2021研究生考试数学二真题及答案解析.pdf

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1、2021考研数学二真题答案解析2021考研数学真题及答案解析数 学(-)一、选择题(本题共10小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上.)(1)当x-0时，(/-1辿时丫7的(A)低阶无穷小.【答案】C.(B)等价无穷小.(C)高阶无穷小.(D)同阶但非等价无穷小.【解析】因为当x-0时,X 2f(e!-1)dt=2x(ex，Jo-l)-2 x7,所以。，-1功 是 高阶无穷小，正确答案为C.(2)函数/(x)=cx-1 nT，x*o,在 x=o 处l,x=0(A)连续且取极大值.(C)可导且导数为0.【答案】D.(

2、B)连续且取极小值.(D)可导且导数不为0.【解析】因为li m/(x)=li m土二匚1=/(0),故/(x)在x=0处连续;x-0 K TO x因为li m /(幻 一 /W加 二li m 二_I_ L,故/(0)=1,正确答案为D.。x-0 I。x-0 2。/2 2(3)有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为2 c m/s,-3c m/s,当底面半径为1 0 c m,高为5 c m时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为(A)1 2 5 c/w3 Is,40C?2/S.(B)1 2 5KCir Is，-407rcm2 Is.(C)-1 0 0 7r c加3/s ,AO/rcm

3、2 Is.(D)-lO O c/w3 Is,-40Ttcm1 Is.【答案】C.dr dh【解析】由题意知，=2,=-3,又 =兀产11,5=2兀曲+2兀户dt dtdV-,dr dh dS,dr.dh.dr则-=LTirh +,=L7ih+2 r +4r dt dt dt dt dt dt dt当r =1 0,=5时，=-1 0 0-,=40,C.dt dt(4)设函数/(x)=a x-61 n x(a 0)有两个零点，则夕的取值范围是a(A)(e,+a).(B)(0,e).(0(0,1).(D)(l,+a).2021考研数学二真题答案解析【答案】A.【解析】令/(x)=o r-61 n x

4、=0 ,fx)=a-,令/(x)=0 有驻点 x=。，/f 1 =a -6-I n l,可 得 正 确 答 案 为 A.a a(5)设函数/(x)=s e c x在x=0处的2次泰勒多项式为l +a x+b x?,则(A)a =l,b =_ g_2(B)(z=l,b=(C)a=0,b=.(D)a =Q,b=.2 2【答案】D.【解 析】由 f(x)=/(0)+f(0)x+o(x2)知 当/(x)=s e c x 时/(0)=s e c 0 =l,/(0)=(s e c x ta n x)|x=0=0,/(0)=(s e c x ta n 2x+s e c 3x)|Y=0=1,则/(x)=s e

5、 c x=1 +；/+o(/).故选 D.(6)设函数/(x j)可微，且/(x+L e”)=x a+l)2,/(X,X2)=2X2 I n x,则 力(1,1)=(A)dx-dy.(B)dx-dy.(C)dy.(D)一力.【答案】C.(解析】fx+1,/)+exf x+1,/)=(x+1)2+2 x(x+1)/(x,x 2)+2xf；(x,x2)=4xln x+2 x将 x=0v=0X=1 分别带入式有L r =i加)+力(U)=l,以 1,1)+2 月(1,1)=2联立可得，(1/)=0,(1,1)=1，df(l,1)=)dx+(1,)dy=d y,故正确答案为 C.(7)设函数/(x)在

6、区间 0,1 上连续,则 J 0 7(x g =(A)h m /.(B)hmZ/0 太 I 2 )2n 8M I 2n(C)hmZ/(D)I 2 i。y 2nJ n【答案】B.【解析】由定积分的定义知，将 0,1 分成份，取中间点的函数值，则J(x)d x=li m J (LJO -8&=i 1 2 J n即选B.(8)二次型/(芭,/3)=(芭+2)2+(+3)2 一(3 一MA的正惯性指数与负惯性指数依次为(A)2,0.(B)l,l.(C)2,l.(D)l,2.【答案】B.【解析】/(网,2，3)=Qi +x2)2+(x,+x3)?-(x3-x,)2=2X22+2 xtx2+2 X 2 X

7、 3+2 X 322021考研数学二真题答案解析 0所以力=11 P2 1 ,故特征多项式为1 0 2 XE-A=-1-1-1 -1-2 -1 =(2+1)(2-3)2 1 Z令上式等于零，故特征值为-1,3,0,故该二次型的正惯性指数为1,负惯性指数为1.故应选B.(9)设3阶矩阵/=(风&,。3)，8=(用 血，尸3)，若 向 量 组 可 以 由 向 量 组 笈，四线性表出，则(A)Ax=0的解均为Sx=0的解.(B)ATX=0的解均为BTX=0的解.(C)B x=0的 解 均 为=0的解.(D)BTX=0的解均为ATX=0的解.【答案】D.【解析】令 N =(q,勺,%)津=(晶 四，)

8、，由题生，。2，%可由4，夕2，四线性表示，即存在矩阵尸，使得 B P =A,则当 BTXQ=0 时，Arx0=(B Py X。=pTBTx0=0.恒成立，即选 D.1 0 -P(1 0)已知矩阵4=2 -1 1若下三角可逆矩阵尸和上三角可逆矩阵。，使 以。为对角1 2 -5,矩阵，则尸，。可以分别取(A)00 0、1 00 1 1 0 1、0 1 3、0 0 1,1 0(B)2 -11-3 20、0 10 0、0 1 0、0 0 1,1 0 0、(C)2-103 2 1,【答案】C.【解析】1 0(40=2 -1、T 2-1 1 0 0 (1 01 0 1 0 -0 -1-5 0 0 1 J

9、 1 0 2 1 0 0、(D)0 1 0J 3 b20 -1、0 0-3、2-1 1 0 0 (10-13 -2 1 0 -0 1 -3-6 1 0 1)(0 0 01 0 0、2-10-3 2 1?o r0 1 3、0 0 1 1 0 0、=(F,P),J i i J P=2-103 2 32021考研数学二真题答案解析0、q0-0 1 00 1-30 10 000 0凡1 001 00 1 00 1、001)、0 000131 J(A=。,则 2 二 o、0二、填空题(本题共6 小题，每小题5 分,0 1、1 3 .故应选C.0共 30分.请将答案写在答题纸指定位置上.)(1 1)J ：

10、|x|3 3 dx=.【答案】1l n3【解析】匚即=3Tz =-r 3一。2)=-看2 h=白(1 2)设函数y =y(x)由参数方程，x =2 e +/+1y=(t-1)e+t2确定，则宗|,=。=2【答案】一.3 皿 c 小方一 4 k +2/俎 d2y _(4ef+4以+2)(2 d +l)(4 k +2 f)2 e，dx 2e+1 dx(2e 4-1)3将f =0带 入 得 起ax_ 2,=0(1 3)设函数 z=z(x,y)由方程(x +l)z+y i n z-a rc t a n(2 x y)=1 确定，则包dx【答案】1.6z【解析】方程两边对x求导得z+(x +l)k +yo

11、x1 dz 2yz dx 1 +4X2J20 ,3 z将x =0,y =2带入原方程得z=l,再将x =0,歹=2,z=1带入得=1.dx7【答案】u3c osw(1 4)己知函数/(f)=J；公J ；si n-d y，则/(52 解析】交换积分次序有/(/)=-力J；si n-d x,从而,v yf(t)=-J；方J；si n-dx=c os=J：y c os力一(y c os ydyi-c o s y Uy J2rf c oswJu3Jycosydy42021考研数学二真题答案解析空du+t2fC O Sw3c osrdu-L-2(1 5)微 分 方 程/-=0的通解y =【答案】y =G

12、，+e I C9 c os2x+si n x2)，G C，G 夫 1 万【解析】由特征方程；P i =o得4 =1，4.3=一5 5故方程通解为ysi nX2 J(1 6)多项式/(x)=x122X1-12x-1中V项的系数为2x12X1 x【答案】-5.【解析】/(x)=X1222x-11=x-xx1-11-2x 12X1-1所以展开式中含d项的有-/,_ 43,即H项的系数为5.Xx12X1Xx2x1X1222X1X1X2X1三、解答题(本题共6 小题，共 70分.请将解答写在答题纸指定位置上,字说明、证明过程或演算步骤.)(1 7)(本题满分1 0分)解答应写出文求极限l i mx-0力

13、iex-lx2si nx/【答案】2(【解析】l i mx-0i+j y 力1si nx7=l i mx-0si nx-1 -e dt(ex-l)si nxo(1 +r+o(/2)Z/=x +-x3+o(x3),故原式=l i mX TO(X X3+X +X3+0(/)X X-+O(X)52021考研数学二真题答案解析卜 2+0,)=l i m -=.i o x2 2(1 8)(本题满分1 2分)【答案】凹区间(一8,-1),(0,+oo),凸区间(1,0).斜渐近线是y =x l,y=-x-1.x l x l已知/()=，求/(x)的凹凸性及渐近线.1 +xX2,X0 7 2 7【解析】因为

14、/(x)=，故x 0,/(x)=F 4 r，fx)=-一3士,x3 0 +x)lx)J +xx y(l +x)x (l +x)(1 9)(本题满分1 2分)/(x)满足|聿d r=x +C ,L 为曲线y =/(x)(4 Vx V 9),L的弧长为s,L绕x轴旋转一周所形成的曲面的面积为4 ,求s和A.【答案】4 2 5乃9【解析】罕f(x=-1 x l,f(x)=-1 x2-x124 3 7 3曲线的弧长 s=Ji+ydx=J g+；+X=y.曲面的侧面积 A=2万J；yy+y2dx=2%-x今 J r +2dx_ 4 2 5%9(2 0)(本题满分1 2分)函数V =y(x)的微分方程xy

15、-6y=-6,满足共 右)=1 0,求y(x)；(2)P为曲线y =y(x)上的一点，曲线y =y(x)在点尸的法线在y轴 上 的 截 距 为 为使/，最62021考研数学二真题答案解析小，求尸的坐标.工6(4、1 1【答案】j/(x)=l +.(2)P 1；时，/有 最 小 值U.一，3 I 3)，6 解 析 、一%=_ 9 =(-)e d x +C=x6f-y+C =1 +C x6x x x J 7将y(V J)=1 0代入，C =,.-.y(x)=l +y.设尸(x,y),则过尸点的切线方程为y-y =2 x 5(X x),法线方程为y-y =-2(X-x),V6 1 z令X=0,.)=

16、/,=1 +丁+广，偶函数，为此仅考虑(0,+0 0)令(/,.)=2 X，-W=，x =1.1 1.1 1，x w(O,l)，(/,),(1)=；X G(l,+o o),(/v)0,7v Zv.(l)=.P(l,g)时，有最小值(2 1)(本题满分1 2分)曲线(/+y 2)2=x2-y 2(X 2 0/2 0)与X轴围成的区域为。，求J J乎 改 力.D【答案】-4 8【解析】jj xydxdy=jj d 3 s in 0 c o s 6drD=4c o s2 Z es in O c o s O d。Jo 4 i=-4 一c o s2 20d c o s 26J。1 6n=-c o s31

17、014 8(2 2)(本小题满分1 2分)2 1 0、设矩阵Z=1 2 0仅有两个不同的特征值.若/相似于对角矩阵，求a,6的值，并求可J a 逆矩阵P,使。-以。为对角矩阵.2-2 -1 0【解析】由心 一/1|=-1 2-2 0=(2-/J)(2-3)(A-1)=0 1 a 九b当6=3时，由/相似对角化可知，二重根所对应特征值至少存在两个线性无关的特征向量，则72021考研数学二真题答案解析1-1 0、(3E-Z)=-1 1 0 知I,a=-l,、-1 -a 07此时，4=4 =3所对应特征向量为6Z1=4=1所对应的特征向量为/3当6=1时，由/相似对角化可知，二重根所对应特征值至少存在两个线性无关的特征向量，则-1-1 0、(E A)=-1-10,知。=1,、-1 -a 0,此时，4=4 =1所对应特征向量为4-1、1 ,不o4 =3所 对 应 的 特 征 向 量 为=卜118