2022-2023学年上海高二上学期数学同步练第11讲 柱、锥、台的体积(核心考点讲与练)(含详解).pdf

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1、第11讲 柱、锥、台的体积（核心考点讲与练）Q方法技巧求体积的常用方法直接法对于规则的几何体，利用相关公式直接计算割补法首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算等体积法选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换Q能力拓展题型一：柱体体积的有关计算一、填空题1.（2021.上海市嘉定区安亭高级中学高二阶段练习）九章算术中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的

2、曲池，其高为 3,AA垂直于底面，底 面 扇 环 所 对 的 圆 心 角 为 弧 A。长度为弧BC长度的2 倍，且。=2,则该曲3.（2021上海市徐汇中学高二期中）一矩形的一边在x 轴上，另两个顶点在函数 =丁 下（x 0）的图象上,1 +2V则此矩形绕X轴旋转一周而成的几何体的体积的最大值为4.（2021.上海市宝山中学高二阶段练习）圆柱的母线长为4 c m,底面半径为2 c m,则体积为_ cm3.5.（2021上海市甘泉外国语中学高二期中）一个正四棱柱的底面边长为2,高为4,则该正四棱柱的体积为6.（2021.上海.闵行中学高二期中）底面半径为3,高为4 的 圆 柱 体 积 为.二、解

3、答题7.（2021上海浦东新高二期中）一张A4纸的规格为：21cmx29.7cm,把它作为一个圆柱的侧面，求卷成的圆柱体的体积.（精确到O.OOOlcmD8.（2021.上海市进才中学高二期中）正四棱柱A 8 8-4 g C Q ,的底面边长AB=2,若异面直线AA与所成角的大小为a rc ta n g,求正四棱柱力B C Q-A 4 G R 的侧面积和体积.c题型二：锥体体积有关计算G一、填空题1.（2021上海市建平中学高二阶段练习）若一个四面体各棱长为2或4,且该四面体不 正四面体，在所有可能的四面体中，计算四面体的体积，请 写 出 朗 个 符 合 条 件 的 四 面 体 的 体 积 （

4、不必写出所有符合条件的四面体的体积）2.（2021上海市嘉定区安亭高级中学高二阶段练习）如图，在直三棱柱A B C-A B g中，点 分 别 为8 4、中点，由点A、M.N所确定的平面将该三棱柱分成体积不同的两部分，则较大部分的体积和原三棱柱的体积之比为3.（2021上海市洋泾中学高二阶段练习）若正四面体的棱长为1,则它的体积为4.（2021.上海.格致中学高二期中）如图，已知斜三棱柱A B C-A 8 C的体积是质,点P为棱A A上任意一点，则四棱锥P-B 8 C C的体积为5.（2021上海中学高二期中）AABC 的三边 AB=10,BC=2,CA=4,D,E、F 分别是 AB、BC、CA

5、的中点，沿。尸、EF、EO将AAOF,ACEF,ABED折起，使得A、B、C重合于尸，则四面体尸-OE尸的体积为_ _ _ _ _ _二、解答题36.（2022上海市行知中学高二期中）如图，在直三棱柱4 8 C-A B C中，已知4 c =3C=2,M =-AB=2&（1）求四棱锥A-BCC田的体积;（2）求直线AC,与平面A BB6所成的角的余弦值.7.（2021.上海市嘉定区安亭高级中学高二阶段练习）如图为正四棱锥P-ABCD,PO_L平面ABC。，8C=3,PO=2.（1）求正四棱锥P-A B C D的体积;（2）求正四棱锥P-A B C D的表面积.题型三：台体体积有关计算一、单选题1

6、.（2021上海大学附属南翔高级中学高二期中）“夫叠棋成立积，缘基势既同，则积不容异”是以我国哪位数学家命名的数学原理（）A.杨辉 B.刘微 C.祖眶 D.李淳风二、填空题2.（2021.上海中学高二期中）已知正四棱台的侧棱长为3,两底面边长分别为2 和 4,则该四棱台的体积为3.（2021上海交大附中高二期中）如图，ZA=ZB=y ,4）=1,B C =2,A B=3,那么直角梯形ABC。绕直线A 3旋 转 一 周 形 成 的 几 何 体 的 体 积 为.-n4.（2021.上海市行知中学高二期中）已知三棱台A B C-A 4G 的上底面的面积是8cm2,下B*-V底面的面积是1 8 cm

7、h 高是6 c m,则三棱锥人-8（的体积是 _cm3.4三、解答题5.（2021.上海.高二专题练习）如图，我们知道，圆锥是R t O P （及其内部）绕O P所在的直线旋转一周形成的几何体.我们现将直角梯形4。0 （及其内部）绕。所在的直线旋转一周形成的几何体称为圆台.设。的半径为，。的半径为R,OOt=h.（2）若R=2,厂=1,h=/3 求圆台的表面积S.巩固提升一、单选题1.（2021上海格致中学高二期中）定义：2 4小时内降水在平地上积水厚度（mm）来判断降雨程度.其中小雨(v lO m m),中 雨(10mm-25mm),大 雨(25mm-50mm),暴 雨（50mm-100mm

8、）,小明用一个圆锥形容器接了 2 4小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（)B.中雨C.大 雨D.暴雨2.（2021上海市松江二中高二期中）已知直三棱柱A B C-A 4 G的各棱长均相等，体积为2月，M为中点，则点用到平面A 4 C的距离为（）A.叵 B.撞 C.叵 D.毡7 5 7 3二、填空题3.（2 0 2 1 上海市延安中学高二期中）已知长方体ABCO-A8c2,体积为4 8,在棱瓦、B C、8 分别取中点区F、G,则三棱锥8-E F G 的体积为.4.（2 0 2 1 上海市行知中学高二期中）若圆锥的底面周长为2 兀，侧面积也为2 兀，则该圆锥的体积为5.（2 0 2 1 上海

9、市金山中学高二期末）若四面体各棱的长是1 或2,且该四面体不是正四面体，则其体积是（只需写出一个可能的值）6.（2 0 2 1 上海师范大学第二附属中学高二期中）已知三棱锥P-A B C 的三条侧棱两两垂直，且它们的长度分别为1，1，夜，则 此 三 棱 锥 的 高 为.7.（2 0 2 1上海市吴淞中学高二阶段练习）若圆锥的侧面积为2 0 万，且母线与底面所成角的余弦值为,则该圆锥的体积为.8.（2 0 2 1 上海师范大学附属外国语中学高二阶段练习）一矩形的一边在x 轴上，另两个顶点在函数y =:二（x 0）的图象上，则此矩形绕x 轴旋转而成的几何体的体积的最大值为_ _ _ _ _ _ _

10、 _ _ _.1 +厂9.（2 0 2 1 上海市亭林中学高二期中）设 等 边 的 边 长 为。，P 是AA3C内的任意一点，且 P到三边A 8,BC,。的距离分别为4,d2,4,则有4+4+4为 定 值 由 以 上 平 面 图 形 的 特 性 类 比 空 间 图 形：设正四面体A 8 C O 的棱长为a,P是 正 四 面 体 内 的 任 意 一 点，且 P到四个面A 8 C、A B D、A C D ,B C D的距离分别为4，d2,4，则有4+4+4+4为定值.10.（2 02 1上海师范大学第二附属中学高二期中）在棱长为。的正方体中，E、尸分别是棱A3、8c上的动点，且 A E =BF,则

11、三棱锥与-8 E F 的 体 积 的 最 大 值 为.11.（2 02 1上海市亭林中学高二期末）若正三棱锥底面边长为2,侧棱与底面所成的角为4 5。，则其体积为三、解答题12.（2 02 1上海市金山中学高二期中）如图，有一块三棱锥形木块A B C。，其中面A B C 内有一点P.A在线段4c上，且满足E尸与4。垂直，该如何求作？请在图中画出线段E F 并说明画法，不必证明.3（2）经测量，A B=4 C=6 c m,A O=5 c m,NB A C=6 0,/BA D=NC A D=a r c c o s 1,若 P恰为三角形 4 B C的重心，E F 为（1）中所求线段，求三棱锥A Q

12、E F 的体积.13.（2 02 1上海位育中学高二期中）在立体几何讲授圆锥之前，为了让同学们对圆锥有直观的认识，善于动手的老师准备用铁皮自制一个无盖的圆锥形密封容（1）如果老师希望得到的容器的尺寸如下如图所示，请问老师事先至少需要购买的铁皮的面积（假设购买的铁皮能没有损失地利用）；（2）当老师聚精会神做好该密封容器后，发现正在下雨，猛然想起气象学上用2 4 小时内的降水在平地上的积水 厚 度（mm）来判断降雨程度，其中小雨、中 雨（10m m-2 5 m m ）、大 雨（2 5 m m-一 5 0m m ）、暴雨（5 0m m 100m m）,勤于思考的老师用刚刚做好的这个圆锥形容器接了 2

13、 4 小时的雨水，得到雨水数据如图所示，请你帮他判断一下这天降雨属于哪个等级？并请说明你的理由.14.（2 02 1上海大学附属南翔高级中学高二期中）已知四边形4 B C D 为直角梯形，Z A D C =9 0。,A D/B C,为等腰直角三角形，平面%平面E 为姑的中点，PAD=2BC=2 PA=3PD=3(1)求证：BE”平面PDC；(2)求证：AB_L平面(3)求三棱锥3-的体积.15.(2021.上海市延安中学高二期中)蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活.蒙古包古代称作穹庐、“毡包”或“毡帐”，如 图 1所示.一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与

14、一个圆柱的组合，如图2 所示.已知该圆锥的高为2 米，圆柱的高为3 米，底面直径为6 米.(1)求该蒙古包的侧面积;(2)求该蒙古包的体积.16.(2021上海师范大学第二附属中学高二阶段练习)在长方体ABC。-ABG。中，已知AB=5,4)=4,(1)求三棱锥C-3O G 的体积；(2)若点。是线段BQ上一点，且 用。=2A。，求三棱锥G-0 8。的体积;(3)求 三 棱 锥 的 体 积.17.(2021上海师范大学第二附属中学高二阶段练习)如图，A 8是圆柱OO的一条母线，BC过底面圆心0,。是圆O上一点.已知4?=3 c=5,CD=3.(1)求该圆柱的表面积;(2)求点B到平面AC。的距

15、离;(3)将四面体A8C3绕母线A 3所在的直线旋转一周，求八4 8 的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积.18.(2021.上海市西南位育中学高二期中)如图，在斜三棱柱A B C-A 8 c 中，A C =BC,。为 AB的中点,。为 44的中点，平面4 4 6，平面488八，异面直线B 与4互相垂(1)求证：平面A。“平面B。；(2)若CG与平面ABBA的距离为x,AC=A&=6,三棱锥A-A C。的体积为y,试写出V关于x 的函数关系式；(3)在(2)的条件下，当CG与平面A8B出的距离为多少时，三棱锥A-AC。的体积取得最大值？并求出最大值.19.(2021上海师范大学第二附属中学高

16、二期中)某企业要设计一款由同底等高的圆柱和圆锥组成的油罐(如图），设计要求：圆锥和圆柱的总高度与圆柱的底面半径相等，均 为 1 0 m.（1）已知制作这种油罐的材料单价为1 万元/m 2,则制作一个油罐所需费用为多少万元？（7取 3.1 4,结果精确到0.0 1 万元）（2）己知该油罐的储油量为0.9 5 吨/nP,则一个油罐可储存多少吨油？（万取3.1 4,结果精确到0.0 1 吨）第11讲 柱、锥、台的体积（核心考点讲与练）名称几何体体积柱 体（棱柱和圆柱）V=s&h锥 体（棱锥和圆锥）底 h3-台 体（棱台和圆台）oQ方法技巧求体积的常用方法直接法对于规则的几何体，利用相关公式直接计算割

17、补法首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算等体积法选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换Q能力拓展题型一：柱体体积的有关计算一、填空题1.（2021.上海市嘉定区安亭高级中学高二阶段练习）九章算术中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，其高为 3,AA垂直于底面，底 面 扇 环 所 对 的 圆 心 角 为 弧 A。长度为弧BC长度的2 倍，且。

18、=2,则该曲池的体积为【答案】9 万【分析】利用柱体体积公式求体积.【详解】解：不妨设弧4。所在圆的半径为R,弧 8 c 所在圆的半径为r,由弧4 0长度为弧8 c 长度的2倍可知R =2 r,C D =R r =r =2,即r=2、R =4.故该曲池的体积V =7 （穴-产）乂 3 =9%.故答案为：9 万2.（2 0 2 1上海奉贤区致远高级中学高二期中）若圆柱的底面半径是1,母线长为2,则这个圆柱的体积是【答案】2 乃【分析】直接根据圆柱的体积公式计算即可得出答案.【详解】解：圆柱的母线长即为圆柱的高，则这个圆柱的体积丫 =打乂1 2、2 =2 万.故答案为：2 万3.（2 0 2 1.

19、上海市徐汇中学高二期中）一矩形的一边在x 轴上，另两个顶点在函数y =（x 0）的图象上,则此矩形绕X 轴旋转一周而成的几何体的体积的最大值为【答案】叵1 6Y【分析】由题意知该几何体是圆柱,A（x y i）,B（x2,y2）,设/（）=丁彳I（x0）,则/（7,利用复合函数的单调性得出/（X）的单调性，得出最大值，设/（为）=/（）=。，则0 。0）,则/（占）=/（%）,1 1 Q V-*-诙二=，由勾形函数性质 知 产 2 叱似0,字 上 递减，在 净+8）上递增，乂y=2 x+0 ,x所以幻在（0,孝）上递增，在（等,+0 0）上递减，所以0%*/（K）m a x =/（）=设/（%）

20、=/（/）=。，则 0 4 AB=设底面中心为。，则O B =gx|=孚，.棱锥的 高 为 4 2-（苧）2=智,2 加 2 而x-=-V 3 3.“1 C ,1 V 3 _2-V=-B C D*/Z=-X X2若底面边长为4,4,1,侧棱长为4,4,1,设A B =C D =2,其余各棱长均为4,由可知|c o s N C E D =CE2+DE2-CD22CE.DE1 31 5sin NCED=n 1 5V =-S rnFAB=-x x V 1 5 x V 1 5 x x23 ,8E 3 2 1 52 V 1 43.（答案不唯一，2 叵，生 叵，2 叵三个任写两个即可）333（2021.上

21、海市嘉定区安亭高级中学高二阶段练习）如图，在直三棱柱A 3 C-4 4 G中，点 M、N 分别为BB、4 G 中点，由点A、M.N 所确定的平面将该三棱柱分成体积不同的两部分，则较大部分的体积和原三棱柱的体积之比为（分析 延 长 与CC,的交点为P，与C B的交点为。，连结A P 交A G 为D,连结D N,得到截面为DNMA,由题意得A Q =2G，由此能求出较小部分与较大部分的体积之比，即可得解.【详解】解：延长M N 与C G 的交点为P,与 的 延 长 线 交 于 点 为。,连结A P 交A G 为。，连结DV,即可得到截面 为 小 例，由题意得A 4=2OQ,因为三棱柱是直三棱柱，不

22、妨设A B L 8 C,且A8=8C=A4,=2,.3 =1,M B =1,N C =l,PCt=,棱柱体积卜=5X2X2X2=4,1下部分体积=%-A(2c23=x x3x2x3 x x 1 x 2 x x lx x 1 =，3 2 3 2 323 973 1?上部分体积匕产卜=4-5 得，较小部分与较大部分的体积之比为:3-31-2=13一923一9=上-下VV所 以 较 大 部 分 的 体 积 与 原 三 棱 柱 的 体 积 之 比 为=子23+13 3623故答案为：363.（2021.上海市洋泾中学高二阶段练习）若正四面体的棱长为1,则它的体积为.【答案】叵12【分析】求得正四面体的

23、高，由此求得正四面体的体积.【详解】设 尸是正四面体A-BCD 底面的中心，则AF_L平面BCD,R B F:FE =2:1,所以8尸=且*2=且，AF=J-（且=旦,所以正四面体的体积为，x&x/x 逅 =在.2 3 3 丫（313 3 4 3 12故答案为：立124.（2021上海格致中学高二期中）如图,已知斜三棱柱AB C-AM G的体积 是 1 2,点 P 为棱AA上任意一点，则四棱锥P-8 B C C 的体积为【答案】8【分析】利用等体积法证明四棱锥尸-BB CC的体积与斜三棱柱A B C-的体积的关系，即可得解.,I 2【详解】Vp_BBc=A-BCIC uqBC-Asq 匕-A4

24、G=XBC-A4G-=4 匕8C-&S1G2=xl2=8 故答案为：85.（2021上海中学高二期中）AABC的三边A8=10,B C =12,C4=14,D、E、F 分别是AB、B C、CA的中点，沿。F、EF、EZ）将“AT肥，ACEF,ABED折起，使得A、B、C 重合于P,则四面体P-OEF的体积为_【答案】2屈【分析】由折起成四面体的过程知，四面体PDEF相对棱等长，将其补形成长方体，利用割补法即可得解.【详解】因四面体PZ）瓦 相对棱等长，则该四面体的每一组相对棱可作为一个矩形的两条对角线，从而把四面体P D E F补形成长方体D.EP.F-D E/F、,如图:设%，尸耳=z,x2

25、+y2=25贝|J有/+Z2=3 6,解得，z2+x2=49x2=19y2=6z2=30 xyz-6/95.所以四面体 PDEF 的体积 V=VRERF-DEFF _ 4Vp_aEF=xyz-4*xyz=gxyz=2夜.故答案为：2x/二、解答题36.(2 0 2 2 上海市行知中学局二期中)如图，在直三棱柱ABC-A&G中，已知A C =B C =2,M=-AB=2 近.(1)求四棱锥A-B C C 蜴的体积;(2)求直线AG与平面A 8 8 出所成的角的余弦值.【答案】(1)2；(2)孚.【分析】(1)由题意可证A C _L 面B C C R i，则四棱锥A-B C C 内的体积为匕_8

26、e 4=；/屿45=x 3 x 3 x 2 =6.(2)如图所示，作 3c的中点E,连接O E,PE,则 PE=yOE2+O P2=J-+4=-,N4 2B C P E故正四棱锥P-A B C D的表面积S=4S+S,BCD=4X型 卢 +BC=24.题型三：台体体积有关计算一、单选题1.（2021.上海大学附属南翔高级中学高二期中）“夫叠棋成立积，缘事势既同，则积不容异”是以我国哪位数学家命名的数学原理（）A.杨辉 B.刘微 C.祖晅 D.李淳风【答案】C【分析】由题意可得求不规则几何体的体积的求法，即运用祖随原理.【详解】“夫叠棋成立积，缘幕势既同，则积不容异”的意思是“夹在两平行平面之间

27、的两个几何体被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果两个截面面枳仍然相等，那么这两个几何体的体枳相等”，这就是以我国数学家祖唯命名的数学原理，故选C.【点睛】本题考查祖晒原理的理解，考查空间几何体体积的求法，考查对概念的理解，属于基础题.二、填空题2.（2021 上海中学高二期中）已知正四棱台的侧棱长为3,两底面边长分别为2 和 4,则该四棱台的体积为【答案】生 立3【分析】根据正四棱台的性质求出高，即可由体积公式求出.【详解】如图，正四棱台ABCD-A与G A 中，设下底面中心为。，上底面中心为。一则 即 为 四 棱 台 的 高，过用作4 E 1 B D,则4 E =o q,在放中，BB1

28、=3,BE=2叵-叵=叵,则8产=小32（a）2=布,又 SW D=4=16,SABGR=22=4,所以该四棱台的体积为旷=；（16+/+4卜 近=*夕.故答案为：空位.37 F3.（2021上海交大附中局二期中）如图，ZA=Z B =-,A D =,2B C =2,A B=3,那么直角梯形ABC。绕直线A 3旋 转 一 周 形 成 的 几 何 体 的 体 积 为.【答案】7 k【分析】分析可知几何体为圆台，利用台体体积公式可求得结果.【详解】直 角 梯 形 绕 直 线 A 8旋转一周形成的几何体为圆台,且该圆台上底面圆的面积为岳=x F=万，下底面面积为邑=万、22=4万，圆台的高为/?=3

29、,因此，该几何体的体积为V=g（S1+S 2+）/?=gx7%x3=77.故答案为：7万.4.（2021.上海市行知中学高二期中）已知三棱台4 B C-A B C 的上底面的面积是8cm下底面的面积是18cm2,高是6 c m,则三棱锥4-8|G C 的体积是 cm*.【答案】24【分析】连接A 4、AC；、CB、,三棱台A B C-A B G 可分割为三棱锥A-ABC，三棱锥g-A B C,三棱锥A-B C C ,求出棱台ABC-AB.C,的体积减去匕一 八 犯，再减去.ABC即可求解.【详解】如图三棱台4 8 C-A 8 C 中，S4ABC=8cm2,S C 1=18cm2,棱台的高/i=

30、6cm,连接 AB|、AC-Cfi,则三棱台A 8 C-A G 可分割为三棱锥A-A 4G，三棱锥旦-4 B C,三棱锥A-4 G C,由棱台体积公式可得=1(5 A 8 C+5 MC,+J 5 A S C 5 )/i =1(8 +1 8 +/8 1 8)x 6 =7 6 ,匕-W,=g x l 8 x 6 =3 6,Ve.A g c=x 8 x 6 =1 6,所以匕-“c =V一匕WG 一,-=7 6-3 6-1 6 =2 4,故答案为：2 4.A三、解答题5.（2 0 2 1上海高二专题练习）如图，我们知道，圆锥是R t/X A O P （及其内部）绕0 P所在的直线旋转一周形 成 的 几

31、 何 体.我 们 现 将 直 角 梯 形（及其内部）绕。1所在的直线旋转一周形成的几何体称为圆台.设。的半径为，。的半径为R,OOt=h.I R3 _ R3（1）求证：圆台的体积3R-r(2)若 R=2,r =l h =/3 ,求圆台的表面积S.【答案】（1）证明见解析；（2）1 1%.【分析】（1）根据三角形相似,rh得出P 0 =,利用两个圆锥体积之差可得圆台的体积;R-r（2）利用大圆锥的侧面积减去小圆锥的侧面积可得圆台的侧面积，再加上圆台的底面积即可.【详解】（1）证明：.P A G-P 4?，.P _ 厂 PO+h Rrh解得p q=hK-：.V=-17 tR7-P O-1-jrr9

32、2-PO.3 3=-7rR2 3士+hR-r3 R-r 3 R-r（2）在AB4O中，过点A作A 8_LA。，B是垂足,则在 RfAABA,中，AB=R-r =,=.NA AB=60,/.PA=4.PA=2,所以该圆台的表面积11 9 75=-x24/?PA x 2r-PA,+兀 R+万产=8万一27+4乃+乃=1 hr.2 2【点睛】本题主要考查圆台的体积公式证明及表面积的求解，明确圆台与圆锥间的关系是解题的关键，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养.Q巩固提升一、单选题1.（2021上海格致中学高二期中）定义：2 4小时内降水在平地上积水厚度（mm）来判断降雨程度.其中小雨(x lx 2

33、x l,3 3 2解得：d=,7二、填空题3.（2021.上海市延安中学高二期中）已知长方体ABCO-A gCQ ,体积为4 8,在棱8 4 BC、口片分别取中点E、F、G,则三棱锥8-EFG的体积为.【答案】1【分析】根据题意，结合长方体和三棱锥的体积公式，即可求解.【详解】根据题意，设 他=x,BC=y,BB尸z,因为长方体ABC。一4 8 6 口 体积为4 8,所以孙z=48,x y因此三棱锥B EFG的体积/_v _1 E4,平面 E4,故 H _ L 8 C,又B C A E =E,故平面AB C,易知 =AE =6,c o s ZDEA=3+3-12昌656故 ”=J 5x s i

34、 n NDE4=6 x,1 1 1./r 733 v nV=-X5A A B CXD H=-X-X2XV3X=.当有两条边为1 时，只能时对边为1,如图2,不妨设A O=3 C =1设对应长方体的氏宽高分别为：a,b,c,夜一2m一2至2故V=E x E x巫x x也 X立X巫、4=巫.当有三条边为I时，只能是底边三条边为1,如图322 23222 2 12所示，E是3 C中点，连接A E,故。于H,易知 5CJLQE,B C.L AE,A E C D E=E1 故 平面 QE4,D u 平面OE4,故 D HLBC,又 D H L A E,B C A E =Ef 故O H，平面 A8 C,易

35、知DE=,2=2,一7 15 3)/n F,4+4 也cos N DEA=尸=,0715 5/3 152 x-x 2 2.；n V15.V15 1(2 V332 2 V 1 15 J 31/1 c 八u 1 1 6后布V=-x SA 4r x D H=-x x lx x-=-.3 3 2 2 3 12其他情况不满足.故答案为：亘 或 怨 或 好(写出其中一个即可)6 12 12学第二附属中学高二期中）已知三棱锥P-A 8 C的三条侧棱两两垂直，且它们的长度分别为1,1,近,则此 三 棱 锥 的 高 为.【答案】叵5【分析】将图形还原为长方体，进而通过等积法得到答案.图1由题意可知，Vc P.B

36、=-S PC=-x-x/2=,c-rn o r 4 ttt D c c ，3 3 2 o设 P 到平面ABC的距离为d,如图2,M 为 8A中点，则 CMLBA,故答案为：叵.547.（2021.上海市吴淞中学高二阶段练习）若圆锥的侧面积为20万，且母线与底面所成角的余弦值为：，则该圆锥的体积为.【答案】16万【分析】设出圆锥的母线与底面半径，通过圆锥的侧面积为20万，且母线与底面所成的角的余弦值为4,求出半径与母线，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体枳.【详解】解：设圆锥的母线为/,底面半径为，因为圆锥的侧面积为20万，且母线与底面所成的角的余弦值为4，/*4所以，TTr l=207 T,-=-

37、,所以r=4,1=5,圆锥的高为：3,所以圆锥的体积为：g x 4x42x3=164.故答案为：16%.8.（2021上海师范大学附属外国语中学高二阶段练习）一矩形的一边在x 轴上，另两个顶点在函数丫 =T 二（x0）的图象上，则此矩形绕x 轴旋转而成的几何体的体积的最大值为_.1 +厂【答案】V4【分析】设矩形在y=/上的两个项点坐标为（石,，）,（,，利用芭，马是关于x 的方程丫 =士的两根,求得归-|,然后同体积公式得丫 =万丁|与-七|,结合二次函数知识得最大值.【详解】设矩形在、=备上 的 两 个 项 点 坐 标 为 y）,由y=yx2-x+y=0（*）,知士,三是方程（*）的两个根

38、.Xl+X2=1 ,x,x2 2 12=1 ,（Xj-X,）=（%1 +x2）=-4 ,yyV=%/W-%|=乃）J j-4 =乃 J y2-4 y,1 r r当且仅当y2=d时，a x=-.o 4T T故答案为：T-9.（2021上海市亭林中学高二期中）设等边I B C 的边长为。，P是AABC内的任意一点，且尸到三边AB,B C,C4的距离分别为4,2,4,则有4+4+4 为 定 值 等。；由以上平面图形的特性类比空间图形：设正四面体ABC。的棱长为a,P是正四面体ABCD内的任意一点，且 P到四个面ABC、A B D、A C D .B C D的距离分别为4，d2,d3,d4,则有4+劣+

39、4+为定值_ _ _ _ _ _ _ _.【答案】3【分析】设底面三角形BCD的中心为O,求出正四面体ABCD的体积，根据类比思想以及正四面体体积公式，结合分割法求结果，由即可求出结果.【详解】设底面三角形BCD的中心为。,BA则8。=且乂2 =立 ，故棱锥的高AO=JAS-*=.2 3 3 3二正四面体的体积 V=S BCDx AO=-x x a x -a x -a =3 A 3 2 2 3 12又 V=匕，-A B C +P-ABD+Vp-ACD+P-BCD=-x （4 +2+3+d j =6r X （+4 +痣+34），,*八（4+4+4+4 4）=噂，则4+4+4 +W=a.故答案为：

40、-a.310.（2021上海师范大学第二附属中学高二期中）在棱长为。的正方体ABC。-A 8 G R 中，石、尸分别是棱A 3、BC上的动点，且 4 =即，则三棱锥与-8 尸 的 体 积 的 最 大 值 为.3【答案】24【分析】设 A E=8F=x.根据体积的表达式匕广叼 久阳.，只 需 求 出 的 最 大 值，建立 诋=；S-x）x，利用二次函数求出最大值，即可求解【详解】设 4 =8/=天.因为%-=g S,B x BB苦 S皿，所以当S.BEF取得最大值时，三棱锥B.BEF的体积取得最大值.因为=g（a-x）x=；4?所以当x，时，即“分别是棱4A 8C 的中点时,三棱锥4 -B M

41、的体积取得最大值,2 3 3此时 一的=x幺=幺.故答案为：“的3 8 24 2411.（2021上海市亭林中学高二期末）若正三棱锥底面边长为2,侧棱与底面所成的角为45。，则其体积为【答案】|【分析】欲求正三棱锥的体积，先求正三棱锥的高，由题意，顶点在底面中的射影是底面的中心，从而利用侧棱与底面所成角为45。角，可求高，从而得解.【详解】解：先求正三棱锥的高，由题意，顶点P 在底面中的射影是底面的中心。，Z R 4 O 为侧棱与底面所成角，Z P A O =4 5 ,R从而有高P0=OA=x x 2 =2也,3 2 3又底面积5,诋=5 x j x 2 x 2 =G,所以正三棱锥的体积v=1

42、 x G x 述=2.3 3 3故答案为：.三、解答题1 2.（2 0 2 1.上海市金山中学高二期中）如图，有一块三棱锥形木块A 8 C D,其中面A B C 内有一点（1）若要在面A B C 内过点P 画一条线段E F,其中点E在线段A B 上，点 F在线段AC上，且满足E F 与 4 9垂直，该如何求作？请在图中画出线段并说明画法，不必证明.3（2）经测量，AB=AC=6 c m,AD=5 c m,Z B A C=6 0,NBA D=NC A D=a r c c o s1,若尸恰为三角形4 8 c的重心，E F 为中所求线段，求三棱锥A O E 尸的体积.【答案】（1）答案见解析 迹3【

43、分析】（1）在 A 力上任取一点Q 过点Q在平面A 8 力内作A。的垂线，交 A8于 G：过点。在平面A C D内作A。的垂线，交 AC于“；连接G”，若 GH 过点H则 G”就是所求线段E F；若G”不过点尸，则过点P作G”的平行线，与4 8、AC相交即得线段EF.(2)取8c中点连MA、M D,由余弦定理求得BQ=CD=5,根据线面垂直的判定证得5 C L面4由己知得三棱锥A-DEF的体积为三棱锥A-BCD体积的1,根据棱锥的体积公式可求得答案.(I)解：如图，在AQ上任取一点。；过点。在平面A8 O内作A D的垂线，交 A B于G；过点Q在平面A C D内作AE)的垂线，交AC于“；连接

44、G H,若G”过点P,则GH就是所求线段EF；若G”不过点P,则过点P作G”的平行线，与 A B、AC相交即得线段EF.4于是EF/BC,故三棱锥A-DEF的 体 积 为 三 棱 锥 体 积 的g ,由题意得 BC=6,AM=3百,BD=5,DM=4,AD=5,在 AAMD 中，COS 4M”A+-A M 1 5 2+4 7 3 -_ 7 ,所以 sinNAZ)M=诙，所以2 A D M D 2x5x4 20 2 0S“x4x5xW诋iAMD 2 20 2C圆锥有直观的认识，善于动手的老师准备用铁皮自制一个无盖的圆锥形密封容器.(1)如果老师希望得到的容器的尺寸如下如图所示，请问老师事先至少需

45、要购买的铁皮的面积(假设购买的铁皮能没有损失地利用)；(2)当老师聚精会神做好该密封容器后，发现正在下雨，猛然想起气象学上用2 4 小时内的降水在平地上的积水 厚 度(mm)来判断降雨程度，其中小雨(且 EF=；A。，由题可得 BC/AD bLBC=-A D,所以 BC/EF 且 B C =EF,2所以四边形8CEE是平行四边形，8E/CF,QBEcZ平面C.C r u 平面PDC,，8E 平面PDC：（2）由题意 AO=2BC=2 0，PA=3PD=3,满足 A。?+P。？=人尸，.-.PDYAD,又平面F4O_L平面ABC。，.PD_L平面ABC,.PDLAB，5l.BDA.AB,P D

46、c B D =D,平面尸8。；（3）由（2）得平面P3Z）,又 E 为R4的中点,所以点E 到平面/8。的距离为A 8的一半，设为心：A D =2垃,M为等腰直角三角形，.4 3 =2,则d=l,B-DEP VE-PBD SPBD=A15.（2021上海市延安中学高二期中）蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子,建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活.蒙古包古代称作穹庐、“毡包”或“毡帐”，如 图 1所示.一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合，如图2 所示.已知该圆锥的高为2 米，圆柱的高为3 米，（1）求该蒙古包的侧面积;图 2（2）求该蒙古包的体积.【答案】（1）3内 乃+18万平

47、方米；（2）3 3 1立方米.【分析】（1）结合圆锥的侧面积和圆柱的侧面积公式即可直接求解；（2）结合圆锥的体积和圆柱的体枳公式即可直接求解.【详解】由题意可知8 c=0 E =3米，A E =2米，B E =3米，A D 3 +2?=如 米.（1）圆锥部分的侧面积岳=1x2万 A O=2 i x3 x屈=3屈 兀平方米.圆柱部分的侧面积2 2S2=27 r B e B E=2）x3 x3 =18 4 平方米.故该蒙古包的侧面积5 =豆+S,=3&+1 8万平方米.（2）圆锥部分的体积匕=；S/?=；%.E 2-A E =；%X3 2X2 =6 7近方米，圆柱部分的体枳匕=B C?8 E =万

48、 乂3?x3 =2 7万立方米.故该蒙古包的体枳V=K +匕=6%+2 7%=3 3万立方米.故答案为：（1）3岳%+18万平方米；（2）3 3万立方米.16.（2 0 2 1上海师范大学第二附属中学高二阶段练习）在长方体4 B C O-A 8 G R中，已知4 8 =5,4 0=4,=3.（2）若点。是线段8a上一点，且B Q =2 R。，求三棱锥a-。的体积;（3）求三棱锥耳-A C R的体积.【答案】（1）10；（2）10；（3）2 0.【分析】（1）利用等体积法可求得三棱锥C-B D G的体积；（2）分析得出%。即=5 骐0,可得出-0B D=%-附，利用锥体体积公式即可得解;（3）由

49、已知可得匕=匕友力型0,-4%比.，利用长方体和锥体的体积公式可求得结果.【详解】（1）C-BIK,=K-,-8CO=2 AC D I=X-X4X5X3=10 ；（2）,；O e B R,则 S OBD=S BD%=S骐A,所 以,匕-op。=%-gq=%-4领=5 9 0画 8耳=10；（3）（3）将四面体A B C。绕母线A 3所在的直线旋转一周，求 4 8的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积.【答案】（1）5 0 7；（2）迎 亘；（3）15万.4 1【分析】根据题意，结合圆的面积和圆柱的侧面积公式，即可求解；（2）根据题意，证得。C,平 面 题，得到DCLAO,求得S.ACO,设点B

50、到平面A C D的距离为d,结合匕一即可求解：（3）根据线段A C绕A B旋转一周所得几何体为以3 c为底面半径，以A B为高的圆锥，线段A D绕A B旋转一周所得的几何体为8。为底面半径，以A 3为高的圆锥，结合圆锥的体积公式，即可求解.【详解】由题意知4 8是圆柱O。的一条母线，8 c过底面圆心0,且/W =B C =5,可得圆柱的底面圆的半件为R =|，则圆柱的底面积为=六=x(|)2 =高，5 2 5 一 2 5 2 5圆柱的侧面积为S?=%町=乃*乂5 =万4所以圆柱的表面积为5 =2 S I +S2=2x 7 r +7 r =50TT.(2)由8 C过底面圆心。，。是圆。上一点，可