2022-2023学年上海高二上学期数学同步练第10讲柱、锥、台的表面积(核心考点讲与练)(含详解).pdf

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1、第 10讲 柱、锥、台的表面积（核心考点讲与练）Q方法技巧 求解几何体表面积的类型及求法求多面体只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多的表面积面体的表面积求旋转体可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要的表面积搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系 木圳f i l l l几何体的通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积表面积Q能力拓展题型一：棱柱表面积的有关计算一、填空题1.（2021上海大学附属南翔高级中学高二期中）己知直棱柱的底面周长为

2、1 2,高为4,则这个棱柱的侧面积等于.2.（2 0 2 1 上海浦东新高二期中）一个正四棱柱底面边长为1,高为2,则它的表面积是.3.（2 0 2 1 上海市市西中学高二期中）在斜三棱柱A8C-A8G中，底面AABC是边长为2的等边三角形，侧棱长为2,其中一条侧棱AA与底面AABC两边4 8 AC所在直线夹角为4 5。，则该斜三棱柱的侧面积为4.（2 0 2 1 上海市建平中学高二阶段练习）已知一个直四棱柱的底面是菱形，一个底面的面积为4,两个对角 面（过相对侧棱的截面）面积分别为5和 6,那 么 它 的 表 面 积 为.5.（2 0 2 1 上海市建平中学高二阶段练习）已知一个正四面体的顶

3、点是一个正方体的顶点，那么正方体的表面积是正四面体的表面积的 倍.二、解答题6.（2 0 1 7 上海市七宝中学高二期中）图 1 是某储蓄罐的平面展开图，其中N G C D =N O C =N 尸=9 0。，且A D =C D =D E =CG,F G =F E,若将五边形C D E F G 看成底面，AO为高，则该储蓄罐是一个直五棱柱.（1）图 2为面A 3 C。的直观图，请以此为底面将该储蓄罐的直观图画完整；（2）已知该储蓄罐的容积为V =1 2 5 0 c、1,求制作该储蓄罐所须材料的总面积S （精确到整数位，材料厚度,按键及投币口的面积忽略不计）题型二：圆柱表面积的有关计算一、填空题1

4、.（2 0 2 1 上海.闵行中学高二期中）如图，一个实心六角螺帽毛坯（正六棱柱）的底边长为4,高为3,若在中间钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，则孔的半径为一.十二干:2.（2 0 2 1 上海市金山中学高二期末）将边长为4的正方形绕着其一边旋转g,得到的几何体的表面积为3.（2 0 2 1.上海华师大二附中高二期中）将一个正方形绕着它的一边所在直线旋转一周，所得几何体的体积为 2 7 万，则 该 几 何 体 的 全 面 积 为.4.（2 0 2 1 上海市延安中学高二期中）在如图所示的斜截圆柱（截面与底面不平行）中，已加圆柱底面的直径为4 c m,母线长最短5 c m,最长8 c m,则斜

5、截圆柱的侧面积为 c m25.（2 02 1上海市奉贤区奉城高级中学高二期中）若圆柱的底面半径为2,高为1,则 圆 柱 的 全 面 积 是.二、解答题6.（2 02 1 上海市宝山中学高二阶段练习）四边形A 3 C O 是 圆 柱 的 轴 截 面，E为底面圆周上的一点,AE=2y/5,BE=4,AD=5.（1）求证：B E1平面（2）求圆柱的表面积.题型三：棱锥表面积的有关计算一、填空题1.（2 02 1上海外国语大学闵行外国语中学高二期中）已知正三棱锥O-A 3C的底面边长为4,高为2,则此三 棱 锥 的 侧 面 积 为.2.（2 02 1 上海.闵行中学高二期中）棱长都是2的 三 棱 锥

6、的 表 面 积 为.3.（2 02 1 上海市大同中学高二期末）一个高为1 的正三棱锥的底面正三角形的边长为6,则此三棱锥的侧面积为.4.（2 02 1上海市吴淞中学高二阶段练习）已知正三棱锥的底面边长为2,高 为 1,则该三棱锥的侧面积为一.题型四：圆锥表面积的有关计算一、单选题1.（2 02 1.上海浦东新高二期中）一个平行于圆锥（其底面半径和母线均为定值）底面的平面将圆锥分成上下两部分，设圆锥所分的上下两部分的侧面积分别为x,y,则函数y =f（x）的图像大致是（）2.（2021上海市奉贤中学高二阶段练习）若圆锥的侧面展开图是半径为2,圆心角为90。的扇形，则这个圆锥的全面积是.3.（2

7、021上海市南洋模范中学高二期中）已知圆锥侧面展开图中扇形的中心角为?，圆锥底面周长为2万，则 这 个 圆 锥 的 表 面 积 为.4.（2021.上海市市西中学高二期中）已知圆锥的底面半径为3,母线与底面所成角为60,则圆锥侧面积等于.5.（2021上海市徐汇中学高二期中）用一个半径为10厘米的半圆纸片做成一个忽略接缝的无底圆锥，放在倍，那 么 这 个 圆 锥 的 母 线 与 轴 所 成 角 的 正 弦 值 为.7.（2021.上海市行知中学高二阶段练习）以边长为I的正三角形的一边所在直线为旋转轴，将该正三角形旋 转 一 周 所 得 的 旋 转 体 的 表 面 积 等 于.8.（2021.上

8、海市亭林中学高二期中）圆锥底面半径为1 cm,母线长为2 c m,则 圆 锥 的 表 面 积 是.9.（2021 上海虹口高二期末）已知圆锥的主视图为如图所示，则该圆锥的侧面积是_ _ _ _ _ _ _ _ _.44三、解答题31 0.（2 02 1上海高二专题练习）如图，已知圆锥的顶点为P,底面圆心为。，高为26，底面半径为2.（1）求该圆锥的侧面积;（2）设。4、。8为该圆锥的底面半径，且/4 O B =9 0。，M 为线段A 8的中点，求直线PM 与直线0 8所成的角的正切值.Q巩固提升一、填空题1.（2 02 1.上海市松江二中高二阶段练习）圆锥的底面半径为2,母线与轴所成角为2，该

9、圆锥的全面积为62.（2 02 1 上海浦东新高二期中）一个圆柱的底面半径为3 c m,高为4 c m,则它的侧面积为 c m2.3.（2 02 1上海市进才中学高二期中）已知圆锥底面半径为2,母线长为3,则 圆 锥 的 表 面 积 为.4.（2 02 1上海奉贤区致远高级中学高二阶段练习）已知圆柱的底面半径为1,高为2,则圆柱的侧面积为5.（2 02 0.上海师范大学第二附属中学高二期中）已知矩形A 8 C D 中，AB=,BC=2,若将矩形ABC ）绕着A 8旋转形成一个圆柱，则 该 圆 柱 的 表 面 积 为.6.（2 02 1 上海市洋泾中学高二期中）若一个圆锥的底面面积为4 乃，母线

10、长为3,则它的侧面积为.7.（2 02 1.上海市市西中学高二期中）已知一个圆锥的侧面积是底面积的2 倍，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是.8.（2 02 1 上海市第三女子中学高二期末）面积为4的正方形绕其一边所在的直线旋转一周，所得的几何体的侧面积为.9.（2 02 1上海华师大二附中高二期中）某圆锥的底面积为4 万，侧面积为8），则该圆锥的母线与底面所成角 的 大 小 为.1 0.（2 02 2.上海市嘉定区第二中学高二期末）已知某圆锥的高为4,体积为1 2 万，则其侧面积为.1 1.（2 02 1 上海高二专题练习）正四棱台上、下 底 面 的 边 长 分 别 为 b,侧棱长为g（a +加

11、，则此棱台的侧面积为.1 2.（2 02 0上海曹杨二中高二期末）若正四棱锥的底面边长为3,高为2.则 这 个 正 四 棱 锥 的 全 面 积 为；二、解答题1 3.（2 02 1.上海奉贤区致远高级中学高二期中）如图，圆锥底面半径为1,高为2.（1）求圆锥内接圆柱（一底面在圆锥底面上，另一底面切于圆锥侧面）侧面积的最大值;（2）圆锥内接圆柱的表面积是否存在最大值？说明理由；（3）若圆锥的底面半径为“，高为6,试讨论圆锥内接圆柱的全面积是否存在最大.1 4.（2 02 1上海高二专题练习）己知等边圆柱（轴截面为正方形的圆柱）全面积为S,求内接正四棱柱的全面积.1 5.（2 02 1上海高二专题

12、练习）如图，在直四棱柱ABC。-48cA 中，A 8 1|8,A4,=1,AB=3 k,4 9=绿,BC=5k,DC=6k（1）求证:CO，平面 A。A；（2）现将与四棱柱ABC。-A M G乙形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为/（&）,写出/（幻的解析式；（直接写出答案，不必说明理由）第 10讲 柱、锥、台的表面积（核心考点讲与练）方法技巧求解几何体表面积的类型及求法求多面体只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多的

13、表面积面体的表面积求旋转体可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要的表面积搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系求不规则通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱几何体的体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积表面积Q能力拓展题型一：棱柱表面积的有关计算一、填空题1.（2 0 2 1.上海大学附属南翔高级中学高二期中）已知直棱柱的底面周长为12,高为4,则这个棱柱的侧面积等于.【答案】4 8【分析】根据直棱柱的侧面积公式直接求解即可【详解】因为直棱柱的底面周长为12,高为4,所以这个棱柱的侧面积为12 x 4

14、 =4 8 ,故答案为：4 82.（2 0 2 1上海浦东新高二期中）一个正四棱柱底面边长为1,高为2,则它的表面积是.【答案】10【分析】利用正四棱柱的性质进行计算即可【详解】因为正四棱柱底面边长为1,高为2,所以它的表面积为2 x 1x 1+4 x 1x 2 =10,故答案为：103.（2 0 2 1.上海市市西中学高二期中）在斜三棱柱4 B C-A 8 c中，底面AABC是边长为2的等边三角形，侧棱长为2,其中一条侧棱A A与底面AABC两边A B,A C所在直线夹角为4 5。，则该斜三棱柱的侧面积为【答案】4 +4及【分析】首先证得C C _ L B G，然后分别求出三个侧面的面积相加

15、即可求出结果.【详解】过点用作用 加 工 至 于何，因 为/64=/旦4”,则4。/4口44，所Ci以N G M A=N B 1M A =9 0 ,即GM1 M，又因为C与M=M，所以/L A,平面，又因为耳a u平面q GM,所以耳G，又因为A A G G，所以C C 1,4G，则该斜三棱柱的侧面积为 x 2 x 2 x X 2 x 2 +2 x 2 =4 x/2 +4 ，2 2故答案为：4 7 2 +4.4.（2 0 2 1上海市建平中学高二阶段练习）已知一个直四棱柱的底面是菱形，一个底面的面积为4,两个对角 面（过相对侧棱的截面）面积分别为5和6,那 么 它 的 表 面 积 为.【答案】

16、2yb +S【分析】设直四棱柱底面菱形的对角线的长分别为a,名。2）,高为，根据题意可得妨=8,ah=5,bh=6,求得。力，然后求出直四棱柱的底面菱形的边长，即可求出菱形的面枳.【详解】解：设直四棱柱底面菱形的对角线的长分别为。力（a /T +8.5.（2021.上海市建平中学高二阶段练习）已知一个正四面体的顶点是一个正方体的顶点，那么正方体的表面积是正四面体的表面积的 倍.【答案】小【分析】正方体的棱长为。，则正四面体的楼长为&a，分别求出正方体和正四面体的表面积，即可得解.【详解】解：如图所示，正四面体的顶点是一个正方体的顶点，设正方体的棱长为，则正四面体的棱长 为 缶，则5正 方 体=

17、6”一，S正四面体=4SA8。=4x呵=2徨,所以含一条7=5o正四 面 体2 7 3 a所以正方体的表面积是正四面体的表面积的G倍.解答题6.（2017上海市七宝中学高二期中）图1是某储蓄罐的平面展开图，其中N GCD=N O C=/尸=90。，且AD=CD=DE=CG,FG=FE,若将五边形CDE F G看成底面，A O为高，则该储蓄罐是一个直五棱柱.（1）图2为面A3C。的直观图，请以此为底面将该储蓄罐的直观图画完整；（2）已知该储蓄罐的容积为V =125 0c、1,求制作该储蓄罐所须材料的总面积S （精确到整数位，材料厚度,按键及投币口的面积忽略不计）【答案】（I）见解析；（2）691

18、C/M2【分析】（1）根据储蓄罐的平面展开图，直接画出储蓄罐的直观图即可；（2）设AD=a,求出五边形CDE P G的面积，利用几何体的体积，求出明然后求几何体的表面积.【详解】（1）储蓄罐的直观图如下图所示；(2)设 4 O =a,AEFG是等腰直角三角形，EF=FG =a,2则五边形C D E F G的面积为“得容积卜=5 8 乂 4。=4 3=125 0,解得：a=10,其展开图的面积5 =5/+；/+&储=5 0（1 +2应）“691,因此制作该储蓄罐所需材料的总面积约为691cm2.【点睛】本题考查组合体的展开图和几何体的体积的简单应用，意在考查空间想象能力和计算能力，属于基础题型.

19、题型二：圆柱表面积的有关计算一、填空题1.（2021上海闵行中学高二期中）如图，一个实心六角螺帽毛坯（正六棱柱）的底边长为4,高为3,若在中间钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，则 孔 的 半 径 为 一.【答案】3【分析】利用圆柱的上下底面的面积和等于圆柱的侧面积即可求解.【详解】设孔的半径为r,.一个实心六角螺帽毛坯（正六棱柱）的底边长为4,高为3,在中间钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，2乂兀/=27 nx 3,解得r=3,.孔的半径为3.故答案为3.【点睛】本题考查圆柱的结构特征和和侧面积公式.2.（2 0 2 1 上海市金山中学高二期末）将边长为4 的正方形绕着其一边旋转等，得到的几何

20、体的表面积为 644【答案】32 +【分析】作出旋转后的图形，可知旋转后的几何体的表面包括两个正方形、两个扇形和圆柱侧面的一部分,由此可求得几何体的表面积.【详解】如下图所示：旋转后的几何体的表面包括两个正方形、两个扇形和圆柱侧面的一部分,1 1 K A jr故几何体的表面积为16+16+2X X16T+X8;TX4=32+.3 3 3fxA.Tr故答案为：32+号.3.（2 0 2 1上海华师大二附中高二期中）将一个正方形绕着它的一边所在直线旋转一周，所得几何体的体积为2 7 乃，则该几何体的全面积为【答案】36兀【分析】设 正 方 体 的 边 长 为 则/=万/z =2 7 万，解得。=3

21、,根据全面积公式计算即可.【详解】将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为2 7 万,设正方体的边长为a,则丫=刀”2.“=2 7，解得a =3,该圆柱的全面积为S =2 万*3x3+2 x7*32 =36万，故答案为：36万.4.（2 0 2 1上海市延安中学高二期中）在如图所示的斜截圆柱（截面与底面不平行）中，已加圆柱底面的直径为4 c m,母线长最短5 c m,最长8 c m,则斜截圆柱的侧面积为【答案】2 6乃【分析】将相同的两个几何体，对接为圆柱，然后求出新圆柱侧面积的一半即可.【详解】解：将相同的两个几何体，对接为圆柱，则圆柱的侧面展开的面积为斜截圆柱的侧面积的

22、两倍,所以斜截圆柱的侧面积S =（5+8）X 2 万 X 2 X 3=2 6万加.故答案为：2 6乃5.（2 0 2 1.上海市奉贤区奉城高级中学高二期中）若圆柱的底面半径为2,高为1,则圆柱的全面积是【答案】1 2 万【分析】根据题意使用圆柱的底面积、侧面积公式，分别算出该圆柱的底面积和侧面枳，从而得出该圆柱的全面积.【详解】圆柱的底面半径为/=2,二圆柱的底面圆面积E =万产=4万.又 圆柱的高为1.圆柱的母线长5，圆柱的侧面积S2=2 乃 =2 兀 x 2 x 1 =4兀.所以，该圆柱的全面积为S =2 d+S?=2 x4%+4乃=1 2 乃.故答案为：1 2 小二、解答题6.（2 0

23、2 1 上海市宝山中学高二阶段练习）四边形A 8 C O 是圆柱。1 的轴截面，E为底面圆周上的一点，（1）求证：BE1平面A Z ;（2）求圆柱的表面积.【答案】（1）见证明；（2）48 万【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，即可证明3 EL平面ADE；（2）先求出圆柱底面圆的半径，进而可根据圆柱的表面积公式，求出结果.【详解】（1）证明：I 平面A B C D 是圆柱。回 的轴截面，平面 A B E,：BEu平面 A B E,A ADA.BE,又E为底面圆周上一点，A8为直径，又 4 9cA=A，3 EL平面（2）在 A A B E 中AE =2y/5,BE =4,：AB=sjAE2+B

24、E1=6，底面圆的半径r =3,又；A D =5二圆柱侧面积为2 7 x3x5=30 万，上下两底面面积为万x3?x2 =1 8 万，二圆柱的表面积为3（）%+1 8 =48 万.【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，以及圆柱的表面积公式，需要考生熟记线面垂直的判定定理以及几何体的表面积公式，属于基础题型.题型三：棱锥表面积的有关计算一、填空题1.（2 0 2 1上海外国语大学闵行外国语中学高二期中）已知正三棱锥。-A B C 的底面边长为4,高为2,则此三 棱 锥 的 侧 面 积 为.【答案】8 0【分析】画出满足题意的二.棱锥P-A8C图形，根据题意，作出高，利用直角三角形，求出此三棱锥

25、的侧面上的高，即可求出棱锥的侧面积.【详解】由题意作出图形如图:因为三棱锥P-A B C 是正三棱锥，顶点在底面上的射影。是底面的中心,在三角P D 尸中，P D =2,D F =3尸 产=鼠?=逑 则这个棱锥的侧面积为3、上 4 述=Y 3 3 2 3故答案为：8 石.2.（2 0 2 1.上海闵行中学高二期中）棱长都是2的 三 棱 锥 的 表 面 积 为.【答案】46【分析】先计算一个等边三角形的面积，再计算4个等边三角形的面积和.【详解】棱长都是2的三棱锥的四个面都是等边三角形，每个等边三角形的面积S =g x 2 x 2 x s i n 6 0 =6,所以三棱锥的表面积是46.故答案为

26、：4 63.（2021.上海市大同中学高二期末）一个高为1 的正三棱锥的底面正三角形的边长为6,则此三棱锥的侧面积为.【答案】18【分析】画出满足题意的三棱锥P-A 5 C 图形，根据题意，画出高，利用直角三角形，求出此三棱锥的侧面上的高，即可求出棱锥的侧面积.【详解】由题意画出图形，如图所示：因为三棱锥P-A B C 是正三棱锥，顶点在底面上的射影D 是底面的中心，在三角形PDF中：因为三角形PDF三边长P=1,DF=，所以PE=2,则这个棱锥的侧面积S=3xgx6xl=18.【点睛】本题考查棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积和棱锥的结构特征，考查数形结合思想，还考查计算能力，是基础题，棱锥的

27、侧面积是每一个侧面的面积之和.4.（2021.上海市吴淞中学高二阶段练习）已知正三棱锥的底面边长为2,高 为 1,则该三棱锥的侧面积为一.【答案】26.【分析】画 事 满 足 题 意 的 三 棱 锥 图 形，根据题意，作出高，利用直角三角形,求出此三棱锥的侧面上的高,即可求出棱锥的侧面积.【详解】由题意作出图形如图：因为三棱锥P-M C 是正三棱锥,顶点在底面上的射影。是底面的中心，在三角P“尸中，.三角形尸。尸三边长尸。=1,尸=且3.PF则这个棱锥的侧面积S侧=3 x l x 2 x=2y/3.23故答案为：2 G.【点睛】本题主要考查了棱锥的结构特征.需要作出高，构造直角三角形进行边长的

28、求解.属于中等题型.题型四：圆锥表面积的有关计算一、单选题1.（2021.上海浦东新高二期中）一个平行于圆锥（其底面半径和母线均为定值）底面的平面将圆锥分成上下两部分，设圆锥所分的上下两部分的侧面积分别为x,y,则函数y=/（x）的图像大致是（）【答案】B【分析】设圆锥的底面半径为人 母线长为/，则圆锥的侧面积为万“，则山题意可得x+y=，从而可得结论【详解】设圆锥的底面半径为，.，母线长为/,则圆锥的侧面积为如7,因为圆锥所分的上下两部分的侧面积分别为工，N,所以=B P y-n r l-x ,因为万为常数，所以函数y =/（x）的图像大致是一条线段，故选：B二、填空题2.（2 0 2 1

29、上海市奉贤中学高二阶段练习）若圆锥的侧面展开图是半径为2,圆心角为9 0。的扇形，则这个圆锥的全面积是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.【答案】手4【分析】先根据s=g冏*求出圆锥的侧面面积，再根据展开图扇形弧长等于底面圆的周长求出底面圆的半径，进而求出底面面积，相加得到圆锥的全面积.【详解】圆锥的侧面展开图面积为+22=乃，圆锥的底面圆半径设为小 则2 M =；x2,解得：r =l,所以底面圆面积为兀产=!兀，则圆锥的全面积为乃+：=苧44 45 兀故答案为：v3.（2 0 2 1 上海市南洋模范中学高二期中）已知圆锥侧面展开图中扇形的中心角为等，圆锥底面周长为2 万，则这 个 圆

30、 锥 的 表 面 积 为.【答案】4【分析】利用圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长，半径等于圆锥的母线长，求解即可.【详解】解：设圆锥的母线长为/，底面半径为，则2兀丫=2兀,解得r =l,又圆锥侧面展开图中扇形的中心角为g2 7 r,则 学=2 兀，解得/=3,所以圆锥的表面积为5 =4,+兀 产=钮故答案为：47.4.（2 0 2 1 上海市市西中学高二期中）已知圆锥的底面半径为3,母线与底面所成角为6 0 ,则圆锥侧面积等于.【答案】1 阮【分析】画出圆锥的直观图，结合题意，求得圆的底面半径和母线长，利用侧面积公式，即可求解.【详解】根据题意，可得O4 =3,NS A O=6 0 ,如图所

31、示，在直角ASOA中，可得5 0 =募 鼠=6,即圆锥的母线长为2 T L所以圆锥的侧面积为S=zrr/=/rx3x6=18zr.故答案为：1 8 万.5.（2 0 2 1 上海市徐汇中学高二期中）用一个半径为1 0 厘米的半圆纸片做成一个忽略接缝的无底圆锥，放在【分析】如图所示，设 以 B为轴截面，过点A 作 利 用 圆 的 周 长 公 式 解 得 底 面 直 径 A8=10,在A PAB中解三角形，即可得出.【详解】如图所示，AB=0,设 B 4 8 为轴截面，过点A 作尸 8,乃*4 3 =10万，解得是等边三角形，/AZ）=A8 s i n 6 0=10 x 3=5 后.2,它的最高点

32、到桌面的距离为5 G cm.故答案为：5 cm.6.（2021上海交大附中高二期中）圆锥的侧面积是底面积的5倍，那么这个圆锥的母线与轴所成角的正弦值为.【答案】I【分析】由已知中圆锥的侧面积是底面积的5 倍，可得圆锥的母线是圆锥底面半径的5 倍，在轴截面中,求出母线与底面所成角的余弦值，进而可得母线与轴所成角.【详解】解：设圆锥母线与轴所成角为凡圆锥的侧面积是底面积的5 倍，7rr r即圆锥的母线是圆锥底面半径的5 倍，故圆锥的轴截面如下图所示：故母线与轴所成角的正弦值为（；故答案为：7.（2021上海市行知中学高二阶段练习）以边长为1 的正三角形的一边所在直线为旋转轴，将该正三角形旋 转 一

33、 周 所 得 的 旋 转 体 的 表 面 积 等 于.【答案】百兀【分析】首先确定旋转体为两个相同的圆锥，然后根据正三角形的边长求圆锥的底面圆半径和母线，求出圆锥的侧面积，进而求出旋转体的表面积.【详解】由题意，将该正三角形旋转一周所得的旋转体为两个相同圆锥的组合体，如下图：因为正三角形的边长为1,易知正三角形的高为 且，故圆锥的底面半径为 赵，高为;,2 2 2故 留 锥 的 侧 面 积 为 且 xl=1 万，2 2 2又因为旋转体的表面积是由两个圆锥侧面积之和，所以旋转体体积V=2x且 万=6 .2故答案为：6 兀.8.（2021.上海市亭林中学高二期中）圆锥底面半径为1cm,母线长为2

34、c m,则 圆 锥 的 表 面 积 是.【答案】3乃 5?【分析】根据圆锥的表面积公式，由题中条件，可直接得出结果.【详解】因为圆锥底面半径为1cm,母线长为2cm,所以圆锥的底面积 为 灯=乃5?，侧面积为=2灰11?.则圆锥的表面积 为%+2乃=3;rcm2.故答案为：3cm29.（2021上海虹口高二期末）已知圆锥的主视图为如图所示，则该圆锥的侧面积是_.【答案】6兀3【分析】本题可根据圆锥的主视图确定圆锥的底面半径和母线长，即可求出该圆锥的侧面积.【详解】由圆锥的主视图易知，圆锥的底面半径为,，母线长为4，则该圆锥的侧面积5=兀仓甘4=6兀，故答案为：6%.三、解答题10.（2021上

35、海高二专题练习）如图，已知圆锥的顶点为P,底面圆心为。，高为2后,底面半径为2.（1）求该圆锥的侧面积;（2）设。4、0 8为该圆锥的底面半径，且NAO8 =9 0。，M为线段A 8的中点，求 直 线 与 直 线0 8所成的角的正切值.【答案】（1）8万；7 13.【解析】（1）利用圆锥侧面积公式即可；（2）通过中点作辅助线即可.【详解】解：（1）Q PJ底面。钻山题意高 =2 6，底面半径r =2,所以母线/=4圆锥的侧面积S =；/r =g x 2;r x 2x 4=8万（2）取O A的中点为N,因为 为A 8的中点因为 O3_LOA,OB LOP,所以MN/0B,/P M N就是直 线

36、加 与直线。8所成的角.所以O5 _L平面P O 4,知/_1平面。4,M N V P N在 RfA P N M 中,PN=亚 +空=屈，M N =g（）B=l.所以N P M N的正切值为7 13.即 直 线 与 直 线0 B所成的角正切值 为 旧.J巩固提升一、填空题I.（2021.上海市松江二中高二阶段练习）圆锥的底面半径为2,母线与轴所成角为2，该圆锥的全面积为6【答案】12万【分析】求出圆锥的底面积和侧面积，相加即为全面积【详解】已知厂=2,且母线与轴所成角为1O所以母线/=4所以侧面积为乃 =8 乃，底面积为；r/=4 1故答案为:12%2.（2021上海浦东新高二期中）一个圆柱的

37、底面半径为女m,高为4 c m,则它的侧面积为 c m2.【答案】24 万【分析】由圆柱的侧面积公式计算可得答案.【详解】解：圆柱的底面半径为3 c m,高为4cm,则它的侧面积为2i x 3x 4 =24;r c n?,故答案为：24 万.3.（2021上海市进才中学高二期中）已知圆锥底面半径为2,母线长为3,则 圆 锥 的 表 面 积 为.【答案】10兀【分析】先算出圆锥底面周长，进而算出侧面积和底面积，最后得到答案.【详解】由题意，底面周长为2万x 2=4，则圆锥表面积为：g x 4 乃x 3+万x 2?=10%.故答案为：10K.4.（2021上海奉贤区致远高级中学高二阶段练习）已知圆

38、柱的底面半径为1,高为2,则圆柱的侧面积为【答案】4 万【分析】圆柱侧面积等于底面周长乘以高.【详解】依题意，圆柱底面周长等于2公 1 =2万，故侧面积等于2万-2=4 万故答案为：4 万5.（2020.上海师范大学第二附属中学高二期中）已知矩形A 8 C O 中，AB=,BC=2,若将矩形458绕着A8 旋转形成一个圆柱，则 该 圆 柱 的 表 面 积 为.【答案】1 2万【分析】根据圆柱的表面积公式求得所求的表面积.【详解】依题意可知圆柱的底面半径为2,高为1,所以圆柱的表面积为2x 2?+2）x 2x l =1 2.故答案为：1 2万6.（2021.上海市洋泾中学高二期中）若一个圆锥的底

39、面面积为4万，母线长为3,则它的侧面积为.【答案】6兀【分析】由已知条件求出底面半径，从而可求出圆锥的侧面积【详解】解：设圆锥的底面半径为/，则万/=4%，得/=2,所以圆锥的侧面积为乃H=2x3乃=6万，故答案为：6乃7.（2021上海市市西中学高二期中）已知一个圆锥的侧面积是底面积的2 倍，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是.【答案】兀【分析】由题意得产+2=以及%=2 乂万/，得到;进而结合扇形得面积公式即可求出结果.7=2/-【详解】设圆锥得地面半径为r,母线为/,高为h,则户+/=尸，由题意知万”=2 x 2,所以设圆锥得侧面展开图得圆心角为a,则1&/2=加7,所以4 2 ）-=2乃/

40、，即a=?r,故答案为：n.8.（2021上海市第三女子中学高二期末）面积为4 的正方形绕其一边所在的直线旋转一周，所得的几何体的侧面积为.【答案】8n【分析】由旋转体定义可得，正方体绕一边旋转之后得到圆柱，圆柱侧面展开是一个矩形，圆柱底面周长即为矩形的长，圆柱的母线长即为矩形的宽，由此即得该几何体的侧面积.【详解】由己知条件可得，面积为4 的正方形边长为2,绕其一边旋转之后得到的为圆柱，且此圆柱的母线长为2,底面半径也为2,所以，该圆柱的侧面积为：5ftl,j=27rr/=27rx2x2=87r,故答案为：87t.9.（2021上海华师大二附中高二期中）某圆锥的底面积为4万，侧面积为8乃，则

41、该圆锥的母线与底面所成角 的 大 小 为.【答案】|【分析】根据圆锥底面面积公式以及圆锥侧面面积公式，求出底面半径和母线长，即可得出结论.【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为/,则71，=4万，解得r=2,7crl=2/rl=8兀,解得/=4,设该圆锥的母线与底面所成角为。，所以cose=2=_L,o 0 S3%【分析】先设等边圆柱底面圆半径为R,得到内接正四棱柱的底边长，以及高，根据圆柱的表面积公式，求q得 R 2=7-,再由正四棱柱的表面积公式，即可求出结果.6 4【详解】设等边圆柱底面圆半径为R,则它的内接正四棱柱的底边长 为&R,高为2 R，则5 =2 万川+2 万 2 2 7?=6

42、万/?2，所以汽=厂，6兀内接正四棱柱的全面积为：s正 四 极 柱=4 R 2 +4&R 2R=2（1 +2近）S【点睛】本题主要考查求圆柱内接正四棱柱的表面积，熟记圆柱与棱柱的结构特征，以及表面积公式即可,属于常考题型.15.（2 0 2 1上海,高二专题练习）如图，在直四棱柱 A8C3-A4CQ 中，ABCD,AAl=l,AB=3k,AD=4k,B C =5k,D C =6k 6 0）：（1）求证：8 _ 1_ 平面4。4；（2）现将与四棱柱A B C。-44G A形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不

43、同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为/（Q,写出/（幻的解析式；（直接写出答案，不必说明理由）1 2k2+26k,0 k 1 8【分析】（1）取 CC的中点E,连接B E,可证明四边形48即是平行四边形，再利用勾股定理的逆定理可得BE _ L C D,即 C O _ L A/）,又侧棱A 4_ L 底面A 8C,可得A 4/L O C,利用线面垂直的判定定理即可证明.（2）由题意可与左右平面A。*/,B C C B,上或下面4 8 C D A/8/C/D 拼接得到方案，新四棱柱共有此4 种不同方案.通过比较即可得出了 （%）.【详解】（1）证明：取 Z 5C 的中点E,

44、连接8E,-：AB/E D,AB=E D=3k,，四边形A8EC是平行四边形，：.BE/AD,Ji BE=AD=4k,：.BE2+E C2=(4k 2+(3&)?=(5k)2=B C2,：.Z B E C=9 0Q,：.BE CD,又：BE AD,J.CDLAD.侧棱 AA/_L底面 ABC。，J.AAilCD,：AAiQAD=A,(2)由题意可与左右平面ADD/A/,B C C M 上或下面ABC,A/8/C/Q拼接得到方案新四棱柱共有此4种不同方案.,51 2k2+26k,0 k 18【点睛】本题主要考查了线线、线面的位置关系、柱体的定义积表面积、勾股定理的逆定理等基础知识，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力及化归与转化能力.