2022年全国硕士研究生招生考试302数学二预测卷6和答案解析.pdf

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1、2 0 2 2年全国硕士研究生招生考试数学（二）预测卷（六）（科目代码：302）考生注意事项1 .答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生编号和考生姓名；在答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。2 .选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内。超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。3 .填（书）写部分必须使用黑色字迹签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用2 B铅笔填涂。4.考试结束,将答题卡和试题册按规定交回。（以下信息考生必须认真填写）考生编号考生姓名一、选择题：110小题,每

2、小题5分，共50分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的.1.设当z f 0时，函数/(J7)=arctan x-arcsinI是g(z)=ar3的等价无穷小，则常数a的值为A.0 x 0,2.若函数/(z)=4 0 =，在(-8,+8)内处处连续,则常数a的取值范围为sin xxa7 0A.0 a l.C.0 a 1.B.0 a 0,则有A./(1)-/(0)-2)力/()/(2)-/(1).B./(2)-/(1)/了(0)/(1)-/(0).c/(2)J(0)/(1)-/(0)/(2)-/(1).D./(l)-/(0)/(2)-/(l)/./,06.设 L=J sin,

3、I2=JJsin 二口或乂七卢)drdy,其中 D=(z,y)IDDD(工-1)2+6 1)242,则A.L V 72 V h B.13 V A V I-C.I3 V /|V I2.D.Iz V I3 /1.7.设二元函数 z=f(.x,y)的全微分 dz (3x2 3)dr+(6y 6)dy,则A./(1,1)是极小值,/(一 1,1)不是极值.是极大值(一 1,1)不是极值.C./(l,l)是极大值,/(一 1,1)是极小值.D./(l,l)是极小值,/(一1,1)是极大值.第2页(共8页)8.设3维列向量组6.电 a线性无关，则A.ai+0，。2+。3，。3+。1 线性相关.B.a+2

4、a2 a+2 a：0.B.0 a ；D.a 1.二、填空题：11 16小题，每小题5分，共3 0分.JC=e d,1 211.设 是 由 参 数 方 程 彳 所确定的函数.则#=y=/12.设函数 f(x)满足方程 z/C r)+/(1 外=/,则j/C r)c lr=.13.若直线y=z +2是曲线？=(a r+)e+的斜渐近线，则反常积分(1 2+/当d r的值为14 .微分方程y-y =的通解为.15.设z=z C r,y)是由方程F(2i+y-3z,f +V -4z)=0所确定的函数,其中函数F(u,v)具有连续偏导数，且=2.F：(1.1)=3,已知z(l,2)=1,则毕=.)工 1

5、 1 116.设a,d c为互不相同的实数，则a h c=0的 充 要 条 件 为.a3 护 c3第3页(共8页)三、解答题：1722小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题满分8 分）求极限1 皿（瞥 边 式）*.sin JC/18.（本题满分12分）设 f(jr)=()=COS 7,0,7T,门求 FCr)=fS g C r DckCr 0).第4页（共8页）1 9.（本题满分1 4 分）设 D =（,y）|-+*2 工&/+y 2&J f+2 +T ），求:（DD的面积；（2）D的周长；（3）D绕轴旋转一周所形成的旋转体的体积.第5页（共8页）2 0.（本题

6、满分1 2 分）计算二重积分 后不 s in（Q）+j y【d rd y,其中D是由曲线y =2 /（7&1）与直线D1 所围成的闭区域.第6页（共8页）21.（本题满分12分）设。=+求函数 f（r,y）=2x3+2y3 6z 6y+5 在区域 D 上的最大值与最小值.第7页（共8页）2 2.（本题满分1 2分）2 2 a设矩阵A=2 Q 2邛。2 222 ，线性方程组A x=f i有无穷多解.-4（D求常数a的值及方程组A x =2的通解；（2）求一个正交矩阵Q，使得QVA Q为对角矩阵.第8页（共8页）参考答案与分析卷一、选择题1 .【答案】B【分 析】.l i.m 七fC-r)r =h

7、 mJ-O g(X)i-oarctan 工arcsin z-lim上 7 仁 尸30rHm N/P K-C+X2)一。34丁 2(1+f)/1 一limL030r2(1+/2)一/2limr-026a 3a1如由于当H f 0 时，函 数/是 g 的 等 价 无 穷 小,因 此 限 淄=1，从而a-2,应选B.2.【答案】A+8,a 0.0.a V 1，lim f(x)=limlim-r-*o+1,j0a=1,+8,a L乂函数/(x)在(-8,4-o o)内处处连续则lim/(jr)=x-*0lim/(x)=/(0)=0,故 0 V a V Lr-*0+应选A.3.【答案】c【分 析】y=/

8、(力=21T2/+1=2/+1+1.2z+322M+3则有v)=_ 2.2”(_ D”L,(2+3)+(2 z+3 尸应选C4【答案】【分析】c令 g(3M+4,则/(上)由 /(J-)=0 解得函数 g(.r)的驻点为 JT=0,1=1.因为 g(0)=4,g(l)=3,g(2)=-24,g(2)=8,所以 max)=g(2)=8.niin q(z)=g(2)=24,且由零点定理，存在的 W(2,2),x6-2.2-2.2使 g(Zu)=0.于是,n)ax f(jc)=max|maxg(x)|,|min g(j)|=max 8.24 =24min/(x)=0.故 max/(x)4-min f

9、(x)=24+0=24.hW-2,2 -2.2应选c.5.【答案】A【分析】由于人工)在闭区间 o,2上二阶可导，由拉格朗日中值定理,存在&e (0,1),6 6(1.2),使得/(1)-/(0)=/($,)./(2)-/(I)=/(&).从而 2)0)=-2)/+“1)一 0)=，(&)+/(&)2-2-2由/(工)0知,/(工)在 0,2上单调增加，而0&2,因此/(?,)&).从而/(f i)/(&)#(&)0,且A 0,因 此 是 极 小 值.在驻点（一 1,1）处.A=-6,B =0,C=6.由 于 一B?=-3 6 +.8 0 28 0 =802=8a,4 =Q a 0=4a(2a

10、 1)0 a2 0 a应选C.二、填空题11.【答案】24产+32dyd/d【分析】2=半=畔=8,驾=考-=2 4，z/产=2北+32汽dr ax/ar ar Jdtdf12.【答案】J-x2+工 一In(/H+1)-arctan立 三 +C，其中C为任意常数2 73 73【分析】以1 一工代换原方程中的工,得(1一7)/(1 一外+/(z)=(l z)z.此方程与原方程联立,解 得 人 力=，一2f.于是3=J .三誓扣=f(-r+l+.二=+工+f 二侬 一!)一 1d x2十工十J JJ-J+I S1 2 ,f c K -x+l)d(L十)_#+LJ-J 7 r v v T(Lf )+

11、w=+工一ln(ar2-z+1)arctan 2HL 1+C.2 73 73其中C为任意常数.13.【答案】1 一零【分析】由于直线y=i +2是曲线y=(ar+6)e+的斜渐近线，因此1 =lim上位*=lim(a+立)e+=a,X-*o o X J C2=lim(ar+6)e+z1=lim(z+A)e+x=lim;r(e+1)+6 lime+=1+6,j o o j-oo所以a=1力=L于是r dr=一pcos 疝=1 缤J (X2+6)4 JI(/+1)号 J-f 2M.【答案】y=G e F+C z+H e,其中C I,Q为任意常数【分析】与原方程相应的齐次方程的特征方程为，-4 =0

12、,特征根为n.z=2,故与原方程相应的齐次方程的通解为Y=Ge-“+Cze巴由于自由项八外=ez，故可设原方程的一个特解为歹=Are?，.将其代人原方程得A=1.于是,=+_re匕因此，原方程的通解为y=G e+Cze2*+十 储，其中C ,C2为任意常数.15.【答案】-1【分析】令 G(.x,y,z)=F(2H+y-3 z,/+y 4z),则G：=2H+2xFv,G；=-3H 4H.于是dz=_ G：=_ 2H十 2zF；=2F；+2应五 一一匚 一-3F；-4F：3H+4F；用三 I=2式(1,1)+2 1 =_51KM|(|12)3 F；(M)+4FC(I,D-T ,1 6.【答案】a

13、 +b +c =O111【分析】ab0b-ac-ab30b3-a363 a3 a=(b-a)(c a)11 +/C2+/=(6 -a)(c -a)(c2 A2-Vac al)=(b a)(c a)(c 6)(a+6 +c).1 11因为a,仇c为互不相同的实数,所以a b=0的充要条件为a +6 +c =0.a3方三、解答题17.【解】./a r c si n x.o si n xa r c si n /si n /=e x p a r c si n /si n zsi n x(l c o s x)=e x p-l i m厂-0a r c si n z -si n z2=e x p l i m

14、1T-0+l i nJ q瞪工r-*0 3 2zxl i m 厂 A T+l i m 1工0=e x p =0 3 22X,is.mF(x)=y(/)g(x/)d/=0f(jc u)g()duo=J (J T u)g(w)du =g(u)du|ug(u)du.当0 工&冗 时,c o s udu “c o s udu=z si n r -0J 0d(si n u)=1 一当工 九时.于是,F(z)=F(x)=g(u)dw +J g(w)dwc o s udu+Oduw c o s u du +j O c l w )=2.1-COS N,2,一 14g()d+J w g(u0 4 z&7T,N

15、T T.19.【解】（1）在极坐标系中,D可表示为1-c o s6rWl+c o s&一 十4 0 0,y 0)上，令 L(z,y,入)=2x3 4-2y3 6/6 y +5+/(7+y 3).=6/6 +久=0,则由方程组v Lfy=6y2-6 4-A=0,解得-6/+5.令 (工,0)=6/6 =0,得 fCr,y)在边界y=0(0 4 z&3)上的驻点(1,0).由于/(0,0)=5 J(3,0)=41=因此/(z，W 在 D 的边界y =0(0&/4 3)上的最大值为/(3,0)=41.最小值为/(E0)=1.同理./(z,y)在 D 的边界z =0(0(y&3)上的最大值为f(0,3

16、)=41.最小值为/(0.1)=1.综合以上讨论，得1,m a x/(z,y)=/(3,0)=/(0 3)=41.m i n j(i,y)=-3.22.【解】(1)(A：P)22220a 22；222a2：20a-2 2-a0:-402-a 2-1 24 a22-t2:04 a-1-ci2:-4 a22-y(a-2)(a +4)一(a +4)222002200a 22 a00显然当a =2 时.r(A)=1,厂(A当a =4 时，)=2,方程组加=少无解.22(A)=-4-422-421 0-12 0 1-1-40 0 00022此时,N A)=r(A：)=2 3方程组Ar =P有无穷多解，其

17、通解为(2)当 a =4 时，|A E-A|=为任意常数).一2 A+4 -2=乂入+6)。-6).令|A E-A 1 =0 解得 A4-2 A-2的三个特征值为为=6,22 =6,23 =0.对于特征值入=6,对 6 E A 作初等行变换,得6 E-A4-2 4-2 10-24-2040100104-2 4000000-1故A的对应于特征值九=6的线性无关的特征向量为a =01对于特征值=6.对一6七一4作初等行变换.得对于特征值M=0.由(1)知，卜|是方程组(0E 4)x=0的一个基础解系.故4的对应于特征值A3=0的线性无关的特征向最为a,=|l j.由于A是实对称矩阵，故a .a ,图是正交的，将其单位化.得6 0 0,则有=A=0-6 00 0 0.1乃Iy3ly31/6,2761V61一&。1-笈Q=