2022年中考数学真题汇编：平行四边形(含解析).pdf

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1、2022年中考数学真题综合练习：平行四边形一、选择题1.（2022广东）如图，在。A 3C D 中，一定正确 的 是（）A.AD -CD B.AC =BD C.AB CD D.CD=BC2.（2022福建）如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中NA5C=90，NCAB=6（）,A B=8,点A 对应直尺的刻度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得AABC移动到V A BC,点A 对应直尺的刻度为0,则四边形A C C A 的面积是（）A.96 B.966 C.1923.（2022贵阳）如图，将菱形纸片沿着线段剪成两个全等的图形,A.40 B.60 C.804.（2022安徽）两个矩形的位置如图

2、所示，若 4 =a,则 N 2=（A.-9 0 B.a-45 C.1 8 0-D.16073则 Z 1 的度数是（）D.100）D.2700 25.（2022黔东南）如图，在边长为2 的等边三角形ABC的外侧作正方形A 5 E O,过点。作 F_LBC,垂足为尸，则。尸的 长 为（）DA.2 6 +2B-5-TC.3-右D.x/3+16.（2022海南）如图，菱形A B C。中，点E是边C O的中点，E R垂直A B交A 3的延长线于点凡 若BF:CE=T:2,EF=布,则菱形A B C D的边长是（）A.3B.4C.5D.37.（2022甘肃武威）如 图1,在菱形A 8 C O中，N A =

3、60。，动点P从点A出发，沿折线AZ）f O C f C B方向匀速运动，运动到点8停止.设点P的运动路程为x,4P3的面积为y,y与X的函数图象如图2所示，则A B的 长 为（图1A.732百c.3百D.473A(-3,2),fi(3,2),C(3,-l),则D的坐 标 为（）C.(-3,-2)D.(-3,-1)9.（2 0 2 2 铜仁）如图，在边长为6的正方形A3CO中，以BC为直径画半圆，则阴影部分的面积是（）B.6C.3D.1 21 0.（2 0 2 2 贵港）如图，在边长为1 的菱形A 3 c。中，ZABC=6 0,动点E在 A3边 上（与点A、8均不重合），点 F在对角线AC上，

4、C E 与 相 交 于 点 G,连接A G,。尸，若 A F =B E,则下列结论错误的A.D F =C E B.=1 2 0 C.A F2=E G E C D.A G 最 小 值 为 述3二、填空题4/7 11 1.（2 0 2 2 北京）如图，在矩形A B C。中，若 A 6 =3,A C =5,则 AE的长为.F C 41 2.（2 0 2 2 甘肃武威）如图，菱形ABCD中，对角线AC与 BO相交于点。，若 A 6 =2 括 cm，AC=4 c m,则 8。的长为 c m.1 3.（2 0 2 2 甘肃武威）如图，在四边形ABCD中，ABDC,A 5 C,在不添加任何辅助线的前提下,要

5、想四边形A8CD成为一个矩形，只需添加的一个条件是.DA1 4.（2 0 2 2 铜仁）如图，四边形A B C。为菱形，ZABC=S0,延长8 c 到 E,在/OCE内作射钱CM,使得ZECM=30,过点。作 O F J _ CM,垂足为F.若 D F=R ,则 8 的长为（结果保留很号）.1 5.（2 0 2 2 黔东南）如图，矩形A8CD的对角线A C,BO相交于点。，D E/A C，C E/3 O.若 AC=1 0,则四边形O C E D的周长是.21 6.（2 0 2 2 贵港）如图，在QABCD中，A D =-A B,Z B A D =45,以点A为圆心、AO为半径画弧交A B3于点

6、E,连接CE，若 A B =36,则 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 是.1 7.（2 0 2 2 海南）如图，正方形ABCD中，点 E、尸分别在边3C、C D k,A E =A F,Z E A F =30,则NAEB=；若AAEF的面积等于1，则 AB的值是1 8.（2 0 2 2 毕节）如图，在WAABC中,N B A C =9 0 ,A B =3,B C =5,点、P 为 B C边上任意一点，连接,以R4，PC为邻边作平行四边形PAQ C,连接尸Q,则 PQ 长度的最小值为1 9.（2 0 2 2 黔东南）如图，折叠边长为4 c m 的正方形纸片A B C。，折痕是O0,点 C落在点

7、E处，分别延长ME、D E交 A B 于点F、G,若点M 是 3c边的中点，则 FG=c m.2 0.（2 0 2 2 安徽）如图，平行四边形O A B C 的顶点O是坐标原点，A在 x 轴的正半轴上，B,C在第一象限,反比例函数产L的图象经过点C,丁 =一（人工0）的图象经过点艮 若 O C =AC,则Z =.2 1.（2 0 2 2 安徽）如图，四边形A B C C 是正方形，点 E在边AO上，8 E F 是以E为直角顶点的等腰直角三角形，E F,B 尸分别交C。于点M,N,过点尸作AD的垂线交A ）的延长线于点G.连接。凡 请完成下列问题：（1）/FDG=；若 D E=1,D F =2近

8、，则 M?V=.三、解答题22.（2022北部湾）如图，在口A B C。中，8。是它的一条对角线,B C（1）求证：A B g/C D B ；（2）尺规作图：作 B D 的垂直平分线E F,分别交40,B C 于点、E,F（不写作法，保留作图痕迹）;（3）连接B E,若 N D B E =2 5,求 N A E 8 的度数.23.（2022梧州）如图，在口A 5 C D 中，E,G,H,尸分别是AB,BC,CD,D 4 上的点，且B E =D H,A F =C G .求证：E F =H G.24.（2022北京）如图，在 d A B C D 中，AC,交于点。，点 E,尸在A C 上，A E

9、=CF.（1）求证：四边形3 是平行四边形；（2）若 Z B A C=N D 4 C,求证：四 边 形 是 菱 形.2 5.(2 0 2 2贺州)如图，在平行四边形A B C。中，点E,尸分别在A O,B C上，且 E D=B F，连接A R CE,A C,E F,且A C与E F相交于点O.(1)求证：四边形A F C E是平行四边形；3(2)若4 C平分N E 4 E,A C =8,tan Z D A C =,求四边形A F C E的面积.2 6.(2 0 2 2福建)如图，Zk A B C内接于。O,A BC交。于点。，。尸 AB交B C于点E,交。于点F,连接A F,CF.(1)求证：

10、A C=A F；(2)若。的半径为3,ZC A F=3 0,求AC的长(结果保留兀).2 7.(2 0 2 2云南)如图，在平行四边形A B C。中，连接8。，E为线段A D的中点，延长B E与C。的延长线交于点凡 连接A F,ZBDF=9 0(1)求证：四边形A 8 D F是矩形；(2)若4力=5,。尸 =3,求四边形A B C尸的面积S.2 8.（2 0 2 2 海南）如 图 1,矩形ABCD中，A B =6,AD=S,点 P 在边8c 上，且不与点2、C重合，直线AP 与。的延长线交于点E.（1）当点P 是 8C的中点时，求证：A/L B。名 E C P；（2）将 沿 直 线 折 叠 得

11、 到AA尸 9，点 B 落在矩形4BCD的内部，延长P8 交直线A 于点尸.证明4=F?，并求出在（1）条件下 他 的 值；连接B C，求 PC 5 周长的最小值；如图2,B 8 交 AE于点”，点 G是 AE的中点，当NE4F=2 N A E 3 时，请判断AB与例的数量关系，并说明理由.2 9.（2 0 2 2 福建）已知 Z v l B C 0A 8=4 C,ABBC.（1）如 图 1,C 8 平分NACO,求证：四边形4 B O C 是菱形；（2）如图2,将（1）中的A C Q E 绕点C逆时针旋转（旋转角小于/8 A C）,BC,Q E的延长线相交于点F,用等式表示N A C E 与

12、/E k C之间的数量关系，并证明；（3）如图3,将（1）中的（?绕点C顺时针旋转（旋转角小于N A B C）,若 N B A D =/B C D,Z A D B的度数.3 0.（2 0 2 2 毕节）如 图 1,在四边形A8CD中，AC和 8D相交于点O,A O C O,?B C A?C A D.ADA图2D(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；(2)如图 2,E,凡 G 分别是 BO,CO,4)的中点，连接 EF,GE,G F,若 2A8 ,BC=15,AC=16,求AETG的周长.31.(2022安徽)己知四边形ABCQ中，B C=C D.连接B。，过点C作BQ的垂线交AB于点E,连接

13、 .(1)如 图1,若D E B C,求证：四边形BCQE是菱形;(2)如图2,连接A C,设B。，AC相交于点F,DE垂直平分线段AC.(i)求/C E Q的大小;(ii)若 AF=AE,求证：BE=CF.32.(2022黔 东 南)阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题:如图，AABC和 比)都是等边三角形，点A在。E上.求证：以A E、4)、AC为边的三角形是钝角三角形.(1)【探究发现】小明通过探究发现：连接。C，根据已知条件，可以证明DC=A,Z A D C =2 0,从而得出 ADC为钝角三角形，故以A E、A D，AC为边的三角形是钝角三角形.请你根据小明

14、的思路，写出完整的证明过程.（2）【拓展迁移】如图，四边形ABC。和四边形3GFE都是正方形，点A在EG上.试猜想：以A、AG、AC为边的三角形的形状，并说明理由.若A E 2+A G 2=10,试求出正方形ABC。的面积.33.（2022黔东南）阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题:如图，AABC和 8。都 是等边三角形，点A在O E上.求证：以A E、A。、AC为边的三角形是钝角三角形.（1）【探究发现】小明通过探究发现：连接。C，根据已知条件，可以证明。C=AE,Z A D C =12 0,从而得出AAQC为钝角三角形，故以A E、A D，AC为边的三角形是钝角

15、三角形.请你根据小明的思路，写出完整的证明过程.（2）【拓展迁移】如图，四边形ABCD和四边形BGEE都是正方形，点A在EG上.试猜想：以A E、AG、AC为边的三角形的形状，并说明理由.若A E 2 +A G 2 =1 0，试求出正方形A B C。的面积.2022年中考数学真题综合练习：平行四边形参考答案一、选择题I.（2022广东）如图，在oA B C D 中，一定正确 的 是（）A.AD =CD B.A C=B D C.AB=CD D.CD=BC【答案】解：四边形A8CD是平行四边形:.AB=CD,AD=BC故选C.2.（2022福建）如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中NABC=90，

16、N C 钻=60，A B=8,点A 对应直尺的刻度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得AASC移动到VA7TC,点 A对应直尺的刻度为0,则四边形A C C W 的面积是（）A.96 B.96百 C.192 D.1 6 0 6【答案】解：依题意A C C A 为平行四边形，V ZABC=90,NC4B=60，A B=8,如 =12.:.A C 2 A B：.平行四边形 ACCA!的面积=A4 ACsin 60=2ABsin 60。A4=2 x 8 x 12x 走=96百2故选B3.（2022贵阳）如图，将菱形纸片沿着线段剪成两个全等的图形，则 N 1的度数是（）A.40 B.60 C.80

17、 D.100【答案】解：纸片是菱形.对边平行且相等/.Zl=80（两直线平行，内错角相等）故选：C.4.（2022安徽）两个矩形的位置如图所示，若 N l=a,则N 2=（）【答案】解:如 图，Z3=Zl-90=a-90,C.180 exD.2700-a/2=90-N3=180-a.5.（2022黔东南）如图，在边长为2 的等边三角形A8C的外侧作正方形ABE。，过点。作垂足为F,则。尸的 长 为（）A.2 6 +2C.3-6D.V3+1【答案】解：如图，过点A 分别作AG_LBC于点G,A_LO尸于点”,DVDF1BC,J ZGFH=ZAHF=ZAGF=90,四边形A G F是矩形，.FH=

18、AG,ABC为等边三角形，/.ZBAC=60,BC=AB=2,：.ZBAG=30,BG=1,*,AG=VAB2 BG2=5/3，FH=6,在正方形 ABE。中，AD=AB=2,NBA。=90。，/.NOA=N8AG=30。，/.D H -A D ,2 DF=DH+FH=6+1.故选：D6.（2022海南）如图，菱形ABC。中，点 E 是边 8的中点，E E 垂直A B 交 的 延 长 线 于 点 凡 若BF:CE=k.2,EF=币，则菱形ABCO的边长是（）B.4A.3C.5D.Q【答案】过 C 作 CMLAB延长线于M,DEV B F:C E =1:2 ,设 BF=x,CE=2x .点E 是

19、边C O 的中点CD=2CE=4x ,菱形ABC。A CD=BC=4x,CE/AB :EF LA B,CMAB 四边形EFMC是矩形.CM=EF=币,MF=CE=2x：.BM=3x在 RsBCM 中,BM2+CM2=BC2：.(3X)2+(V7)2=(4X)解得 x=l 或 x=1 (舍去)，CD=4x=4故选：B.7.(2022甘肃武威)如图1,在菱形43C中，ZA=6 0 ,动点P 从点A 出发，沿折线A f D C f CB方向匀速运动，运动到点B停 止.设 点 P 的运动路程为x,Z W B 的面积为，V与x 的函数图象如图2 所示，则 的 长 为()【答案】解：在菱形A5CO中，ZA

20、=60,D.4 GCD.：.Z V I B。为等边三角形，设 A8=m由图2可知，48。的面积为3 百，X A B D的面积=走 a?=4解得：a=2也故选B8.(2 0 2 2 铜仁)如图，在矩形 A8CD中，A(-3,2),B(3,2),C(3,-1),则。的坐标为()C.(-3,-2)D.(-3,-1)【答案】解：(-3,2),B(3,2),.,.AB=6,4 5无轴，.四边形A B C D 是矩形，；.CD=AB=6,A B C )x轴，同理可得A 3 C y 轴，.点 C (3,-1),.点。的坐标为(-3,-1),故选D.9.(2 0 2 2 铜仁)如图,在边长为6的正方形A B

21、C。中，以BC为直径画半圆，则阴影部分的面积是()A.9B.6C.3D.1 2【答案】解：设AC与半圆交于点E,半圆的圆心为O,连接B E,OE,四边形A8CO是正方形，,ZOCE=45,:OE=OC,：./OEC=NOCE=45。,：.NEOU90。，0 E 垂直平分BC,:,BE=CE,弓 形 的 面 积 二 弓 形 CE的面积，S阴影-SABE=SABC-SBCE=-x 6 x 6-x6x 3=910.（2022贵港）如图，在边长为1的菱形ABC。中，ZABC=6 0 ,动点七在4 8边 上（与点A、8 均不重合），点尸在对角线AC上，C 与 跖 相 交于点G,连接A G,Q b,若AF

22、=B E，则下列结论错误的A.DF=CE B.ZBGC=120 C.AF?=EG EC D.AG 最 小 值 为 公3【答案】解：；四边形ABC。是菱形，ZABC=60%：.AB=AD=BC=CD,NBAC=NDAC=；NBAD=g x(l80-ZABC)=60=ZABC,A BAF/DAFCBE,ABC是等边三角形，：.DF=CE,故 A 项答案正确，NABF=NBCE,ZABC=ZABF+Z CBF=60,：.ZGCB+ZGBC60,：.ZBGC=180-60=180(ZGCB+ZGBC)=120 ,故 B 项答案正确，,/ZABF=ZBCE,ZBEG=ZCEB,:./BEGs/CEB,.

23、BE CEGEBE:.BE1=GECE，/AF=BE，/.AF2=GECE，故C项答案正确，VZBGC=1 2 0 ,BC=1,点G在以线段B C为弦的弧B C上,.当点G在等边A A 8 C的内心处时，A G取最小值，如下图，A B C是等边三角形，BC=1,：.BFAC,AF=AC=,ZGAF=3Q,：.AG=2GF,AG2=GF1+AF，1,：AG2+W ,解得A G=且，故D项错误，（2 ）2）3故应选：D二、填空题1 1.（2 0 2 2北京）如图，在矩形A B C。中，若A 6 =3,A C =5,而r则 小 的长为【答案】解：在矩形A8 C O中：AD/BC,ZABC=90,AE

24、 AF 1 ,-1-.布=乔=1，f iC =V AC-AB-=v 5-3 =4 BC FC 4 AE-1 一 ，4 4，AE=1,故答案为：1.1 2.（2 0 2 2甘肃武威）如图，菱形A 8 C O中，对角线AC与8。相交于点。，若A 3 =2非cm,A C =4c m ,则3。的长为 cm.【答案】解：菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点。，AC=4,ACBD,BO=OD=-B D ,AO=OC=AC=222Q AB=275,BO=yjAB2-AO2=4-BD=2BO-8，故答案为：8.13.（2022甘肃武威）如图，在四边形A8CO中，ABDC,A,在不添加任何辅助线的前提下,要

25、想四边形ABCD成为一个矩形，只需添加的一个条件是.【答案】解：需添加的一个条件是/A=90。，理由如下:：AB/DC,AD/BC,：.四边形ABCD是平行四边形，又:ZA=90,平行四边形4BCO是矩形，故答案为：乙4=90。（答案不唯一）.14.（2022铜仁）如图，四边形A8CZ）为菱形，ZABC=80,延长BC到E,在/O C E内作射钱C M,使得ZECM=30,过点。作ZJFLCM,垂足为F.若DF=&,则的长为（结果保留很号）.【答案】解：如图，连接AC交8。于点”,由菱形的性质得NAZ)C=/ABC=80。，ZDCE=80,NDHC=90。,又；/ECM=30,ZDCF=50,

26、DF1CM,ZCFD=90,ZCDFMO0,又.四边形ABC。是菱形，B。平分/AOC,ZHDC=40,CHD=4CFD在“DH 和MCOF 中，=；8O=5,:DE/AC,CE/BD.，.四边形CODE是平行四边形,0C=0D=5,.四边形CODE是菱形，Z,四边形C O D E的周长为：4 0c=4x5=20.故答案为20.216.（2022贵港）如图，在口A BCD中，A D =-A B,Z B A D =45,以点A 为圆心、A D 为半径画弧交A3于点E,连接C E,若 A B =3 6,则 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 是.AD=x 3V2 2/235DF=ADsin45=2

27、72 x =2，2；AE=AD=2 0,EB=AB-AE=3A/2-2 V 2=V 2，S 倒行ScABCD S 房 影ADESAEBC=3a 2-4 5X（2360 2=5&-万故答案为：5y/2 7T-17.（2022海南）如图，正方形4B C D 中，点 E、尸分别在边3C、C D 上，A E A F,Z E A F 30,则ZAEB=；若AAEF的面积等于1，则 A 3 的值是.【答案】：正方形ABC。:/B =/D=NBAD=90。,AB=AD=DCCBAE=AF:.RtABE三 R t*D F（HL）:ZBAE=ZDAF,BE=DFV ZE4F=30.ZBAE+ZDAF+ZEAF=

28、90ZBAE=ZDAF=ZEAF=30，ZAEB=60设 BE=x：.AB=6 x,DF=BE=x,CE=CF=S.AEF=S正方形AA8CT-S&A 8E -A D F SC EFAB2-A B B EX2-C E C F2 2=（G x）2-瓜.x-L（G-l）x.（百-l）x2=/AAEF的面积等于1X2=1,解得 x=l,x=1（舍去）AB=CX=C故答案为：60；百.18.（2022毕节）如图，在RtABC中，ZBAC=90,AB=3,BC=5,点、P为BC边上任意一点，连接Q4,以2 4,P C 为邻边作平行四边形尸4 2 C,连接尸Q,则尸。长 度 的 最 小 值 为.B PC【

29、答案】解：；N8AC=90o,A8=3,8C=5,AC=dBC2-AB2=4,四边形APCQ是平行四边形,A PO=QO,CO=AO,最短也就是尸0最短，.过。作8 c的垂线OP,ZACB=NPCO NCPO=ZCAB=90,/C A B C P O,.CO OP B C-AB 2 OP 一 ,5 3：.O P=,512则PQ的最小值为2 O P=y ,故答案为：.19.（2022黔东南）如图，折叠边长为4cm的正方形纸片ABC。，折痕是。0 ,点C落在点E处，分别延长M E、D E交A 3于点F、G,若点”是 边 的 中 点，则FG=cm.【答案】解:连 接。尸,如图,.四边形ABCO是正方

30、形，AB=BC=CD=DA=4,NA=NB=NC=NCDA=90.点M 为 8 c 的中点，BM=CM=-BC=-x 4 =22 2由折叠得，ME=CM=2,OE=OC=4,/DEM=NC=90,/.Z DEF=900-ZFEG=90,设 FE=x,则有 DF?=DE2+EF2DF2=42+X2又在 R tM B 中,FM=2+x,BM=2,FM2=FB2+BM2 FB=y/FM2-B M2=7（2+x）2-22；AF=AB FB=4-J（2+x）2-2?在 R/AZMF 中，D +AF2 D F2,42+（4-7（2 +X）2-22）=42+X2,4解得，x=,x2=-8（舍去）4.FE=-

31、,34 10 FM=FE+ME=-+2=3 3.F8=J（2+2 2 2=|Z DEM=90A Z F E G =90：.ZFEG=NB,又 NGFE=/MFB.：./XFEGFBMFG FE an FG-=-，即 1 nFM FB 103：,FG=-,3故答案为：-320.（2022安徽）如图，平行四边形0A Be的顶点。是坐标原点，A 在 x 轴的正半轴上，B,C 在第一象限,1k反比例函数 =的图象经过点C,丁 =一（女工0）的图象经过点B.若 OC=A C,则 4=【答案】解：过点C 作 CD_LOA于。，过点B作 BEJ_x轴于E,：.CD/BE,.四边形4 8 c o 为平行四边形

32、，J.CB/OA,B P CB/DE,OC=AB,/.四边形CDEB为平行四边形，：CDLOA,.四边形。砂为矩形，:.CD=BE,在 RtCOD和 RtLBAE中，OC=ABC D=EB RtACOD咨RtxBAE(HL),SO C FSAABE,V OC=AC,CDOA,：,OD=AD,V 反比例函数y=4 的图象经过点C,X SOCDSCAD,S 平行四边形 OCB A=4 SA OC =2 ,，SA08 A=S平行四边形0aM=1 SA OB E=SA OB A+SA A B E=1H =一,2 23；.%=2 x =3.2故答案为3.21.(2022安徽)如图，四边形A8CD是正方形

33、，点 E 在边A。上，ABEF是以E 为直角顶点的等腰直角三角形，EF,8尸分别交C。于点M,N,过点F 作 4。的垂线交A。的延长线于点G.连接。凡 请完成下列问题：(1)ZFDG=；若 DE=1，DF=2 6,则 M?V=.【答案】(1):四 边 形 ABCO是正方形,二/A=90。，AB=AD,：.ZABE+ZAEB=90,：FG1AG,：.ZG=ZA=90,8E F是等腰直角三角形，：.BE=FE,NBEF=90,NAEB+/FEG=90,：.NFEG=NEBA,在AABE和AGE尸中，ZA=NGAE=CF,：.AO-AEC O-C F,即 EO=FO,：,四边形EBFD是平行四边形.

34、(2).四边形ABC。为平行四边形，ABCD,：.ZDCA=NBAC，ABAC=ADAC,，ADCA=ADAC,DA-DC.四边形ABC。为菱形，ACA.BD,即EF工BD，四边形 5短)是平行四边形，.四边形上班 是菱形.25.(2022贺州)如图，在平行四边形ABCD中，点E,F分别在AZ),BC上，且ED=BF，连接AF,CE,AC,EF,且AC与EF相交于点。.(1)求证：四边形AFCE是平行四边形;3(2)若4 c平分NB4E,4 c =8,tan/D 4C =一,求四边形AFCE的面积.4【答案】(1)证明：四边形A8CO是平行四边形;.AD=BC,A E/F C：ED=BFA D

35、-E D =B C-B F,即 AE=R?.四边形月尸CE是平行四边形.(2)-.-A E/F C，ZE A C ZA C F./AC 平分 N 4E，.ZE A C ZF A C.ZACF=ZFAC.：.AF=F C,由(D知四边形AFCE是平行四边形，平行四边形AFCE是菱形.A0=|A C =4,A C E F,3在 RtA A Q E中，A0=4,tanZDAC=,4:.EO=3,=AO,EO=x4x3=62 2S菱 形 AFCE=4S4A0E=24.26.(2022福 建)如图，AABC内接于。O,AD3 C交。于点。，DF A B交BC于点、E,交。于点F,连接AF,CF.(1)求

36、证：AC=AF；(2)若。的半径为3,ZCAF=3 0,求A C的长(结果保留兀).【答案】(1),:A D B C，DF/AB，四边形A B E力是平行四边形，Z.ZB=ZD.又N A F C=N B,ZACF=ZD,：.Z A F C =ZACF,：.AC=AF.(2)连接A O,CO.由(1)得NAFC=NACF,又./CA F=3 0,N A F C =180；30。=750,NAOC=2NAFC=150.的长/=若萨1 oU5万T2 7.(2 0 2 2云南)如图，在平行四边形A B C。中，连接B D,E为 线 段 的 中 点，延长B E与C。的延长线交于点F,连接A F,Z B

37、DF=9 0(1)求证：四边形A 8D尸是矩形；(2)若A =5,DF=3,求四边形4 8CF的面积S.【答案】(1)证明：.四边形A B CO是平行四边形，J.AB/CD,B P AB/CF,：.ZBAE=ZFDE,为线段A。的中点，：.AE=DE,又,:NAEB=NDEF,：A B E B D F E(A S A),：.AB=DF,5L：AB/DF,.四边形A B D F是平行四边形，Z B F=9 0,二四边形A 8DF是矩形；(2)解：由(1)知，四边形A 8DE是矩形，：.AB=DF=3,ZAFD=9 0,.在R/AA D F中，A F =lAD2-D F2=A/52-32=4 四边

38、形A B C。是平行四边形，：.AB=CD3,：.CF=CD+DF=3+3=6,S=g(A 6 +.A F =gx(3 +6)x 4 =1 8.2 8.(2 0 2 2海 南)如 图1,矩形A B C。中，A B =6,A D=8,点P在边8 c上，且 不 与 点 以C重合，直线A P与。的延长线交于点区D图2CE DE图1(1)当点尸是8 C的中点时，求证：A B P A E C P；(2)将 桶 沿直线”折叠得到”夕，点 皆 落在矩形A B C D的内部，延长P 8交直线A。于点尺证明E4=EP，并求出在(1)条件下A F的值；连接BC，求PCB周长的最小值；如图2,3 8 交AE于点“，

39、点G是AE的中点，当NEW=2NA臼3时，请 判 断 与 的 的 数 量 关系，并说明理由.【答案】(1)解：如图9-1,在矩形4BCD中，ABDC,即 ABDE，N1=N E,N B =N2.点尸是的中点，/.B P =CP.：.AABP丝ECP(AAS).(2)证明：如图9-2,在矩形A8CO中，A D/B C,：.Z 3 =Z F A P.由折叠可知N3=N4,NM P=N4.F A =F P 在矩形ABC。中，BC=A=8,.点P是BC的中点，BP=-B C =-x 8 =4.2 2由折叠可知 AB=AB=6,PB=PB=4,NB=ZABP=ZABF设 E4=x,则 FP-x.FB=x

40、-4.在RtABF中，由勾股定理得AF2=Bfic+BF2，A=6-+(x 4)13 X=,213即A/=.2解：如图9-3,由折叠可知4B=AB=6,BP=BP.90.图9-3.CgcB，=CP+PB+CB=CB+CB=8+CB.由两点之间线段最短可知，当点8 恰好位于对角线AC上时，CB+A 3最小.连接A C,在中，NO=90,*-AC=J AD2+DC2=A/82+62=10-：.C B =A C-A B =W-6 =4,；GP.最小值=8+=8+4=12.解：AB与 庞 的数量关系是AB=2G.理由是：如图9-4,由折叠可知N1=N6,AB=A B,38，AE.过点8 作交AE于点M

41、，,/AB/DE/.AB/D E/BM，N1=N6=N5=ZAZ).；AB=BM=AB，.点”是AM中点./FAR=2ZAEB,即 N6=2Z8,Z5=2Z8.N5=N7+N8,Z7=N8.；BM=EM.，BM=EM=AB=AB.,点G为A E中点，点，是A 中点，AG=AE,AH=AM .：.HG=A G-AH=(AE-A M)=EM .：.HG=-A B.2：.AB=2HG.29.(2022 福 建)已 知ABC 0(7,AB=AC,ABBC.（1）如 图1,C 8平分/AC。，求证：四边形AB AC是菱形；（2）如图2,将（1）中的AC D E绕点C逆时针旋转（旋转角小于/8 A C）,

42、BC,O E的延长线相交于点F,用等式表示/4 C E与/E/（之间的数量关系，并证明：（3）如图3,将（1）中的AC O E绕点C顺时针旋转（旋转角小于N AB C）,若N B A D =N B C D,求N AO 8的度数.【答案】（1）；A3 C 0 D E C,J.ACDC,：AB=AC,：.ZABC=ZACB,AB=DC,：C B 平分/AC。，ZACB=ZDCB,/.Z A B C =N D C B,：.AB/CD,四边形A8 Q C是平行四边形，5 L：AB=AC,.四边形AB Q C是菱形；(2)结论：Z A C E+Z E F C =1 8 0 .证明：:A A B C 冬A

43、 D EC ,：.Z A B C =/D EC,AB=AC,：.N A B C =Z A C B,：.Z A C B Z D E C,Z A C B+Z A C F =Z D E C+N C E F=1 8 0。,Z A C F =N C EF,Z C E F+Z E C F+Z E F C=1 8 0 ,Z A C F +Z E C F+Z E F C =1 8 0 ,ZACE+ZEFC=180；（3）在AO上取一点M,使得AM=CB,连接8M,-：ABCD,/BAD=/BCD,：.ZXABM/XCDB,:.BM=BD,NMBA=NBDC,/ZADB=ZBMD，,/ZBMD=ZBAD+ZMB

44、A，/.ZADB=ZBCD+ZBDC,设./BCD=/BAD=a,4BDC=/3,则 ZAO3=a+6，：CA=CO,ACAD=NCDA=a+2/7,ABAC=NCAD-ZBAD=2 0,：.ZACB=1（180-NBAC）=90。-夕，ZACD=（90-/3）+a,；ZACD+ZCAD+ZCDA=XSO,：.（90。一6）+2（+24）=180。，a+，=3 0,即NAZ）8=30.30.（2022毕节）如 图1,在四边形ABC。中，AC和6。相交于点。，AO=CO,?BCA?CAD.(1)求证：四边形ABC。是平行四边形;(2)如图2,E,F,G分别是8O,CO,A的中点，连接EF,G E

45、,G r,若=BC=15,A C =6,求仆七所的周长.【答案】(1)证明：NBC4=NC4D,J.BC/AD,A B C A =A C A D在AAO。和 ACOB 中：C O A O ,N C O B =Z A O D 0。丝/XC。仇 ASA),：.BCAD,：.四边形A B C D为平行四边形.(2)解：.点瓜产分别为8 0和CO的中点，；.：尸是AOBC的中位线，E F=-B C=；2 2,ABC。为平行四边形，BD=2 B0,又己知BZX2BA,BO=BA=CD=OD,.。/与48。4均为等腰三角形，又产为0C的中点，连接OF,：.DF1,OC,：.ZAFD=9 0,又G为AO的中

46、点，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知：GF=！A。=,B C =；2 2 2过8点作B”_LA。于，连接 G,如上图所示:由等腰三角形的“三线合一”可知：A H=H 0=A 0=-A C=4,2 4HC=H0+0C=4+S=2,在 RtBHC 中,由勾股定理可知 B H =/BC2-C H2=V 1 52-1 22=9，.”为A O中点，G为A。中点，.H G为AA。的中位线，:.HGBD,B P HG/BE,V iH G-O D-B O B E,2 2四边形8 H G E为平行四边形，GE=BH=9,：.CEFG=GE+GF+EF=9+y+y=2 4.3 1.(2 0 2 2安徽)

47、已知四边形AB C。中，B C=C D.连接B。，过点C作8。的垂线交A B于点,连接。.图1图2(1)如 图1,若 D E B C,求证：四边形8 C D E是菱形；(2)如图2,连接A C,设B D,A C相交于点尸，O E垂直平分线段AC.(i)求/C E D的大小；(i i )若 A F=A E,求证：BE=CF.【答案】(1)证明：-：DC=BC,CEA.BD,：.DO=BO,：D E/BC,：.NODE=NOBC,ZOED=ZO CB,:.AODE/AOBC CAAS),DE=B C,：.四边形B C O E为平行四边形，9CE.LBDf四边形B C D E 为菱形.DC0,(i)

48、根据解析(1)可知，BO=DO,C垂直平分8D,:.BE=DE,:BO=DO,：.NBEO=NDEO,.,QE垂直平分AC,：.AE=CEfVEG1AC,J NAEG=NDEO,J NAEG=NDEO=NBEO,NAEG+ZDEO+ZBEO=180,ZCED=1803=60.(ii)连接 EF,VEGAC,ZEGF=90,NEFA=900-NGEF,ZAEF=1800-ZBEF=180-ZBEC-ZCEF=180-ZBEC-(ZCEG-NGEF)=180-60-60+/GET7=60+NGEF：AE=AF,ZAEF=ZAFE,：.90-NGEF=60+NGEF,:.ZGEF=150,.ZOEF

49、=Z.CEG-NGEF=60。15。=45。，：CEBD,：.ZEOF=ZEOB=90,:.NOFE=90-NOEF=45,NOEF=/O FE,：.OE=OF,-AE=CE,ZEACZECA,ZEAC+ZECA=NCEB=60,NEC4=30。，NEBO=90-NOEB=30,:.ZOCF=NOBE=30,ZBOE=4 cOF=90,:.gOENCOF(AAS),:.BE=CF.32.(2022黔东南)阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题:如图，AABC和 班)E都是等边三角形，点A在DE上.7VDBC求证：以AE、AD AC为边的三角形是钝角三角形.(1)【探究发

50、现】小明通过探究发现：连接D C，根据已知条件，可以证明。C=AE,ZADC=120%从而得出AADC为钝角三角形，故以AE、AD，AC为边的三角形是钝角三角形.请你根据小明的思路，写出完整的证明过程.(2)【拓展迁移】如图，四边形ABCD和四边形5GFE都是正方形，点A在EG上.试猜想：以AE、AG,AC为边的三角形的形状，并说明理由.若AE2+AG2=1 0,试求出正方形ABC。的面积.【答案】(1)证明：:ABC与E8。均为等边三角形，：.BE=BD,AB=CB,ZEBD=ZABC=60,：./E B A+N A B D=N A B D+N D B C,：.NEBA=NDBC,在AEBA