2022-2023学年上海高二上学期数学同步练第03讲异面直线所成的角(核心考点讲与练)(含详解).pdf
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1、第 03讲异面直线所成的角(核心考点讲与练)Q方法技巧直线所成的角的三步曲求异面;即依据定义作平行线,作出异面直线所成的角:即证明服出的角是异面直线所应的角.:异面直线所成角的概念及辨析一、单选题1.(2 0 2 1.上海师范大学第二附属中学高二期中)已 知 异 面 直 线 人 所 成 角 为8 0。,P为空间一定 点,则过尸 点 且 与6所成角都是50。的 直 线 有 且 仅 有()条.A.2 B.3C.4D.62.(2 0 2 1上海市延安中学高二期 中)已知正方体A 8 C O-4 B C Q ,P为C G中点,对于下列两个命题:(1)过 点P有 且 只有一条 直线与直线A 8,4。都相
2、交;(2)过 点P有且只有一条直线与直线A B,AR都 成45。角.则 以 下 判 断 正 确 的 是()(1)为真命题;(2)为 真 命 题B.(1)为真命题;(2)为假命题C.(1)为假命题;(2)为真命题D.(1)为假命题;(2)为假命题二、填空题3.(2 0 2 1上海位育中学高二阶段练习)空间中三条直线“、氏c两两垂直,若 直 线d与直线。、b、c所成角都 为。,则8 S”4.(2 0 2 1.上海奉贤区致远高级中学高二阶段练习)已知直线”.如 果 直 线6同时满足条件:。与b异面;。与6成定角;。与b的 距 离 为 定 值.那 么 这 样 的 直 线b有.条.5.(2 0 2 1.
3、上海奉贤区致远高级中学高二阶段练习)若两异面直线。、6所成的角为60、过空间内一点P作与直线。、b 所成角均是6 0 的直线/,则 所 作 直 线/的 条 数 为.证明异面直线垂直一、单选题1.(2017上海交大附中高二期中)如图,点 E 为正方形ABCD边 CD 上异于点C,D 的动点,将AADE沿AE翻折成A SA E,使得平面SAEL平面A B C E,则下列说法中正确的有()D _ c 7/存在点E 使得直线SA_L平面1fB.4 BSBC;平面SBC内存在直线与SA平行平面ABCE内存在直线与平面SAE平行;存在点E 使得SE1BA.A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个二、
4、填空题2.(2022上海长宁高二期末)如图是一个边长为2 的正方体的平面展开图,中正确的序号是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.直 线 与 直 线 C7V垂直;F直线BM与直线CN相交;直线ME与直线CN平行;直线A 3与直线CN异面;a向 尾,求异面直线所成的角在这个正方体中,则下列说法1.(2022上海复旦附中高二期中)如图所示,在三棱锥O-A B C 中,A C =B D =2,E、/分别为AD与 3C的中点,E F =0,则异面直线AC与 8。所成角的大小是2.(2 0 2 1 上海市徐汇中学高二期中)如图,?是平行四边形A B C D 所在平面外一点,分别是A 及P C 的
5、中点,若 M N=B C =2,PA =2 6 则异面直线P 4 与MN所成角的大小为(2 0 2 1上海市进才中学高二阶段练习)在正方体上,a,人是两条异面直线的面对角线,则它们所成的角大小可能为4.(2 0 2 1 上海市南洋模范中学高二阶段练习)正方体的面对角线中,与AQ所成角为60。的有 条5.(2 0 2 1上海华东师范大学松江实验高级中学高二阶段练习)在正方体A B C。-ABCR 中,与 AR 成&)角的面对角线的条数是6.(2 0 2 1上海师范大学第二附属中学高二期末)空间内有三条直线,其中任意两条都不相交但相互垂直,若直线/与这三条直线所成的角的大小都是6,则t a n 8
6、 =7.(2 0 2 1 上海市建平中学高二期中)已知圆锥的轴截面P 4 B 是等边三角形,C为底面弧A3的中点,D为母线总 的 中点,则异面直线R 4 和 CO所成角的大小为三、解答题8.(2 0 2 1.上海浦东新高二期中)在三棱锥P-A fi C 中,M ,N分别是2 4,8c 的中点,已知A C=P B =2,M N=6,求异面直线A C,PB 所成角的大小.p考 向%由异面直线所成的角求其他量一、填空题i r1.(2021上海市控江中学高二期中)异面直线、b所 成 角 为 直 线c与 、6垂直且分别交于A、B,点C、。分别在直线 a、b 上,若 AC=1,AB=2,8 0 =3,则8
7、=.2.(2021.上海市洋泾中学高二期中)已知异面直线。力所成角为?,过空间一点P有且仅有2条直线与所成角都是0,则。的取值范围是.3.(2021上海市建平中学高二阶段练习)在空间四边形ABC。中,AB=C D=8,M、N分别是对角线AC、3。的中点,若异面直线A 3、8 所成角的大小为30,则的长为.;AA/4.(2021上海市行知中学高二阶段练习)已知四面体A3CO中,AB=C D =4,E、FT T分别为5 C、A D的中点,且异面直线AB与CD所 成 的 角 为 则 防=.5.(2019上海市嘉定区第二中学高二期中)空间四边形AB=CD=S,区M P分别为BD、AC、8 c的中点,若
8、异面直线AB和CQ所成的角为60。,则线段的长为.6.(2021上海华师大二附中高二开学考试)如图,空间四边形A3C。的对角线AC=8=8,M、N分别为AB、CC的中点,且则MN等于7.(2021上海市徐汇中学高二期中)空间四边形两对角线的长分别为6和8,所成的角为60。,连 接 各 边 中 点 所 得 四 边 形 的 面 积 是.8.(2021.上海市宝山中学高二阶段练习)若两条异面直线所成的角为6(),则称这对异面直线为“黄金异面直线对“,在连接正方体各顶点的所有直线中,”黄金异面直线对 共有 时.二、解答题9.(2021上海师范大学附属外国语中学高二阶段练习)已知四棱锥P-ABCZ),底
9、面ABC。为正方形,边长为 3,POJ_平面 A2CD 若P C=5,求四棱锥P-ABC。的体积;(2)若直线4。与BP的夹角为60。,求P。的长.10.(2020上海交大附中高二期中)如图,圆锥的顶点是S,底面中心为。,OC是与底面直径A 8垂直的一条半径,O是母线SC的中点.(1)求证:8 c与&4不可能垂直;(2)设圆锥的高为4,异面直线AD与8 c所成角的余弦值为也,求圆锥的体积.6巩固提升一、单选题1.(2021上海市延安中学高二期中)如图,已知正方体4 B C O-A 4 G R中,尸为线段8 G的中点,E为线段A G上的动点,则下列四个结论正确的是()A.存在点E,使E尸B.存在
10、点E,使EFJ_平面A 4G。C.EF与AO,所成的角不可能等于60D.三棱锥4-A C E 的体积随动点E 变化而变化2.(2021.高二阶段练习)如图,在正方体ABC。-4 4 G。中,过点4 作平面A3。的垂线,垂足为点H,给出以下命题:是AABD的垂心;4 7 垂直于平面C B Q;AH的延长线过点G;直线A”和 叫所成角的大小为45。,其中正确的命题个数为()C.3D.48 1 y-&3.(2021上海市松江二中高二期中)如图,几何体是圆柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120。得到的,G 是。厂的中点,设 P 是CE上的一点,且则4 G 与BP所
11、成角的大小为()A.45B.15C.30 D.04.(2021.上海市市西中学高二期中)如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,8M 与 EO平行;CN与 BE是异面直线;C N 与 BM 成 60。;0M 与 BN垂直.以上四个命题中,正确命题的序号是()C AfA.B.C.D.E A二、填空题5.(2021上海交大附中闵行分校高二阶段练习)如图甲,将三棱锥P-A 8 C 沿三条侧棱剪开后,展开成如图乙所示的形状,其中点P/,4%共线,点 B,B,尸 2共线,点 P2,C,P3共线,且 P/PkP2P3,则在如图甲所示的三棱锥P-ABC中,%与 8 c 所成角的大小为.pPlAB6.(20
12、21.上海外国语大学闵行外国语中学P2乙高二期中)如图已知4 是 5 8 所在平面外一点,A D =B C,反尸分别是A3、C D 的中点,若异面直线AD1T与 B C所成角的大小为?,则A O 与 所 所 成 角 的 大 小 为.7.(2021上海交大附中高二期中)在长方体A B C C-4 C Q 中,AA=A D =1,他=2,则直线A C 与A。所成的角的余弦值等于8.(2021上海师范大学第二附属中学高二期中)在四面体ABC。中,AB=8,CD=6,M、N 分别是B C、A。的中点,且MN=5,则A B与C)所 成 角 的 大 小 是.9.(2022上海复旦附中高二期中)在长方体A
13、B C O-A B C 2 中,AB=1,A=2,M =4,E、F 分别为线段BC、C G 上的点,且 CE=1,CF=.(1)求证:E F 平面A。/;(2)求异面直线E F 与所成角的余弦值.10.(20 21.上海市洋泾中学高二阶段练习)已知边长为1的正方形A 8 C Z)绕 8 c 边旋转一周得到圆柱体.(1)求该圆柱体的表面积;7 T(2)正方形A 8 C D 绕 B C 边逆时针旋转,至A8CR,求证:A.D L A C .11.(20 21.上海市南洋模范中学高二期中)在长方体ABCD-ASGR中,AB=B C =2,过 A、G、8 三点的平面截去长方体的一个角后,得到如图所示的
14、几何体ABCO-AGQ,且这个几何体的体积为10.(2)若 AC的中点为0 1,求 异 面 直 线 与 AR所成角的余弦值.12.(20 21上海大学附属南翔高级中学高二期中)如图,在正方体中,E,尸分别为AA和CG的中点.(1)画出由A,E,F确定的平面夕截正方体所得的截面,(保留作图痕迹,使用铅笔作图);(2)求异面直线)和AC所成角的大小.13.(20 21上海浦东新.高二期中)在长方体A B C。-ABC2 中(如图),AB=2,A O =M=1,点E是棱AB的中点.(1)求异面直线AR与 E C 所成角的大小:(2)九章算术中,将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖腌,试问四面体。CO
15、E是否为鳖膈?并说明理由.1 4.(2 0 2 1 上海市行知中学高二阶段练习)如图,三棱柱4 8 C-A 旦G中,A-8 C 端是底面边长为2的正三棱锥.(1)求证:A C J.C G;求三棱锥8-4CG的体积.1 5.(2 0 2 1上海市奉贤区奉城高级中学高二期中)如图所示,在长方体A 8 CO-A BGR中,AB =,B C =2,C C,=5,M 为棱CG上一点.3(1)若G=;,求异面直线A M和 所 成 角 的 正 切 值;(2)若GM=1.试证 明:平面4 声加.1 6.(2 0 2 1 上海市进才中学高二期中)如图,在三棱柱A BC-A 8 G中,侧面A C G 4 _ L
16、底面AB C,B C 1 A C.A(1 )求证:O G 平面 A B C;(2)求证:平面A B C,平面A C G A .(3)若A8 =2 8 C,求异面直线A B与8 c所成角的大小.第 03讲异面直线所成的角(核心考点讲与练)Q方法技巧求异面直线所成的角的三步曲Q B)。!即依据定义作平行线,作出异面直线所成的角;即 证 明 疝 值 的 篇 是 异 面 直 线 所 以 的 篇 :一、单选题1.(2021上海师范大学第二附属中学高二期中)已知异面直线“、b所成角为80。,P为空间一定点,则过P点且与。、。所成角都是50。的直线有且 仅 有()条.A.2 B.3 C.4 D.6【答案】B
17、【分析】在空间取 点P,经过点P分别作a 力 ,分析直线P M满 足 它 的 射 影 在 为 所成角的平分线上时的情况可得出答案.【详解】在空间取一点P,经过点P分别作a/a,b/b,设直线a,。确定平面a,当直线P M满足它的射影PQ在a M所成角的平分线上时,尸”与。所成的角等于“与匕,所成的角,因为直线a、b所成角为80。,得 所 成 锐 角 为80。,所以当直线P M的射影PQ在乩加所成锐角的平分线上时,P M与 所 成 角 的 范 围 是 40。,90。),这种情况下,过P点有2条直线与a、b所成角都是50。;当 直 线 的 射 影P。在”,所成钝角的平分线上时,尸河与必所成角的范围
18、是 5()。,90。),这种情况下,过P点有且仅有1条 直 线(即P M u a时)与a、b所成角都是50。;综上所述,过P点且与。、所成角都是50。的直线有3条.2.(2 0 2 1上海市延安中学高二期中)已知正方体A B C O-A/C。,尸为C G中点,对于下列两个命题:过点P有且只有一条直线与直线A8,4。都相交;(2)过点P有且只有一条直线与直线AB,4。都成4 5。角.则以下判断正确的是()(1)为真命题;(2)为 真 命 题B.(1)为真命题;(2)为假命题C.(1)为假命题;(2)为真命题D.(1)为假命题;(2)为假命题【答案】B【分析】作出过户与两直线相交的直线 所 判 断
19、;通过平移直线AB,A 2,结合异面直线所成角的概念判断.【详解】解:直.线 与A A是两条互相垂直的异面直线,点尸不在这两异面直线中的任何一条上,如图所示:取 的 中 点。,则P Q/A R,且P Q =A Q,设A。与A 3交于E,则点A、?、Q、E、P共面,直 线 即 必与A A相交于某点尸,则过户点有且只有一条直线E尸与A B、A乌 都相交,故为真命题;分别平移A8,A R,使 A 8 与A P均经过P,则有两条互相垂直的直线尸M,PN 与 A8,A R,都成4 5。角,故为假命题.为真命题,为假命题.二、填空题3.(2 0 2 1 上海位育中学高二阶段练习)空间中三条直线a、b、c
20、两两垂直,若直线d与直线a、b、c 所成角都为 e,贝!j c o s e=【答案】23【分析】因三直线两两垂直,可以认为三直线就是正方体ABC。-A 耳6。中同一顶点。的三条棱94,DC,D Dt,由此能够求出c o s。.【详解】因三直线两两垂直,可以认为三直线就是正方体A B C D-A B|G A 中同一顶点。的三条棱D 4,DC,D D、,如图:直线d与这三条直线所成的角都为凡:.0=NADB=4B、DD=ZCDB,从而c o s e=*=半.故答案为:立.DB、3 3DC4.(2021上海奉贤区致远高级中学高二阶段练习)已 知 直 线 如 果 直 线 6 同时满足条件:。与b 异面
21、;。与6 成定角;。与b 的距离为定值.那么这样的直线b 有 条.【答案】无数【分析】作出两个平行平面,两条异面直线分别在两个平面上判断.【详解】如图所示:a!/3,a c a,b c p,异面,则平面夕内任意一条与平行的宜线都满足要求,故答案为:无数5.(2021上海奉贤区致远高级中学高二阶段练习)若两异面直线。、匕所成的角为60,过空间内一点P 作与直线。、6 所成角均是6 0 的直线/,则 所 作 直 线/的 条 数 为.【答案】3【分析】利用异面宜线所成的角的概念,平移两宜线“、b,可知当/为120的角平分线符合题意,把6 0 的角平分线旋转可得符合题意的两条直线,即可求解.如图,将立
22、线。平移与直线6 相交于点P,因为直线。、b 所成的角为60。,则其补角为120,当宜线/过点P 且为其补角120二 的角平分线时,宜线/与“、b 所成角均是60,设60。的角平分线为J 把。绕点P 旋转,且在旋转的过程中保持与。、b 所成角均是。,上下旋转各能得到一个位置,使得与。、b 所成角均是601所以共有3条直线符合题意,故答案为:3.康可言 证明异面直线垂直一、单选题1.(2017上海交大附中高二期中)如图,点 E 为正方形ABCD边 CD 上异于点C,D 的动点,将AADE沿A E翻折成A SA E,使得平面S A E,平面A B C E,则下列说法中正确的有()存在点E 使得直线
23、SA L平面SBC;平面SBC内存在直线与SA平行平面ABCE内存在直线与平面SAE平行;存在点E 使得SE1BA.A.1个 B.2 个 C.3 个 D.4 个【答案】A【分析】本题考查空间中的折叠问题,涉及线面垂直,面面垂直,线面平行,线线平行垂直的判定与性质,属综合性题目,难度中上.【详解】对于命题,若直线SAL平面SBC,则 SA1BC,又平 面 SA E X 平 面 ABCE,故在平面ABCE中作BH 1A E与 H,则 BHJ_平面SAE,ABHISA,又.,BHCIBC=H,BH、BCu平面 ABCE.,SA_L 平面 ABCE,,SAJ_AE,即NSAE 是直角,但是/S A E
24、 即折叠之前的NDAE,在折叠前后保持不变,始终是锐角,所以命题不正确;若 SELBC,同样由于BHJL平面SAE,可得BH1SE,进而同上得到SE_L平而ABCE,得到NSEA为宜角,ZSE A 即为折叠之前的NDEA,在折叠过程中保持不变,始终是锐角,命题错误;对于命题,因为平面S B C I直线S4=S,故平面SBC内的直线与弘 相交或异面,所以命题不正确;对于命题,在平面ABCE中作CFAE,交 A B于 F,S如图所示:C由线面平行的判定定理可得CF平面SAE,所以命题正确,综上,正确的命题个数为I 个,故选A.考点:1、线面垂直的判定定理;2、线面平行的判定;考点:平面与平面垂直的
25、性质二、填空题2.(2022上海长宁高二期末)如图是一个边长为2 的正方体的平面展开图,在这个正方体中,则下列说法中正确的序号是.直线BM与直线CN相交;直线ME与直线CN平行;直线A3与直线CN异面;【答案】【分析】画出正方体,CN/BE,A F B E,故A F L C N,正确,根据相交推出矛盾得到错误,根据 CN/BE,8E与ME相交得到错误,排除共面的情况得到正确,得到答案.【详解】如图所示的正方体中,CN/BE,A F Y B E,故A尸,C N,正确;若 宜 线 与 百 线CN相交,则四点大面,即3在平面CMN内,不成立,错误;CN/BE,BE与ME相交,故直线ME与直线CN不平
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