《2021届高三大题优练12导数极值点偏移问题(理).pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2021届高三大题优练12导数极值点偏移问题(理).pdf(13页珍藏版)》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、例1 .已知函数/G)=a x一心X有两个零点玉,W.(1)求。的取值范围;2(2)求证:W 冲I e);(2)证明见解析.Inx(1)J V J有两个零点 工有两个相异实根.G(x)=-G,(x)令 ,则 1 -luxx2由 G(x)。,得0 xe.由 G(工)0,得,。()在(e)单调递增,在(e,+8)单调递减,G(x)max=G(e)=g又.当 0 x l 时,G(x)1 时,G(x)OJ当 x f+8 时,G(x)-0./(X)有两个零点时,实数a的取值范围为e jax】=I nxj(2)不妨设玉g 2,只需证瓜%+*2t=红令 xfln?2t 1只需证I T J,/Z 1:U oI
2、,只需证:()0 +1)2(I T 0(+1)-4./(。在(1,+00)递 增.-.F(r)F(l)=0I n/2(1)o+i)成立.2综上所述,玉,X 2 e 成立.f(x)=-lnx(a e R)例 2.已知函数.x(1)讨论/C D 的单调性;2若 芭,%是方程/)=2的两个不同实根,证明:*”e3(1)见解析;(2)证明见解析./(X)=Jn x /,(x)=(1)解:因为 x,所以 XXX?.当a?0时,/(x)0在(0,+司上恒成立,故/(X)在(,+功上单调递减;当。时,由/(力。,得0 x -a;由/(x)-a,即/(X)在(,一)上单调递增,在(一 a,+8)上单调递减,综
3、上,当。时,/()在(+)上单调递减;当a 0时,)在(,一)上单调递增,在(一 +8)上单调递减.证 明:因为/()=/(*2)=2,所以玉1-I n%2 =0 x2即 I nxl+2xl-a=x2 I nx2+2x2-a =0设g(x)=xlnx+2 x-a,则gx)=lnx+3G,+)在,上 单 调 递 增.0 x,4 4由题意不妨设 e,欲证 e2X2 X只需证 eg(x2)g,X故只需证*(x)=x)g 6)g因为8 3 g 人 所 以 只 需 证 le J对任意的恒成立即可,即xx I nxl+2x1-a 22 2)J 2 X)I n Xj+2 演-ae,c(2 Y%I n -整理
4、得 le J(e.(2 Y f2 )/xjn 七一|二 一X I n-y-x|+4/即)/?(%)=xlnx-|-x|ln|-x设 le)le l(x)=I nx+ln(马-x)+6=ln(c0 x -1 0八 -2 x-x 2 心)=0 x,+x2则,所以一一%+*一2%1-i-4oel +4 X-7 X C”)6,匕以5哈一46 2斯成立.h(x=x2+/?ln(2 x-l)/(x)=x2-alnx1.已知函数 2,2 其中Q,为常数.(1)若函数”(X)在定义域内有且只有一个极值点,求实数b的取值范围;(2)已知王,%是函数/G O的两个不同的零点,求证:*+%2五.2,已知函数 x)=
5、x i m a x 2+x,aeR.若 x)在(。,洋)内单调递减,求实数4 的取值范围;(2)若函数/(“)有两个极值点分别为西,1X.+,证明:-2a3,已知函数/()=泥.(1)求函数/(“)的极值;(2)若 直 线 与 函 数,3的图象有两个不同交点(2)(,%),求证:/(x)=+In x4.设函数(1)讨论函数/(“)的单调性;0。r Y f(x(2)当 e时,设玉,是1 t 1的两个零点,证明:2a%+x21.(1)(-8,0);(2)证明见解析.,、2b 2x2-x+2 bh(x)=x+-=-()2 x 1 2 x 1因为函数”G)在定义域有且仅有一个极值点,所以7=2-+2
6、6在(1,4-CO12内有且仅有一个变号零点,2x由二次函数的图象和性质知-+2 Z)02 ,解得b。)(2)%x当a VO时,(x),/(X)在(,+)上单调递增,函 数 X )至多有一个零点,不符合题意;当Q0时,令/。)=0,得x=G当时,/(X)单调递减;当 x w(4a,+00r(x)o,/(x)单调递增,故当x=、G时,函数.小)取得最小值“GK(ia),当0 a 0,/网。,函 数,无 零 点,不合题意;当a=e时,l-lna=O,/(6)一,函数/仅有一个零点,不合题意;当a e时,l-lna 屈、i/(x)五xc又 2 ,所以I ,在 V 1上只有一个零点,令p(x)=lnx
7、-x+l,则 P(x)T一:故当。X ,P(x)单调递增;当xl时,单调递减,所以,(“)。(1)=,即I n xW x-l,所以ln2 aW 2 a-l,所以/(2。)=2 a2 aln2 a 2a2-a(2a 1)=a 0又,所以 x)在x&+0)上只有-个零点,所以ae满足题意;不妨设演 a l n W x)g,(x)=26-4+=字yja 4-x x-yja x-a当。x 而 时,g(x)0,所以g(x)在(,6)上单调递减,所以当x e(O,6)时,g(x)g(O)=O,即G+x)-当a 时,要证明+”2a,只需证明 4。6一%)2a(lnX l-lnx2)2 J)|Xl2(X,-X
8、2),玉 兀即证明,即证明“2令 X2/6(0,1)j/、2(/1)1h(t)=-I n/令/+1(-1)2z(z+l)2 砚=0.2(/-1)/+1 I n/、2 土-1_2 M%2+1%即 马 成立,1玉 +/3.(1)极小值为-1,无极大值;(2)证明见解析.J(x)=xe.r(x)=(x +l)eix 变化时,与 G)变化情况如下X(-00,-1)-1(-1,+8)/(X)-0+/(X)单调递减极小值单调递增当x=T时,/(X)有极小值为/(一1)=T ,.,/()极 小 值 为-1,无极大值.(2)由 X-8 时,/(x)f 0,设 西 ,由 知,须 -1,-1乙 0,欲证:阳+*2
9、-2,需证:X|-2-X2,由*-1,-2-乙 f(-2-x2)令尸(x)=/(x)一/(2 -X)(-lx0)F(x)=(x+l)(e-e-i)当T x 0,J(x)单调递增,,F(x)F(-l)=0时,/(x)/(-2-x)由一 1/(一2-),.2+0,函数/(X)在(,+)上单调递增;当。时,若则/(X)单调递减;若则/(x)。,/(X)单调递增,综上,当。时,函数/(X)在(+)上单调递增;当。时,函数在()上单调递减,在3+)上单调递增.(2)证明:由(1)知,当“时,函数/(X)在(,“)上单调递减,在且玉,%是/G)的两个零点,。,不妨设”2+8)1上单调递增,g(x)=/(2 x)-/(x)令-F In(2Q x)-In x,(0 x W a)g(x)则a 1 a 1 4 a(x-a)2、八-2-1-y-=-0(2 a-x)2a-x x x(2a-xy所以函数g(x)在(可上单调递增,又g =,所以g a)g()=,所以/(2%)一 /(XJ ,即/(2“一*)/、(玉)所以/(2。一%)/、(2),2a-x.a x 1 a n她(,+8)0、巾、斗.又 I,2,函 数/、/在 /上单倜递增,所以2 一项 2 ,即2 再+工2
限制150内