】B【分析】设这个圆柱的母线长为/,底

24、面半径为，根据已知条件列等式，化简可得答案.【详解】设这个圆柱的母线长为/,底面半径为，则2万 八/=京2万 广/+2万/），/?化简得/=2r,即上=；,r 1故选：B【点睛】本题考查了圆柱的侧面积公式，考查了圆柱的表面积公式，属于基础题.3.（20 21上海市控江中学高二期中）已知圆柱的上、下底面的中心分别为。口。2,过直线。z的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的侧面积为（）A.8万 B.8&乃 C.12兀 D.lo V L r【答案】A【分析】根据给定条件探求出圆柱底面半径 与母线/的关系即可求解圆柱的侧面积.【详解】设圆柱的底面圆半径为厂，母线长为/,则该圆柱轴截面矩

25、形的一组邻边长分别为2r,/,依题意，2人/=8,解得 =4,由圆柱侧面积公式得：5 =2 =8万，所以该圆柱的侧面积为8万.故选：A二、填空题4.（20 21上海市控江中学高二期中）已知正方形边长为1,把该正方形绕着它的一条边旋转一周所形成的几何体的体积为【答案】n【分析】正方形绕着它的一条边旋转一周，得到一个圆柱,根据圆柱的体积公式，即可得到答案.【详解】由题意可知：正方形绕着它的一条边旋转一周,得到一个圆柱其底面半径厂=1高九=1根据柱体体积公式:V =S h=i故答案为7.【点睛】本题考查了圆柱的体积计算，考查了计算能力,属于基础题.三、解答题5.（20 21上海奉贤区致远高级中学高二

26、阶段练习）如图，边长为4的正方形A BB|A 1为圆柱的轴截面，C是A圆柱底面圆周上一点/KE：可 力C（1）求证A C _ L 平 面 网 C.（2）求圆柱的表面积和体积.【答案】（1）证明见解析：（2）24 乃,1 6 7.【分析】（1）根据AB 是底面圆宜径，得至I J A C _ L BC,再根据8 片，底面圆，得至ijA C L BB,再利用线面垂直的判定定理证明：（2）分别利用圆柱的表面积和体积公式求解.【详解】（1）因为AB 是底面圆直径，C是底面圆周上一点，所以 A C J _ 8 C.又因为8 月_ 1 _ 底面圆，A C u 底面圆，所以A C L 8 4.又因为B C n

27、 B 4=B,所以A C J _ 平面BBQ .（2）圆柱的表面积S=2万/+2乃泌=2万x 2?+2乃x 2x 4 =24 乃.圆柱的体积 V =7t r2h=x 22 x 4 =1 6 7 r .一、填空题1.（20 1 9上海虹口高二期中）已知正四棱锥的底面边长是2,侧棱长是石，则 该 正 四 棱 锥 的 全 面 积 为.【答案】1 2【分析】根据正四棱锥的特点，可知侧面是全等的等腰三角形，求出斜高可得侧面积，结合底面积可得全面积.【详解】如图在正四棱锥S-AB CD 中，。为底面正方形的中心，E 为 B C的中点，连接O E,S O,S E,则 S O _ L 平面AB CD,又 B

28、C u 平面AB C D,所以BC _ L S O,在三角形AB C中，O,E 分别为A C,B C的中点，所以O E A B,又因为A B L B C,所以B C L O E.又 O EC S O=0,所 以BCJ_平面S 0 E,因为SEu平面SOE,所以SELBC,即SE为侧面SBC的斜高，三角形SBE为直角三角形，所以SE=J s B?-B E?=石=1=2.所以该正四棱锥的全面积S令=SABCD+4XSSBC=2X2+4Xgx2x2=4+8=12.故答案为12.【点睛】本题主要考查正棱锥全面积的求法，应熟记面积求解公式，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.2.（2022上海复旦附中

29、高二期中）若一个圆锥的母线长为4,其侧面积为过圆锥轴的截面面积的2万倍，则该圆锥的高为【答案】2【分析】设出圆锥底面圆半径、圆锥的高，利用给定条件结合侧面积公式列式计算作答.【详解】设圆锥底面圆半径为八圆锥的高为心依题意有，2r%=%八4,解得/i=2,所以圆锥的高为2.故答案为：23.（2021.上海中学高二期中）半径为2的半圆卷成一个圆锥，则该圆锥的体积为【答案】q3【分析】有圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长，半径等于圆锥的木现场，求出圆锥的底面半径和高,由圆锥的体积公式求解即可.【详解】解：山题意得：:半径为R=2的半圆弧的周长为/=gx%x4=2%圆周的底面周长为：27r扇形围成的底

30、面圆周的半径为/=1,母线长为2,/?=衣 二 产=内 故圆锥的体积为:V=S/7=-x x l2x/3=$兀3 3 3故答案为：34.（2 0 2 1.上海市松江二中高二期中）如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S 滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则圆锥的母线长为【答案】9【分析】设圆锥的母线长为/,底面半径为r,由题可得2 R =3 x 2 i r,即求.【详解】设圆锥的母线长为/,底面半径为r，则2 M =3 x 2 s,：.l=3r=9.故答案为：9.5.（2 0 2 1 上海市控江中学高二期中）已知一圆锥侧面展开图是一

31、半径为2的半圆，则该圆锥的侧面积为【答案】2n【分析】根据圆锥侧面展开图与圆锥侧面的关系求出圆锥底面圆半径即可计算得解.【详解】设圆锥底面圆半径为，则该圆锥底面圆周长为2 万 厂，因圆锥侧面展开图是一半径为2的半圆，则半圆弧长为2 万，依题意，2 万厂=2 万，解得厂=1,显然圆锥的母线长/=2,则圆锥侧面积S =）=2），所以圆锥的侧面积为2 万.故答案为：2兀6.（2 0 2 1上海华东师范大学第三附属中学高二期中）已知一个圆锥的侧面积是底面面积的2 倍，则该圆锥的 母 线 与 其 底 面 所 成 的 角 的 大 小 为.【答案】y【分析】设圆锥的母线长为/，底面半径为，圆锥的母线与其底面

32、所成的角为。，根据面积关系可得兀rl=2兀，即可得到答案；【详解】设圆锥的母线长为/，底面半径为，圆锥的母线与其底面所成的角为1r1则2%/7 =2乃 -=_ =,2 I 2/.c o s 0=-0=6 0 ,2故答案为：J7.（2 0 2 1.上海.格致中学高二阶段练习）将表面积为3 6乃的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为告的扇形，则该圆锥的轴截面的面积S=.【答案】1 8庭【解析】设圆锥的母线长为/，底面半径为，根据题意可得出关于/、厂 的方程组，解出/、的值，可计算出该圆锥的高，利用三角形面枳公式可求得该圆锥轴截面的面积.网=2 r【详解】设圆锥的母线长为/，底面半径为，则 有

33、亍 一 ,解得T t r2+7t r l =367t所以圆锥的高 =J/2产=1 8 1-9=6 0，所以该圆锥的轴截面面积S =gx 6 x 6&=1 8&.故答案为：1 8近.【点睛】本题考查圆锥轴截面面积的计算，解题的关键就是计算出圆锥的母线长和底面半径，考查计算能力，属于基础题.至 55一、填空题1.（2 0 2 1上海市实验学校高二期中）已知三个球的半径飞、4、&满 足4+&=3%,则它们的表面积$、$2、$3满 足 的 等 量 关 系 是.答案厩+向=3 6【分析】利用球的表面积公式和N +&=3 R s相结合求解即可【详解】解：由题意得S 1 =4万/?：,$2 =4&2，S?=

34、4 1与2,所以R =所以R,，因为弋+&=3 8,所 以 向 +病=3 ,故答案为：后+卮=3 底2.（2 0 2 1.上海市宝山中学高二期中）一个与球心距离为1 的平面截球所得的圆面面积为兀，则球的表面积为.【答案】8 n【分析】先求出截面圆半径，再求球半径，最后根据球表面积公式得结果.【详解】因为与球心距离为1 的平面截球所得的圆面面积为兀，所以该截面圆的半径为1,因此球的半径为#+f=0,故该球的表面积S=47IR2=8T I故答案为：8 兀【点睛】本题考查球表面积公式以及球截面，考查基本分析求解能力，属基础题.3.（2 0 1 9上海青浦高二期末）球的半径为1 2 c m,球的一个截

35、面与球心的距离为船相，则截面的半径为【答案】8&【分析】利用勾股定理，计算出截面的半径.【详解】设球心为。，截面圆心为C,依题意，0 8 =1 2,O C =4,故 B C =J 5/=百二不=80，即截面的半径为8 夜cm.故答案为：8 夜【点睛】本小题主要考查球的截面半径的计算，属于基础题.4.（2 0 2 1上海高二专题练习）已知球的体积为36 万，则 该 球 大 圆 的 面 积 等 于.【答案】9 乃【分析】由球的体积，得到球的半径，进而可得出大圆的面积.【详解】因为球的体积为36兀,设球的半径为，4.则乃尸=36 万,解得：r=3,因为球的大圆即是过球心的截面圆,因此大圆的面积为S=

36、nr1=9 乃.故答案为：9 乃.【点睛】本题主要考查球的相关计算，熟记球的体积公式，以及圆的面积公式即可，属于基础题型.5.（2 0 2 1 上海市甘泉外国语中学高二期中）上海的纬度大约是北纬31。，已知地球的半径大约是6 37 0 k m,则北纬31。纬线的长度是 k m（精确到个位）.【答案】3430 7【分析】根据纬度及地球半径求纬度线所在圆的半径，再由圆的周长公式求北纬31。纬线的长度.【详解】由题设，北纬31。纬线所成圆的半径r=6 37 0 x c os 31。，,北纬 31 纬线的长度 2兀r=2 万 x 6 37 0 x c os 31 =3430 7 k m.故答案为：34

37、30 76.（2 0 2 2.上海市嘉定区第二中学高二期末）已知球的表面积是1 6 7，则 该 球 的 体 积 为.【答案】节32【解析】设球的半径为r,代入表面积公式，可解得r=2,代入体积公式，即可得答案.【详解】设球的半径为 则表面积5 =4万 r=1 6 ，解得r=2 所以体积丫=壮乃/=&乂2 3=%工，3 3 3故答案为：券32 万【点睛】本题考查已知球的表面积求体积，关键是求出半径，再进行求解，考查基础知识掌握程度，属基础题.7.（2 0 2 1 上海市南洋模范中学高二期中）直三棱柱A 8 C-A 与G的侧棱长为2,侧棱4 A到 平 面 的 距离不小于1,从此三棱柱中去掉以此侧棱

38、AA为直径的球所占的部分，余下的几何体的表面积与原三棱柱的表面积相等，则 所 剩 几 何 体 的 体 积 最 小 值 为.【答案】2-1【分析】山余下的几何体的表面积与原三棱柱的表面积相等列式求解N B 4 C,再由棱柱体积减去去掉的几何体的体积求解.【详解】在直三棱柱ABC-4 8c中，平面ABC,的=2,设 N 8 4 C =a,AB=a,A C =b,由于三棱柱中去掉以AA为直径的球所占的部分，余下的几何体的表面积与原三棱柱的表面积相等.二所剩几何体的体积V =/?-X x f 1 =a b-24 3 3又侧棱到对面的距离不小于1,则a b/a2+h2 1,可得必之2当且仅当=b =亚

39、时等号成立,故所剩几何体的体积的最小值为2-（.7 T故答案为：2 .8.（2 0 2 1上海市七宝中学高二期中）球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，与截面垂直的球体直径被截得的部分称作球冠的高.若半径为R的球面被一个平面截成两个球冠，这两个球冠的表面积之差等于截面面积的2倍，则 球 心 到 截 面 的 距 离 为.（球冠的表面积公式：S =2M其中R是球的半径，刀是球冠的高）【答案】（&-D R【分析】设球心到截面的距离为d，则可表示出两个球冠的高，由已知面积相等可求得距离.【详解】设球心到截面的距离为d,则2万/?（/?+4）-2%/?（/?-）=2 （/?2-/）,d2+2d R-R2=0

40、.d =（6-l）R（舍去负值）.故答案为：（&-D R.9.（2 0 2 1上海位育中学高二期中）正三棱锥P-A 8 C中，6PA=AB=4 6,点E在棱 附 上，且P E =3E 4,已知点P、A、B、C都在球。的表面上，过点E作球。的截面%则a截球。所得截 面 面 积 的 最 小 值 为.【答案】3兀【分析】通过补体把正三棱锥补成正方体，则正方体的体对角线为外接球直径；可求出Q E =3,当在,平面a时,，平面a截球。的截面面积最小，此时截面为圆面，从而可计算截面的半径，从而推导出截血的血积.【详解】=P C =P 5 =4,A B =A C =B C =4拒，.P +P C=AC2,:

41、.Z CP A=,设 丛 的 中点为尸，连接。尸，则O 尸=2 应且.所以。七=屈 1 =3,当。E J _ 平面a时，平面a截球。的截面面积最小，此时截面为圆面，其半径 为 力 可 二 7 =6,故截面的面积为3 万.故答案为：3 乃1 0.（2 02 1上海华师大二附中高二期中）已知三棱锥A-3CO的侧棱两两互相垂直，且该三棱锥的外接球的体积为3 6 万，则该三棱锥的 侧 面 积 的 最 大 值 为.【答案】1 8【分析】由题意将该三棱锥补成一个长方体，由球的体积公式可得外接球的半价R,令A 3 =x,A C =y,A D =z,进而可得*+y 2 +z 2=3 6,再利用基本不等式即可得

42、解.【详解】由题意以该三棱锥的三条侧棱为长、宽、高，将该三棱锥补成一个长方体，长方体的体对角线就是外接球的直径，令 A B =x,A C=y f A O =z,外接球的半径为R，4根据三棱锥外接球的体积为力W=3 6 万,可得球的半径R =3,贝 i f+y 2+z 2=（2 R）2=3 6,所以该三棱锥的侧面积s1-21-24；(y 2+z 2)+；(x 2+),2)+；(x 2+z 2)=g(d+y 2+z 2)=8,当且仅当x =y =z =2 石 时，等号成立.故该三棱锥的侧面积的最大值为1 8.故答案为：1 8.【点睛】本题考查了几何体的外接球相关问题的求解及基本不等式的应用，考查了

43、运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.二、解答题1 1.(2 01 6 上海位育中学高二期中)如图,AABC中,Z ACB=9 0,N A B C=3 0,BC=石,在三角形内挖去一个半圆(圆心。在边B C 上,半圆与A C,A 8 分别相切于点C、M与 8c交于点N),将 A B C 绕直线B C 旋转一周得到一个旋转体(1)求该几何体中间一个空心球的表面积的大小;(2)求图中阴影部分绕直线B C 旋转一周所得旋转体的体积.【答案】(1)S =4 幻 二:万；)处 左3 2 7【分析】根据旋转体的轴截面图，利用平面几何知识求得球的半径与AC长，再利用面积公式与体积公式计算即可.【详解】解：

44、(1)连接OM,则 设 O M=r,O B=-r,在ABMO中,s in Z A B C =G-r2 4S=4 4/=7T；3(2).Z ACB=90 Z ABC=3 0,B C =73,/.A C =1 ,V =V 则 椎 一 V=A C1 2 x B C-7vr3=上冗火6 士九乂更-=工-兀.1 73n r =2 33 3 3 3 9 2 7【点睛】本题考查旋转体的表面积与体积的计算，球的表面积4%产，圆锥的体积;乃 产 儿12.（2022上海复旦附中高二期中）如图所示，已知球。的半径为2,在球。的表面上有三点A、B、C,且0、A、B、C四点不共面，乙403=120。.（2）若CO_L平

45、面AOB,一个经过点A、B、C的球。也经过点O,求球。的表面积：（3）若线段A 8上存在一点D,使得AO=C D,求三棱锥O-BCZ）体积的最大值.【答案】（1）4=学（2）20万（3）g【分析】（1）用等体积法即可求解（2）确定球心0 的位置之后，运用解三角形的知识即可求解（3）1=3 5徵皿，4-。3。4：5M/4-加，要求三棱锥。-8 8体积的最大值，需求SAOBOMC-的 最 大值，设AO=p,用P表示出S丽,即可求解(1)设球心0到平面ABC的距陶为d、在 OAB 中 A5=yjo+OB2-2OA OBCOS120=26因为CO_L平面A O B,所以CO_LOA,CO 0 4,所以

46、 A C N S+O V =2叵,BC=ylcCP+OB2=242如图，取A 8中点E,连接C E,则CE_LA3在 一 中 CE=JCB?-BE2=2何 _(琦=6所以%s c=；xABxCE=岳；因为匕 二 匕-.所以 122且解得d=2叵.3 2 2 3 5(2)设0 在平面A 0 8的投影为H,则H为“M B的外心，设AOAB的外接圆半径为AB 2A/3 ._ _ _ _/I-/f*由正弦定理得sin4 4 0 8一 百 一，所以r=2T所 以HA=HB=HO=2,又因为O(7=C。，故O 在OC上的投影为O C中点M ,OM=,所以0。=，0炉+0M2=石,球。的表面积为S=4万(石

47、=20乃.(3)OA=OC=2,AD=CD,NO W =N O 8 =30,，0 AD2y/3.设 AO=p,OD=卜+42.2”专=J/?_ 2岛+4，2-p 记C到O D的距离为d,则 =_ _ _ _2=P,OD 加_2 6.+4V=g,S&O BD ,djoBD-T S&O BD dC-O D =-2 (2 -p)，/、厂=-P,3 3 3 2 V /2 b _ 2 +4 6次_2舟+4令“_2舟+4=1，贝 次-2&=/一4(1 Y2),v =4-r l=1U _ V 1 16/61f J 6V 2当且仅当f=l,即p=6,且平面CQ DL平面AOB时等号成立.U能力拓展题型一：几何

48、体的表面积和体积一、单选题1.（2022.上海奉贤区致远高级中学高二期末）如图，在棱长为1 的正方体A B CD-4g C Q 中，P、Q、R 分别是棱AB、BC、8片的中点，以A PQR为底面作一个直三棱柱，使其另一个底面的三个顶点也都在正方体A 8 C O-A 4 a A 的表面上，则这个直三棱柱的体积为（）【答案】CC.-16D,昱16B,38【分析】分别取物8 a 的中点小2/，连接PR,Q2，RK，利用棱柱的定义证明几何体PQR-RQ圈是三棱柱，再证明BD,_L平面P Q R,得到三棱柱PQR-8 Q N 是直三棱柱求解.【详解】如图所示：连接鹤,。4 4,分别取其中点4，Q，N，连

49、 接 叫。窝 世，则 PP,UBD,QQ、BD、,R&UBD,，且 历=轲 效=1B D,|,所以几何体尸Q R-6Q 内是二棱柱,又 PQLBD,PQLBB,且 B D c B B 1=B ,所以PQ_L平面B8QQ,所以P Q L B R,同理P R J.*,又 P Q c P R =P,所以BQ _L平面PQR,所以三棱柱P Q R-片。内 是直三棱柱,因为正方体ABC。的棱长为I,所以 PQ=PR=RQ=W，PR=QQ、=RR、=$,所以直三棱柱PQ R-6Q 内 的体积为 联 立 x L 也 x 也 x =3，2 2 2 2 2 16故选：C2.（2022上海市嘉定区第二中学高二期末

50、）九章算术与 几何原本并称现代数学的两大源泉.在 九章算术卷五商功篇中介绍了羡除（此处是指三面为等腰梯形，其他两侧面为直角三角形的五面体）体积的求法.在如图所示的羡除中，平面ABZM是铅垂面，下宽A4=3 m,上宽网 =4 m,深3 m,平面BDEC是水平面，末端宽CE=5 m,无深，长6m（直线CE到 8。的距离），则该羡除的体积为（）A.24m*B.30m3 C.36m3 D.42m3【答案】C【解析】在 3D，C F上分别取点B，C ,使得38=CC=3 m,连接ATT,AC,B C ,把几何体分割成一个三棱柱和一个四棱锥，然后由棱柱、棱锥体积公式计算.【详解】如图，在 B，C/上 分