2022-2023学年上海九年级数学上学期同步精讲第04讲相似三角形的判定一(含详解).pdf

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1、第4讲相似三角形的判定N相似三角形的定义与书写一 相似三角形的传递性与预备定理知识梳理一J相似三角形的判定定理1：简记A AJ相似三角形的判定定理2：简记S A Sr 利用判定定理三角形相似的判断与证明题型探究：选条件或添条件得到相似三角形I根据三角形相似求长度、比例等课后作业 知识梳理1.相似三角形的定义如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形.由相似三角形的定义，可知这两个三角形相似.用符号来表示，记作AADESAABC,其中点A与点A、点。与点3、点 E与点C 分别是对应顶点；符号“S”读作”相似于，.用符号表示两个

2、相似三角形时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“A ”后相应的位置上.根据相似三角形的定义，可以得出:（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相 似 比（或相似系数）.（2）如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似.（3）设A48C与 凶 。的相似比为匕 0 与AABC的相似比为L 当两个相似三角形的相k似 比4 1时，这两个三角形就成为全等三角形.全等三角形一定是相似三角形，全等三角形是相似三角形的特例.注意：两个相似三角形的相似比与表述这两个三角形相似的顺序有关.2.相似三角形具有传递性（判定方法）：如果两个三角形

3、分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似.符号语言：MBCDAA.BjCnAA.BjQ DM2B2C2（AA8CDM2B2C2（相似三角形的传递性）3.相似三角形的预备定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似.4.相似三角形判定定理1如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似.可简述为：两角对应相等，两个三角形相似.如图，在 AABC 与 A4,4G 中，如果 Z4=NA、N B =印,那么 44q.5.相似三角形判定定理2如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.可简述为：两边对

4、应成比例且夹角相等，两个三角形相似.AR AC如上图，在 A A B C 与 8 G 中，N A =NA，=-，那么 A A B C A A,8 1 G.AA 4G常见模型：w题型一、相似三角形的判定与证明瓦【例1】（1）根据下列条件判定A A B C与ADEF是否相似，并说明理由；如果相似，那么用符号表示出来.(1)Z A =ZD=7 0,Z B =6 0,ZE=5 0；(2)Z A =4 0,Z B =8 0,Z E=8 0,ZF=6 0 .（2）如图，是平行四边形A B C。的边84延长线上的一点，CE交4）于点F.图中有哪几对相似三角形?(3)如图，四边形4 3 a)的对角线A C与

5、度)相交于点O,0 4 =2,0 3 =3,O C =6,8 =4.求证：Q4 Q与A O B C是相似三角形.(4)如图，点。是 必5 c的 边 匕 的 一 点，J&A C2=AD.AB.求证：A ACD AABC.T举一反三1 .如图，Z 1=Z 2=Z 3,那么图中相似的三角形有哪几对？2 .根据下列条件，判断和是否是相似三角形；如果是，那么用符号表示出来.(1)ZA=45,AB=2cm,AC=5cm,ZD=45,(2)ZA=45,ZE=45,(3)ZA=45,二 45。，DE=16cm,AB=2cm,ED=20 cm,AB=2cm,ED=6cm，DF-20cm；AC=15cm，EF-1

6、6cm；AC=T 5cm,EF=20cm.3.（2020年九年级上课时练习）如图，BD、AC相交于点P,连接BC、A D,且1=2,求证：EADPQnBCP.4.如图，AABCs 根 9 c,点 、。分别对应点5、C.求证：M CC1.w题型二、选择或补充条件使三角形相似人【例 2】（1）（2020 上海九年级月考）如图，D D A B O C A E,请补充一个条件：,使ABCQQADE.D-（2）（2021北京九年级一模）如图，中，B C B A,点。是边8C 上的一个动点（点。与点B,C不重合），若再增加一个条件，就能使与AABC相似，则 这 个 条 件 可 以 是（写出一个即可）.（3

7、）（2020 上海九年级一模）如图，点 D、E 分别在I3ABC的 AB、A C边上，下列条件中：【口=：；净4 P 芸DF;口AD叫 煞AF 使ADE与 ACB一定相似的是（）C.D.（4）（2021 陕西高新一中八年级期末）如图，。是 4A3 c 边 上 一 点，添加一个条件后，仍不能使ACDSAABC 的 是（）A.ZACD=/BB.AADC=AACB C.AC2=AD-AB D.-=-AC BC（5）（2021广西九年级期末）如图，AD,BC相交于点O,由下列条件仍不能判定AO B与DOC相似的是（）A.ABDCD 举 一反三B.nc=nBCc -O-A-=-O-B-OD OC一 OA

8、 ABD.-=-OD CD1.（2021湖南九年级期末）如图，点尸在AABC的边AC上，要判断AA5PA A C B,还请你添加一个条件:A n2.（2021 上海九年级一模）如图，点D在AA6 c的AB边上，当二不.时，ACD与ABC相似.AAr A R3.（2019上海）如图所示，给出下列条件:口/B =/A C D E/A D C =/A C B；U=UE A C 2=A D AB,CD BC其中单独能够判定 ABCSAACD的个数为（）A.4B.3C.2D.14.（2021北京清华附中九年级期末）如图，点。在 aABC的边AC上，要判定与相似，需添加一个条件，则以下所添加的条件不正确的

9、是（）A.Z A B D =Z CB.NADB=Z.ABC C.-=-AB A Cc AB DBD.=A C BC君题型三、利用相似三角形证线段成比例、求长度、角度等【例 3】（1）如图，D、E 分别是AABC的边AB、AC上的点，S.Z A E D=Z B.求证：AEAC=AD-AB.(2)如图，RrAA8c在中，Z C =90,C D L A B 于点D,且 4):3 0 =9:4,求 AC:8 C 的值.DAR(3)(2020 上海市静安区实验中学)已知：在DABC中，点 D、E 分别在AC、AB边上，且口ADE=C!B,若 AE=2,BE=3,A D=3,求 CD 的长.(4)(202

10、0 上海市静安区实验中学)在-1ABC中，D 为 AB上一点，过点D 作一条直线截D A B C,使截得的三角形与DABC相似，这样的直线可以作()A.2 条 B.3 条 C.4 条 D.5 条(5)(2020上海市位育初级中学九年级期中)如图，在 ZVWC中，AB=6cm,AC=8 c m,。是AB上一点且AD=2 c m,当 AE=c m 时，使得 AADE与 AABC相似.(6)(2021 天津九年级期末)如图，尸为四边形/B C D 边C D上一点，连接“尸并延长交B C延长线于点E,已知 N=N CE.(1)求证：A A D F s公ECF；(2)若 为 平 行 四 边 形，A3=6

11、,EF=2 A F,求尸。的长度.举一反三1.如图，在矩形ABCD中，点 E 是边8 C 的中点，且。E _L A C,那么CD:AD=2.（2020上海市静安区实验中学）如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=1,点 E 是 DC上一点，UDAE=LIBAC,则 EC 的长为.3.（2020 上海市静安区实验中学）在DABC中，D 为 AB上一点，且 AD=1,AB=4,A C=7,若 AC上有一点 E,且E3ADE与原三角形相似，则 AE=.4.（2021 四川九年级一模）在RtABC中，NC=90。，NA=30。，点 P 为 AC中点，经过点尸的直线截A ABC,使截得的三角形与AM C

12、相似，这样的直线共有 条.5.（2019上海浦东新区）如图：四边形ABCD对角线A C与B D相交于点O,OD=2OA,OC=2OB.（1）求证：nAO BanDO c；（2）点E在线段OC上，若A B H D E,求证：OD2=OEOC.力作业1.（2020上海市静安区实验中学）如图，A D E=D A C D=D A B C,图中相似三角形共有（）A.1对B.2 对C.3 对D.4 对2.（2019上海民办桃李园实验学校九年级月考）如图，在四边形N8CD中，A D/B C,如果添加下列条件,不能使得LZ8C 匚。成立 的 是（）B1-C.A.BAC=LADC B.B=JACD C.A(?=

13、ADBC D.=AC BC3.（2019 上海九年级期中）如图，在 ABC与ADE中，1B A C=1D,要使DABC与DADE相似，还需满足下列条件中的（）AC ABAD AEAC BCAD DEAC ABAD DEAC BCADAE4.（2019上海市嘉定区怀少学校）下列命题中，错误的结论是（）A.如果两个三角形都是等腰三角形且顶角为100。，那么这两个三角形相似B.如果两个三角形都是直角三角形，那么这两个三角形相似C.如果两个三角形都是等腰直角三角形，那么这两个三角形相似D.如果两个直角三角形都有一个内角等于30。，那么这两个三角形相似5.（2019 上海九年级期末）如图，如果=,那么添

14、加下列一个条件后，仍 不 能 确 定 和 ADE相似的是（）.AB DEADBCB.ZC=ZAEDc AB ACD.=AD AE6.（2018上海九年级期中）如图，在n/B C 中，点。、E 分别在边Z3、A C ,DEIBC,Q ACD=D B,那么下列判断中，不正确的是（）A.2ADEV2ABC B.QCDEDQBCD C.JADEQQACD D.UADEQUDBC7.（2020上海市静安区实验中学）已知一个三角形的两个内角分别是30,70,另一个三角形的两个内角分别是701 80,则这两个三角形（）A.一定相似 B.不一定相似 C.一定不相似 D.不能确定8.（2020上海市静安区实验中

15、学九年级专题练习）如图：在 AABC中，点。在边A 8上，且/4C D =N 3,过点A作 AE CB交 C。的延长线于点E,那么图中相似三角形共有（）D.3 对9.（2018上海黄浦区中考模拟）如图，在1ABC中，CB=80。，QCMO0,直线1平行于B C.现将直线I绕点A 逆时针旋转，所得直线分别交边A B和 A C于点M、N,若 AMN与ABC相似，则旋转角为（）A.2 0 B.40 C.6 0 D.8 0 1 0.（2 0 2 0 上海九年级三模）如图，己 知 与 都 是 等 边 三 角 形，点。在边/C上（不与点/、C重合），OE与4 8相交于点R那么与口8中 相 似 的 三 角

16、形 是（）A.QBFE；B.DBDC；C.QBDA；D.QAFD,1 1.（2 0 1 9上海市育才初级中学九年级月考）已知 A 6 C中，D、E分别在4 3、4 c上，下列条件中，能推断AADE与A/C相似的有（）个4 n AR D 5 r）+D C=1 8 0；UAD AB=AE AC；AD-BC=AB-DE；0 =9 0,且=DE BCA.1 B.2 C.3 D.41 2.（2 0 2 1 天津九年级期末）下列条件中可以判定43 CS2 XA?C的 是（）A.ABAC-AB,A C 一B.ABA C -AB,AC，SBABA,B,ABACC.-D.-zACA!CABAC1 3.（2 0

17、2 1河北九年级一模）已知图（1）、（2）中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图（2）中 力8、CD交于。点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是（)DA.只 有（1）相似 B.只 有（2）相似 C.都相似D.都不相似1 4.如图，。是AM C的A B边上的一点,在直线A C上找一点E,使得AADE与“A B C相似，则满足这样条件的E点 有（）A.0个 B.1个C.2个 D.1个或2个1 5.（2 0 2 1 北京九年级期末）如图，点E分别在口48。的A S,A C边上.只需添加一个条件即可证明D A D E D a A C B,这 个 条 件 可 以 是.（写出一个即可

18、）1 6.（2 0 2 0上海市静安区实验中学）点D在“3 C的边A B上，且4 C2=ADAB,则AABCAA C Q,理由是.1 7.（2 0 2 r上海九年级二模）如图，在矩形4 88中，AB=3,8 c=4,点P为射线8 c上的一个动点，过点尸的直线尸。垂直于“尸与直线C D相交于点0,当5 P=5时，CQ=.18.（2019上海第二工业大学附属龚路中学九年级月考）AAfiC中，AB =O,AC=6,点。在 AC上，且 相 =3,若要在4 8 上找一个点E,使A40E与A4BC相似，则 A E=_.19.（2021 吴江市实验初级中学八年级月考）如图，四边形ABEG、G E F H、都

19、是正方形.请你在图中找出一对相似比不等于1 的相似三角形，并说明理由.20.（2020 上海市静安区实验中学）如图，3C=90,AC=CD=DE=BE,试找出图中的一对相似三角形，并加以证明.CDEB2 1 .(2 0 1 7 上海九年级期中)己知：如图，在n 4 3 c 中，点。、E分别在边/8、AC .,且BE、C D 交于点G.(1)求证：DAEDD DABC；(2)如果8 E 平分E I4 3 C,求证：DE=CE.2 2 .如图，在 R/A A 6 C 中，AB=AC,ZDAE=45.求证：(1)/SABE DCA-,(2)BC2=2BE.CD.2 3.如图，A 4 B C 中，A

20、B =AC,点。是上的动点，作A E D CA A B C.求证：(1)A A C ES M CD；(2)AE/BC.2 4.如图，在A A fiC中，ABAC,4)，至 于 点A ,交3 c边于点E,0 c J_ B C于点C ,与AD交于点。.(1)求证：M C E s A A D C；(2)如果C E =1,C D=2,求 A C 的长.D第 4讲相似三角形的判定P相似三角形的定义与书写一 相似三角形的传递性与预备定理知识梳理一(相似三角形的判定定理1:简记A AI相似三角形的判定定理2：简记SA S 利用判定定理三角形相似的判断与证明题型探究选条件或添条件得到相似三角形I根据三角形相似

21、求长度、比例等课后作业 知识梳理1.相似三角形的定义如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形.由相似三角形的定义，可知这两个三角形相似.用符号来表示，记作AADEs AABC,其中点A与点A、点。与点3、点E与点。分别是对应顶点；符号“s”读作“相似于，.用符号表示两个相似三角形时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“A”后相应的位置上.根据相似三角形的定义，可以得出:(1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例；两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比(或相似系数).(2)如果两个三角形分别与同一个三角形相

22、似，那么这两个三角形也相似.（3）设A48C与 入4。的 相 似 比 为 匕AA7XE与AA8C的相似比为,，当两个相似三角形的相k似 比4 1时，这两个三角形就成为全等三角形.全等三角形一定是相似三角形，全等三角形是相似三角形的特例.注意：两个相似三角形的相似比与表述这两个三角形相似的顺序有关.2.相似三角形具有传递性（判定方法）：如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似.符号语言：V AA,B1C,M,B,C,AA2B2C2；A AABC AA2B2C2（相似三角形的传递性）3.相似三角形的预备定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似.

23、MBCSMDE SABCADEMBCSMED4.相似三角形判定定理1如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似.可简述为：两角对应相等，两个三角形相似.如图，在 AABC 与 A4,4G 中，如果 Z4=NA、ZB=ZB,那么 AABCS A4S G.5.相似三角形判定定理2如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.如上图，在 A A B C 与 A 4.A G 中，N 4 =NA，=那么 AABCs 入416G.4与AG常见模型:龛 一题型一、相似三角形的判定与证明【

24、例 1】（1）根据下列条件判定AABC与 A Z）口 是 否 相 似，并说明理由；如果相似，那么用符号表示出来.(1)Z 4 =Z D=7 0,Zfi=6 0,NE=5 0；(2)ZA=40,Z B=8 0,Z E=8 0,Z F =6 0.【答 案】(1)相 似，A A B C ADFE；(2)相似，A A B C ADEF.【解 析】（D 因为三角形内角和1 8 0。,可得 NC=5 0 o=NE,又因为 N A =N =7 0。,在 A B C 和 ADF E中,4:4 日,，所以 A A 3 C s/SDFE-.ZA=ZD(2)因为三角形内角和1 8()。，可得N C =6 0 =NF

25、,又在 A A 3 c 和 )尸 中,4 =4，所以A A 3 Cs A D F E；(2)如图，E是平行四边形A B C D 的边5 4 延长线上的一点，C E 交 A D 于点、F.图中有哪几对相似三角形？【答案】3 对，AEAF s EBC,A A F s A )C F,A E fiC s C D F.【解析】,.,A B C D A ABH CD,AD/BC:.N E =N D C F ,N E A F =N E B C4 E B C =N D在A A E F和A D C F 中，X)Qp=.由“ADC?(两角对应相等，两个三角形相似)；在 MCE和A D F C 中,Z E -Z D

26、 C FN E 8 C =/Mi WC (两角对应相等，两个三角形相似)；AAAFEACFDABCE故答案为：3.(3)如图，四边形4 3 a)的对角线AC与 度)相交于点O,04=2,03=3,O C =6,8=4.求证：0 0与AOBC是相似三角形.【答案】证明过程见解析.【解析】证明：04=2,OB=3,O C =6,8=4,OA 2 O D 4 2 OA O C一 而 一 屋 工 一5 一“一 砺 历在 O A D与 O B C中，O A _ O D 8 4,点。是边8C 上的一个动点（点。与点仇C 不重合），若再增加一个条件，就能使与AABC相似，则这个条件可以是_ _ _ _ _（

27、写出一个即可）.【答案】答案不唯一，如：N B A D=N C【解析】：Z D B A=Z C B A,根据两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似,，添加的条件是。8：BA=AB：B C；：N D B A=N C B A,根据两组对应角对应相等相等的两个三角形相似,，添加的条件是N B A D=Z C：故答案为：DB-BA=AB：BC 或 Na4D=NC.(3)(2020上海九年级一模)如图，点 D、E 分别在ZkABC的 AB、AC边上，下列条件中:Z A D E-Z八八AE D E 人 A D AE.八,、c；;(3)=.使ADE 与aACB一定相似的是()AB BC A C ABA.

28、B.C.D.【答案】C【解析】VZDAE=ZBAC,.当A D E=/C 时，ADES A C B,故符合题意,当 空=匹 时,AB BC.NB不一定等于NAED,AA D E与A A C B不一定相似，故不符合题意，A f-）A p当 罢=嘤 时,，A A D E-A A C B.故符合题意，AC AB综上所述：使A A D E与AACB 一定相似的是，故选：C.（4）（2021陕西高新一中八年级期末）如图，。是I BC边A 8上一点，添加一个条件后，仍不能使 A C D s A A B C 的 是（）A.Z 4C D =Z BB.N A D C =N A C 3 C.AC=A D,AB D

29、.-=-AC BC【答案】D【解析】A、当N A C E=N B时，再由N A =N A，可得出A A 8-A A B C,故此选项不合题意:B、当N A D C =N A C B时,，再山Z 4=N4,可得出,故此选项不合题意;ADC、当它山 他时，即 行=就，再由5可得出A A 3 A A B C，故此选项不合题意;D、当 第=器 时，无法得出4B C，故此选项符合题意.故选：D.（5）（2021 广西九年级期末）如图，A D,B C相交于点O,由下列条件仍不能判定AAOB与A D O C相似的是（）BAA.ABCDB./C=N B-OA OBC.-OD OCc OA ABD.-=-OD

30、CD【答案】D【解析】A、由ABCD 能判定A A O B sD O C,故本选项不符合题意.B、由NAOB=NDOC、N C=N B 能判定AAOBSDOC,故本选项不符合题意.C、由 器=黑、/A O B=N D O C 能判定A A O B saD O C,故本选项不符合题意.n A A ftD、已知两组对应边的比相等：=,但其夹角不定对应相等，不能判定AA O B与zxDOC相似，故本选项符合题意.故选：D举一反三1.（2021 湖南九年级期末）如图，点尸在AABC的边AC上，要判断A4BP A A C 8,还请你添加一个条件:【答案】ZABP=N C【解析】,：Z A=Z A.要使得

31、4 0 8,只需要利用三个角都相等的方法即可可以添加的条件为：/A B k/C故答案为：Z A B P=Z C.2.（2021上海九年级一模）如 图，点D在AABC的A 8边 上，当二厂=时，与相似.【答 案】瓦【解 析】由/B A C=/C A D共用,当 处=处0寸,AC AB/A C D -4 A B e.AT故答 案为：ABAR3.（2019 上海）如图所示，给出下列条 件：NB=/A C D；NADC=/A C B；（）=；C D B CAC2=A D-A B,其中单独能够判定AABCSACD的 个 数 为（)A.4B.3C.2D.1【答 案】B【解 析】解：N8=NACD,N 4为

32、公共角，/.AABCAACD；(2)V ZACB=ZADC,N N 为公共角，Z.A B C A C D；虽然缶AC=器AR，但N/不是已知的比例线段的夹角，所以两个三角形不相似;AR V A C-A D.A B,；.-=-)又 N A 为公共角，.A B C s.c，综上，单独能够判定ABCsACD的个数有3个，故选B.4.（2021北京清华附中九年级期末）如图，点。在AABC的边AC上，要判定4 5 8与AM C 相似，需添加一个条件，则以下所添加的条件不正确的是（）A.ZABD=NC B.ZADB=ZABC C.=AB AC【答案】D【解析】解：V ZABD=ZC,ZBAD=ZCAB,c

33、 AB DBD.=AC BC二AABO A A CB,故A正确;V ZADB=ZABC,ZBADZCAB,：.A B D A A C B,故 BE确;AAB。A A CB,故 C 正确:D选项的条件不可以证明，它不满足相似三角形的判定条件.故选：D.题型三、利用相似三角形证线段成比例、求长度、角度等瓦【例 3】（1）如图，D、E 分别是AA8C的边A B、AC上的点，且/A D=N 5.求证：AEAC=ADAB.【答案】证明过程见解析.【解析】证明：.N A E )=Z B,Z A =N A,.AAD s AABC,.A D _ A E,就 一 罚 即 AEAC=ADAB.(2)如图，&A A

34、BC 在中，ZC=90,C D 上 AB 于点 D,且 AD:30=9:4,求 AC:3 c 的值.【答案】3:2.【解析】ZACB=90,B P Z A C D+Z B C D =90 ,又CJ_A B,可得NACZ)+NA=90.：.ZA=NBCD.又 ZADC=ZBDC=90,/.M CD s CBD，AD DC ACDCBDC：AD:BD=9:4,设 =(%0),则 比 =4 Z,代入可得：DC=6k.:.AC:BC=AD:DC=9k:6k=3:2.(3)(2020上海市静安区实验中学)已知：在AABC中，点 D、E 分别在AC、AB边上，且/A D E=/B,若 AE=2,BE=3,

35、A D=3,求 CD 的长.【答案】C D 的长为g【解析】；/A D E=/B,ZA=ZAAAADEAABC.AE _ AD*A C-AB.A-!AC 5(4)(2020 上海市静安区实验中学)在AABC中，D 为 AB上一点，过 点 D 作一条直线截aA B C,使截得的三角形与AABC相似，这样的直线可以作（）A.2 条 B.3 条 C.4 条 D.5 条【答案】C【解析】满足条件的直线有4 条，如图所示：如图 1,过 D 作 DEA C,则有 BDES/BAC；如图 2,过 D 作 DEB C,则有AADES/ABC；如图 3,过 D 作N A ED=N B,又N A=/A,则有AAD

36、ESACB；如图 4,过 D 作N B E D=/A,又/B=N B,则有 BEDs/BAC,故选：C.（5）（2020上海市位育初级中学九年级期中）如图，在A4BC中，AB=6cm,AC=8cm,。是 A 8上一点且AD=2 c m,当 AE=cm 时，使得 AADE与 AAfiC相似.【答案】或 1.5【解析】解：分两种情况:第一种情况：如图，过D作D E|A C于点E,则 A =丝/C =2 x8=s;A B 6 3第二种情况：如图，A A D E-A A C BAn 2贝lj A E =A B =-x6 =1.5A C 8Q故答案为 或1.5.（6）（2 0 2 1 天津九年级期末）如

37、图，F为四边形/B C D边C D上一点，连接力尸并延长交8 c延长线于点E,已知 N =N D C E.（1）求证：A A D F s八ECF；（2）若/8C D为平行四边形，A B =6,EF=2 A F,求E D的长度.【答案】（1）证明过程见详解；（2）2【解析】（1）证明：V Z D =ZDCE,Z A F D=Z E F C,:.ZADF s/ECF；（2）解：四边形ABCD是平行四边形,AAD/7BE,AB=CD=6,AAF：EF=DF：CF,又:AD=.【答案】x/2:2.解析】四 边 形 是 矩 形,:.AD=BC,AD!IBC,ZADC=ZBCD=90.DE LAC,:.Z

38、EDC=ADAC.,.AADCs ADCE,CD CE设 M =a,则 CE=,8 C =La,由此可得：CD=a,CD:AD=-a:a =/2:2.2 2 2 22.（2020上海市静安区实验中学）如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=1,点E是DC上一点，ZDAE=Z B A C,则EC的长为【答 案】|3【解 析】解：矩形 4 5 8 中，DC=AB=2,AD=BC=.又；NDAE=NBAC,ND=/B,：./ADES4ABC,:.A B：AD=BCz DE,:.DE=g,：.EC=DC-DE=-.223.（2020 上海市静安区实验中学）在AABC中，D为AB上一点，且AD=1,AB

39、=4,A C=7,若 AC 上有一点E,且AADE与原三角形相似，则AE=【答 案】7十4I或7【解 析】解：4/7 An如图 1,当ADES2ABC 时，=AC ABHr.AE即：=4fAE=-4Ap An(2)如图 2,当aA D EsaA C B 时，=一二,AB ACHnAE 1即：二 叫7 4故答案为：I 或4.(2021 四川九年级一模)在Rt4ABe中，NC=90。，ZA=30，点。为 AC中点，经过点尸的直线截 A B C,使 截 得 的 三 角 形 与 相 似，这样的直线共有 条.【答案】3【解析】解：过点尸作PE/8 交 于 点 E,ACPESACAB.过点 P 作 PF/

40、BC 交 AB 于点 F,/PFs/V fC B.过点尸作P G J_/8交 于 点 G,2 P G A s丛BCA.故满足条件的直线有3 条，故答案为：3.5.(2019上海浦东新区)如图：四边形ABCD对角线A C与 BD相交于点O,OD=2OA,OC=2OB.(1)求证：AOBS ADOC；(2)点 E 在线段O C上，若 ABD E,求证：OD2=OEOC.D【答案】证明过程见解析【解析】证明：(1)V0D=20A,0C=20B,.OA _ 1,O D O C 2 XZAOB=ZDOC,AAAOBADOC.(2)由(1)得：AOBs/DOC.AZABO=ZDCO.ABDE,AZABO=

41、ZEDO.ZDCO=ZEDO.VZDOC=ZEOD,AADOCAEOD,OD OCOE OD.OD2=OEOCeu业1.（2020上海市静安区实验中学）如图，ZADE=ZACD=Z A B C,图中相似三角形共有（）A.1对B.2对C.3对D.4对【答案】D【解析】试题分析：V ZADE=ZACD=ZABC,，DEBC,AADEAABC,；DEBC，/.ZEDC=ZDCB,V ZACD=ZABC,.E D C A D C B,同理：ZACD=ZABC,ZA=ZA,A A B C A A C D,ADE ABC,AABCC-AACD,.ADES AA C D,二共 4 对，故选 D.2.（201

42、9上海民办桃李园实验学校九年级月考）如图，在四边形4 8 8中，AD/BC,如果添加下列条件，不能使得/B C s Z V o a成立的是（）A.ZBAC=ZADC B.ZB=ZACD C.A(?=AD-BC D.=AC BC【答案】D【解析】解：A.：AD/BC,;D A C=N B C A,当。时，则/B C s/X C C/；B.：AD/BC,ZDAC=ZBCA,当时，贝C.：AD/BC,：.ZDAC=ZBCA,AC An由 AC2=AD-BC 变形为-=，则/S C sA JX N；BC ACD.：AD/BC,：.ZDAC=ZBCA,当-=-时，不能判断4ABCsOC4.AC BC故选

43、择：D.3.（2019 上海九年级期中）如图，在AABC与aA D E中，Z B A C=Z D,要使AABC与aADE相似，还需满足下列条件中的（)EA C ABA.-.A D AE A C BCB.-A D D EC.A C ABADDE A C BCL).-A D AE【答案】CAr AR【解析】解：“AC”，-AAABCAADE.故选C.4.（2019上海市嘉定区怀少学校）下列命题中，错误的结论是（)A.如果两个三角形都是等腰三角形且顶角为100,那么这两个三角形相似B.如果两个三角形都是直角三角形，那么这两个三角形相似C.如果两个三角形都是等腰直角三角形，那么这两个三角形相似D.如果

44、两个直角三角形都有一个内角等于30。，那么这两个三角形相似【答案】B【解析】解：儿 两 个 顶 角 为 100的等腰三角形是相似三角形，故正确，B.两个直角三角形的锐角不一定相等，那么这两个三角形不一定相似，故错误,C.两个等腰直角三角形都是相似三角形，故正确，D.有两组角相等的三角形是相似三角形，故正确，故选：B.5.（2019 上海九年级期末）如图，如果Z B A D Z C A E,那么添加下列一个条件后，仍不能确定AABC和ADE相似的是（）.A.ZB=ZDAB D E A D BC【答案】CB.Z C =Z A E Dc AB A CD.=A D AE【解析】V ZBAD=ZC4E,

45、A ZZM=ZBAC,AA,B可由两角对应相等的三角形相似，判定A B CSA D E,D可据一角对应相等夹边成比例判定aABCs A D E.选项C中不是夹这两个角的边，所以不能判定相似.故选：C.6.（2018上海九年级期中）如图，在AZ8C中，点。、E分别在边48、A C k,DE/BC,N A C D=N B,那么下列判断中，不正确的是（）A.AADESAABC B.ACDES/BCD C.LADEACD D.AADESADBC【答案】D【解析】.,点D、E分别在边AB、AC上，DEBC,AAADEAABC,故 A 正确：DEBC,/.ZBCD=ZEDC,VZB=ZDCE,.,.C D

46、 E A B C D,故 B iE确；V ZACD=ZB,ZA=ZA（.ACDAABC,.A D E-A A C D,故 C 正确；ADE 4AD B C不一定相似，故 D 不正确；本题选择不正确的，故选D.7.（2020上海市静安区实验中学）已知一个三角形的两个内角分别是30,70,另一个三角形的两个内角分别是701 80,则这两个三 角 形（）A.一定相似 B.不一定相似 C.一定不相似 D.不能确定【答案】A【解析】解：一个三角形的两个内角分别是3（T，70。，/.另一个内角的度数是180-30-700=80,.一个三角形的三个内角分别是30。,70。,80,这两个三角形有两角对应相等

47、这两个三角形一定相似.故选：A.8.（2020上海市静安区实验中学九年级专题练习）如图：在 AA6C中，点。在边AB上，且/ACD=N 8,过点A 作 A。交 CO的延长线于点E,那么图中相似三角形共有（)A.6 对B.5 对C.4 对D.3 对【答案】C【解析】解：依题意得NEAD=NACD=NB,：AECB,.,.AED-ABCD,VZCAD=ZBAC,.,.ACDcoAABC,VZAED=ZCEA,.,.AEDACEA,由相似三角形的传递性，得ZkBCDsCEA.故有4 对相似三角形.故答案为：C.9.（2018上海黄浦区中考模拟）如图，在ZABC中，ZB=80,Z C=40,直线1平行

48、于B C.现将直线1绕点A 逆时针旋转，所得直线分别交边AB和 A C于点M、N,若AAMN与ABC相似，则旋转角为（）A.20B.40C.60D.80【答案】B【解析】因为旋转后得到M M N 与 4BC相似，则2M V=/C=40。,因为旋转前4M N=80。,所以旋转角度为40。,故选B.10.（2020 上海九年级三模）如图，已知 NBC与 8O E都是等边三角形，点。在边Z C 上（不与点/、C重合），O E与 N 8相交于点凡 那么与 8ED相似的三角形是（）A.ABFE；B.&BDC；C.ABDA；D.AAFD.【答案】c【详解】解：。与 8Q E都是等边三角形，/.ZA=ZDB

49、=60,NDBF=/ABD,“BFDS ABDA,故选c.11.（2019上海市育才初级中学九年级月考）已知AABC中，D、E 分别在4 8、A C ,下列条件中，能推断AADE与AASC相似的有（）个A H A R N8OE+NC=180。；ADAB=AA C；A D BC =A B D E；Z J=9 0,且一=一DE BCA.1 B.2 C.3 D.4【答案】c【解析】由图可知,Z A 是AADE与AACB的公共角，：ZBDE+ZC=180,ZADE+ZBDE=180,/.ZADE=ZC,利用“两组角对应相等，两三角形相似得到AADE与AACB相似;An Ar由AD.AB=AE-AC得

50、到 证=茄，可以利用“两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似，得到M D E 与 ACB相似:AR由AD.BC=ABDE可得到5r前，公共角不是夹角，不能得到AADE与AACB相似;噌=蔡 NA=90。,利用“斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似”得到AADE与AACB相似,综上所述，能判断AADE与AACB相似的是，共 3 个.故选：C.12.（2021天津九年级期末）下列条件中可以判定的是（）AB A B ,A-就=后DAB A B B，AC=i a AB A B c.AC A C D幽*A B AC【答案】A【解析】A、对应边成比例，且夹角相等，所以可判定M C s/W B C