2022-2023学年北师大版八年级数学上学期压轴题--一次函数与几何图形综合问题的五种类型含解析.pdf

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1、专题09 一次函数与几何图形综合问题的五种类型类型一、面积问题例 1.在平面直角坐标系x O y 中，已知直线A B 与 x 轴交于A点(2,0)与 轴交于点8(0,1).(1)求直线A 8 的解析式；(2)点 M(-1,y i),N(3,九)在直线A 8 上，比较y i 与 y 2的大小.(3)若 x 轴上有一点C,且SHABC=2,求点C的坐标【变式训练1】已知一次函数y=依+2 的图象与X轴交于点8(-2,0),与正比例函数%=如的图象交于点 41,。).(1)分别求3 m的值；(2)点C为x轴上一动点，如果AA B C的面积是6,请求出点C的坐标.【变式训练2】如图，在正方形A 8 C

2、。中，4?=4,点 P 为线段0 c上的一个动点.设。P =x,由点A B,C,P 首尾顺次相接形成图形的面积为y.备用图(1)求 y关于x的函数表达式及x的取值范围;(2)设(1)中函数图象的两个端点分别为V、N,且 P 为第一象限内位于直线MN 右侧的一个动点，若9正好构成一个等腰直角三角形，请求出满足条件的P 点坐标；(3)在(2)的条件下，若/为经过(1,0)且垂直于8轴的直线，。为/上的一个动点，使得工”相=请直接写出符合条件的点。的坐标.【变式训练3】如图，已知直线4：y =x +3 与过点A (3,0)的直线4 交于点c (1,m),且与x 轴交于点B,与 y 轴交于点D.(1)

3、求直线4 的解析式；(2)若点。关于x 轴的对称点为P,求加8 c 的面积.类型二、一次函数与平行四边形例 1.如图，在平面直角坐标系中，直线A3 与X,y轴分别交于点4(4,0),8(0,3),点c是直线y =-x +54上的一个动点，连接B C.图1 图2(1)求直线A8的函数解析式；(2)如图1,若 8 C x 轴，求点C到直线AB的距离;(3)如图2,点 E(l,0),点。是 直 线 上 的 动 点，试探索点C,。在运动过程中，是否存在以8,C,D，E为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点C,。的坐标；若不存在，请说明理由.【变式训练1】一次函数丫=4乂+1(k x O)的图

4、象过点P(-3,2),与 x 轴交于点A,与 y 轴交于点B.(1)求 k的值及点A、B的坐标；(2)已知点C G1,0),若以A,B,C,。为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点。的坐标.【变式训练2】平面直角坐标系x 0 y 中，直线小y =2 x+。与直线4：y =g x交于点。(2,租).(1)求 加，b的值；(2)直线X =(/0)与直线4，4 分别交于M,N 两点，当 MN=3 时，若以M,N,P,Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标.类型三、一次函数与等腰三角形例 L 一次函数的图像与x 轴、y 轴分别交于点A (百，0),8(0,1),以A B 为

5、边在第一象限内做等边M B C.(1)线段A 8 的长是,0 8 4 0=。，点 C的坐标是；(2)如果在第二象限内有一点P(a,1),试用含a的代数式表示四边形A B P。的面积.(3)在 y 轴上存在点M,使 回 M A B 为等腰三角形，请直接写出点M 的坐标.32备用图322 3 x【变式训练I】如图一，已知直线/：y =-X+6与X轴交于点A,与 y轴交于点3,直线M与V 轴交于点C(0,-2),与直线/交于点。,1).图二(1)求直线用的解析式;(2)如图二，点p在直线/上且在N 轴左侧，过点尸作P Q/)轴交直线用于点Q,交X轴于点G,当SMC G=2S、Q C G,求出P。两点

6、的坐标；(3)将直线/：y =-x+6向左平移12个单位得到直线交X轴于E点，点尸是点。关于原点对称点.过点/作直线攵/x 轴.点 M 在直线攵上，写出以点C,E,M ,为顶点且CE为腰的等腰三角形，并把求其中一个点M 的坐标的过程写出来.【变式训练2】在如图的平面直角坐标系中，直线n过点A(0,-2),且与直线/交于点8(3,2),直线/与 y 轴交于点C.(1)求直线n的函数表达式；(2)若0A B e的面积为9,求点C的坐标；(3)若M8C是等腰三角形，求直线/的函数表达式.【变式训练3】如图，直线4：y =a x。，4 与x轴交于点3,直线4 经过点A(4,0),直线小4 交于点C(2

7、,-3).（1）a=；点 8的坐标为.（2）求直线4 的解析表达式；（3）求AABC的面积；（4）在直线4 上存在异于点。的另一点P，使得z MBP 为等腰三角形，请直接写出P 点的横坐标？类型四、一次函数与直角三角形例 1.如图，在平面直角坐标系中，函数y=x+2 的图象与x 轴，y 轴分别交于点4 B,与函数y=g x+b的图象交于点C（-2,m）.（1）求 m和 b的值；（2）函数y=x+b的图象与x 轴交于点D,点 E 从点D出发沿D A 向，以每秒2 个单位长度匀速运动到点 M（到 A停止运动），设点E的运动时间为t 秒.当 MCE的面积为12时，求 t 的值；在 点 E 运动过程中

8、，是否存在t 的值，使 MCE为直角三角形？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由.【变式训练1】如图1，在菱形A8CD中，N A6c=6 0。，对角线AC、80 交 于 点 从 3 点出发，沿B-)C 方向匀速运动，P 点运动速度为lc m/s.图 2 是点p 运动时，回(?的面积N cn?)随 p 点运动时间x(s)变化的函数图像.Men?)(1)AB=c m,a=；(2)P 点在3。上运动时，x 为何值时，四边形AOCP的面积为6；(3)在 P 点运动过程中，是否存在某一时刻使得AP3为直角三角形，若存在，求X 的值；若不存在，请说明理由.【变式训练2】在平面直角坐标系xOy中，将

9、直线y=2 x 向下平移2 个单位后，与一次函数y=+3 的图象相交于点A.(I)将直线y=2X向下平移2 个 单 位 后 对 应 的 解 析 式 为：(2)求点A的坐标；(3)若 P是 x 轴上一点，且满足团。八 P是等腰直角三角形，直接写出点P 的坐标.VA4-3-2-1-1-!-1-3-2-1 0 1 2 3 4 x类型五、最值问题3例1.如图，将直线丁 =一 向上平移后经过点A(4,3),分别交x轴y轴于点B、C.(1)求 直 线 的 函 数 表 达 式；(2)点P为直线8C上一动点，连接0 P .问：线段0P的长是否存在最小值？若存在，求出线段0P的最小值，若不存在，请说明理由.【变

10、式训练1】如图，四边形Q 4 3 c是张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点。与坐标原点重合，点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，O C =5,点E在边8C上.(1)若点N的坐标为(3,0),过点N且平行于y轴的直线MN与 3交于点M,将纸片沿直线O E折叠,顶点C恰好落在MV上，并与MN上的点G重合.求 点G、点E的坐标；若直线/：y =m%+，z平行于直线O E,且 与 长 方 形 有 公 共 点，请直接写出c的取值范围.(2)若点E为 上 的 一 动 点，点C关于直线O E的对称点为G,连接B G,请求出线段B G的最小值.专题09 一次函数与几何图形综合问题的五种类型类型一、面积问

11、题例 1.在平面直角坐标系x Oy 中，已知直线A B 与 x 轴交于A点(2,0)与 轴交于点8(0,1).(1)求直线A 8 的解析式；(2)点 M(-1,y i),N(3,)/2)在直线A 8 上，比较力与力的大小.(3)若 x 轴上有一点C,且SB IA B C=2,求点C的坐标【答案】y =-；x+l；y i g；(3)。(6,0)或(一2,0).【解析】(1)解：设直线AB 的解析式为)，=履+8 2k+b=0 10 A (2,0)B(0,1),回 ，解得：k=一一,b=1 2b=2回直线A B的解析式为y=x+1(2)叩-：x+l 中 k=-g y 2；(3)取轴上有一点 C,设

12、点 C(x,0),S A C=|2-x|,05BABC=2,X|2-x|x l =2,0/=-2 或乂=6,a c (-2,0)或 C (6,0).故答案为：(1)y =/Jv+l；(2)y i y 2；(3)C(6,0)或(-2,0).【变式训练I】已知一次函数y =履+2的图象与龙轴交于点8(-2,0),与正比例函数为=如 的图象交于点 A(l,a).(1)分别求3 m的值；(2)点。为x轴上一动点，如果AAbC的面积是6,请求出点C的坐标.【答案】(1)k=l,加=3；(2)点。的坐标为(2,0)或(-6,0)【解析】(1).一次函数%=+2的图象与x轴交于点8(-2,0),.-2 4+

13、2 =0:.k=-X=x+2一 次函数X =x +2的图象与正比例函数为=如 的图象交于点A(l,a),.,.a =1 +2,a=m,=(2)设点C的坐标为(,()，过点A作A。，x轴，垂足为点).AB C的面积是6,L|”-(-2)|X3=6,=2或 =-62 2.点。的坐标为(2,0)或(-6,0),或过点A作A D _ Lx轴，垂足为点。.A BC的面积是6,:.-B C A D =6,:.-B C x3 =6,.BC =4，2 2 点B的坐标为(2,0)，点C的坐标为(2,0)或(-6,0).【变式训练2】如图，在正方形A 8 C D中，A B =4,点P为线段。上的一个动点.设。尸=

14、x,由点A,B,C,P首尾顺次相接形成图形的面积为y .每用图(1)求 关于x的函数表达式及x的取值范围；(2)设(1)中函数图象的两个端点分别为M、N,且P为第一象限内位于直线右侧的一个动点，若 M N P正好构成一个等腰直角三角形，请求出满足条件的尸点坐标；(3)在(2)的条件下，若/为经过(1,0)且垂直于X轴的直线，。为/上的一个动点，使得工请直接写出符合条件的点。的坐标.【答案】(1)y=-2x+16,0 x 4；(2)(12,1 2)或(8,2 0)或(6,14)；(3)(-1,-2)或(-1,8)或(-1,3 8)或(-1,28)【解析】(1)由线段的和差，得PC=(4-x),由

15、梯形的面积公式，得片-2X+16,团四边形A8CD是正方形，EM8=CD=4,取的取值范围是0 x m),QN所在直线方程为y=kx+b,8+4 m 1把Q和N代入方程，求得b=-,则可求S映M产 孑|16-b|x4-(-1)=|36-2m|5 2当 P 为(12,1 2)时，5avwQ=40,0|36-2m|=4O；解得 m=-2 或 38,当 P(8,2 0),同理解得 m=-2 或 3 8,当 P(8,2 0),有 SMNQ=2 0,解得 m=8 或 28,综上，符合条件的Q的坐标为(-1,-2)或(-1,8)或(-1,3 8)或(-1,28).【变式训练3】如图，已知直线4：y=x+3

16、与过点A(3,0)的直线4交于点C(l,m),且与x轴交于点B,与y轴交于点D.(1)求直线4的解析式；(2)若点。关于X轴的对称点为P,求 回PBC的面积.【解析】(1)把 C(l,根)代入 y=x+3,得 l+3=m,1 3m=4,E)C(1,4)设4的解析式为：y=kx+b(后0),将点4c 的坐标代入，则 k+b-43k+b=0解得k=-2,回，2 的解析式为：y =-2 x+6p=6(2)当 y=0 时，x+3 =(),0 x =-3-0 5(-3,0),当 x=0 时，y=3,回 0(0,3),回点P、D关于x 轴对称，IS P(0,-3),如图，连接8 P,P C,设 P C 与

17、 x 轴的交点为Q,设直线PC的解析式为y =kx+b(k w 0),将点 C(L4),P(0,3)代入：k+h=4,c,解得1b=-3k=,r，团直线P C 的解析式为:b=-3=7 x 3,3令片0,解得x 二 7团 SVBPC=SVBQP+SyBQC=gB QgpP十万或 Qgy(=5 9 Q q O P+X)=2 X 7-=12.类型二、一次函数与平行四边形例 1.如图，在平面直角坐标系中，直线A 3 与X,y 轴分别交于点4(4,0),8(0,3),点c 是直线y=-x +54上的一个动点，连接BC.图1图2(1)求直线A 8 的函数解析式；(2)如图1,若 BCx 轴，求点C 到直

18、线A B 的距离；(3)如图2,点 E(l,0),点。是直线4 B 上的动点，试探索点CD,为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点C3 24 17 45 15 69【答案】(1)y=-：尤+3；(2)；(3)(,)(-X，gb=3【解析】(1)设直线A B 的表达式为丁 =依+则/一f。在运动过程中，是否存在以8,C,。的坐标；若不存在，请说明理由.1 45、1 21 17 45、)或(一于真)、(-)父)或(不，Z o Z o Z o31 7 _解得 4,3故 然 的 表达式为 尸 丁+3；(2)3C/X轴，故点C 的纵坐标为3,当 y=3时，即 y=。+5=3,解得x=4 5由点

19、A、3 的坐标得，AB=j32+42=5kb=3Q Q,即点C 的坐标为?，3),则 8C=；过点。作 C H _L A 3 于点H,x在附B C 中，B C x O B =-x A B x C H ,22iQi 9 4 2 4即:x?x 3 =：x 5 x C”，解得：C H=，即点C到直线4?的距离为一；2 5 2 2 5 2 5（3）设点C、。的坐标分别为（加,-3?+5）、（,-/?+3）,4 4当上 B是对角线时，1 7m =一5 3 2由中点坐标公式得：0 +1 =2+且3+0 =二6+5 +3,解得4 4 1 5几=-2故点C、D的坐标分别为（7 7 ,-孚）、（-7 7 学）；

20、2 8 2 81m=当 E C是对角线时，同理可得：加+1 =几且=5 m+5 =-=3 +3+3,解得，124 4 1=2故点C、O 的坐标分别为（一:，）、，V）；2 8 2 8当 初 是对角线时，同理可得:n+=m R 0 7?4-3=-w?+5 +3,解得 （彳，丫）或（K，一 T）、（：，-T）2 o 2 o 2 o 2 o 2 o 2 o【变式训练1】一次函数=女乂+1 （k x O）的图象过点P （-3,2）,与 x轴交于点4 与 y 轴交于点8.(1)求 A 的值及点4 8 的坐标;(2)已知点C(-L 0),若以A,B,C,。为顶点的四边形是平行四边形，的坐标.【答案】(1)

21、k=；,与 x 轴交于点A(3,0),与 y 轴交于点8(0,1)；D(-4,1).【解析】(1)将 P(-3,2)代入y=京+1(%。0),得：k=-函数表达式：y=-；x+l，令 y=0，x=3,令 x=0,y=l,请直接写出所有符合条件的点。(2)D(4,1)或 D(2,-1)或团与x 轴交于点A(3,0),与 y 轴交于点8(0,1)；(2)分三种情况：8 c 为对角线时，点。的坐标为L 4,1)；图AC为对角线时，点。的坐标为（2,-1）.【变式训练2】平面直角坐标系x O y中，直线小y =2 x +b与直线4：y =交于点P（2,m）.（1）求,b的值；（2）直线X=（0 0）与

22、直线4 ,，2分别交于M，N两点，当M N=3时，若以M,N,P,Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标.%1-t I 1 I 1 I 111111AO 1 x【答案】（1）T=1,6 =-3；（2）点。的坐标为（2,4）,（2,-2）或（6,6）【解析】田 直 线4：y =2 x +b与直线小 =3%交于点尸（2,加），m =4+b团 1im =x 22,团 2=L b=-3.（2）依题意可得直线小y=2 x-3t团宜线与y 轴的交点为（0,-3）团直线X=（W 0）与直线4,，2分别交于M，N两点，M N=3,0 A4,N不是y 轴上的点,设 M(x,2 x 5),则 N(x,

23、1-X2)由 MN=3,得(2 x-3)-x=3,解得 x=4,0/W(4,5),则 N (4,2)2团以M,N,P,Q 为顶点的四边形是平行四边形,当 MN为四边形M P N Q 的对角线时，的中点坐标为（4,3.5）故 P（2,l）、Q 关 于（4,3.5）对称，回点Q 的坐标为（6,6）,当 MN为四边形M N Q P 的一边时，M N=P Q=3,1 1 P Q与 y 轴平行，故点Q 的坐标为（2,4）或（2,-2）综上，点 Q 的坐标为（2,4）,（2,-2）或（6,6）.类型三、一次函数与等腰三角形例 1.一次函数的图像与x 轴、y 轴分别交于点A（6，0）,B（0,1）,以A B

24、 为边在第一象限内做等边附B C.（1）线段A B 的长是,08/40=。，点 C的坐标是；（2）如果在第二象限内有一点P （a,1）,试用含a 的代数式表示四边形A8 P。的面积.（3）在 y 轴上存在点M,使 回 M A 8 为等腰三角形，请直接写出点M 的坐标.3-2 -1 .I I I _111A-3-2 -1C 1 2 3 x-I-备用图【答案】（1）2,3 0,C（百，2）；（2）（3）（0,-1）或（0,3）2 2【解析】(1)v A(V3,0),5(0,1),在 RtAAOB 中，AB=2，2OB=AB,可 二/B A O =30，以A 3 为边在第一象限内做等边ZVIBC，：

25、.ZA C B 6 0,AB=A C，.NQ4C=90，C(百，2),故答案为 2,30,C(5 2)；(2)四边形A B PO 的面积=3 4 0 的面积+AO8P的面积=k g x l +k l x(a)=走,；2 2 2 2(3).AB=2，NB4O=3 0，；.N O B4=6 0，当 AB=8 M 时，3A/=2，.,”(0，T)或 (0,3)；当 AB=A 时，是等边三角形，与 3 关于x 轴对称，.M(0,-l)；当 9=A W 时，4 0 W是等边三角形，.与8 关于x 轴对称，.1(0,-1)；综上所述：A M 43为等腰三角形时，/点 坐标为(0,-1)或(0,3).【变式

26、训练1】如图一，已知直线/：y=-x +6 与x 轴交于点A,与 轴交于点5,直线机与v 轴交于点C(0,-2),与直线/交于点(1)求直线加的解析式；(2)如图二，点 p 在直线/上且在y 轴左侧，过点p 作 P Q/y 轴交直线加于点。，交工轴于点G,当StiPC G=2 SAG 求出尸，Q 两点的坐标；(3)将直线/：y=-x +6 向左平移12个单位得到直线交X轴于E 点，点/是 点 C 关于原点对称点.过点/作直线左/X 轴.点 M 在直线后上，写出以点C,E,M，为顶点且C E 为腰的等腰三角形，并把求其中一个点M 的坐标的过程写出来.3【答案】(1)直线m 的解析式为丁 =一无一

27、2；(2)P 点的坐标为(-10,16),Q 点坐标为(-10,-8)；(3)当 CE为腰时，点 M 的坐标为：M(2后，2)或 M(-26，2)或 M(0,2).过程见解析.【解析】(1)0D(t,1)在直线/：y=-x+6 上，01=-t+6,Elt=5,EID (5,1),设直线m的解析式为片kx+b,将点C,。代入得，5k+b=，解得，,o=-2,3k=5,b=-23所以，直线m的解析式为y=1 x 2；(2)设P(0,6-。)，1 3点P在x轴的左侧，0a 解得：a=2瓜或 a=-2屈，即 M(2后，2).M(-2 后，2),M=CE 时，a +6 f+22=62+22-解得，a=0

28、或a=-12(此时三点共线，不构成三角形，舍去)，即M(0,2),综上，当CE为腰时，点M的坐标为：M(2瓜,2)或M(-276.2)或M(0,2).【变式训练2】在如图的平面直角坐标系中，直线”过点A(0,-2),且与直线/交于点8(3,2),直线/与y轴交于点c.(1)求直线c的函数表达式；(2)若幽BC的面积为9,求点C的坐标；(3)若M 8C是等腰三角形，求直线/的函数表达式.4 1【答案】(1)y=-x-2；(2)C(0,4)或(0,-8)；(3)直线/的解析式为：y=-x+3 或 y=3x-74 7 9或 y=-x+6 或 y x+3 24 8【解析】(1)设直线n的解析式为：y=

29、kx+b,团直线：y=kx+b过点A(0,b=2-2)、点 B(3,2),回，,汽，解得:3 k+b=2回直线。的函数表达式为:4yx-2；3(2)0SABC的面积为9,1团9=AC3,EMC=6,2004=2,E)OC=6-2=4 或。C=6+2=8,fflC(0,4)或(0,-8)；(3)分四种情况：如 图1,当AB=AC时，M (0,-2),B(3,2),EMS=32 4-(2+2)2=5,IL4C=5,回OA=2,SOC=3,13c(0,3),设直线/的解析式为：y=mx+n,3 m+n=2把B(3,2)和C(0,3)代入得：，解得：n=3回直线/的函数表达式为：y-x+3；1m=3

30、=30C(0,-7),同理可得直线/的解析式为：y=3 x-7；4E1CD=AD=4,13c(0,6),同理可得直线/的解析式为：y=-x+6；如 图4,AC=BC,过点8作8D即 轴 于。，A C a,贝!J 8 c=a,C D=4 -a,2 5根据勾股定理得：B D2+C D2=B C2,0 32+(4-a)2=a2,解得：a=,82 5 9 9回。C=-2=，0 C (0,-),8 8 87 9同理可得直线/的解析式为：y=-x+；2 4 8,1 4 7 9综上，直线/的解析式为：y=-x+3或y=3 x -7或y=-x+6或y=x+-.3 3 2 4 8【变式训练3】如图，直线=4与x

31、轴交于点B,直线4经过点A(4,0),直线小 乙 交于点C(2,-3).(1)a=；点8的坐标为.(2)求直线4的解析表达式；(3)求 A BC的面积；(4)在直线，2上存在异于点。的另一点P，使得AAB P为等腰三角形，请直接写出P点的横坐标？【答案】(1)a=3 :(2)y=-x 6 ；(3)；(4),52_ 6/1 2 2 2 1 3 1 3【解析】(1)团直线4 ：=依-a经过点C(2,-3),3 =2 a a,解得：a=-3；即直线4 ：V =以 一。的解析式为，=-3 x +3；当 y=0 时，-3 x+3=0,解得x =l,则 6(1,0)；故答案为：-3,(1,0)；(2)设直

32、线4的解析式为：y =辰+仇/、0=4 k+b 3(3 经过点A(4,0)和点。(2,-3),时,解 得:k=B，b=-6.,j 乙 K u 乙3田直线6的解析式为：y =1x-6；1 9(3)设 AABC的面积的面积为S“ABC；则 4 5 =4-1 =3,AA B C的高为 3,则S.ABC=x 3 x 3 =；3(4)存在，设点P的坐标为(x,-X-6),分三种情况：24 +1 5 当 A P=8 P 时，点 P在线段A 8 的垂直平分线上，M(4,0),B(1,0),1 3 点 P的横坐标为：=一；2 2 当 A P=A B=3 时，过点P作 P H 0 X 轴丁点H,P H2+AH2

33、=AP2 0(-X-6)2+(4-X)2=32,解得2 1 3 当A B=B P=3时，作 PM取轴于点M,3?80 P M2+BM2=B P2-0(6-1 x)2+(l-x)2=32,解得 乂=工或 x=4 (舍去);综上，符合条件的P点的横坐标是士，.526拒2 1 3 1 3类型四、一次函数与直角三角形例1.如图，在平面直角坐标系中，函数y=x+2的图象与x轴，y轴分别交于点A,B,与函数y=；x+b的图象交于点C(-2,m).(1)求m和b的值；(2)函数y=-x+b的图象与x轴交于点D,点E从点D出发沿DA向，以每秒2个单位长度匀速运动到点M(到A停止运动)，设点E的运动时间为t秒.

34、当MCE的面积为12时，求t的值；在 点E运动过程中，是否存在t的值，使MCE为直角三角形？若存在，请求出t的值：若不存在，请说明理由.【答案】(1)m=4,；(2)t=5；t=4 或 t=6【解析】(1)团点C(-2,m)在直线y=-x+2上，0m=-(-2)+2=2+2=4,回 点 C(-2,4),1 1 ,14 14团函数y=-x+b的图象过点C(-2,4),0 4=-x (-2)+b,得6=一,即m的值是4,b的值是一；3 3 3 3(2)回函数y=-x+2的图象与x轴，y轴分别交于点A,B,0点A(2,0),点8(0,2),1 14回函数y=1 x+的图象与x轴交于点。，回点D的坐标

35、为(-14,0),EMD=16,GEMCE的面积为12,B(16-2t)x4-r2=12,解得，t=5.即当MCE的面积为12时，t的值是5；当t=4或t=6时，射CE是直角三角形，理由：当EMCE=90。时，AC0CE,团 点 A(2,0),点、B(0,2),点 C(-2,4),点。(-14,0),004=08,AC=4五，008-40=45,02CAE=45,EBCEA=45,12cA=CE=40，B4=8,EWE=16-2t,08=16-23 解得，t=4；当I3CA=9CH时，M C=4 0,0CAE=45,EME=4,M E=1 6-2 t,回4=16-23 解得，t=6；由上可得，

36、当t=4或t=6时，MCE是直角三角形.【变式训练1】如图1,在菱形A 6 C D中，Z ABC=6 0,对角线AC、8 D交 于 点P从8点出发，沿B-）C方向匀速运动，P点运动速度为l c m/s.图2是点p运动时，回（?的面积N c n?）随p点运动时间x（s）变化的函数图像.（1）A B=cm,a=；（2）P点在8上运动时，x为何值时，四边形A O C F的面积为:石；（3）在P点运动过程中，是否存在某一时刻使得A P8为直角三角形，若存在，求x的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2,7 3：（2）逑；（3）存在，G或 逑 或26+13 3【解析】（1）在菱形A B C D中，Z

37、 A BC =6 0,则A A BC、A A C D为全等的两个等边三角形，设A A BC的边长为。，则其面积 为 走 后,4由图2知，当点尸在点A时，、=机（7的面积=6=且。2,解得。=2 （负值已舍去），4即菱形的边长为2,则A B =2（cm）,由题意知，点P与点。重合时，对于图2的a所在的位置,则4。=1,故/一。6-桢=5故答案为2,石;（2）由（1）知点P在8 0段运动时，对于图2第一段直线，而该直线过点（0,6）、（石，0），设其对应的函数表达式为丁 =丘+/,则卜 二 ，解得 一 反+r =0 r =，3故该段函数的表达式为y=-x +百,当点尸在5。上运动时，四边形A D

38、C尸的面积为36,则点P只能在8。上则四边形ADCP 的面积+即 百-x +石解得=2叵3 3 3（3）存在，理由：山（1）知，菱形的边长为2,则52=6，AO =1，过点A作 A V ，力。于点P交BD 于点、P ，-3 -2 -1 0 1 2 3 4 x【答案】(1)y=2 x-2；(2)(2,2)；(3)(2,0)或(4,0).【解析】（1）根据题意，得 y=2 x 2；故答案为：y=2x-2.（2）由题意得：,y=2 x-21 .解得：y=x+32x=2c，图点A的坐标为（2,2）；3=2当。4=0 P时，户点坐标为（4,0）,当。P=A P时，P 点坐标为（2,0）,综上，P 点的坐

39、标为：（2,0）或（4,0）.类型五、最值问题3例 1.如图，将直线y=向上平移后经过点A（4,3）,分别交x 轴 y 轴于点8、C.（1）求 直 线 的 函 数 表 达 式；（2）点 P 为 直 线 上 一 动 点，连接O P.问：线段O P 的长是否存在最小值？若存在，求出线段O P 的最小值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）y=x +6；（2）存在，线段O P 的最小值为4.8.3/、3【解析】（1）设平移后的直线5 c的解析式为y=j x+0，代入A（4,3）得3=；x4 +b,解得匕=6团直线6 c的解析式为y=x +6；4（2）存在，理由如下：令x=0,得y=6,I3C（0,6

40、）,故。C=6令 y=0,得 x=8,回8（8,0）故。8=8回8C=病荐=（）团。甩BC时，线段O P最小，S&MBC=-BOXCO-BCXO P,回0八 8 0 x 0 9=4 8,即线段。尸的最小值为 4.8.2 2 BC【变式训练1】如图，四边形。钻C是张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点。与坐标原点重合，点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，OC=5,点E在 边 上.顶点C恰好落在M N上，并与M N上的点G重合.求 点G、点E的坐标；若直线/：y=m r+平行于直线0 E,且与长方形A B M N有公共点，请直接写出。的取值范围.（2）若点E为8 c上的一动点，点C关于直线Q E的对称点为G,连接8 G,请求出线段8 G的最小值.【答案】（1）G（3,4）,F（1,5）；（2）-15n-4；（2）5 0-5【解析】（1）由折叠的性质可知，0G=0C=5,由勾股定理得，GN=d o G _ O N?=抬32=4，回点G的坐标为（3,4）；设CE=x,则EM=3-x,由折叠的性质可知：EG=CE=X,12GN=4,13GM=5-4=1,25在 RtfflEMG 中，E G2=E M2+M G2 OB-OG,团当。、8、G三点共线时，8G取得最小值，138G的最小值为5a-5