2021年高三第二次模拟考试数学试题【含答案】.pdf

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1、高三第二次模拟 数 学注意事项：1.本试卷共4 页，包括填空题（第 1题 第 14题）、解 答 题（第 15题 第 20题）两部分.本试卷满分为160分，时间为120分钟.2.答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内.试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内.结束后，交回答题纸.参考公式：柱体的体积公式：V=S h,其中S 为柱体的底面积，为柱体的高.圆柱的侧面积公式：Sf财=2兀/?力，其中及为圆柱的底面半径，为圆柱的高.一、填 空 题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1.函数/（公=1 取+正行的定义域为

2、.2.已知复数w=-2+i,22=+2i（i 为虚数单位，a G R）.若 z m 为实数，则。的值为 .3.某地区教育主管部门为了对该地区模拟成绩进行分析，随机抽取了 150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图（如图），则成绩在 300,350）内的学（第3题图）4.盒中有3 张分别标有1,2,3 的卡片.从盒中随机抽取一张记下号码后放回,码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为一al5.已知等差数列 斯 的公差1 不为0,且 幻，的，曲成等比数列，则的值为6.执行如图所示的流程图，则输出的。的值为 .再随机抽取一张记下号出左

3、/（第6题图）兀7.函数/（x）=4sin3zx+p）（4,c o,8为常数，A 0,to0,0V9V 兀）的图象如下图所示，则/（3）的值为.2x2 y28 .在平面直角坐标系x Q y中，双曲线。2-6 2 =1 5 0,/0)的两条渐近线与抛物线y=4 x的准线相交于4 8两 点.若 4 0 2的面积为2,则双曲线的离心率为 .9 .表面积为1 2兀的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为 .2?r 1 11 0 .已知|=1,|=2,/。8=3,=5 +4 ,则 与 的夹角大小为 1 1 .在 平 面 直 角 坐 标 系 中，过点尸(5,3)作 直 线/与 圆/+俨=4相交于

4、4，8两点，若则直线I的斜率为.1 2 .已知/(X)是定义在R 上的奇函数，当O W x W l时，/(x)=x 2,当x 0时，6 0）的左、右焦 点 分 别 为 尸&,焦距为2,一条准线方程为x=2.P为椭圆C上一点，直线尸Q 交椭圆C于另一点0.（1）求椭圆C的方程；（2）若点P的坐标为（0,b）,求过P,Q,g 三点的圆的方程；的最大值.求41aX1 G且2-若3)19 .(本小题满分16分)a x+b已知函数/(x)=x ev,a,b W R,且。0.(1)若 a=2,h=,求函数/(x)的极值；(2)设 g(x)=a(x l)e-/(x).当。=1 时，对任意x 右(0,+8),

5、都 有 如),1 成立，求 6 的最大值；b 设 g。)为 g(x)的导函数.若存在x l,使 g(x)+g(x)=0 成立，求&的取值范围.2 0 .(本小题满分16分)已知数列%的各项都为正数，且对任意“6N*,2,色+1 成等差数列,a2n,a2n+l。2 +2 成等比数列(1 )若。2=1，。5 =3,求 的 值；“+1 a 2(2)设 1 0 2，求证：对任意 W N*,且 3 2,都 有a n a l.第二次模拟数学附加题注意事项：1.附加题供选修物理的考生使用.2 .本试卷共4 0分，时间3 0分钟.3 .答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内.试题的

6、答案写在答题纸上对应题目的答案空格内.结束后，交回答题纸.21.【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做2 题，每小题10分，共计20分.请在答卷卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修41：几何证明选讲如图，N 8 C为圆的内接三角形，A B=A C,8。为圆的弦，i L B D/A C.过点Z作圆的切线与DB的延长线交于点E,AD与BC交于点F.(1)求证：四边形/C 8 E为平行四边形；(2)若/E=6,BD=5,求线段C F的长.B.选修4 2：矩阵与变换已知矩阵/=的一个特征值为2,其对应的一个特征向量为a=.(1)求矩阵4(2)若/=,求x,y的值.

7、第2 1题AC.选修4一4：坐标系与参数方程7T在极坐标系中，求曲线p=2 c o s。关于直线。=彳(夕e R)对称的曲线的极坐标方程.D.选修4 5：不等式选讲1 1已知 x,y G R,且|x+y|W 6,求证：|x+5 y|W l.【必做题】第 22题、第 23题，每 题 10分，共计20分.请在答卷卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.2 2 .(本小题满分1 0分)某中学有4位 学生申请儿B,C三所大学的自主招生.若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的.(1)求恰有2人申请/大学的概率；(2)求被申请大学的个数X的概率分布列与数学期望E

8、(A).2 3 .(本小题满分1 0分)设大)是定义在N*上的增函数，4)=5,且满足:任意 W N*,.火)G Z;任意 W,GN*,有/(?)火)=/(?)+7(,+-1).(1)求)1),火2),0,所以刈=5.4 3所以 sina=5,cosa=5.2 分7 1 7 1 Tl所以 42=cos(a+4)=cosacos4sinasin4=.6 分3 4 3 4 3 4解法二：因为修=5,刈 0,所以刈=5.4(5,5),则=(5,5),.2 分3 4=。2，及)，因为 =I I I lc o s/4 0 8,所以 5必+5及=.4 分又必2+及2=1,联立消去及得50 X2230X27

9、=0解得久2=或，又X20,所以刈=5.因此4(5,5),所以tana=3.2 分Tl 1 +tana所以ta n(a+4)=l-ta n a=-7,所以直线O B的方程为y=-7 x .4 分由 得X=，又X2 0，所以工2=一 .6 分(2)S=2sin)+4-2X2X 3 sin(12O0-0)cos(6O0+0.8 分16 1673=3 sin2(+60)+48 8/3=3l-cos(20+120)-3 sin(26+120)+48 20=-3V3sin(2e(0,120).12分当且仅当2夕+150。=270。，即 8=60。时，力产取得最大值1 2,即Z P 取得最大值2$.AP2

10、=AD2+PD2=(3 sinO+2cosO)2+(2sin6)216 邈=3 sin20+3 sincos+4cos20.x0 2=2X2,1在，劭=2工+2%2，0=2%.8 分1 3 A P2=x +y =(2X2+2XI)2+4X=X+4X+2修必=4+4XIMW4+4X2=12,.12分即 APW2 B答：设计4M=NN=2kmn寸，工厂产生的噪声对居民的影响最小.14分解法五（变换法）：以 所 在 的 直 线 为 x 轴，/为坐标原点，建立直角坐标系.设 M(X|,0),N(M，恁 2)，P(x0,jo).,:M N=2,：.(X1-X2)2+3X=4.即 x+4x=4+2x,x2

11、4+2x X 2 4x i%2 即 工 1%2 这2.4 分.MV尸为正三角形，且加N=2.；.=他 LMN.顺时针方向旋转60。后得到.=(0-xl 泗)，=(工2 -X”血X2).=,即135/3x 0-X I=2(X 2 XI)+2X2，y0=2(x2-.X i)+2 x2.1 小 X()=2X2X t yo=2-X j.8 分1 9；./P2=x -y=(2X2+2XI)2+4X=4+4 x p C 2 W 4+4 X 2=1 2,即A P W 2 器.=x+4x+加 初答：设计/=ZN=2km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小.解法六(几何法)：由运动的相对性，可使 P M N 不动

12、，点 Z在运动.由于/K 4 N=6 0。，.点N在以为弦的一段圆弧(优弧)上,设圆弧所在的圆的圆心为F,半径为R,由图形的几何性质知：NP 的最大值为P F+凡MN在中，由正弦定理知：s i n 6 0=2 7?,:.R=1 2 分1 4 分8 分A4分1 0分：.F M=F N=R=,又 P M=P N,P F是线段M N的垂直平分线.1设 P F 与 M N 交于 E,则 F E2=F M2-M E2=R2-12=.B P F E=3 ,又 P E=/3.1 2：.P F=，/P 的最大值为 P F+R=2,.答：设计/M=ZN=2km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小.1 4 分1 8

13、、(1 )解：由题意得 解得C=l,“2 =2,所以b 2 =“2 。2=1.嵬所以椭圆的方程为了+炉=1.2分(2)因为尸(0,1),0),所以 的方程为x-7+l=0.4 J由 解 得 或 所以点。的坐标为(一一句.4分解法一：因 为 心 尸kP F=-1,所 以 为 直 角 三 角 形.6分1 1因为。尸 2 的中点为(-2,-6),Q F2=,1 1 2 5所以圆的方程为(x+d y+g+可 2=诵 .8 分解法二：设过P,Q，尸 2 三点的 圆 为/+产+瓜+研+尸=0,则 解得所 以 圆 的 方 程 为/+/+或+5=0.8分（3）解法一：设 P（X 1，_ P|）,。（2，J 2

14、）贝I （X|+l 为），=（1 知J 2）-因为=7 ,所 以 即1-3/1所 以 解 得 应=2 2 .1 2分A所以.=X X 2+y i _ P2=X 2(_ -2_&2)-2 =2应2-(1+2)X 2-4A 1-3 A 1-3 A 7 5 1=-2(2 2 )2-(1+2).2 2 -2=4-8(A+A).1 4 分J.1 1因为2 G 5,2 ,所以2+1 2 2=2,当且仅当2=5,即7=1时，取等号.11所以 W2,即 最大值为5.1 6分解法二：当尸0斜率不存在时，在在2+产=1中，令x=-l得y=.-J 2 1 11所以O P-O Q =Tx（1）+学 义（刀）=5,此时

15、a=1 1,2 .2当P。斜率存在时，设为生则尸0的 方 程 是 尸 的+1）,由 得(l+2 N)N+4 F x+2一2=0,韦达定理-4k2 2k2-21 +2*/币 后4设 P(x”为),0(x2,yi),则 O P-O 0 =X|X2+yy2=X)X2+左2(X +1)(X2+1)=(4-+1)X|%2 +左-(X|+/)+后-=(公+1)2k2-21 +2左 2-4k21 +2左 2上221 +2公6分1 5 1-1-).(x+1)(2 x-l)所以r(x)=x 2 e .2分1令/)=0,得工1 =_ 1,应=2,列表X(c o-1)-1(-1.0)(0，12)121(2，+)m+

16、00+,f(x)/极大值极小值/1由表知/的极大值是/(l)=e T,/(x)的极小值是/日)=4 表.4b(2)因为8(%)=(4 工一户一/,(工)=(0 一工一2 4)铲，b当。=1 时，g(x)=(x x2)ev.因为g(x)2 l 在(0，+)上恒成立，x所以bW Nl t e x 在(0,+8)上恒成立.8 分x(%1)(2 e x+1)记力(x)=N 2 x e x (x 0),则(x)=e x .当 OV x V l 时，/?r(x)l时，X r)0,()在(1,+8)上是增函数.所以(x)m in=例 1)=-1e i.所以b的最大值为一1e 7.10 分b解法二：因为 g

17、(x)=(a xa)f(x)=(ax%2a),h当 a=l 时，g(x)=(x x 2)e 因为g(x)2 l 在 (0,+)上恒成立，b所以 g(2)=-2e20,因此 h0.6 分b b(x 1)(x 2 b)e xg，(x)=(l +立)铲+(工一工_2)a=12因为6 V 0,所以：当 O V x V l 时，/(%)l时，g (x)0,g(x)在(1,+8)上是增函数.所以 g(x)m in=g(l)=(-l-b)e T.8 分因为g(x)2 1在(0,+0 0)上恒成立，所以(一1一堆 一 闫,解 得 6 W 1e f因此b的最大值为一1-e-1.10分b b b解法一：因为g(x

18、)=(ax%2 a)e S所以g%)=0 2 +办一x 4 厅.b b b由 g (x)+g (x)=0 得(x x 2)k+(工 2+工 x q)e y=O,整理得 2 ax 3 3 ax 2 2 b x+b=0.存在 x l,使 g(x)+g x)=O 成立，等价于存在 x l,2 狈3 3a x2-2 b x+b=0 成立.12分b 2 x 3-3 x 2因为。0,所以。=2 丫-1.2 x 3-3 x 2设(x)=2 丫-1 (X 1),则/(%)=因为x l,口)0 恒成立，所以(x)在(1,+8)是增函数，所以(工)(1)=-1,b b所以1,即 的取值范围为(-1,+00).16

19、分bb b解法二：因为 g (x)=(a xx2a)cx9 所以 g (X)=(X2+Q Xx 白 把 二b b b由 g (x)+g (x)=0，得(分一%2 a)e*+(x 2+ax x a)e*=O,整理得2 分3 3 以2 2 b x+=0.存在1,使 g(x)+g )=O 成立，等价于存在x l,2 0 r 3 3。/-2 队+6=0 成立.12 分设 u(x)=2a x3 3a x22b x+b(x 2 1)u(x)6a x26a x2b=6a x(x 1)2/?-2b 当 Z?WO 时，u(x)2 0此时“(x)在 1,+8)上单调递增，因此(x)2(l)=4 b因为存在x l,

20、2 ax 3 3 =2 2 b x+b=0 成立b所以只要一QbVO即可，此时一1VWO.13分3当 b0 时，令 x0=2 1,得3)=60,又(1)=一。一6 l,2633如226x+b=0成立，此时 0.15分h综上有。的取值范围为(-1,+8).16分20、解：(1)解法一：因为的，%，的成等差数列，设公差为力 则的=3 2d,4=3d.(3-267)2因为。2,的，。4成等比数列，所以。2=3 d.3 分(32.2 3 3因 为 做=1，所 以 3 d=1,解得=2,或 d=4.因 为 为 0,所以d=4.1因为“1，如。3成等差数列，所以。1=2。2。3=2(324)=2.5 分解

21、法二：因为4”。2,3成等差数列，。2,的，。4成等比数列，的，。4,小成等差数列，2 =Q+。3贝人=C t4，.3 分2。4 =%+33 3 1则 2%=。3+3，解得。3=或。3=-1 (舍)，所以 q=2-5=5。.5 分解法三：因为。1，。2,的成等差数列，则%=2%,因为。2,。3,。4成等比数列，则。4=(2)2.3 分因为的，。4，。5成等差数列，则2 4=。3+。5，则2(2-4 y=2-%+3解得：/=3 或 q =；当q =3 时，a3=-1(与%0 矛盾，故 舍 去)，所以为 二万.5 分(注：没有舍去一解，扣 1分)(2)证法一：因为。2-1，。2 ，。2+1成等差数

22、列，。2 ，。2+1，2+2成等比数列，所以=+军内-+4 a?午 1 =2“。2+2；所以 1=。2a-2。2 ，所 以也 22a2+242+2=2%”.因 为 斯 0,所以京2-2十击2二夕=2/%.7 分即数理U叫是等差数列.所 以 也 匹=展+(-1)(逐 一 我).由。2 及。2“-1，。2 ，。2+1 是等差数列，。2“，。2+1，。2”+2 是等比数列，(2切一司)2可得。4=一3 一.8 分所 以 痴 如=雁+(-1)而 一 痂)=.(a2-al)n+al2所以a 2n=配 .10 分(72 Hl)5+l)+a l2所以。2+2=2.(c?2 c?l)w+c?l(a2(31)(

23、+l)+al从而。2“+1 =击 2,2+2=a2.(a2 al)(n l)+a l(a2 al)+al所以白2 一 1=M.12分当=2?，m N*时，a n+1 或 a 2(a2 al)(/7+1)+al 配a n al =a l=(&2 al)%+al a l城 a l 2)2=al (a2 -al)6+al o.14 分当=2 加一1,tn N*,加22时，a n+1 a2 a 2(a 2 a l)/i+a l 配a n&1=3 1=(a 2 a )(/n-l)+al 司(加 一l)(al a2)2=a (2 al)(z z r 1)+5 1 o.a n+M综上，对一切 N*,有 加

24、v al.16分证法二：若为奇数且1 3时，则%,斯+为+2 成等差数列.a+2 a n+1 a n-2a n-a 2n+1 (2a n-1 a n)a na 2n+1 (a n+a n)2因为 a+l a n=a n-a n=a n+1 a n=a n+1 a n o,。+2 a n+1所以a+l W a n.9 分a n+2 a n+1若为偶数且2时，则 斯,an+l,即+2 成等比数列，所以助+1=a n.”分a n-2Q3由可知，对任意2,“GN*,刖+l W an忘。2.13 分a 3 a l 2 a2 al a l 2 a2 l-al 2。2 2 一Q2)2又因为。2。1=C I2

25、 a =a 2a =a2 al ,(a a 2)2 3 Q2因为。1 诙，所以一。2 al 0,即a2 al.15 分a n+a l综上，a n al.16 分.21、A.选修4一1：几何证明选讲解：(1)因为ZE与圆相切于点4,所以/B 4 E=N 4 C B.因为4 5=4 C,所以N/B C=N Z C 8.所以所以N E 8 C.因为8 D 4 C,所以四边形Z C B E 为平行四边形.4分(2)因为/E与圆相切于点Z,所以4E2=EB (E B+B D),即 62=E 8-(E 8+5),解得B E=4.根 据(1)有 A C=B E=4,B C=A E=6.A C C F 4 x

26、 8 8设 CF=x,由即4C,得BD=BF,即5=6 r,解得欠=3,即 3=3.10 分B、解：(1)由题意，得=2 ,即解得 a=2,6=4.所 以 4=.5分(2)解法一：A -,即=,所以.8分解得.10 分解法二：因为/=,所以/T=.7 分因为N =,所 以A x=.所以.10 分 C、解法一：以极点为坐标原点，极轴为x轴建立直角坐标系,则曲线夕=2 c o s。的直角坐标方程为。-1)2+y=1,且圆心。为(1,0).4分71直线。=4的直角坐标方程为y=x,因为圆心C(l,0)关于y=x 的对称点为(0,1),所以圆心C 关于y=x 的对称曲线为x2+(y_l)2=l.8 分

27、71所以曲线夕=2cos9关于直线。=%加)对称的曲线的极坐标方程为=2sin0.10分7t解法二：设曲线p=2cos。上任意一点为3,夕)，其关于直线，=4对称点为(0,。),则.6 分n将(“，夕)代入/?=2cos仇 得 0=2cos(2 0),即p=2sin。.兀所以曲线0=2cos。关于直线(9=4(0GR)对称的曲线的极坐标方程为p=2sin。.10分D、证：因为|x+5M=|3(x+y)_2(x_y)|.5 分由绝对值不等式性质，得|x+5y|=|3(x+y)-2(x-y)W|3(x+y)|+2(x-y)1 1=3|X+M+2|X-H W 3X6+2X4=I.即|x+5y|W 1

28、.分102 2.(本小题满分10分)解(1)记“恰有2 人申请4 大学”为事件4C42 X 22 24 8P(4)=34=81=27.8答：恰有2 人申请力大学的概率为27.(2)X 的所有可能值为1,2,3.3 1P(X=1)=34=27,C43 X A32+3 X A32 42 140(X=2)=34=81=27,C42 X A33 36 4P(X=3)=34=81=9.X 的概率分布列为：4 分X123P127142749I 1 4 4 65所以 X的数学期望 EQO=1 X2 7+2 X2 7 +3 X=2 7.1 0分2 3.解:(1)因为人 1求4)=*4)+4),所以 5 _/(

29、1)=1 0,则7 0)=2.1分因为/(”)是单调增函数，所以 2=Xl)A2)/(3)/()，又加)G Z,所以/(”+l)f()+l.首先证明：/()+1.因为/(1)=2,所以=1时，命题成立.假 设 片 做2 1)时命题成立，即必)2%+1.则泓+1 )2/6)+1 2上+2,即=A+1时，命题也成立.综上，.5分由己知可得/(2 ()=/(2)+/(+1),而/(2)=3,/(2)N2+1,所以 3/()为(+1)+2 +1,即/(+l)W3/()-2一l.下面证明：f(n)=n+.因为/(1)=2,所以”=1时，命题成立.假设=/(%2 1)时命题成立，即贝 I f ljc+1)

30、W 3/(*)一 2 4 1 =3伏+1)2%1 =%+2,又力+1)上+2,所以必+1)=什2.即n=k+时，命题也成立.所以/()=+1 .1 0 分解法二：由大1)=2,六2)=3,3)=4,丸4)=5,猜想二”)=+1.下面用数学归纳法证明：当=1,2,3,4时，命题成立.假设当 W A(左 4)时，命题成立，下面讨论=%+1的情形.k+人+3若在为奇数，则4+1为偶数，且2 W%,2 W k.上+1 A+1 左+3 上+3 k+3 k+5根据归纳假设知/(2)=2 +1=2 ,式2)=2 +匚2 .k+k+k+3因为人2)人 2)=y&+i)+火 2+2 1)=/口+1)+/(2),

31、k+3 k+5所以3 2=/+)+2,即(左+1)=左+2.k+2 k+4若氏为偶数,则左+2,左+4 为偶数，且 2 W 上2k+2 k+2 k+4 k+4 k+4 k+6根据归纳假设知/2)=2+1=2,42)=2+1=2.k+2 k+2 k+4因为大2)大 2)寸左+2)+穴 2+2 1)=左+2)+火 2),k+4 k+6所以3 2=+2)+2,即 必+2)=什 3.又k+1 =阴 肚+1)人4+2)=左+3.所以人4+1)=%+2因此不论人的奇偶性如何，总有人%+1)=%+2,即=4+1 时，命题也成立于是对一切 N*,加)=+1.解法三：因为/()单调递增，所以“+1)/()，又义)Z,所以7 5+1)芸/()+1,又人1)=2,所以/5)2 +1由已知可得：/(2*()=/(2)+/(+1)而寅2)=3,/(2 )2 2 +1所以 3/()2/(+1)+2+1,即：/+l)W 3/M)-2一l或者人+1)一2W3(/*()一 一 1)所以有人几十1)一2W3(/()一 一 1)32(/*(_ 1)-)33(/(n-2)w +1)W3(/(l)2)=0于是 y(+i)w +2又/(+1)2+2所以人+1)=+2,又4 1)=2所以-)=+1