2022年中考数学压轴题押题及解析.pdf

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1、2022年中考数学压轴题1.问题：如 图(1),点E、F分 别 在 正 方 形/8 C Q的 边8 C、上，ZEAF=45 ,试判断B E、E F、户7)之间的数量关系.【发现证明】小聪把 Z 8 E绕 点A逆 时 针 旋 转9 0 至从而发现请你利用图(1)证明上述结论.【类比引申】如 图(2),四 边 形/B C D 中，NB AD#90 ,4 B=A D,/5+/。=1 8 0 ,点 E、尸分别在 边8 C、CD上，则当N E Z尸与N R4 Z)满足.N B4 D=2 N E 4 F关系时，仍 有E尸=8 E+尸。.【探 究 应 用】如 图(3),在某公园的同一水平面上，四条通道围成四

2、边形Z8CD已 知4 8=4)=8 0米，Z 5=6 0 ,/D C=1 2 0 ,N BA D=150,道路 B C、C D 上分别有景点 E、F,且4 E _ L/。，D F=4 0(V 3-1)米，现 要 在E、尸之间修一条笔直道路，求 这 条 道 路E F的 长(结 果 取 整 数，参考数据：V 2=1.4 1,V 3=1.73)【发现证明】证明：如 图(1),：/A D G A B E,：.A G=A E,N D A G=/BA E,D G=B E,又；NE4F=45,B P Z D A F+Z B E A =Z E A F=45,：.Z G A F=Z F A E,在aG/F和中，

3、A G =A EZ.GAF=/.FAE,A F =A F：./X A F G /X A F E (SAS).：.GF=E F.又 D G=B E,第1页 共1 1页：.GF=BE+DF,；BE+DF=EF.【类比引申】NBAD=2/EAF.理由如下：如 图(2),延长C8至，使连接力，V ZABC+ZD=SQ,ZABC+ZABM=SO0,4D=/A B M,在和尸中，AB=ADZ-ABM=乙D,、BM=DF：.丛ABM”/XADF(SAS),；.AF=AM,/D A F=/B A M,*.*/BAD=2NEAF,：.ZDAF+ZBAE=NEAF,：.NEAB+NBAM=ZEAM=NEAF,在月

4、I E 和中，AE=AEZ.FAE=Z.MAE,AF=AM:.FAEqAMAE(SAS),，EF=EM=BE+BM=BE+DF,即 EF=BE+DF.故答案是：ZBAD=2ZEAF.【探究应用】如图3,把/8 E 绕点4逆时针旋转1 5 0 至 4 O G,连接NR 过力作4 G P,垂足为从第 2 页 共 1 1 页图（3）V ZD=150,ZDAE=9Q,：.ZBAE=60Q.又 N8=60,/ABE是等边三角形，.8E=Z8=80 米.根据旋转的性质得到：/Z）G=N8=60,又.N4DF=120,.,.ZGF=I8O,即点G在CO的延长线上.易得，AADG出/XABE,J.AGAE,Z

5、DAGZBAE,DG=BE,又；4，=80 x*=40百，HFHD+DF=40+40（V 3-1）=40百故/心尸=45,:.NDAF=NHAF-NHAD=45-30=15从而NE4F=NE4D-ND4F=90-15=75又：/8/。=150=2X75=2NEAF,CAEAG,NE4G=NE4E,AF=4F,：./FAG/FAE（S/S）,，EF=FG=DG+DF=BE+DF,：.EF=BE+DFS0+40（V 3-1）109（米），即这条道路E尸的长约为109米.第3页 共1 1页2.在平面直角坐标系x Q y 中，有不重合的两个点0 （x i，y i）与 P（X 2,”）.若。，P 为某个

6、直角三角形的两个锐角顶点，且该直角三角形的直角边均与x轴或y轴平行（或重合），则我们将该直角三角形的两条直角边的边长之和称为点0与点尸之间的“折距”，记做DPQ.特别地，当尸0与某条坐标轴平行（或重合）时，线段尸。的长即点。与点P 之间的 折 距 例 如，在 图 1 中，点 尸（1,-1）,点。（3,-2）,此时点0与点尸之间的“折距 DPQ=3.（1）已知 0 为坐标原点，点/（3,-2）,5 （-1,0）,则 DAO=5 ,DBO=1.点 C在直线y=-x+4 上，请你求出D e o 的最小值.（2）点 E是以原点O为圆心，1 为半径的圆上的一个动点，点尸是直线y=3 x+6 上以动点.请

7、你直接写出点E与点F之 间“折距”。EF的最小值.图1图2解：（1）O o=|3 -0|+|-2 -0|=5,同理。2 0=1，第4页 共1 1页故答案为：5,1；设点 C(?，4-加)，则。co=|?|+|机-4|,当 0机W 4时，0 co 最小，最小值为4；(2)如图2,过点E 分别作x、y 轴的平行线交直线、=-x+4于 6、F2,则EF是“折距”。打的最小值，即 求 的 最 小 值 即 可，如图3,将直线、=-x+4 向右平移与圆相切于点E,平移后的直线与x 轴交于点G,连接 OE,设原直线与x、y 轴交于点 、N,则点、N 的坐标分别为(-2,0)、点 N(0,6),则 W=2V

8、10,则MONsZkGE。,M N ON 2V10 6则一=，即-=GO OE GO 1贝IJ G 0=乎EF 尸 M G=2 -孚=3.如图，在 RtZXZBC中，/C 8=9 0 ,以斜边4 5 上的中线CZ)为直径作。，与 BC 交于点与Z 8 的另一个交点为E,过 用 作 M M L/8,垂足为M(1)求证：MN是。的切线：(2)若。的直径为5,s in 8=|,求 的 长.第5页 共1 1页：OC=OM,：/OCM=/OMC,在RtZVfAC中，CO是斜边45上的中线,:CD=%B=BD,:./DCB=/DBC,：,/OM C=/DBC,：OM BD,：MN 工 BD,J.OMLMN

9、,T O M过 O,M N是。的切线；图2(2)解：连接。M,CE,:C O是。的直径，：.ZCED=90,NDMC=90,第 6 页 共 1 1 页即 m _8C,CELAB,由(1)知：BD=C D=5f M 为 8 C 的中点，3Vsin=1,4cosB=引在 中，8例=8 0cos8=4,:B C=2 B M=8,Q9在 Rt/XCEB 中，BE=BC s B=等，：.ED=B E-BD=32-5=g7.4.已知NMPN的两边分别与。0 相切于点/,B,。0 的半径为八(1)如 图 1,点 C 在点4 B 之间的优弧上，N M P N=80 ,求/C 8 的度数；(2)如图2,点 C

10、在圆上运动，当 PC 最大时，要使四边形/P 8 C 为菱形，N/P 8 的度数应为多少？请说明理由；(3)若 P C 交。于点。，求 第(2)问中对应的阴影部分的周长(用含，的式子表示).图1,：PA,P 8 为。的切线，：.Z P A O=ZPB O=90 ,V ZAPB+ZPAO+ZPB O+ZAOB=360 ,第7页 共1 1页A ZAPB+ZAOB=SO,V ZAPB=SO0,A ZAOB=00,/.ZACB=50；(2)如 图2,当N 4P B=6 0 时，四边形Z P 8 C是菱形,连 接。4 OB,由(1)可知，N4OB+N4PB=180,V ZAPB=60,A ZAOB=12

11、0,A ZACB=60=NAPB,点C运动到PC距离最大，：.PC经过圆心，9：P A,尸8为O。的切线，:.PA=PB,ZAPC=ZBPC=30,又:PC=PC,:APgXB PC (SAS),：.ZACP=ZBCP=30,AC=BC,：.ZAPC=ZACP=30,:AP=AC,：.AP=AC=PB=BC,四边形Z P 8 C是菱形；(3)。的半径为小.OA=rf OP=2r,：.AP=V 3r,PD=r,第8页 共1 1页V ZAOP=90Q-Z APO=60a,二厢的长度=r,阴影部分的周长=以+即+前=V 廿+*=（V3+1+J）r.5.如图，必 为。的切线，P8C为。的割线，于点。，

12、/Z）C的外接圆与8c的另一个交点为E.证明：ZBAE=NACB.【解答】证明：连接ON,OB,OC,BD.JOA1.AP,ADI.OP,由射影定理可得：PA2=PD-PO,AD2=PD O D.（5分）又由切割线定理可得P*=PB*PC,:.PBPC=PD,PO,；.D、B、C、。四点共圆，（点分）ZPDB=ZPCO=N（）BC=NODC,NPBD=ZCOD,JAPBDsCOD,PD BD 八:.=,（15 分）CD 0D:.BD，CD=PD*OD=A N,.BD AD 布二CD又 NBDA=NBDP+900=NOZ）C+90=A ADC,:BDAsAADC,:./BAD=NACD,：.AB

13、是4。的外接圆的切线，：NBAE=/ACB.第 9 页 共 1 1 页6.如图，点/为夕轴正半轴上一点,4 8两点关于x轴对称，过点/任作直线交抛物线y =#于P,0两点.（1）求证：NABP=2ABQ；（2）若点4的坐标为（0,1）,且N P 8 0=6 O ,试求所有满足条件的直线尸。的函数解析式.【解答】（1）证明：如图，分别过点P,。作y轴的垂线，垂足分别为C,D.设 点/的 坐 标 为（0,/）,则点8的坐标为（0,-Z）.设直线P0的函数解析式为歹=h十八并设尸，0的坐标分别为（xp,yp）,（x。，J 0）.由y=kx+ty=lx2x2 kx t=0,于是%P%Q=_|t,即t=

14、xPxQ.BC yP+t|%p2+t|%p2一|xp%Q|xp(xp-%Q)2=2 2-2BD yQ+t-XQ2+t-XQ2-XpXQ-XQ(XQ-Xp)XpXQPC xP”,BC PC又因为而=一五所 以 访=而因为/8。尸=/8。0=9 0 ,所以 B C PSB。，第1 0页 共1 1页故 N 4 B P=N A B Q；（2）解：设P C=a,D Q=b,不妨设a 2 6 0,由（1）可知ZAB P=ZAB Q=30 ,B C=V 3a,B D=V 3b,所以/C=V 5 a-2,AD=2-Wb.因为 P C。，所以ACPSAA D Q.于 是 些=9,即屋，DQ AD b 2-y/3b所以Q+力=娼ab.由（1）中 pxQ=-9 t,即一ab=一去 所以ab=9，c i b 于是可求得a=2b=V 3.将力=*代 入y =4%2,得到点0的 坐 标（g,二）.乙。Z L再将点。的坐标代入了=b+1,求得/=-*.所以直线尸。的函数解析式为y =-孚+1.根据对称性知，所求直线P Q的函数解析式为y =-苧x+1或y =x +l.第1 1页 共1 1页