2022-2023学年浙江七年级上学期数学重难题型全归纳及技巧提升专项（浙教版）专题02数轴中的动点问题专项讲练（解析版）.pdf

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1、专题0 2数轴中的动点问题专项讲练数轴动点问题本学期必考压轴题型，是高分考生必须要攻克的一块内容，对考生的综合素养要求较高。【解题技巧】数轴动点问题主要步骤：画图在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度；写点写出所有点表示的数：一般用含有/的代数式表示，向右运动用“+”表示，向左运动用表示;表示距离右一左，若无法判定两点的左右需加绝对值；列式求解根据条件列方程或代数式，求值。注意：要注意动点是否会来回往返运动。题型1.单动点问题例1.（20 22河北石家庄七年级期末）如图，已知A,B（B在4的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为8,且A B=12,动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿

2、数轴向左运动，在点P的运动过程中，M,N始终为AP,的中点，设运动时间为r（，0）秒，则下列结论中正确的有（）B N+P M A -_ t_*_.:4 对应的数星一4：点尸到达点8时，t=6；BP0 8=2时，=5；在点尸的运动过程中，线段M N的长度不变A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C【分析】根据两点间距离进行计算即可：利用路程除以速度即可；分两种情况，点P在点B的右侧，点户在点3的左侧，由题意求出4 P的长，再利用路程除以速度即可；分两种情况，点P在点8的右侧，点P在点B的左侧，利用线段的中点性质进行计算即可.【详解】解：设点8对应的数是x,点A对应的数为8,且AB=12,

3、.8-尸12,.户4 二点B对应的数是4 故正确；由题意得：12+2=6（秒），点P到达点8时，t=6,故正确；分两种情况：当点P在点B的右侧时，：A8=12,BP=2,：.AP=AB-BP=l2-2=0,.10+2=5（秒），；.8P=2 时，/=5,当点 P 在点 8 的左侧时，；48=12,BP=2,.4P=AB+8P=12+2=14,/.144-2=7（秒），,BP=2时，/=7,综上所述，8尸=2时，/=5或7,故错误；分两种情况：当点P 在点B 的右侧时，：M,N 分别为 AP,3P 的中点，：.MP=AP,NP=BP，：.MN=MP+NP=!AP+!BP=2 4B=g x 12=

4、6,2 2 2 2当点P 在点8 的左侧时，N分别为AP,B P的中点，MP=TAP,NP=BP,：.MN=MP-NP=|AP-g BP=g g x 12=6,在点P 的运动过程中，线段MN的长度不变，故正确：所以，上列结论中正确的有3 个，故选：C.【点睛】本题考查了数轴，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键.变 式 1.（2022 全国七年级课时练习）如图，在数轴上有A,8 两 点（点 8 在点A 的右边），点 C 是数轴上不与A,8 两点重合的一个动点，点 M、N 分别是线段AC,8 c 的中点，如果点4 表示数。，点 8 表示数。，求线段MN的长度.下列关于甲、乙、丙的说法判断

5、正确的是（）甲说：若点C 在线段AB上运动时，线段MN的长度为:s-a）；乙说：若点C 在射线AB上运动时，线段MN的长度为g（。-加；2丙说：若点C 在射线8A上运动时，线段MN的长度为g（4+A）.二 J *A.只有甲正确 B.只有乙正确 C.只有丙正确D.三人均不正确【答案】A【分析】分别求得点C 在 线 段 上 运 动 时，点 C 在射线A 8上运动时和点C 在射线BA上运动时，线段MN的长度，判定即可.【详解】解：点 C 在线段AB上运动时，如下图：4 M C N BMN=LA C+1B C=LA B=L 3-“）甲说法正确；2 2 2 2当点C 在射线A 8 上.运动时，如下图:A

6、MB N CM N =A C _，B C =，A B =，S _ a)乙说法不正确；2 2 2 2当点C在射线B A上运动时，如下图：C M&N B.M N =-B C-A C =-A B =-(b-a)i E 故选 A2 2 2 2【点睛】此题考查数轴上的动点以及两点之间的距离，解题的关键是对点C的位置进行分类讨论分别求解.题型2.单动点问题(规律变化)例2.(2 0 2 1 浙江温州七年级期中)如图，在数轴上，点A表 示-4,点8表示-1,点C表示8,P是数轴上的一个点.A B C-1 -(1)求点4与点C的距离.若P B表示点尸与点B之间的距离，-4-1 8P C表示点尸与点C之间的距离

7、，当点尸满足尸8=2 P C时，请求出在数轴上点尸表示的数.(3)动点尸从点8开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动2个单位长度，第三次向左移动3个单位长度，第四次向右移动4个单位长度,依此类推在这个移动过程中，当点P满足P C=2 P A时,则点P移动 次.【答案】(1)1 2(2)1 7或5(3)2或2 9【分析】(1)根据两点间的距离公式可得A与C的距离；(2)设点P表示的数是x,根据题意列出方程，再解方程即可；(3)设点P表示的数是x,根据题意列出方程可得x=T 6或0,再根据点尸的移动规律可得答案.解：A C=|8-(-4)|n2,故答案为：1 2；(2)解：设点P表示的数是

8、x,则尸8=|x+l|,P C=|x-8|,.|x+l|=2|x -8|,解得 x=1 7 或 5；(3)解：设点尸表示的数是X,则 以=|x+4|,P C=|x-8|,，仅-8|=2|x+4|,解得 x=-1 6 或 0,根据点P的移动规律，它到达的数字分别是-2,0,-3,1,-4,2,-5,3.它移动奇数次到达的数是从-2开始连续的负整数，故移动到-1 6需2 9次，移动到0需2次.故答案为：2或2 9.【点睛】本题主要考查数字的变化类、实数在数轴上对应的点、数轴上两点间的距离，熟练掌握绝对值的性质、实数在数轴上对应的点、数轴上两点间的距离是解决本题的关键.变式2.（2 0 2 1浙江嘉

9、兴七年级期末）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长度，x“表示第秒时机器人在数轴上的位置所对应的数.给出F列结论：3=3;工5=1；Xios V Xm；W ow X,oj o.其中，正确 结 论 的 序 号 是.【答案】【分析 前进3步后退2步”这5秒组成一个循环结构，先根据题意列出几组数据，从数据找寻规律：第一个循环节结束的数即X5=l,第二个循环节结束的数即XK）=2,第三个循环节结束的数即X G=3,，第m个循环节结束的数就是第5m个数，即X5 m=m.然后再根据“前进3步后退2步 的运动规律来

10、求取对应的数值.【详解】根据题意可知：Xl=l ,X2=2,X3=3,X4=2,X5=l,X6=2,X7=3,X8=4,X9=3,Xio=2,X|=3,X|2=4.X|3=5,X1 4=4,X|5=3,.由上列举知正确，符合题意：由上可知：第一个循环节结束的数即X5=l,第二个循环节结束的数即x io=2,第三个循环节结束的数即X1 5=3.即第m个循环节结束的数即X5 m=m.Vx ioo=2 O,.*.x ioi=2 1,x 1 0 2=2 2,XIO3=2 3,XI（M=2 2,VXIO5=2 1 ,.x i（）6=2 2,xIO7=2 3,x ios=2 4故XK）8X 3,故错误，不

11、合题意；X2 0 l5=4 0 3,.，.X2 O I6=4 O 4,X2 O I 7=4 0 5,X2 0 1 8=4 0 6,X2 O I9=4 O 5,X2 O 2 O=4 O 4,故X2 3 9 X2 0 2 0,故正确.符合题意.故答案为：.【点睛】本题考查了规律型数字的变化类，主要考查了数轴，要注意数轴上点的移动规律是“左减右加”.把数和点对应起来，也就是把“数 和 形 结合起 来.前 进3步后退2步”这5秒组成一个循环结构，让n+5看余数，余数是几，那么第n秒时就是循环节中对应的第几个数.题型3.双动点问题（匀速）例3.（20 21 陕西 西安铁一中滨河学校七年级期中）如图：在数

12、轴上A点表示数m 3点表示数4 C点表示数 c,且 ，。满足|。+3|+（b-9）2=0,c=.（1）a=,h=；（2）点P为数轴上一动点，其对应的数为x,则当x 时，代数式l x-o l-l x-例取得最大值，最大值为；(3)点尸从点A 处 以 1个单位/秒的速度向左运动；同时点。从点B 处以2 个单位/秒的速度也向左运动，在点。到达点C后，以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为f(二8)秒，求第几秒时，点 尸、。之间的距离是点B、Q 之间距离的2 倍？4 Q _A 答案(1 )-3.9；(2)9,12；(3)-秒或义秒.【分析】(1)由|+3|+(Z?-9)2=0,根据非负数的性质得

13、|a+3|=0,(b-9)2=0,即可求出a-3、b=9；(2)由(1)得 a=-3、=9,则代数式|x-a|-|x-即代数式|x+3|-|x-9|,按 x -3、-3r9分类讨论，分别求出相应的代数式的值或范围，再确定代数式的最大值：(3)先由点C 表示的数是1,点 8 表示的数是9,计算出8、C 两点之间的距离，确定f 的取值范围，再按t 的不同取值范围分别求出相应的t 的值即可.【详解】解：V|a+3|0,(6-9)2 0,且|。+3|+(1-9)2=0,.|a+3|=0,(。-9)2=0,：.a=-3,b=9,故答案为：-3,9.(2).a-3,b=9,.,代数式|x-即代数式|x+3

14、|-|x-9|,当 x V-3 时，W+3|-|x-9|=-(x+3)-(9-x)=-12；当-3%9 时，卜+3|-|x-9|=x+3-(9-x)=2x-6,V-122x-612,-12|x+3|-|x-9|9,12.(3)点C 表示的数是1,点 B 表示的数是9,.8、C 两点之间的距离是9-1=8,当点。与点C 重合时，则 2f=8,解得f=4,当 0 出4 时，如 图 1,点 F 表示的数是-3-f,点。表示的数是9-2/,12根据题意得9-2/-(-3-r)=2 x 2/,解得/=二；当 4 正8 时，如图2,点尸表示的数仍是-3-7,V1+(2 r-8)=2 f-7,.点。表示的数

15、是 2f-7,根据题意得2f-7-(-3 7)=2(1 6-2 0,解得才=,综上所述，第，秒或第半秒，点 P、Q 之间的距离是点B、。之间距离的2 倍.P A C O B-1-1 1 ，J 1 i-i-1-3 0 1-9图2P A C Q B1 1 W6 i 9 1 点睛本题考查数轴、数轴上两点间的图 1距离，一元一次方程的应用、绝对值的几何意义等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键.变式3.(20 22.辽宁沈阳七年级期末)已知数轴上有A,B,C 三个点，分别表示有理数-2,4,6.画出数轴，并用数轴上的点表示点A,点 B,点 C；(2)动点尸从点C 出发，以每秒4 个单位长

16、度的速度沿数轴向数轴负方向运动，到达点A 后立即以每秒2 个单位长度的速度沿数轴返回到点C,到达点C 后停止运动，设运动时间为/秒.当f=l 时，必 的 长为 个单位长度，尸 8 的长为 个单位长度，PC的长为个单位长度；在点P 的运动过程中，若 R4+P8+PC=9个单位长度，则请直接写出f 的值为。【答案】(1)见解析；1 3 Q 11(2)4,2,4；;或=或!或=4 4 2 2【分析】(I)根据题意画出数轴即可；(2)先求出当，=1时，P 点表示的数为6-4=2,然后根据数轴上两点距离公式求解即可；分当P 从 C向4 运动和当P 从 A 向 C 运动两种情况讨论求解即可.(1)解：如图

17、所示，即为所求；4_A(2)解：当，=1时，尸点表示的数为6-4=2,6/.PA=2-(-2)=4,抬=4 2=2,PC=6 2=4,故答案为：4、2、4；当P 从 C 向A 运动，0 Y 0.5 时，%=6-4，+2,PB=6-4 r-4,PC=4r,PA+PB+PC=9,6-4r+2+6-4 r-4+4 r=9,解得r=一；4当尸从C 向A 运动，0.5v，S2时，P4=6 4f+2,PB=4-6 +4r,PC=4r,3V PA-PB+PC=9,6 4，+2+4 6+4，+41=9,解得t=一；当 P 从 A 向 C运动时，当2 Y 5 时,PA=2+2-2）+2=2/-4,PB=4-2+

18、2（r-2）=10-2r,PC=6-2+2（r-2）=12-2r,9V PA+PB+PC=9,：.2/-4+10-2r+12-2r=9,解得r=-；2当 P 从 A 向 C 运动时，当5/W 6时，PA=2 f-4,PB=2t-lO.PC=12-2t,V PA+PB+PC=9,：.2r-4+2r-10+12-2r=9,解得/=?：1 Q Q 1 1综上所述，f 的值为;或;或2 或【点睛】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，数轴上的动点问题，解题的关键在于能够正确理解题意，利用分类讨论的思想求解.题型4.双动点问题（变速）例 4.（20 21.江苏.无锡市江南中学七年级期中）已知

19、点O 是数轴的原点，点 4、B、C 在数轴上对应的数分别是-12、c,且 从 c 满 足（h-9）2+匕-15|=0,动点P 从点A 出发以2 单位/秒的速度向右运动，同时点。从点C 出发，以 1个单位/秒速度向左运动，0、B 两点之间为“变速区”，规则为从点。运动到点8期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B 运动到点。期间速度变为原来的3 倍，之后立刻恢复原速，运动时间为 秒时，P、。两点到点B 的距离相等.【答案】或 30【分析】利用已知条件先求出B、C 在数轴表示的数，根据不同时间段，通过讨论P、。点的不同位置，找到对应的边长关系，列出关于f 的方程，进行求解即可.【详解】；S

20、-9）2+|c-15|=0,.-9=0,c-15=0,：.b=9,c=15,8表示的数是9,C 表示的数是15,当0 WE6时，尸在线段。4 上，。在线段8 c 上，此时不存在尸、Q 两点到点3 的距离相等；当6 1 5 时，P 在射线BC上，Q 在射线04 上，P 表示的数为9+2（7-15）,Q 表示的数是-（9）,.2、Q 两点到点5 的距离相等只需9+2（L 15）-9=9-（-（r-9）,解得f=30,33综上所述，P、。两点到点5 的距离相等，运动时间为q 秒或30 秒，故答案为：下 或3 0.4【点睛】本题主要是考查了数轴上的动点问题，熟练地通过动点在不同时间段的运动，进行分类讨

21、论，找到等量关系，列出关于时间，的方程，并进行求解，这是解决这类问题的上要思路.变式4.（2 0 2 1 .四川绵阳七年级期中）已知为常数，且关于x、y的多项式（-2 0/+以7+-（bx2+2x+6y-3）的值与字母x取值无关，其中、分别为点A、点8在数轴上表示的数，如图所示.动点E、F分别从A、B同时开始运动，点E以每秒6个单位向左运动，点F以每秒2个单位向右运动，设运动时间为f秒.（1）求 小6的值；（2）请用含f的代数式表示点E在数轴上对应的数为：，点尸在数轴上对应的数为：.（3）当E、尸相遇后，点E继续保持向左运动，点尸在原地停留4秒后向左运动且速度变为原来的5倍.在整个运动过程中，

22、当E、尸之间的距离为2个单位时，求运动时间f的 值（不必写过程）.-g Q-【答案】（l）a=1 2,b=-2 0；（2）1 2-6 r,-2 0+2 r；（3）?1 5-秒-或-91 3 秒92 7 秒或92 9秒4 3 2 2【分析】（1）由题意根据关于无、y的多项式（-2 0戈2+办 一），+2）-（bx2+2x+6y-3）的值与字母x取值无关，即可求出。、b；（2）由题意根据点E、尸的运动方向和速度可得解；（3）根据题意分相遇前和相遇后两种情况，然后正确列出方程进行分析计算即可.【详解】解：（1）I关于x、y的多项式（-2 0/+办-y+1 2）-（加：2+1 2 r+6 y -3）的

23、值与字母x取值无关，:.（-2 0/+a r-y+1 2）-（bx2+1 2 x+6 y -3）=-20 x2+ax-y+1 2 -bx2-2x-6 y+3）=（-2 0 -f t）x2+（a-1 2）x-7y+1 5,；-2 0 -b=0 或。-1 2=0,解得 b=-2 0,a=1 2；（2）设运动时间为f秒.（3）由题意得：点E在数轴上对应的数为：1 2-6八点/在数轴上对应的数为：-2 0+2/，故答案为：1 2-6 f,-2 0+2/；（3）设当E、尸之间的距离为2个单位时，运动时间为/秒，相遇前：1 2 -6 f -2 0+2/+2,解得：f=;4相遇后：E、b相遇的时间为：（2

24、0+1 2）+（2+6）=4 （秒），相遇点为-2 0+2 x 4=-1 2,1 3点尸在原地停留4秒时，6 （/-4）=2,解得：，=7；由题意得：当 区F相遇后，点 在数轴上对应的数为：1 2-6 f,点F在数轴上对应的数为：-1 2-2 x 5(7-4-4)=6 8 -1 0 r.当E在尸左侧时，6 8 -1 0 r-(1 2-6 r)=2,解得：t=；当 E在 F右侧时，1 2-6 r-(6 8 -1 0 r)=2,解得：t=.答：当 E、尸之间的距离为2个单位时，运动时间为91 5 秒 或1 3 杪2一7 秒 或29秒4 3 2 2【点睛】本题考查数轴和一元一次方程的应用，能根据题意

25、列出代数式和方程是解答此题的关键.题型5.多动点问题例5.(2 0 2 2福建 厦门市金鸡亭中学七年级期中)己知数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b,且满足|a+3|+(b 9产=0,0 为原点；-1-(l)a=,b=.(2)若点Co.从O点出发向右运动，经过3秒后点C到A点的距离等于点C到B点距离，求点C的运动速度？(结合数轴，进行分析.)(3)若点D以2个单位每秒的速度从点O向右运动，同时点P从点A出发以3个单位每秒的速度向左运动，点Q从点B出发，以6个单位每秒的速度向右运动.在运动过程中,M、N分别为P D、OQ的中点，问，二的值是否发生变化，请说明理由.(注：P D指的是点P与D之间

26、的线段，而算式P Q-O D指线段P Q与O D长度的差.类似的，其它的两个大写字母写在一起时意义一样.【答案】(1)-3、9；(2)点C的速度为每秒1个单位长度；(3)PQ口的值没有发生变化,理由见解析.【分析】(1)根据几个非负数的和为0,则每一个数都是0,建立关于a、b的方程即可求出a、b的值；(2)根据点C从O点出发向右运动，经过3秒后点C到A点的距离等于点C到B点距离，可表示C 4 =|x+3 ,C B =|x-9|,再由C A=C B建立关于x的方程求解即可：(3)根据点的运动速度和方向，分别用含t的代数式表示点D、P、Q、M、N对应的数，再分别求出P Q、O D、MN的长，然后求

27、出笔瓷的值为常量，即可得出结论.【详解】(1)V|a+3|+(b-9)2=0,，a+3=0,b-9=0,解得 a=-3,b=9；(2)设3秒后点C对应的数为x,则C 4 =|x+3 ,C f i =|x-9|,；CA=CB,.|x+3|=|x-9|,当x+3=x-9,无解；当x+3=-（x-9）,解得x=3,此时点C 的速度为3+3=1个单位每秒,点C 的速度为每秒1个单位长度；（3）望段的值没有发生变化，理由如下：设运动时间为I 秒，MN则点D 对应的数为2t；点 P对应的数为-3-3t；点 Q 对应的数为9+6t；点 M 对应的数为-l.5-0.5t；点 N 对应的数为4.5+3t；则 P

28、Q=9t+12,OD=2t,MN=3.5t+6,.PQ-OD 7r+12_cMN-3.5r+6-为定值,即普&的值没有发生变化.【点睛】本题考查列代数式和一元一次方程的应用，解题关键是根据数轴表示的数正确列出代数式.变式5.（20 21剑阁县公兴初级中学校七年级月考）已知：b 是最小的正整数，且 a、b 满 足（c-6）2+|a+b|=0,请回答问题（I）请直接写出a、b、c 的 值.a=,b=,c=.（2）a、b、c 所对应的点分别为A、B、C,点 P 为一动点，其对应的数为x,点 P 在 A、B 之间运动时，请化简式子：|x+lHx-2|x+5|（请写出化简过程）-A 5 C（3）在（1）

29、的条件下，数轴上的A,B,M 表示的数为a,b,y,是否存在点M,使得点M 到点A,点 B 的距离之和为5?若存在，请求出y 的值；若不存在，请说明理由.（4）在（1）（2）的条件下，点 A、B、C 开始在数轴上运动，若点A 以每秒n（n0）个单位长度的速度向左运动，同时，点 B 和点C 分别以每秒2n个单位长度和5n个单位长度的速度向右运动，假设经过t 秒钟过后，若点B 与点C 之间的距离表示为B C,点 A 与点B 之间的距离表示为A B.请问：BC-AB的值是否随着时间t 的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值.【答案】（1）-1、1、6；（2）-10 ；（3）存在，y=2.

30、5 或 y=-2.5；（4）值不变，BC-AB=3.【分析】（1）据最小正整数的意义和非负数的性质作答；（2）先去绝对值号，再去括号，最后合并即可；（3）据绝对值的性质用y 表示出点M 到点A,点 B 的距离之和，再令其等于5,列方程求解；（4）结合题意，用 t 和 n 表示出BC-AB再化简即可判断.【详解】解：（1）由b 是最小正整数得b=l；由（c-6）2+|a+b|=0 得 c-6=0 和 a+b=0,解之得 c=6,a=-l.故 a=-l,b=l,c=6.(2);点 P 在 A、B 之 间 运 动.,.-l x 0,x-l0二|x+l|-|x-l|-2|x+5|=(x+l)-(l-x

31、)-2(x+5)=x+1-1+x-2x-10=-10.(3)由题意知A B=2,所以M 不可能在AB之间，下面讨论M 在 A B之外的情况第一种情况，当 M 在 A 点左侧时 由 MA+MB=MA+MA+AB=5,得 MA=1.5/.|y-(-l)|=1.5 且 y-l.y=2.5；故存在这样的点 M,对应的 y=2.5 或 y=-2.5.(4)如下图A A1 B1 B c1 C“o-用 贝、B c1-1 1 6分别表示A、B、C 的初始位置由题意得，当 t 秒时，AA=nt,BB=2nt,CC=5nt/.AB=A-3-2-1 0 1 2 3 如图2,M,N 为数轴上两点，点 M 所表示的数为

32、-7,点 N图1所表示的数为2.N、_二一2 一立*2j4 j 一 A 点 E,F,G 表示的数图分别是-3,6.5,1 1,其中是美好点的是；写出I M M 美好点”所表示的数是.（2）现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动.当f为何值时，点P恰好为M和N的美好点？【答案】（1）G,-4或-1 6；1.5或3或9【分析】（1）根据美好点的定义，结合图2,直观考察点E,F,G到点M,N的距离，只有点G符合条件.结合图2,根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化.（2）根据美好点的定义，分情况分别确定P点的

33、位置，进而可确定r的值.【详解】解：（1）根据美好点的定义，结合图2,直观考察点E,F,G到点M,N的距离，只有点G符合条件，故答案是：G.结合图2,根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，点N的右侧不存在满足条件的点，点 例 和N之间靠近点M一侧应该有满足条件的点，进而可以确定-4符合条件.点M的左侧距离点M的距离等于点M和点N的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是-1 6.故答案是：-4或-1 6.（2）根据美好点的定义，P,M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况，第一情况：当 尸 为【M,N 的美好点，点P在M,N之间，如图1,M P.O N 当M

34、P=2 P N时，P N=3,点P对应的数为2-3=-1,因此片1.5秒；图1第二种情况，当 P 为 N,的美好点，点尸在M,N 之 间,如图2,-J -以 P2 N 当2 P M=P N时，NP=6,点尸对应的数为2-6=4 因此r=3秒；图2第三种情况，P 为 N,M的美好点，点P在M左侧，如图3,-P3 M O N 当P N=2 M N时，N片1 8,点P对应的数为2-1 8=1 6,因此片9秒；图3综上所述，f的值为：1.5或3或9.【点睛】本题考查实数与数轴、美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目.变式6.（2 02 2 全国七年级专题练

35、习）“幸福是奋斗出来的“，在数轴上，若C到4的距离刚好是3,则C点叫做A的“幸福点”，若C到A、B的距离之和为6,则C叫做A、B的“幸福中心”.一 b N M-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5&，2 二 8 f i/图1图2A B C P-3-2-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9(1)如 图 I,点A表示的数为-1,则A的幸福点C所图3表 示 的 数 应 该 是:(2)如图2,M、N 为数轴上两点，点 M所表示的数为4,点 N 所表示的数为-2,点 C就是例、N 的幸福中心，则 C所 表 示 的 数 可 以 是 (填一个即可)；(3)如图3,A、B、尸为数轴上三点，点A所表示的

36、数为-1,点 8所表示的数为4,点 P所表示的数为8,现有一只电子蚂蚁从点P出发，以2个单位每秒的速7度向左运动，二秒时，电子蚂蚁是A和 8的幸福中心吗？请说明理由.47【答案】(1)-4 或 2；(2)。所表示的数可以是-2 或 1 或 0 或 1 或 2或 3 或 4(答案不唯一)；(3)当经过:4秒时，电子蚂蚁是A和 3的幸福中心.【分析】(1)根据幸福点的定义即可求解；(2)根据幸福中心的定义即可求解；(3)根据幸福中心的定义即可求解.【详解】解：(1)A的幸福点C所表示的数应该是-1-3=4 或-1+3=2；故答案为：-4 或 2；(2)V 4-(-2)=6,：.M,N 之间的所有数

37、都是M,N 的幸福中心.故 C所表示的数可以是-2 或-1 或。或 1 或 2或 3或 4 (答案不唯一)；(3)经过一秒时，电子蚂蚁是4和 8的幸福中心，理由是：47 78-2 x-4+(8-2 x 1)=6,4 47故当经 过;秒时，电子蚂蚁是A和 3的幸福中心.4【点睛】本题考查了数轴及数轴上两点的距离、动点问题，熟练掌握动点中三个量的数量关系式：路程=时间X 速度，认真理解新定义.课后专项训练：1.(2 0 2 2 全国七年级专题练习)已知数轴上有三点A,B,C 分别表示有理数-2 6,-1 0,1 0,动点P 从点A出发，以1 个单位长度/S 的速度向终点C 移动，设点户移动时间为A

38、 P B C (1)用含r 的代数式表示点P 分别到点A和点C 的距离：P A=_,i I i i)-2 6-1 0 0 1 0PC=.(2)当点P 运动到点B 时，点。从点A出发，以3 个单位长度/s的速度向点C 运动，点。到达点C 后，再立即以同样的速度返回，当点尸运动到点C 时;两点运动停止.当点P,。运动停止时，求点尸，。间的距离.【答案】(1)t,3 6-/；(2)2 4【分析】(1)根据数轴上两点的距离即可求得答案；(2)先求得点户从8点到C 点的时间，进而求得点。运动2 0 s的路程，根据题意确定Q的位置，进而求得RQ的距离【详解】(1)PA =t,P C =36-1故答案为：t

39、,36 t；(2)解：点P 从B点到C 点的时间为2 0+1 =2 0 s点Q运动2 0 s的路程为3 x2 0 =60点、P，。距离为 60-(2 6+1 0)=2 4答：点P,Q距离为2 4【点睛】本题考查了数轴上两点距离，数轴上动点问题，数形结合是解题的关键.2.(2 0 2 1 北京四中七年级期中)我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点A,B,若数轴上存在一点使得点M 到点A的距离等于点M 到点B的距离，则称点历为点A与点B的中点.解答以下问题：(1)若点A表示的数为-5,点 A与点8的中点表示的数为1,则点B表 示 的 数 为；(2)点 A表示的数为-5,点 C,力表示的数分别是-3

40、,-1,点。为数轴原点，点 8为线段C O 上一点.设点M 表示的数为，若点M 为点A与点B的中点，则”的 取 值 范 围 是：当点尸从点A出发以每秒1 个单位长度的速度向正半轴方向移动，同时点。从 点 C 出发以每秒3个单位长度的速度向正半轴方向移动;若经过f(f N O)秒，点P 与点。的中点在线段。上，则f 的 取 值 范 围 是.【答案】(1)7；(2)-4 4 机4一：；C 6 或=02【分析】(1)根据中点的定义进行解答即可；(2)得出点B的范围，再得出m的取值范围即可：由题意得：点 尸表示的数为-5 +乙 点。表示的数为-3 +3,，则点尸与点。的中点表示的数为:-5 +（-1）

41、=_3，再分。点超过。点和没有超过。点两种情况讨论求解即可.2 2【详解】解：（1）设点3表示的数为达由题意得二解得x=7,.点B表示的数为7：故答案为：7：（2）设点B表示的数为，则-3 V b 0,;点A表示的数为一5,点M可以为点A与点B的中点，-8 4-5 +64-5,的取值范围为：,故答案为：-4 m ；2由题意得：点P表示的数为-5+，点。表示的数为-3+3 f,.点P与点。的中点表示的数为：-5 +r +（T）_3,2 2 点P与点。的中点在线段。上，当点Q没有运动超过0点时，3 +3/W 3 6综上所述，当壮6或f =0时，点尸与点力的中点在线段O Q上.故答案为：d6或r =

42、0.【点睛】本题考查了有理数与数轴，掌握数轴上点的表示方法，数轴上的动点问题，以及两点的中点表示方法是解题的关键.3.（2021山东滨州七年级期中）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3 个单位长度，再向左移动 5 个单位长度，可以看出，终点表示的数是-2.参照图中所给的信息，完成填空：已知4,8 都是数轴上的点.,K N ,-3-2-1 0 1 2 3 4（1）若点A 表示数-3,将点A 向右移动5 个单位长度至点A，则点A 表 示 的 数 是;（2）若点B 表示数2.5,将点B 先向左移动7 个单位长度，再向右移动个单位长度至点C,则点C 表示的数是;（3）在（2）的条件下点B 以每

43、秒2 个单位长度沿数轴向左运动，点 C 以每秒2 个单位长度沿数轴向右运动，当点2 运动到-5.5所在的点处时，则 8、C 两 点 间 距 离 为；【答案】（1）2；（2）0；（3）13.5【分析】（1）根据数轴上点向右平移加，向左平移减，可得点A 表示的数：（2）根据数轴上点向右平移加，向左平移减，可得点C 表示的数；（3）根据点B 运动的距离和速度求出时间，然后求出此时点C 表示的数，即可求出3、C 两点间距离.【详解】解：（1）点4 表示数-3,将点4 向右移动5 个单位长度至点A,.*.-3+5=2,.点A 表示的数是2；9（2）若点B 表示数2.5,将 点 B 先向左移动7 个单位长

44、度，再向右移动个单位长度至点C,9二 2.5-7+-=0,2二点C 表示的数是0；（3）.点B 表示数2.5,当点B 运动到-5.5所在的点处时，.点B 运动的时间”5$）=4,2二点C 运动的路程=2x4=8,二此时点C 表示的数=0+8=8,.8、C 两点间距离=8-（-5.5）=13.5.【点睛】此题考查了数轴上点的表示和两点之间的距离，解题的关键是熟练掌握数轴上点的表示方法和两点之间的距离的求法.4.（2021广东佛山七年级阶段练习）如图，有两条线段，A B =2（单位长度），CO=1 （单位长度）在数轴上，点A在数轴上表示的数是-1 2,点。在数轴上表示的数是15.二 片-J-防+(

45、1)点8在 数 轴 上 表 示 的 数 是，点C在数轴上表示的数是,线段BC的长=；(2)若线段A 8以1个单位长度秒的速度向右匀速运动，同时线段C。以2个单位长度秒的速度向左匀速运动.当 点B与C重合时，点B与点C在数轴上表示的数是多少？(3)若线段A B以1个单位长度秒的速度向左匀速运动，同时线段。以2个单位长度/秒的速度也向左匀速运动.设运动时间为，秒，当r为何值时，点5与点C之间的距离为1个单位长度？【答案】-10,14,24；(2)-2；(3)U23 或 25【分析】(1)根据AB、C。的长度结合点A、。在数轴上表示的数，即可求出点从C在数轴上表示的数，再根据两点间的距离公式求出线段

46、的长度；(2)设相遇时间为a,分别用a表示出相遇时B、C两点所表示的数,让其相等即可求出；(3)分 线 段 与 线 段CD在相遇之前与相遇之后两种情况，利用两点间的距离公式结合B C=1,得出关于t的的一元一次方程，解之即可得出结论；【详解】解：(1).3 8=2,点A在数轴上表示的数是-12,二点8在数轴上表示的数是-12+2=-10；：C D=,点 Q在数轴上表示的数是15,；点C在数轴上表示的数是15-1=14.B C=14-(-10)=24.故答案为：-10,14,24；(2)设运动时间为a秒时8、C相遇，此时点B在数轴上表示的数为-10+a,点C在数轴上表示的数为14-2a,:B、C

47、重合.-10+a=14-2a解得4=8此时点3与点C在数轴上表示的数是-10+a=-10+8=-2；故答案为：-2(3)当运动时间为f秒时，点B在 数 轴 上 表 示 的 数 为 点C在数轴上表示的数为14-2/.,.BC-|-10-r-(14-2z)|=|r-24,/B C=1.1 一2 4|=1；.=2 3,t2=25综上所述：当B C=时，仁2 3或2 5；【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离，数轴等知识，解题的关键是：根据点与点之间的位置关系求出点8、C在数轴上表示的数.5.（2 0 2 2 天津南开翔宇学校七年级阶段练习）如图，半径为1的小圆与半径为2的大圆上有一点与数

48、轴上原点重合，两圆在数轴上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒万个单位，大圆的运动速度为每秒2 7个单位.y.T-5-4-3 3 4 5 6 7（1）若大圆沿数轴向左滚动1周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是（结果保留）；（2）若大圆不动，小圆沿数轴来回滚动，规定小圆向右滚动时间记为正数，向左滚动时间记为负数，依次滚动的情况记录如下（单位：秒）：-1,+2,-4,-2,+3,-8第 次滚动后，小圆离原点最远；当小圆结束运动时，小圆运动的路程共有多少？（结果保留万）【答案】（1）一U;（2）6,2 0万【分析】（1）该圆与数轴重合的点所表示的数，就是大圆的周长；（2）分别计算出第几次滚动后，小圆

49、离原点的距离，比较作答；根据1 +2 +4+3+2+8 =2 0计算总路程即可.【详解】解：（1）若大圆沿数轴向左滚动一周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是-2.2 =T/.（2）第1次滚动后，|一1|=1,第2次滚动后，卜1 +2|=1,第3次滚动后，卜1 +2-4|=3,第4次滚动后，卜1 +2 4-2|=5,第 5 次滚动后，|T+2-4-2+3|=2,第6次滚动后，|-1+2-4-2+3-8|=10,则第6次滚动后，小圆离原点最远.1 +2+4+3+2+8 =2 0,二当小圆结束运动时，小圆运动的路共有2 0万.【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，明确向右移动坐标加的关系，向左移动坐标

50、减的关系，是解题的关键.6.(2 0 2 1 河南 鹤壁市外国语中学七年级阶段练习)如图，在一条数轴上从左至右取A ,B,C三点，使得A,8到原点0的距离相等，且A到B的距离为4个单位长度，C到8的距离为8个单位长度.(1)在数轴上点A表示的数是，点B表示的数是，点C表示的数是.(2)在数轴上，甲从点A出发以每秒3个单位长度的速度向右做匀速运动，同时乙从点B出发也向右做匀速运动.若甲恰好在点C追上乙，求乙的运动速度.若丙从点C出发以每秒1个单位长度的速度向左做匀速运动，甲、乙.丙同时开始运动，甲与丙相遇后1秒，乙与丙的距离为1个单位长度，求乙的运动速度.-j-A-p-A-【答案】(I)-2.2