2022-2023学年上海高二上学期数学同步练第11章 简单几何体(单元提升卷)(含详解).pdf

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1、第11章 简 单 几 何 体（单元提升卷）（满分150分，完卷时间120分钟）考生注意：1.本试卷含三个大题，共21题.答题口寸，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效.2.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤.一、填空题1.若一个圆锥的母线长是底面半径的3倍，则该圆锥的侧面积是底面积的 倍；2.若将两个半径为1的铁球熔化后铸成一个球，则 该 球 的 半 径 为.3.已知一个正四棱柱的底面边长为1,其侧面的对角线长为2,则这个正四棱柱的侧面积为4.若一个球的 体 积 为 学，则 该 球 的 表 面 积 为.5.

2、直角梯形绕着它的垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形 成 的 几 何 体 是.6.已知一个四棱锥的高为3,其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则 此 四 棱 锥 的 体 积 为.7.已知一个正四棱台的上、下底面的边长分别为1和2,其侧面积恰等于两底面积之和，则该正四棱台的高为一8.若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等圆柱、球 的 表 面 积 分 别 记 为 邑,则有9.已知圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则圆锥的体积为_ _ _ _ _ _.10.（2022 全国高二单元测试）已知一个凸多面体的平面展开图由两个正六边形和六个正方形构成，如图所示，若该凸多面体所有

3、棱长均为1,则其体积丫=.1 1.圆柱形容器内部盛有高度为2cm的水，若放入一个球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没球（如图所示），则球的半径是 cm.1 2 .设4 B、C、。是半径为1的球面上的四个不同点，且 满 足 福.女=0,而.而=0,而 通=0,用5、$2、$3分别表示4 8。、248、/4 的面积,则5 1+5 2+5 3的最大值是1 3.直 角三角形的三边满足”8 c,分别以。，b,c三边为轴将三角形旋转一周所得旋转体的体积记为匕、匕、匕，则（）A.匕%匕 B.KKK，C.匕 匕%D.%匕 匕1 4 .平行六面体A B C。-48sA的六个面都是菱形，那么点儿在面4

4、片。上的射影一定是A A 8 a 的心，点4在面8 C Q上的射影一定是ABCQ的心A.外心、重 心B.内心、垂心C.外心、垂心 D.内心、重心1 5 .如图，正四面体P-A 8 C的体积为V ,底面积为S,。是高PH的中点，过。的平面。与棱 叫、P B、P C分别交于。、E、F,设三棱锥P-0防 的 体积为,截面三角形O E尸的面积为邑，则()DA.V P=90。.(1)证明：直 线 平 面 必 ；Q(2)若P A =P =A B =r C,Z A P D =9 0,且四棱锥P-A B C D的体积为,求该四棱锥的侧面积.2 0 .如图，在正三棱柱4 8 C-A 4 G中，AB=2,A 4=

5、3,RE分别为A Q和网的中点.(1)求证：)E/平面A B C；(2)若尸为A B中点，求三棱锥尸-G O E的体积.4(II)当平面A fE J平面BCZ5E时，四棱锥A 8CDE的体积为36人，求a 的值.BE711AD/BC,/BAD=-、AB=BC=22沿 BE折起到图2中M,BE的位置,A E DB C图14、2 1.如图1,在直角梯形A8C。中,781AD=a,E 是AO的中点，。是0 c 与 8E的交点，将 AABE得到四棱锥A-BCCE.小、一二(I)证明：C O 1平面AOC;B 匕-图2第11章 简 单 几 何 体（单元提升卷）（满分150分，完卷时间120分钟）考生注意

6、：1.本试卷含三个大题，共21题.答 题 时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效.2.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤.1.若一个圆锥的母线长是底面半径的3倍，则该圆锥的侧面积是底面积的 倍；【答案】3；（分析】分别计算侧面积和底面积后再比较.【详解】由题意/=3r,5恻=仃/=3 2,s底=+,.学=3.故答案为3.【点睛】本题考查圆锥的侧面积，掌握侧面积计算公式是解题关键.属于基础题.2.若将两个半径为1的铁球熔化后铸成一个球，则该球的半径为_ _ _ _.【答案】m【分析】根据球的体积等于两个半径

7、为1的球的体积之和即可求其半径.【详解】设大球的半径为，则根据体积相同，可知:乃+g 7=则 r=2,解得r=也.故答案为：啦.3.已知一个正四棱柱的底面边长为1,其侧面的对角线长为2,则这个正四棱柱的侧面积为【答案】4G【详解】设正四棱柱的高（侧棱长）为h,因侧面为矩形，故层+=4,6=白，侧面积为4 x 1 x 6 =40 填4行32乃4.若一个球的 体 积 为 手，则 该 球 的 表 面 积 为.【答案】16万4 4 2【详解】由题意，根据球的体积公式则等，解得R=2,又根据球的表面积公式5=4万代,所以该球的表面积为5=4乃 =16.5.直角梯形绕着它的垂直于底边的腰所在的直线旋转一周

8、，形成的几何体是_ _ _ _ _.【答案】圆 台【分析】直接由圆台的结构特征得答案.【详解】由圆台的结构特征，可知直角梯形绕着它的垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体是圆台.故答案为圆台.【点睛】本题考查圆台的结构特征.6 .已知一个四棱锥的高为3,其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则 此 四 棱 锥 的 体 积 为.【答案】2&【分析】先依据斜二测画法的规则求得四棱锥的底面积，再去求其体积即可.【详解】依据斜二测画法的规则，四棱锥的底面是边长为1,高为2五 的 平行四边形.则四棱锥的底面积为2近，此四棱锥的体积 为:x 2血x 3=2及故答案为：2

9、 07 .已知一个正四棱台的上、下底面的边长分别为1和2,其侧面积恰等于两底面积之和，则该正四棱台的高为.【答案】【分析】利用棱台的高、斜高、边心距构成直角梯形，即可求出.【详解】设正四棱台的高、斜高分别为4 X.所以4 x g x(l +2)x x =F+2 2,解得x =，.再根据棱台的高、斜高、边心距构成直角梯形，可得*+04).第 解 得故答案为：!.【点睛】本题主要考查正四棱台的结构特征的应用，属于基础题.8 .若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等圆柱、球的表面积分别记为、S?,则有：邑=【答案】3:2试题分析:设球的直径为2 R,则品：邑=(2万代+2 7氏2/?):4 7/?2=

10、3：2.考点：球的表面积9 .己知圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则圆锥的体积为_ _ _ _ _ _.【答案】公【分析】由侧面展开图求出圆锥的底面半径和高，再由体积公式计算.3【详解】由题意圆锥的母线长为/=2,设圆锥底面半径为L则2%=2 m,r=l,所以高为 二7=A/21二P =6，体枳为V =-7rr2h=-7 T X 12 X /3 =旦兀3 3 3故答案为：-7T .31 0 .（2 0 2 2 全 国 高二单元测试）已知一个凸多面体的平面展开图由两个正六边形和六个正方形构成，如图所示，若该凸多面体所有棱长均为1,则 其 体 积 卜=.【分析】由展开图知该多面体是正六棱柱，由棱

11、柱体积公式计算即得.【详解】该多面体是一个底面边长为1 的正六边形，高为1 的正六棱柱.则底面六边形的面积S =2 SA 4 B C+-，如图所示，由余弦定理 A C?=A B?+8 C?-2AB 8 C c os 1 2 0 =3,所以 A C=山，SACDF=V 5,则K=S =(2X+加1=当故答案为：也2【点睛】本题考查正六棱柱的表面展开图，考查棱柱的体积.属于基础题.1 1 .圆柱形容器内部盛有高度为2 c m 的水，若放入一个球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没球（如图所示），则球的半径是 c m.【答案】3【分析】根据水的体积与球的体积之和为一个高为2R的圆柱的体积即

12、可求解.【详解】设球的半径为R，根据题意，水的体积与球的体积之和等于高为2 R的圆柱的体积，4所以；2R=万 2.2+万 N ,3解得R=3.故答案为：31 2.设 A、B、C、。是半径为1的球面上的四个不同点，且 满 足 福.枇=0,而.而=0,而 通=0,用 斗 S?、S3分别表示人次?、46)、/神。的面积,则51+52+53的最大值是【答案】2【分析】由题意可知，三棱锥的顶点的三条直线A8,AC,A力两两垂直，可以扩展为长方体,对角线为球的直径，设出三边长度，表示出面积关系式，然后利用基本不等式，求出最大值.【详解】解：设 A8=a,AC=6,A0=c,因为AB,AC,A D两两互相垂

13、直，扩展为长方体，它的对角线为球的直径，所以/+62+02=4出=4,S门.ABC+Sc.ACD+c=1(a,b,+ac+b,e)、尸的体积为匕，截面三角形O E 尸的面积为其,则（）A.V 4 8%,S 4 4 s oB.V 4 S()C.丫4 8 玲，S 8 V ,S 4 S0【答案】A【分析】设 AB =2,取 E 尸与B C 重合时的情况，计算出品以 及%的值，利用排除法可得出正确选项.【详解】如图所示，利用排除法，取 E F 与 8 c 重合时的情况.不妨设AB =2,延长MD 到 N,使得PN/AM.PD 1;PO=O H ,;.PN=M H ,-AH=2MH,A M =3 M H

14、 =3 PN,p l i j =-,由余弦定理得A D 3B D2=Af i2+A 2-2 Af i -A D c o s -=22+f -l -2 x 2 x -x 1 =,3 2 2 4D M =yjBD2-B M2=-,5(.=-x 2 x-=-,2 2 2 2又5邛x2?S.4*=2 出 1,当平面。防 平面A B C 时,S=4 S0,:.S 1,A D 3 4 V当平面D E/平面A B C 时，8 匕=丫，.8 X)V,排除C 选项.故选：A.【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理、余弦定理、勾股定理、三棱锥的体积计算公式、排除法，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于难题

15、.1 6.已知半球。与圆台O。有公共的底面，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1,则圆台侧面积取最大值时，圆台母线与底面所成角的余弦值为()A.正 B.3 C.3 D.也9 27 6 3【答案】D【分析】根据题意画出图形，设BC=x,C(y=r,作 CF_L 于 点/，延长。交球面于点E,则由圆的相交弦定理可得言=(1+也 2-()2)(1-次-(1-4 从而可求得r=l-,进而可表示出圆台的侧面积，求出其最大值，从而可得X 的值，然后在2求出圆台母线与底面所成角的余弦值即可【详解】如图1所示，设BC=x,C O =r,作C F,AB于点尸，延长O。交球面于点E,则BF=-r,OO=CF=

16、JBC2-B F2=Jx2-(l-r)2.由圆的相交弦定理及图2得 COO=O E tW =(1+0 0)(1-0 0),即/=(1 +/2 _ 0 _ 4)(_._(一 厅,解得r=_ ,则圆台侧面积5=d 1+l则S=2.苧2号或一毛(舍去),当0 冗 0,当述时,3 3S 0，所以函数5=兀(1 +1-、)工在上递增,，近上递减,所以当x=2 叵 时，S取得最大值.3当 x=BC=逑 时，r=l-=-,则 BF=l-r =2.3 2 3 3在轴截面中，N08C为圆台母线与底面所成的角，在 RtZxCFB中可得cosNOBC=虫,BC 3故选：D.H图 2O【点睛】方法点睛：本题是立体几何

17、中最值的综合性问题.旋转体的问题常需正确做出轴截面图进行分析，最值问题要注意“选元”“列式”“讨论最值”三个环节，考查线面角的余弦值，属于较难题三、解答题217.如图，已知圆柱底面圆的半径为一，高为2,AB、切分别是两底面的直径，AD、是母线，若一只小虫从4点出发，从侧面爬行到C点，求小虫爬行的最短长度.【答案】2夜【分析】小虫爬行的最短长度，是半个圆柱的侧面展开矩形的对角线.通过勾股定理求得这个对角线的长.【详解】解：如图，将圆柱的侧面展开，其中AB为底面圆周的一半，2即AB二 口 =TTX-=2,AD=2则小虫爬行的最短路线为线段AC,在矩形AC中，AC=JAB2+BC2=722+22=2

18、2所以小虫爬行的最短路线长度为2亚.【点睛】本小题主要考查圆柱的侧面展开图，考查两点间的距离公式以及分析和思考能力,属于基础题.18.一个圆锥的底面半径为2,高为6,在其中有一个高为x的内接圆柱.(1)用春示圆柱的轴截面面积s；当*为何值时，S最大？2【答案】(1)S=-M+4x(0 x6).(2)当x=3时，S最大，最大值为6.【分析】分析：(1)画出圆锥的轴截面，将空间问题转化为平面问题，然后根据相似三角形的性质和比例的性质，得出内接圆柱底面半径r 与x关系式即可(2)根据二次函数的性质易得到其最大值，及对应的x的值.详解：画出圆柱和圆锥的轴截面，如图所示，设圆柱的底面半径为r,则由三角形

19、相似可得解 得 片 2 V.(1)圆柱的轴截面面积X2S=2 rx=2(2一)=一 一 此+4X(0,且 N8AP=NCrP=9 0,所以/W_L 钎 且 AB_L )尸.又A P c D P =P,A R O P u平面PA。，所以直线AB _L平面必(2)解：在平面目。内作PEL A D,垂足为点.由(1)知 平 面 为 ，故 A8_LPE.又 A B c 4)=A，AB,A D A B C D,所以 PE J_平面力8az设A8=x,则A)=&x，PE=x.故四棱锥P-ABC。的体积2VPABCD=ABAD PE=X3.i Q由题设得、，故x=2.从而 PA=P D =AB=D C =2

20、,A D =BC=2五,PB=PC=2五.所以四棱锥P-A B C D的侧面积为-P A-P D+-P A-A B+-P D-D C+-B C2sin600=6+23./：.2 0.如图，在正三棱柱ABC-A B g 中，AB=2,M=3，D E 分别为AQ和阴的中点.(1)求证：O E/平面ABC；(2)若尸为AB中点，求三棱锥尸-GOE的体积.【答案】(1)见 解 析 f/，7-!/B E Bi试题分析：(1)取 4c 中点G,利用平面几何知识可得8红 心 是平行四边形，即得D E/B G,再根据线面平行判定定理得OE平面A8C；(2)利用等体积性质进行转化:V尸 一 CDE=QVF-AC

21、IE=W%-A C E=A-BEC,最后根据锥体体积公式求体积试题解析：（I ）取A C中点G,连接B G和O G,因为。和G分别为AG和A C的中点，所以D G/C G，H D G=B E,则B E D G是平行四边形，DE/BG,又D E不在平面A B C内，2 G在平面A B C内,所以O E平面A B C.解：（I I）因为。为必的中点，所以匕._“=；匕T C Q又尸为A 8中点，所以匕一邛=，则三棱锥F-C Q E的体枳：点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.（D证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.（3）证明线线垂直

22、，需转化为证明线面垂直.2 1.如图1,在直角梯形AB8中，A D/BC,NBAD=三AB=BC=；AD =a,E是4。的中点，。是O C与的的交点，将A 4 B E沿的折起到图2中MBE的位置，得到四棱锥A -B C D E.小（I）证明：8,平面A O C；（I I）当平面4 8 E L平面B C D E时，四棱锥A-B C D E的体积为3 6人，求的值.【答案】（I）证明见解析，详见解析；（H）a =6.试题分析：（1）依据直线与平面垂直的判定定理推证；（2）借助题设条件运用等积法建立方程求解.试题解析：（1）在图1中，易得 BE_LAOC;OE/C，a _ L A O,8,O C所以，在图2中，CD VO C,C D VO CD（2）由已知，平面4 8后1平面8口）：,C D lA p所以4。，平面8CZJE/.-A O-SKrnr=36 夜:.-a2-a=36 夜,a=63 K 3 2 考点:空间线面垂直的位置关系和棱锥的体积公式等有关知识的运用.