2022-2023学年上海高二上学期数学同步练第04讲线线、线面、面面平行的判定与性质(核心考点讲与练)(含详解).pdf

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1、第 04讲线线、线面、面面平行的判定与性质(核心考点讲与练)1.平 行(1)平行公理过直线外一点直且区直一条直线和己知直线平行.(2)基本性质4(空间平行线的传递性)平行于同一条直线的两条直线互相平行.(3)定理如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行,并 且 方向相同,那么这两个角相等.2.直线与平面平行(1)直线与平面平行的定义直 线/与 平 面。没有公共点，则称直线/与平面a平行.(2)判定定理与性质定理3.平面与平面平行文字语言图形表示符号表示判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面 _M%Zx z a ,a/b=a/a性质定理一条直线和一个平面平行，则

2、过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行a/c i,a u ,Q 0 P b=a/b(1)平面与平面平行的定义没有公共点的两个平面叫做平行平面.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面内的两条祖交直线/a u a ,Zx z a ,a Ci b=P,a ,b =q 与另一个平面平行，则这两个平面平行性质定理两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面。au Q=aJ1 8如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。,a C y=a,A y=b=a/bQ方法技巧2 .构造平行直线的常用方法（1）构建三角形或梯形的中位线：可直接利用线段的中点、等

3、腰三角形三线合一或利用平行四边形对角线的交点找中点，从而构建中位线；（2）构建平行四边形：可以利用已知的平行关系（如梯形的上下底边平行）或构建平行关系（如构造两条直线同时平行于已知直线），从而构建平行四边形.应用线面平行的性质定理时，关键是过己知直线作辅助平面与己知平面相交，所得交线与已知直线平行，还可以利用交线判断已知平面内的直线与已知直线的位置关系，即在已知平面内所有和交线平行的直线都与已知直线平行，所有和交线相交的直线都与已知直线异面.3 .判定平面与平面平行的4 种方法（1）面面平行的定义，即证两个平面没有公共点（不常用）；（2）面面平行的判定定理（主要方法）；（3）利用垂直于同一条直

4、线的两个平面平行（客观题可用）；（4）利用平面平行的传递性，两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行（客观题可用）.利用线面平行或面面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的 位 置.对 于 线 段 长 或 线 段 比 例 问 题，常 用 平 行 线 对 应 线 段 成 比 例 或 相 似 三 角 形 来 解决.Q能力拓展题型一：线面平行的判定1.（2021.上海市延安中学高二期中）已知正方体A B C O-A 8G R ,求证：8 c平面AQG.2.（2021上海市亭林中学高二阶段练习）如图，在正方体A B C D-A 4G。中，E、F分别为棱A。

5、、A 8的中点.求证：EF平面CBQ-3.（2021上海市徐汇中学高二阶段练习）在正方体ABC。-A B C 2中,E是棱。R的中点.（1）作出平面ABE与平面A B C。的交线，保留作图痕迹;（2）在棱C R上是否存在一点尸，使得耳尸平面ABE,若存在，说明点尸的位置，若不存在，请说明理由.题型二：线面平行的性质一、单选题1.（2 0 2 1 上海市第五十四中学高二阶段练习）一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面交线的位置关系是（）A.异面 B.相交 C.不能确定 D.平行二、填空题2.（2 0 2 1上海华东师范大学松江实验高级中学高二阶段练习）a,b,c表示直线，例表

6、示平面，给出下列四个命题：若 a M,b/M,则 若人u M,a/b,则。M；若 a _L c,b V c,则 a 匕；若 a J _M,则其 中 正 确 命 题 有 （填序号）3.（2 0 2 1上海师范大学第二附属中学高二期中）若直线4平面。，直线b 在平面a内，则直线。与匕的位置关系为.4.（2 0 1 7上海市建平中学高二期中）如图，在正方体AB C D-A/B/C/。/中，AB=2,点 E为 AZ）的中点，点 F在 CQ上.若 E F 平面A B/C,则线段E 尸 的 长 度 等 于.5.（2 0 2 1 上海市南洋模范中学高二阶段练习）已知空间四边形A B C。，E、F、G、”分别

7、在A 8、B C、C D、D4上.系，并说明理由;（1）当四边形EFGH 是平面四边形时，试判断E、F G 与 B O 三条直线的位置关（2）已知当A C =a,B D =b,异面直线A C、8 9 所成角为6,当四边形E F、G 是平行四边形时，试判断E、F、G、”点在什么位置时，四边形E F G”的面积最大，试求出最大面积并说明理由.题型三：面面平行的判定一、单选题1.（2 0 2 1上海市进才中学高二期中）如图为正方体AB C。动点M从 点 出 发，在正方体表面沿逆时针方向运动一周后，再回到B/的运动过程中，点 M与 平 面 的 距 离 保 持 不 变，运动的路程x 与C.2.（2 0

8、2 1 上海市七宝中学高二期中）在三棱台A BC-A BC中，点。在 A g上，且点M 是三角形 A A C内（含边界）的一个动点，且有平面切如平面A A CG，则动点M 的轨迹是（）三角形44G边界的一部分B.个I 占，、八C.线段的一部分 D.圆的一部分3.（2 0 2 0上海虹口高二期末）设a ,是两个不同的平面，机是直线且mu a.?|夕”是的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件二、填空题4.（2 0 2 0.上海交大附中高二期中）给出下列命题：任意三点确定一个平面；三条平行直线最多可以确定三个个平面；不同的两条直线均垂直于同一个平面，则

9、这两条直线平行;一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行;其 中 说 法 正 确 的 有（填序号）.5.（2021.上海市亭林中学高二阶段练习）正方体ABC。-4瓦G R中，平面A 4 A和平面BCQ的位置关系为;6.（2021上海奉贤区致远高级中学高二期中）如图，在棱长为2的正方体ABC。-A 4 G。中，E、F、G分别为A 8、B C、的中点.点P在底面ABCD内，若直线R P与平面EFG无公共点，则线段R P的最小值为7.（2021上海市延安中学高二期中）已知正方体ABC。-A B C。的体积为6 4,点E,F分别是线段BC,CC的中点，点G在四边形8CC百 内运动（含边

10、界），若直线4。与平面AE尸无交点，线段C G的取值范围为.8.（2020上海华师大二附中高二期中）已知正三角形A8C的边长4 6,则到三个顶点的距离都为2的平面有 一 个；三、解答题9.（2021.上海位育中学高二期中）如图，在斜三棱柱4 8 C-A 8 C中，AC=BC,为4 B的中点，。为的中点，平面A8C_L平面4BBM，异面直线BG与 互 相 垂 直./*（1）求证：平面A 3 c平面叫G；（2）已知AC=AA=6,设CC,到平面A 8 8 H的距离为x，试问x取何值时，三棱柱A BC-C,的体积最大？并求出最大值.题型四：面面平行证明线线平行一、单选题1.（2 0 2 1上海大学附

11、属南翔高级中学高二期中）已知正方体AB C。-A RC。，平面万和线段A4,C C,。分别交于点E,F,G,H,则截面E F G H 的形状不可能是（）A.梯形 B.正方形 C.长方形 D.菱形2.（20 21.上海.高二专题练习）如图，正方体A 8C3-A MGA 的棱长为1,尸为8C的中点，。为线段CG上的动点，过点A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为S,给出下列三个结论:当。=1 时，S 的面积为近;2以上结论正确的个数是（）A.0 B.1C.2 D.3二、填空题3.（20 21 .上海市进才中学高二期中汨知正三棱锥P-A B C底面面积SA&C=3 ,点。在高PO上且2PQ=Q O

12、 ,则经过。点 且 平 行 于 底 面 的 截 面 面 积 为.三、解答题4.（20 21.上海市徐汇中学高二期中）已知正三棱柱的所有棱长都是1（1）画经过A 8 C 三点的截面（2）过棱B C作和底面成60。二面角的截面，求此截面面积.5.（20 21上海复旦附中高二期中）已知正方体A BCO-A gCQ的棱长为2,若 M,N 分别是CG，A Q的中点，作出过N,8 三点的截面，并求出这截面的周长.题型五：面面平行证明线面平行一、单选题1.（2019上海复旦附中高二期中）如图，在棱长为2 的正方体A B C D-A IC。中，E,G 分别是棱A B IC,C G 的中点，P 是底面A8CO内

13、一动点，若直线。声与平面EFG不存在公共点，则三角形P55,的面二、填空题D.22.（2021上海市七宝中学高二阶段练习）若直线。、方 是平面a 内的两条直线，且。、6 均在平面月外.则“a l l p,b l i p”是“a 夕”的 条件.3.（2021.上海市文来中学高二期中）如图，长方体ABC。-A 4 C Q 中，A D =i,DR=2,AB=6 E,F,G分别为4B,BC，G R 中点，点尸在平面ABCD内，若 直 线 平 面 EFG,则 线 段 长 度 的 最 小 值 是三、解答题4.（2021上海浦东新高二期中）已知P 是矩形ABC。所在平面外一点，M,N 分别是AB,PC 的中

14、点,求证：M N/平面PAD.C题型六：空间平行的转化一、填空题1.（20 21 上海市复兴高级中学高二期中）过平面外一点与这个平面平行的直线有,条2.（20 1 9 上海复旦附中高二期中）如图，在棱长为1 的正方体A BCD-A BCR中，/是 平 面 与 平 面A B C D 的交线，则点。到I的距离是.二、解答题3.（20 21.上海市延安中学高二期中）如图，作出平面E F G 截长方体所得的截面（不必写出画图步骤，但需保留作图痕迹）.Q巩固提升一、单选题1.（20 21 上海市徐汇中学高二期中）若/,加是平面a外的两条不同直线，且相 a,则“/祖”是“/a”的（）A.充分不必要条件 B

15、.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.（20 21 上海高二专题练习）在正方体中，E为DR上一点、，且=尸是侧面C D D C 上的动点,且 8 尸平面A BE,则8/与平面C/）RG所成角的正切值构成的集合是（）B.涧C.m m J D.I A/T3 中，底面A B C D 为矩形，P A L 平面A BC ,E为阳的中点.（1）证明：/8 平面4 E C；(2)设 A 3 =2,A D =4,求 B 到平面P A C 的距离.1 7.（2 0 2 1上海华师大二附中高二阶段练习）（1）请用文字语言叙述直线与平面平行的判定定理;并用反证法证明;（3）如图，在正方体A BC

16、 D-A B R中，点 N在上，点 M在 B C ,且 CM=D N ,求证：M N H平面的 8 出（用（1）中所写定理证明）1 8.（2 0 2 1 上海市建平中学高二期中）在四棱锥中，底面A f i C D 是正方形，R 4 _ L 平面A BC。,（1）分别取侧棱尸8、尸 中点E、F,证明：直线EF与平面438平行;（2）求四棱锥P-MCD的表面积.1 9.（2 0 2 1.上海市延安中学高二期中）如图所示,有矩形A B C D 所在平面外一点P,平面A BC ,A D =2,AB=,E4=lE 为 3 c 的中点.(1)求点A 到平面PED的距离d；(2)探究在直线正上是否存在点“，

17、使得A”面尸8?若存在，求 出 此 时 的 长 度；若不存在，请说明理由.20.(2021上海市控江中学高二期中)中国古代数学名著 九章算术中记载：“刍(c h ii)薨(meng)者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草 也.薨，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条楼.刍字面意思为茅草屋顶.”现有一个刍如图所示，四边形A3CO为正方形，四边形4?在，C D E F为两个全等的等腰梯形，AB=4,EF/AB ,AB =2EF,EA=E D =FB =FC=后.(2)求三棱锥A-BDF的体积；(3)点N 在直线AD上，满足=(0 m,B4=2,，%分别是尸4 8。的中点.(1

18、)求证：直线MV平面PCO;(2)求异面直线A 8与版所成角的大小.22.(2021上海华东师范大学第三附属中学高二阶段练习)如图，在正方体4 B 8-A B C R 中，点E 为棱的中点.。1(1)求证：平面ACE；(2)求异面直线AE与 8。所成角的余弦值.23.(2021.上海市控江中学高二期中)如图所示，在四棱锥中，Z A B C =Z A C D =90,Z B A C =Z C A D =60,B4_L 平面 ABC。，PA=2,AB =l,设 M、N 分别为 P D、A。的中(1)求证：平面CMN平面R4S；(2)求三棱锥A-C M N 的侧面积.第 04讲线线、线面、面面平行的

19、判定与性质(核心考点讲与练)Q考点考向1 .平行直线(1)平行公理过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行.(2)基本性质4(空间平行线的传递性)平行于同一条直线的两条直线互相平行.定理如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行,并且方向相同,那么这两个角相等.2 .直线与平面平行(1)直线与平面平行的定义直 线/与 平 面。没有公共点，则称直线,与平面。平行.(2)判定定理与性质定理3.平面与平面平行文字语言图形表示符号表示判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面a_血 a,Zxz a,a/b=a/a性质定理一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平

20、面的交线与该直线平行a/a,au ,o A B=b(1)平面与平面平行的定义没有公共点的两个平面叫做平行平面.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面内的两条祖交直线_/au a,Zxz a,aD b=P,all B,与另一个平面平行，则这两个平面平行性质定理两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面/。au a=a B如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行a C Y=a,8 Cl y=b=a/bQ方法技巧i.线面平行的证明方法（1）定义法：一般用反证法；（2）判定定理法：关键是在平面内找（或作）一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言叙

21、述证明过程；（3）性质判定法：即两平面平行时，其中一个平面内的任何直线都平行于另一个平面.2 .构造平行直线的常用方法（1）构建三角形或梯形的中位线：可直接利用线段的中点、等腰三角形三线合一或利用平行四边形对角线的交点找中点，从而构建中位线；（2）构建平行四边形：可以利用己知的平行关系（如梯形的上下底边平行）或构建平行关系（如构造两条直线同时平行于已知直线），从而构建平行四边形.应用线面平行的性质定理时，关犍是过已知直线作辅助平面与已知平面相交，所得交线与已知直线平行，还可以利用交线判断已知平面内的直线与已知直线的位置关系，即在己知平面内所有和交线平行的直线都与已知直线平行，所有和交线相交的直

22、线都与已知直线异面.3 .判定平面与平面平行的4种方法（1）面面平行的定义，即证两个平面没有公共点（不常用）；（2）面面平行的判定定理（主要方法）；（3）利用垂直于同一条直线的两个平面平行（客观题可用）；（4）利用平面平行的传递性，两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行（客观题可用）.利用线面平行或面面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的 位 置.对 于 线 段 长 或 线 段 比 例 问 题，常 用 平 行 线 对 应 线 段 成 比 例 或 相 似 三 角 形 来 解决.题型一：线面平行的判定1.（2 0 2 1 上海市延安中学高二期中）已

23、知正方体A 8 C O-A 旦GA，求证：BC平面A O G.【分析】根据题意，结合线面平行的判定，即可证明.【详解】证明：在正方体AB8-A8CA中，易知AO/BC，因为AOu平面AQG，80（2平面4QG，所以B C 平面4 一2.（2 0 2 1.上海市亭林中学高二阶段练习）如图，在正方体A8c O-ABCQ中，E、尸分别为棱A。、A B的中点.求证：E F/平面CBR.【分析】连接BQ,由三角形中位线定理，根据正方体的性质，利用线面平行的判定定理证明.【详解】连接B。，如图所示.因为E、F分别为棱A。、A8的中点，所以E/8 D乂.根据正方体的性质，8 8/。/,四边形8 0。向 为

24、平行四边形，:.EFHBB；又:平面C B Q ,8/O/U 平面C B Q,，E F 平面C B R .3.（2 0 2 1.上海市徐汇中学高二阶段练习）在正方体A B C O-A 4 6。中，E是 棱 的 中 点.（1）作出平面A 8 E与平面A B C D的交线，保留作图痕迹;（2）在棱GR上是否存在一点尸，使得4尸 平面A 2 E,若存在，说明点尸的位置，若不存在，请说明理由.【答案】（1）答案见解析；（2）存在，G中点.【分析】（I）延长AE与 交 于 点P,连 接 的 即为所求；（2）存在，分别取C/D/和C D的中点F,G,连接EG,BG,C Dh F G,通过证明EG A/8可

25、得四点共面,根据正方体的性质得到B.F/BG,根据线面平行判定定理即可得结论.【详解】（1）延长AE与A D交于点P,连接5尸,由于A ECA=P,.尸c AE，PC平面A B E又：P e平面ABC。，二户为面ABE和面ABC。的公共点,同时B也为面A、BE和面A8CO的公共点,根据公理3可得B P为平面 BE与平面A8CD的交线.（2）存在，当F为C R的中点时，满足题意，理由如下，如图所示,分别取C D和C。的中点F,G,连接EG,B G,CD i,FG,因为4 5 B，尸 G,又因平面C B O c平面ABD=BD，所以P eB O,所以E H、FG与即 三条直线相交于一点：（2）当四

26、边形EFG”是平行四边形时，贝|JE FG,EF/H G,因为Eu 平面ABD,F、G=3）,所以 FG/BD,同理可得瓦7/A C,所以DEFG即为异面直线A C、3 0 所成的角或补角，则NFG=6或乃-6,则平行四边形EFGH的面积S=2x,EF FG sin 6,2在AABC中,EF BF在ABCD中,ACBCFG CFBDBC所以 EF FG=BF CF,BC-又因 为 卑2-BF-CFS卑2BC2 BC2ahT当旦仅当5/=C/时，斯,FG 取得最大值不，4即区 尸、G、”分别为43、BC、CD、D 4的中点时，四边形EFGH的面积最大，最大值为华sin。.4题型三：面面平行的判定

27、一、单选题1.（2021.上海市进才中学高二期中）如图为正方体A8CO-A/8/G。/,动点M 从 8/点出发，在正方体表面沿逆时针方向运动一周后，再回到8/的运动过程中，点 M 与 平 面 的 距 离 保 持 不变，运动的路程x 与/=MA/+MC+MD之间满足函数关系/=/（），则此函数图象大致是（）CiDi【答案】C【分析】可知点M 沿着运动，设点P为 8心的中点，分析当M 从 小 到 P时，在平面A/8/C。内，作点 4 关于8/8 的对称点A,由M4/+MO=MA，+MO,MCI=JPC；+P M:分析排除即得解【详解】由于点 M 与平面A/。的距离保持不变，且从药点出发，因此点M

28、沿着AACB1运动.设点P为 8/C的中点，当M 从 8/到 P时，如图所示则 MAi+MD=MA+MD,在平面AiB/CD内，作点4 关于B iB的对称点A,由图象可知，当M 从 8/到户时，MA/+M。是减小的，MC/是由大变小的,所以当M 从 3/到尸时，/=M4+MO+M。是逐渐减小的，故排除8,D-,因为PG是定值，MCI=QPC：+PM2,函数是减函数，类似双曲线形式，所以C 正确:故选：c2.（2021上海市七宝中学高二期中）在三棱台A 8 G-A 8 C 中，点。在 A 4 上，且 AAJ/B。，点”是三角形 4 片6 内（含边界）的一个动点，且有平面B Z W/平面AACG，

29、则动点M 的轨迹是（）A.三角形A 8 C 边界的一部分 B.一个点C.线段的一部分 D.圆的一部分【答案】C【分析】过。作。E/A G 交B Q 于E,连接B E,证明平面双出平面A 4C C，得MGD E,即得结论.【详解】如图，过0 作力E A G 交4 G T E,连接BE,B D /A4,B DU 平面 4AC C，M u 平面 AAQC,所以 B D”平面 AA,C,C,同理7/平面 A41GC,又 BDc DE =D,8,Eu平面BOE,所以平面比应平面A A G C,所以M e DE,（M 不与O 重合，否则没有平面BOW）,故选：C.3.（2020上海虹口高二期末）设a,是两

30、个不同的平面，机是直线且，u a.“机是的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B试题分析：mu a，m 4得不到必 尸，因为a,4可能相交，只要m和a 户 的交线平行即可得到m户;向。,m ua,.!和万没有公共点，.?/?.即必尸能得到m尸；尸”是 的 必 要 不充分条件.故选B.考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.【方法点晴】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念，属于基础题；m户并得 不 到 月，根据面面平行的判定定理，只有a内的两相交直线都平行

31、于尸，而叫 心 并且m u a,显然能得到m（，这样即可找出正确选项.二、填空题4.（2020上海交大附中高二期中）给出下列命题：任意三点确定一个平面；三条平行直线最多可以确定三个个平面；不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行；一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行；其 中 说 法 正 确 的 有 （填序号）.【答案】【解析】对四个选项进行逐一分析即可.【详解】对：根据公理可知，只有不在同一条直线上的三点才能确定一个平面，故错误；对：三条平行线，可以确定平面的个数为1个或者3 个，故正确；对：垂直于同一个平面的两条直线平行，故正确；对：一个平面中，只有相交的两条直

32、线平行于另一个平面，两平面才平行，故错误.综上所述，正确的有.故答案为：.【点睛】本题考查立体儿何中的公理、线面平行的判定，属综合基础题.5.（2021.上海市亭林中学高二阶段练习）正方体ABCO-ABCQ中，平面A3。和平面BCQ的位置关系为;【答案】平行【详解】解：VABI/ZCID,ADiB C”AB iU平面 AB 1D1,ADiU平面 AB 1D1,ABIOADI=ACiDu平面B CiD,BGu平面B C,D,CiDCB C尸C i由面面平行的判定理我们易得平面ABIDI 平面B CiD故答案为平行6.（2021.上海奉贤区致远高级中学高二期中）如图，在棱长为2 的正方体 C O-

33、A 8 C Q 中，E、F、G分别为AB、B C、GR 的中点.点尸在底面AB C。内，若直线。尸与平面EFG无公共点，则线段。声的最小值为【答案】任【分析】连结RA,AC,C,推导 出 所/平面A C,EG 平面4c2,从而平面E FG/平面AC。，推导出点P在直线AC上，在ACR中，AD、=AC=CD 1=2 ,凡明c=2&，由此能求出当口尸，AC时，线段 R P的长度最小，并能求出最小值.【详解】如图连结A A,AC,AC,.E,F,G分别为A8,HC,G 2 的中点,：.A C/E F,。a 平面 ACQ,ACu 平面 AC。，.EF 平面 ACR,EG/A%,E G平面 ACD,AD

34、t u 平面 A C Dt,.G 平面 ACR,.,EFCEG=E,，平面 F G/平面 ACR,.RP/平面 EFG,点P 在宜线AC上，在ACQ中，当R P L A C 时，线段Q P 的长度最小，AD,=AC=CD、=+2?=2忘,SAAAC=-x2V2x2/2xsin60o=2x/3,2 6 _ 7二当。PLACE寸，线段R 尸的长度最小，最小值为7 =.2故答案为：A/6.7.（2021.上海市延安中学高二期中）已知正方体A B C Q-A 4G R 的体积为6 4,点E,尸分别是线段BC,CG的中点，点G 在四边形8CC内 内运动（含边界），若直线4 G 与平面A尸无交点，线段CG

35、的取值范围为【答案】3&,2石【分析】分别取线段用 6、2出 的中点R Q,连接A/、A Q、P Q,证明平面AEF平面A?。，可得当G 与 P（或 Q）重合时，CG取最大值，当 G 在 PQ 的中点R 时，CG有最小值，利用勾股定理求得线段CG的取值范围.【详解】分别取线段AG、8出 的中点P、Q,连接A/、A。、PQ,连接EF,BC、,由三角形中位线定理可得PQ/B G，EF/BC,：.P Q/E F,又平面A f Q,所。平面AP。，所/平面A/Q，同理可证，A7/平面A?。，又 越 c E F =E,.平面 W 平面A?。，故点G 在线段尸。上 运 动（含端点位置）.当 G 与 P（或

36、 Q）重合时，（CG）1rax=CP=JCC：+C F =+2?=2君；当 G 在 尸。的中点 R 时，（CG）m,n=CR=JCP。-RP?=J（2扃 一 国 2 =3&Z.CGe3x/2,25/5.故答案为：372,275.8.（2020上海华师大二附中高二期中）已知正三角形ABC的边长4 6，则到三个顶点的距离都为2的平面有 一 个；【答案】8【分析】分类讨论，三个顶点都在平面的同一侧，三个顶点在平面的两侧，一侧一个，另一侧两个.【详解】若此平面与平面ABC平行，这样的平面有2个到三顶点距离为2；若此平面与平面A8C相交，则一定过三角形其中两边的中点，由于三角形边长为4君，因此如过A B

37、的中点D和A C的中点E的平面，到三顶点距离为2的有两个，这样共有6个，所以所求平面个数为8.故答案为：8.【点睛】本题考查点到平面的距离，由于是三角形的三个顶点到平面的距离相等，因此要分类讨论，即三角形所在平面与所求平面平行和相交两种情形，相交时为保证距离相等，平面必定过三角形两边中点.属于较易题.三、解答题9.（2021上海位育中学高二期中）如图，在斜三棱柱A B C-A瓦G中，AC=8 C,。为A B的中点，R为4片的中点，平面A3C_L平面48耳4,异面直线BG与A片互相垂直.（1）求证：平面AQC平面B R G；(2)已知A C =A 4 =6 ,设CG到平面ABBM的距离为X,试问

38、X 取何值0 寸，三棱柱ABC-A4 c的体积最大？并求出最大值.【答案】证明见解析(2)=3&0 寸，体积最大为36【分析】(1)由平面与平面平行的判定证明；(2)结合几何关系(线面垂直、相 似 三 角 形)设 法 先 求 出 再 求出匕 A s 的体积，由体积对应关系推导出匕,利用函数思想通过二次函数求最值.(1)证明：在斜三棱柱ABC-AB中，四边形ABAA是平行四边形，且。为A5 的中点，。为A 蜴的中点，A A/8。且AR=B。，二.四边形AO8 R为平行四边形，则%D U D,B ,A。仁平面 BD，R B u 平面 BD ,.4。/平面8。弓，连接。，如图所示，:.D D J I

39、AA.I!CCt,Q,D Di=A Al=C C,则四边形ORGC为平行四边形,:.D CUD,C、,且 O C t 平面 BRG，A G U 平面 82 c l,O C 平面 8 RG,.A O p|D C =。，且 A。，DCu 平面A Q C,.平面 A Q C/平面；平面A B C 1.平面AB B】A,(2)-.ACB C,。为A3 的中点，C D _ L A B,.平面平面A B B,且平面 A 3 C D 平面=48,C D L A B,C Z)u 平面 A B C,CD A 平面 AB B,A,CG 平面 AB B.A,c c,与平面A B B S的距离x=CD,(?4)=平面

40、48814，;9。_1 4 ),在/A Q C 中，入。=6,pllj AtD=V36-x2(0 x 6),BD=)3 6 T 2 ,.CZ)_L 平面 ABB,则 CQ 二平面 ABB,而 4旦 u 平面 ABB,C,D,AB,且 A q i.BG，又 GRnB C1=C,C R,8。1 1 匕D、1 1:.B、E=2,R E=；4 3 6-x1,S监,)=；B E 2石=g4 3 6-x2,，-SAM)=S 喇 D=3s 通照=V36-X2 iZ _ 1 Q r n-x 36-x?一At-ACD ,CD-_ 2x ,36-fVAi-ARC V-ACD,Ki.B.c,-ABC=3匕-ASC=

41、2x-,36-(0 x/36/-3=2次（36-犬）,当f =18时，即x=3&，三棱柱A BC-4 8 G的体积最大，V&6G-A8c=36.题型四：面面平行证明线线平行1.（2021.上海大学附属南翔高级中学高二期中）已知正方体AB C。-A A 6 R ,平面7和线段AA,84,CC,。4分别交于点E,F,G,H,则截面EFG”的形状不可能是（）A.梯形 B.正方形 C.长方形D.菱形【答案】A【分析】根据面面平行的性质定理，可以得出E”尸G,F G,由此可推断四边形EFG”一定为平行四边形，从而可得出答案.【详解】因为面ADRA 面B C G g,面乃c面面乃C面B C C=FG,所以

42、 EH/FG,同理可得EF/HG,所以四边形E F G H为平行四边形，所以截面E F G H的形状不可能是梯形.若面万面A 8 C Q,此时四边形EFGH是正方形，也是菱形；当E,是所在棱的中点，F,G 分别与 氏C 重合时，四边形EFGH是长方形.2.（2021.上海.高二专题练习）如图，正方体A 8 8-A 4 C Q 的棱长为1,P 为 8 c 的中点，。为线段CG上的动点，过点A、P、Q 的平面截该正方体所得的截面记为S,给出下列三个结论:当。=1时，S 的面积为包；2以上结论正确的个数是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【分析】根据题意作出满足条件的图形，由线线，线面，面

43、面关系结合正方体的结构特征找出截面再论证得到结论.【详解】当C Q=g 时，即。为 C 0 中点时，如图所示：2 1因为平面AOAA 平面B C C g,所以 Q/A。，乂所以截面APQ。为等腰梯形，故正确;由上图当点。向 C 移动时，满足0 C Q iE=g,2因为所 以 冬=笑=/_=9,所以A/=5，AF=(,所以8尸=BB、Q B 1 4+2 4 2 235一,2所以这截面五边形8MENF的周长为*+且+巫+之+石=竺+矩+巫.2 2 3 3 6 2 3题型五：面面平行证明线面平行一、单选题1.（2019上海复旦附中高二期中）如图，在棱长为2 的正方体A B C D-A IC A 中，

44、E,G 分别是棱A B IC,C G 的中点，尸是底面A8CZ）内一动点，若直线。尸与平面EFG不存在公共点，则三角形心4 的面积的最小值为【答案】CB.1C.V2 D.2【分析】延展平面E F G,可得截面其中“、。、R 分别是所在棱的中点，可得。尸平面EFGHQR,再证明平面R A C/平血EFG/7QR,可知产在AC上时，符合题意，从而得到P 与。量合时三角形PB与的面积最小，进而可得结果.【详 解】延 展 平 面E F G,可 得 截 面EFG/7QR淇 中 从Q、R分别是所在棱的中点,直 线Q P与 平 面EFG不存在公共点，所 以 P/平 面EFG/7QR由中位线定理可得AC/所.

45、E尸在 平 面EFGHQR内，AC在 平 面EFGHQR外，所 以AC 平 面EFGHQR.因 为Q P与AC在 平 面R AC内相交，所 以 平 面 AC/平 面EFGHQR.所 以尸在A C上时，直 线R P与 平 面EFG不存在公共点，因 为B。与AC垂 直，所 以 尸与。重 合 时BP最 小，此 时，三角形尸8片 的面积最小，最小值为g x 2 x a =0,故 选C.【点 睛】本题主要考查线面平行的判定定理、面面平行的判定定理，属于难题.证明线面平行的常用方法：利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理

46、、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.二、填空题2.（2021上海市七宝中学高二阶段练 习）若 直 线。、方是 平 面a内的两条直线，且a、8均在平面广外.则“”/,0%”是“a/”的 条件.【答 案】必要不充分【分 析】根据面面平行的判定定理及性质结合充分性和必要性的定义即可得出答案.【详 解】解：若 直 线。、b是 平 面a内的两条直线，且。、均在平面尸 外，当R/6，b l i p,且 相 交 时，a l i p,当a,6 不相交时，无法判断两平面的位置关系，故“a%,的”不是“a%”的充分条件

47、，当a%,则H/夕，b l i p,所以“R/夕，方/夕，是“a%”的必要条件，所以“W 0,M夕”是“a ”的必要不充分条件.故答案为：必要不充分.3.（2021.上海市文来中学高二期中）如图，长方体ABCD-A M CR中，4）=1,。=2,AB=C，E,F,G分别为AB,BC,GR中点，点尸在平面ABC。内，若 直 线 平 面 E F G,则 线 段 长 度 的 最 小 值 是 分析首先找出过点。且与平面E F G平行的平面，然后在所作的平面内找线段RP长度的最小值即可.【详解】连接R A,C,4 C,因为E,产,G 分别为A B,B C,C R中点,所以A C 7/E F,又因为E V

48、 面AC。，A Cu面 A C ,所以 面AC。，同理EG/面 ACO1,又因为EGAEF=E,所以面EFG面ACR,因为直线尸平面E F G,所以点P 在直线AC上，且当R P，AC时，线段力 的长度最小,在4CR 中，A D、=也,A C =2,CD、=币,所以cosNRAC=立，sinN|AC=叵,1 10 10所以S.s 1 2乂&叵=叵,“8、2 10 2在4 C 中，设AC边上的高为则 S.ACR=x2x/j=,所以=22叵,即 线 段 长 度 的 最 小 值 为 巫2 2三、解答题4.（2021上海浦东新高二期中）已知尸是矩形ABCD所在平面外一点，M,N 分别是48,PC的中点

49、,求证：M N 平面PAD.C【分析】解 法 1：取尸。中点G,连接G4,G N,由三角形中位线定理A结合已知条件可得四边形4VWG是平行四边形，从而得MN/AG,再利用线面平行的判定定理可证得结论,解法2：取8 中点H,连接”M,H N,则由三角形中位线定理和平行四边形的性质可得H N/3P,H M/D A,再由面面平行的判定定理可得平面“N M/平面P A O,然后由面面平行的性质可得结论【详解】解 法（1）取尸。中点G,连接GA,GN,G 是尸。中点，N 是 PC 中点，=G N/D C ,G N =D C ,M 是矩形 A3CD边 AB 中点，=A M/D C,A M =-DC ,2n

50、 G N/AM,G N =A M,所以四边形4VWG是平行四边形，=M N/A G,且MN是平面PAD外的一条直线，AG是平面PAD上的一条直线，=M V/平面 PAD.解 法（2）取 CO中 点 连 接 MW,H N ,“是OC中点，N 是 PC中点，所以HN/D P,因为M 是 A 3的中点，”是8 的中点，所以AM=AB,D =OC.2 2因为 AB=CO,A B/C D,所以=AM/D H,所以四边形4WHD为平行四边形所以 HW/D4,因为“N g 平面PAO,1）P u 平面 A。，平面PAO,D 4 u 平面PAO,所以H N/平面PAO,HM/平面PAD,因为“NnHM =所以